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广东省深圳市坪山区2025-2026学年第二学期九年级调研测数学试卷（二模）
1．某年一季度我国线下消费呈现稳健回升、结构优化的态势，一季度我国线下消费支付金额同比增长，但石油及制品同比下降．若用表示增长，则“下降”可表示为（　　）
A． B． C． D．
2．中国华润大厦，因其独特的建筑造型而得名“春笋”——既似雨后破土、节节攀升的春笋，又如蓄势待发、线条凌厉的子弹头，成为深圳城市天际线中极具辨识度的标志．如图所示，“春笋”的主视图为（　　）
A． B． C． D．
3．中国华润大厦的总建筑面积约270000平方米，用科学记数法表示270000是（　　）
A． B． C． D．
4．某年春晚舞台上十二花神节目火速出圈，展现了四季轮转、生生不息、以花喻人的东方文化．其中十二花神依次亮相，分别对应：梅花、杏花、桃花、牡丹、石榴、荷花、蜀葵、桂花、菊花、芙蓉、山茶、水仙．主持人随机从中抽取1位进行互动采访，抽到“梅花”花神的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，已知A、B、C、D四个点均在格点上，则的值是（　　）
A．1 B． C． D．
6．我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺；问长木多少尺？如果设木条长为x尺，绳子长为y尺，则下面所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，，分别切于点A，B，若，的长为，则的半径为（　　）
A．10 B．15 C．20 D．30
8．新定义：对于二次函数A和B，若A的顶点坐标在B的顶点坐标上方，则A是B的“仰顶函数”，例如：函数是函数的“仰顶函数”．若无论m取任何实数，函数都是函数的“仰顶函数”，则n的取值范围（　　）
A． B． C． D．
9．比较大小：3　 　（在、、、、中选一个填空）．
10．如图，，，且，则AC的长为　 　．
11．在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第二、三、四象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式：　 　．
12．如图，过原点的直线和反比例函数相交于、，延长至，使得点是中点，过作轴于，交反比例函数第一象限图象于，连接，若的面积为，则　 　．
13．矩形中，E是对角线上一点，且，F是上一点，若，连接，过点E作交的延长线于G，则　 　．
14．按要求完成下列各题：
（1）解方程：
（2）计算：
15．在化简时，两位同学分别写出如下第一步运算步骤：
小深：原式
小圳：原式
（1）小深解法第一步的依据是______，小圳解法第一步的依据是______．
A．等式的基本性质 B．分式的基本性质 C．乘法结合律 D．乘法分配律
（2）请你从小深和小圳的两种解法中选择一种解法，接着写出完整的解答过程，并从“3，，1，”中选一个合适的数作为x的值，代入求该分式的值．
16．在2026年世界互联网大会亚太峰会的影响下，某校组织八、九年级开展“数智赋能创新发展”主题宣传活动．老师从八、九两个年级中各抽取20名学生的“网络安全与数字素养”测试成绩进行整理，成绩分为A、B、C、D四个等级，其中90分及以上为优秀，并获称“数智赋能先锋个人”．
【数据整理】抽取学生的成绩分为如下四个等级：
等级 A B C D
成绩
八年级B、C等级同学的成绩分别为：86，88，89，89，92，92，93，94，94；
九年级C等级同学的成绩分别为：89，89，88，88，88，87，86．
【数据分析】八、九年级抽取学生的测试成绩统计表如表：
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
八年级 88 a 95 40%
九年级 88 88 88 35%
【回答问题】
（1）扇形图中______，表格中______，并补全条形统计图．
（2）若该校八年级学生有640人，九年级学生有520人，请估算该校八九年级获评“数智赋能先锋个人”的学生共有多少人？
（3）某小组四位同学的测试成绩等级分别是A、B、C、D，准备从中抽取两人参加宣讲活动，求两人恰好抽到“C”和“D”等级同学的概率．
17．如图1所示：中，，，以为直径画交于D．
（1）求；
（2）过点C作，利用圆规和无刻度直尺在图2作切线交于F，保留作图痕迹，不用写出作法和理由；
（3）在（2）的基础上，连接，交于点G，若，求的长．
18．为了共建安全有序的城市交通环境，深圳市全面推行骑行电动车佩戴安全头盔的管理规定．某商店准备购进甲、乙两种型号的头盔，已知一个甲种头盔进价比一个乙种头盔贵15元，用180元购进甲种头盔的数量与用120元购进乙种头盔的数量相同．
（1）求甲、乙两种型号头盔的进货单价；
（2）调查发现：某商家甲种头盔售价为60元/个．设甲种头盔降价t元，销售量为个，甲种头盔总利润为y元．
①则y与t的函数关系式为__________；
②当降价多少元时，甲种头盔总利润最大？最大利润是多少？
19．【综合实践】
【背景】日常出行离不开公共交通，面对公共交通种类日益丰富，乘坐公交车的人逐渐减少，公交车运营面临亏损，某校数学小组调查了某公交车线路的运营情况．
【材料一】图（a）是某公共汽车线路的收支差额y（票总价收入减去运营成本）与乘客量x的函数图象，该路线的票价为2元/人．
【材料二】为了扭亏有关部门举行提高票价的听证会．
乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，从而实现扭亏．
公交公司认为：运营成本难以下降，公司已经尽力，每张票需提高票价才能扭亏．
根据两种意见，可以把图（a）分别改画成图（b）和图（c）．
【问题解决】
（1）根据图中信息填空：
①写出图（a）的函数解析式：__________；
②由图（a）可知，乘客量达到______万人时，该公交路线才不会亏损，公交公司的运营成本是______万元；
③你认为上述三个图象中，反映乘客代表意见的是图______．
（2）若同时采用乘客代表（成本降低m万元，）和公交公司（票价提高n元，）的方案．设收支平衡时（即公交公司的票价总收入=公交公司的运营成本）的乘客量为（万人），则m，n，满足的数量关系为__________．
（3）若与n满足函数关系，且当时，；当时，，
①求a，b的值；
②在（2）的方案下，当时，则m的取值范围是__________．
20．【问题情境】数学兴趣小组以矩形纸片为基本图形，探索几何图形折叠变化中的数学问题，其中，．
【特例探究】
（1）如图1：小坪对矩形进行折叠，使得和重合，折痕分别交和于、，点的对应点是，连接．
①根据轴对称性质：
对应点的连线被对称轴垂直且平分
是的垂直平分线
②请探究和的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】
（2）①如图2：小山沿着过点的直线折叠，使得点的对应点恰好在的延长线上，折痕交于，点的对应点为，求线段的长．
②小深沿着与图中平行的直线折叠矩形，折痕分别交、于、，点和点的对应点分别是和．请你借助图分析，当是等腰三角形时，直接写出折痕的长度．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】具有相反意义的量
【解析】【解答】解：∵题意规定增长用正数表示，
∴增长，记为，
增长和下降是一对相反意义的量，
∴下降，应表示为．
故答案为：A
【分析】根据题意规定增长用正数表示，下降用负数表示，则下降，应表示为．
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由图可知，主视图为：
故答案为：A
【分析】“春笋”的主视图为
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：270000用科学记数法表示为
故答案为：C
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
4．【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵共有12位花神，
∴共有12种可能，
∵抽中“梅花”花神有1种可能，
∴．
故答案为：A
【分析】共有12位花神，共有12种可能，抽中“梅花”花神有1种可能，则抽到“梅花”花神的概率是.
5．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；求正弦值；在网格中求锐角三角函数值
【解析】【解答】解：如图所示：
依题意，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
故答案为：D
【分析】由网格得，则是等腰直角三角形，即 .
6．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设木条长x尺，绳子长y尺，
那么可列方程组为：
，
故答案为：A.
【分析】设木条长x尺，绳子长y尺，根据：绳长=木条+4.5；绳长=木条-1，列出方程组即可.
7．【答案】B
【知识点】切线的性质；弧长的计算；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵，分别切于点A，B，
∴，
∵，且，
∴，
∵的长为，
∴，
解得：．
故答案为：B
【分析】连接，
，分别切于点A，B，得，由，且，得，，解得r=15．
8．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；列不等式
【解析】【解答】解：∵，
∴顶点坐标为；
∵，
∴顶点坐标为，
根据新定义可知，
∴，
∵无论m取任何实数，不等式恒成立，
∴．
故答案为：A
【分析】由，得顶点坐标为，，顶点坐标为，根据新定义可知，，解得．．
9．【答案】
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：用平方法比较两个正数的大小：
，
，
．
【分析】由3>0，>0，则32=9，所以3>
10．【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：，，
，
∵
∴，
解得：．
故答案为：
【分析】由，， 得，则，解得：.
11．【答案】（答案不唯一）
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限，
∴，，
∴符合该条件的一次函数的表达式为，
故答案为：．
【分析】由一次函数的图象经过第二、三、四象限，得，，则（答案不唯一）
12．【答案】6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：如下图所示，过点作于点，过点作于点，
设点的坐标为，则点的坐标为，
点是中点，设点的坐标为，
可得：，
解得：，
点的坐标为，
点的横坐标为，
，
，，
，
的面积为，
，
解得：．
故答案为：6.
【分析】过点作于点，过点作于点，设点为，则点，可得：，得点的坐标为，则点的横坐标为，，得，， ，得，解得=6．
13．【答案】
【知识点】勾股定理的应用；矩形的判定与性质；线段的比；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，
，
即，
∵四边形是矩形，
∴，四边形为矩形，
则，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴设，则在中，，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
则，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
则，
∴．
【分析】如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，
，
得，四边形为矩形，则，设，则在中，，得，，，则，，则，．
14．【答案】（1）解：或
∴，．
（2）解：原式
．

【知识点】因式分解法解一元二次方程；求有理数的绝对值的方法；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）由因式分解法解或，则，；
（2）分别计算，再计算加减法得；
（1）解：
或
∴，．
（2）解：原式
．
15．【答案】（1）小深解法第一步的依据是B，小圳解法第一步的依据是D
（2）小深：解：原式
；
∵，
∴，
原式；
小圳：
解：原式
；
∵，
∴，
原式．
【知识点】分式的通分；分式的加减法；分式的化简求值；分式的乘法
【解析】【解答】（1）解：由题意得：小深解法第一步的依据是分式的基本性质；小圳解法第一步的依据是乘法分配律；【分析】（1）根据分式的性质及乘法分配律， 小深解法第一步的依据是分式的基本性质；小圳解法第一步的依据是乘法分配律；
（2）先对分式进行化简，然后再代值求解小深：解：原式，，则原式；
小圳：解：原式；，，原式．
（1）解：由题意得：小深解法第一步的依据是分式的基本性质；小圳解法第一步的依据是乘法分配律；
（2）解：小深：
解：原式
；
∵，
∴，
原式；
小圳：
解：原式
；
∵，
∴，
原式．
16．【答案】（1）35；88.5
（2）解：八年级：（人）九年级：（人）
该校八九年级获评“数智赋能先锋个人”的学生共有人．
（3）解：方法一，列表法：
A B C D
A
B
C
D
一共有12种等可能结果，恰好抽到“C”和“D”等级同学有2种结果，
P（恰好抽到“C”和“D”等级同学），
方法二，树状图法：
一共有12种等可能结果，恰好抽到“C”和“D”等级同学有2种结果，
P（恰好抽到“C”和“D”等级同学）．
【知识点】条形统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：∵九年级抽取学生，C等级同学共人，
∴C等级同学的占比为，
∴；
∵中位数是从小到大依次排列最中间的数，
20位同学的最中间的两位同学的成绩为，
∴中位数；
八年级共抽取20位同学，A等级同学3人，B等级同学5人，C等级同学4人，
则D等级同学人，
∴作图如下：
【分析】（1）C等级同学的占比为；20位同学的最中间的两位同学的成绩为，中位数；
（2）根据“某部分的数量=总量×该部分在样本中的占比”即：八年级：（人）九年级：（人）；
（3）画树状图或列表法列举所有可能结果，得一共有12种等可能结果，恰好抽到“C”和“D”等级同学有2种结果，
P（恰好抽到“C”和“D”等级同学），
（1）解：∵九年级抽取学生，C等级同学共人，
∴C等级同学的占比为，
∴；
∵中位数是从小到大依次排列最中间的数，
20位同学的最中间的两位同学的成绩为，
∴中位数；
八年级共抽取20位同学，A等级同学3人，B等级同学5人，C等级同学4人，
则D等级同学人，
∴作图如下：
（2）解：八年级：（人）
九年级：（人）
该校八九年级获评“数智赋能先锋个人”的学生共有人．
（3）解：方法一，列表法：
A B C D
A
B
C
D
一共有12种等可能结果，恰好抽到“C”和“D”等级同学有2种结果，
P（恰好抽到“C”和“D”等级同学），
方法二，树状图法：
一共有12种等可能结果，恰好抽到“C”和“D”等级同学有2种结果，
P（恰好抽到“C”和“D”等级同学）．
17．【答案】（1）解：∵是直径，∴，
∵在中，，
∴设，，
∴，
∵，
∴，
∵在中，
∴，
（2）解：如图，直线即为所求；
理由：由作图得，即，
∵，
∴，
∴，即，
∵是的半径，
∴是的切线；
（3）解：连，
由（1）可得，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理的应用；切线的性质；切线的判定；已知正切值求边长；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）由是直径，得，，设，，由勾股定理得，由得，在中，得；
（2）过点作的垂线即可得出结论如图，直线即为所求；
理由：由作图得，即，，，即，是的切线；
（3）解：连，
由（1）可得，得，，，，在中，由勾股定理得，由，得．
（1）解：∵是直径，
∴，
∵在中，，
∴设，，
∴，
∵，
∴，
∵在中，
∴，
（2）解：如图，直线即为所求；
理由：由作图得，即，
∵，
∴，
∴，即，
∵是的半径，
∴是的切线；
（3）解：连，
由（1）可得，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．【答案】（1）解：设乙种头盔进货单价为x元/个，甲种头盔的进货单价是元/个则，
解得，经检验是原方程的解，
∴甲种头盔进货单价为元/个，乙种头盔进货单价为30元/个．
答：甲种头盔进货单价为元/个，乙种头盔进货单价为30元/个．
（2）①
②方法1：令
则，，
（），
∵开口向下，∴当时，元
答：当降价2.5元时，甲种头盔总利润最大是1562.5元．
方法2：，
∵，开口向下，
∴在顶点处取得最大值，
∴当时，.元
答：当降价2.5元时，甲种头盔总利润最大是1562.5元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（2）①解：总利润（售价进价）数量
∴，
即或．
【分析】（1）设乙种头盔进货单价为x元/个，甲种头盔的进货单价是元/个，则解得，经检验是原方程的解，；
（2）①“总利润（售价进价）数量”以及二次函数，即或．
②令则，，（），当时，元，即当降价2.5元时，甲种头盔总利润最大是1562.5元.
（1）解：设乙种头盔进货单价为x元/个，甲种头盔的进货单价是元/个
则，
解得，经检验是原方程的解，
∴甲种头盔进货单价为元/个，乙种头盔进货单价为30元/个．
答：甲种头盔进货单价为元/个，乙种头盔进货单价为30元/个．
（2）①解：总利润（售价进价）数量
∴，
即或．
②方法1：令
则，，
（），
∵开口向下，∴当时，元
答：当降价2.5元时，甲种头盔总利润最大是1562.5元．
方法2：，
∵，开口向下，
∴在顶点处取得最大值，
∴当时，.元
答：当降价2.5元时，甲种头盔总利润最大是1562.5元．
19．【答案】（1）①；②0.5，1；③c
（2）
（3）解：①把，和，分别代入，得：
，
解得；
②
【知识点】解一元一次不等式组；待定系数法求一次函数解析式；加减消元法解二元一次方程组；一次函数的实际应用-销售问题；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：①图（a）是一次函数，故设一次函数解析式为，
由图可知：直线过和，
把和代入得：
，
解得：，
所以，一次函数解析式为：；
②由不亏损得，
∴，
解得，
∴当时不亏损；
令，则，即乘客量为0时，运营成本是1万元；
所以，乘客量达到0.5万人时不亏损；运营成本是1万元；
③乘客代表通常希望降低成本、不提高票价，对应图象应是票价不变、成本降低，符合图(c)的特征；公交公司希望提高票价、不降低成本，对应票价提高、运营成本不变，符合图(b)；图(a)是原方案．所以反映乘客代表意见的是图(c)．
（2）解：根据题意得，成本降低m万元，票价提高n元，则新函数解析式为，
由收支平衡得，即，
整理得：；
（3）解：②∵，
∴，
又，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
解得；
∴；
解得，
∴，
∴，
综上，的取值范围为．
【分析】（1）①
故设一次函数解析式为，
由图可知：直线过和，把和代入得：解得：，即
②根据不亏损得，，，知当时不亏损，令，则，即乘客量为0时，运营成本是1万元；
③乘客代表通常希望降低成本、不提高票价，对应图象应是票价不变、成本降低，符合图(c)的特征；
（2）根据成本降低m万元，票价提高n元得新函数，由收支平衡得，即，得；
（3）①分别代入的值，得a=0，b=2；
②由和得，得，由得，解得，由，，的取值范围为．
（1）解：①图（a）是一次函数，故设一次函数解析式为，
由图可知：直线过和，
把和代入得：
，
解得：，
所以，一次函数解析式为：；
②由不亏损得，
∴，
解得，
∴当时不亏损；
令，则，即乘客量为0时，运营成本是1万元；
所以，乘客量达到0.5万人时不亏损；运营成本是1万元；
③乘客代表通常希望降低成本、不提高票价，对应图象应是票价不变、成本降低，符合图(c)的特征；公交公司希望提高票价、不降低成本，对应票价提高、运营成本不变，符合图(b)；图(a)是原方案．所以反映乘客代表意见的是图(c)．
（2）解：根据题意得，成本降低m万元，票价提高n元，则新函数解析式为，
由收支平衡得，即，
整理得：；
（3）解：①把，和，分别代入，得：
，
解得；
②∵，
∴，
又，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
解：，
∵，
∴，
∴，
解得；
∴；
解，
∴，
∴，
综上，的取值范围为．
20．【答案】(1) ① ；
解：②∵四边形是矩形
，
沿折叠后与重合，
∴，；；，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
见解析
(2)解：①∵沿折叠后落在的延长线处∴ ，，且，
∵四边形是矩形，
，
又在中，，由勾股定理可知，
；
；
在中，；
；
，
②，，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】（1）解：①根据轴对称性质：
对应点的连线被对称轴垂直且平分
是的垂直平分线
（2）解：②折痕的长度为，，；
折叠过程中，延长、相交于，则四边形为矩形，
根据折叠可得，垂直平分，，
，，，四点共线，，
情形一：当时，在中，；，
∵
由①可得：，
∴
情形二：时，过点作交于点，
∴，
由①可得
∴，
∴； 则
∴
情形三：，则
∴
综上所述，当是等腰三角形时，折痕的长度为，，．
【分析】（1）①根据垂直平分线的性质，得EF是的垂直平分线；
②，四边形是矩形，得，
沿折叠后与重合，
，；；，，，即．
（2）①根据折叠得，，且，
解，勾股定理得，，在，得，=9， ；．
②根据折叠可得，垂直平分，，分三种情况讨论，，，分别求解即可．情形一：当时，在中，；，
由①得：
情形二：时，过点作交于点，
，①得，； 则
情形三：，则
1 / 1广东省深圳市坪山区2025-2026学年第二学期九年级调研测数学试卷（二模）
1．某年一季度我国线下消费呈现稳健回升、结构优化的态势，一季度我国线下消费支付金额同比增长，但石油及制品同比下降．若用表示增长，则“下降”可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】具有相反意义的量
【解析】【解答】解：∵题意规定增长用正数表示，
∴增长，记为，
增长和下降是一对相反意义的量，
∴下降，应表示为．
故答案为：A
【分析】根据题意规定增长用正数表示，下降用负数表示，则下降，应表示为．
2．中国华润大厦，因其独特的建筑造型而得名“春笋”——既似雨后破土、节节攀升的春笋，又如蓄势待发、线条凌厉的子弹头，成为深圳城市天际线中极具辨识度的标志．如图所示，“春笋”的主视图为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由图可知，主视图为：
故答案为：A
【分析】“春笋”的主视图为
3．中国华润大厦的总建筑面积约270000平方米，用科学记数法表示270000是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：270000用科学记数法表示为
故答案为：C
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
4．某年春晚舞台上十二花神节目火速出圈，展现了四季轮转、生生不息、以花喻人的东方文化．其中十二花神依次亮相，分别对应：梅花、杏花、桃花、牡丹、石榴、荷花、蜀葵、桂花、菊花、芙蓉、山茶、水仙．主持人随机从中抽取1位进行互动采访，抽到“梅花”花神的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵共有12位花神，
∴共有12种可能，
∵抽中“梅花”花神有1种可能，
∴．
故答案为：A
【分析】共有12位花神，共有12种可能，抽中“梅花”花神有1种可能，则抽到“梅花”花神的概率是.
5．如图，已知A、B、C、D四个点均在格点上，则的值是（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；求正弦值；在网格中求锐角三角函数值
【解析】【解答】解：如图所示：
依题意，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
故答案为：D
【分析】由网格得，则是等腰直角三角形，即 .
6．我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺；问长木多少尺？如果设木条长为x尺，绳子长为y尺，则下面所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设木条长x尺，绳子长y尺，
那么可列方程组为：
，
故答案为：A.
【分析】设木条长x尺，绳子长y尺，根据：绳长=木条+4.5；绳长=木条-1，列出方程组即可.
7．如图，，分别切于点A，B，若，的长为，则的半径为（　　）
A．10 B．15 C．20 D．30
【答案】B
【知识点】切线的性质；弧长的计算；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵，分别切于点A，B，
∴，
∵，且，
∴，
∵的长为，
∴，
解得：．
故答案为：B
【分析】连接，
，分别切于点A，B，得，由，且，得，，解得r=15．
8．新定义：对于二次函数A和B，若A的顶点坐标在B的顶点坐标上方，则A是B的“仰顶函数”，例如：函数是函数的“仰顶函数”．若无论m取任何实数，函数都是函数的“仰顶函数”，则n的取值范围（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；列不等式
【解析】【解答】解：∵，
∴顶点坐标为；
∵，
∴顶点坐标为，
根据新定义可知，
∴，
∵无论m取任何实数，不等式恒成立，
∴．
故答案为：A
【分析】由，得顶点坐标为，，顶点坐标为，根据新定义可知，，解得．．
9．比较大小：3　 　（在、、、、中选一个填空）．
【答案】
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：用平方法比较两个正数的大小：
，
，
．
【分析】由3>0，>0，则32=9，所以3>
10．如图，，，且，则AC的长为　 　．
【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：，，
，
∵
∴，
解得：．
故答案为：
【分析】由，， 得，则，解得：.
11．在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第二、三、四象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式：　 　．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限，
∴，，
∴符合该条件的一次函数的表达式为，
故答案为：．
【分析】由一次函数的图象经过第二、三、四象限，得，，则（答案不唯一）
12．如图，过原点的直线和反比例函数相交于、，延长至，使得点是中点，过作轴于，交反比例函数第一象限图象于，连接，若的面积为，则　 　．
【答案】6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：如下图所示，过点作于点，过点作于点，
设点的坐标为，则点的坐标为，
点是中点，设点的坐标为，
可得：，
解得：，
点的坐标为，
点的横坐标为，
，
，，
，
的面积为，
，
解得：．
故答案为：6.
【分析】过点作于点，过点作于点，设点为，则点，可得：，得点的坐标为，则点的横坐标为，，得，， ，得，解得=6．
13．矩形中，E是对角线上一点，且，F是上一点，若，连接，过点E作交的延长线于G，则　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理的应用；矩形的判定与性质；线段的比；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，
，
即，
∵四边形是矩形，
∴，四边形为矩形，
则，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴设，则在中，，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
则，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
则，
∴．
【分析】如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，
，
得，四边形为矩形，则，设，则在中，，得，，，则，，则，．
14．按要求完成下列各题：
（1）解方程：
（2）计算：
【答案】（1）解：或
∴，．
（2）解：原式
．

【知识点】因式分解法解一元二次方程；求有理数的绝对值的方法；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）由因式分解法解或，则，；
（2）分别计算，再计算加减法得；
（1）解：
或
∴，．
（2）解：原式
．
15．在化简时，两位同学分别写出如下第一步运算步骤：
小深：原式
小圳：原式
（1）小深解法第一步的依据是______，小圳解法第一步的依据是______．
A．等式的基本性质 B．分式的基本性质 C．乘法结合律 D．乘法分配律
（2）请你从小深和小圳的两种解法中选择一种解法，接着写出完整的解答过程，并从“3，，1，”中选一个合适的数作为x的值，代入求该分式的值．
【答案】（1）小深解法第一步的依据是B，小圳解法第一步的依据是D
（2）小深：解：原式
；
∵，
∴，
原式；
小圳：
解：原式
；
∵，
∴，
原式．
【知识点】分式的通分；分式的加减法；分式的化简求值；分式的乘法
【解析】【解答】（1）解：由题意得：小深解法第一步的依据是分式的基本性质；小圳解法第一步的依据是乘法分配律；【分析】（1）根据分式的性质及乘法分配律， 小深解法第一步的依据是分式的基本性质；小圳解法第一步的依据是乘法分配律；
（2）先对分式进行化简，然后再代值求解小深：解：原式，，则原式；
小圳：解：原式；，，原式．
（1）解：由题意得：小深解法第一步的依据是分式的基本性质；小圳解法第一步的依据是乘法分配律；
（2）解：小深：
解：原式
；
∵，
∴，
原式；
小圳：
解：原式
；
∵，
∴，
原式．
16．在2026年世界互联网大会亚太峰会的影响下，某校组织八、九年级开展“数智赋能创新发展”主题宣传活动．老师从八、九两个年级中各抽取20名学生的“网络安全与数字素养”测试成绩进行整理，成绩分为A、B、C、D四个等级，其中90分及以上为优秀，并获称“数智赋能先锋个人”．
【数据整理】抽取学生的成绩分为如下四个等级：
等级 A B C D
成绩
八年级B、C等级同学的成绩分别为：86，88，89，89，92，92，93，94，94；
九年级C等级同学的成绩分别为：89，89，88，88，88，87，86．
【数据分析】八、九年级抽取学生的测试成绩统计表如表：
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
八年级 88 a 95 40%
九年级 88 88 88 35%
【回答问题】
（1）扇形图中______，表格中______，并补全条形统计图．
（2）若该校八年级学生有640人，九年级学生有520人，请估算该校八九年级获评“数智赋能先锋个人”的学生共有多少人？
（3）某小组四位同学的测试成绩等级分别是A、B、C、D，准备从中抽取两人参加宣讲活动，求两人恰好抽到“C”和“D”等级同学的概率．
【答案】（1）35；88.5
（2）解：八年级：（人）九年级：（人）
该校八九年级获评“数智赋能先锋个人”的学生共有人．
（3）解：方法一，列表法：
A B C D
A
B
C
D
一共有12种等可能结果，恰好抽到“C”和“D”等级同学有2种结果，
P（恰好抽到“C”和“D”等级同学），
方法二，树状图法：
一共有12种等可能结果，恰好抽到“C”和“D”等级同学有2种结果，
P（恰好抽到“C”和“D”等级同学）．
【知识点】条形统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：∵九年级抽取学生，C等级同学共人，
∴C等级同学的占比为，
∴；
∵中位数是从小到大依次排列最中间的数，
20位同学的最中间的两位同学的成绩为，
∴中位数；
八年级共抽取20位同学，A等级同学3人，B等级同学5人，C等级同学4人，
则D等级同学人，
∴作图如下：
【分析】（1）C等级同学的占比为；20位同学的最中间的两位同学的成绩为，中位数；
（2）根据“某部分的数量=总量×该部分在样本中的占比”即：八年级：（人）九年级：（人）；
（3）画树状图或列表法列举所有可能结果，得一共有12种等可能结果，恰好抽到“C”和“D”等级同学有2种结果，
P（恰好抽到“C”和“D”等级同学），
（1）解：∵九年级抽取学生，C等级同学共人，
∴C等级同学的占比为，
∴；
∵中位数是从小到大依次排列最中间的数，
20位同学的最中间的两位同学的成绩为，
∴中位数；
八年级共抽取20位同学，A等级同学3人，B等级同学5人，C等级同学4人，
则D等级同学人，
∴作图如下：
（2）解：八年级：（人）
九年级：（人）
该校八九年级获评“数智赋能先锋个人”的学生共有人．
（3）解：方法一，列表法：
A B C D
A
B
C
D
一共有12种等可能结果，恰好抽到“C”和“D”等级同学有2种结果，
P（恰好抽到“C”和“D”等级同学），
方法二，树状图法：
一共有12种等可能结果，恰好抽到“C”和“D”等级同学有2种结果，
P（恰好抽到“C”和“D”等级同学）．
17．如图1所示：中，，，以为直径画交于D．
（1）求；
（2）过点C作，利用圆规和无刻度直尺在图2作切线交于F，保留作图痕迹，不用写出作法和理由；
（3）在（2）的基础上，连接，交于点G，若，求的长．
【答案】（1）解：∵是直径，∴，
∵在中，，
∴设，，
∴，
∵，
∴，
∵在中，
∴，
（2）解：如图，直线即为所求；
理由：由作图得，即，
∵，
∴，
∴，即，
∵是的半径，
∴是的切线；
（3）解：连，
由（1）可得，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理的应用；切线的性质；切线的判定；已知正切值求边长；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）由是直径，得，，设，，由勾股定理得，由得，在中，得；
（2）过点作的垂线即可得出结论如图，直线即为所求；
理由：由作图得，即，，，即，是的切线；
（3）解：连，
由（1）可得，得，，，，在中，由勾股定理得，由，得．
（1）解：∵是直径，
∴，
∵在中，，
∴设，，
∴，
∵，
∴，
∵在中，
∴，
（2）解：如图，直线即为所求；
理由：由作图得，即，
∵，
∴，
∴，即，
∵是的半径，
∴是的切线；
（3）解：连，
由（1）可得，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．为了共建安全有序的城市交通环境，深圳市全面推行骑行电动车佩戴安全头盔的管理规定．某商店准备购进甲、乙两种型号的头盔，已知一个甲种头盔进价比一个乙种头盔贵15元，用180元购进甲种头盔的数量与用120元购进乙种头盔的数量相同．
（1）求甲、乙两种型号头盔的进货单价；
（2）调查发现：某商家甲种头盔售价为60元/个．设甲种头盔降价t元，销售量为个，甲种头盔总利润为y元．
①则y与t的函数关系式为__________；
②当降价多少元时，甲种头盔总利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设乙种头盔进货单价为x元/个，甲种头盔的进货单价是元/个则，
解得，经检验是原方程的解，
∴甲种头盔进货单价为元/个，乙种头盔进货单价为30元/个．
答：甲种头盔进货单价为元/个，乙种头盔进货单价为30元/个．
（2）①
②方法1：令
则，，
（），
∵开口向下，∴当时，元
答：当降价2.5元时，甲种头盔总利润最大是1562.5元．
方法2：，
∵，开口向下，
∴在顶点处取得最大值，
∴当时，.元
答：当降价2.5元时，甲种头盔总利润最大是1562.5元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（2）①解：总利润（售价进价）数量
∴，
即或．
【分析】（1）设乙种头盔进货单价为x元/个，甲种头盔的进货单价是元/个，则解得，经检验是原方程的解，；
（2）①“总利润（售价进价）数量”以及二次函数，即或．
②令则，，（），当时，元，即当降价2.5元时，甲种头盔总利润最大是1562.5元.
（1）解：设乙种头盔进货单价为x元/个，甲种头盔的进货单价是元/个
则，
解得，经检验是原方程的解，
∴甲种头盔进货单价为元/个，乙种头盔进货单价为30元/个．
答：甲种头盔进货单价为元/个，乙种头盔进货单价为30元/个．
（2）①解：总利润（售价进价）数量
∴，
即或．
②方法1：令
则，，
（），
∵开口向下，∴当时，元
答：当降价2.5元时，甲种头盔总利润最大是1562.5元．
方法2：，
∵，开口向下，
∴在顶点处取得最大值，
∴当时，.元
答：当降价2.5元时，甲种头盔总利润最大是1562.5元．
19．【综合实践】
【背景】日常出行离不开公共交通，面对公共交通种类日益丰富，乘坐公交车的人逐渐减少，公交车运营面临亏损，某校数学小组调查了某公交车线路的运营情况．
【材料一】图（a）是某公共汽车线路的收支差额y（票总价收入减去运营成本）与乘客量x的函数图象，该路线的票价为2元/人．
【材料二】为了扭亏有关部门举行提高票价的听证会．
乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，从而实现扭亏．
公交公司认为：运营成本难以下降，公司已经尽力，每张票需提高票价才能扭亏．
根据两种意见，可以把图（a）分别改画成图（b）和图（c）．
【问题解决】
（1）根据图中信息填空：
①写出图（a）的函数解析式：__________；
②由图（a）可知，乘客量达到______万人时，该公交路线才不会亏损，公交公司的运营成本是______万元；
③你认为上述三个图象中，反映乘客代表意见的是图______．
（2）若同时采用乘客代表（成本降低m万元，）和公交公司（票价提高n元，）的方案．设收支平衡时（即公交公司的票价总收入=公交公司的运营成本）的乘客量为（万人），则m，n，满足的数量关系为__________．
（3）若与n满足函数关系，且当时，；当时，，
①求a，b的值；
②在（2）的方案下，当时，则m的取值范围是__________．
【答案】（1）①；②0.5，1；③c
（2）
（3）解：①把，和，分别代入，得：
，
解得；
②
【知识点】解一元一次不等式组；待定系数法求一次函数解析式；加减消元法解二元一次方程组；一次函数的实际应用-销售问题；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：①图（a）是一次函数，故设一次函数解析式为，
由图可知：直线过和，
把和代入得：
，
解得：，
所以，一次函数解析式为：；
②由不亏损得，
∴，
解得，
∴当时不亏损；
令，则，即乘客量为0时，运营成本是1万元；
所以，乘客量达到0.5万人时不亏损；运营成本是1万元；
③乘客代表通常希望降低成本、不提高票价，对应图象应是票价不变、成本降低，符合图(c)的特征；公交公司希望提高票价、不降低成本，对应票价提高、运营成本不变，符合图(b)；图(a)是原方案．所以反映乘客代表意见的是图(c)．
（2）解：根据题意得，成本降低m万元，票价提高n元，则新函数解析式为，
由收支平衡得，即，
整理得：；
（3）解：②∵，
∴，
又，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
解得；
∴；
解得，
∴，
∴，
综上，的取值范围为．
【分析】（1）①
故设一次函数解析式为，
由图可知：直线过和，把和代入得：解得：，即
②根据不亏损得，，，知当时不亏损，令，则，即乘客量为0时，运营成本是1万元；
③乘客代表通常希望降低成本、不提高票价，对应图象应是票价不变、成本降低，符合图(c)的特征；
（2）根据成本降低m万元，票价提高n元得新函数，由收支平衡得，即，得；
（3）①分别代入的值，得a=0，b=2；
②由和得，得，由得，解得，由，，的取值范围为．
（1）解：①图（a）是一次函数，故设一次函数解析式为，
由图可知：直线过和，
把和代入得：
，
解得：，
所以，一次函数解析式为：；
②由不亏损得，
∴，
解得，
∴当时不亏损；
令，则，即乘客量为0时，运营成本是1万元；
所以，乘客量达到0.5万人时不亏损；运营成本是1万元；
③乘客代表通常希望降低成本、不提高票价，对应图象应是票价不变、成本降低，符合图(c)的特征；公交公司希望提高票价、不降低成本，对应票价提高、运营成本不变，符合图(b)；图(a)是原方案．所以反映乘客代表意见的是图(c)．
（2）解：根据题意得，成本降低m万元，票价提高n元，则新函数解析式为，
由收支平衡得，即，
整理得：；
（3）解：①把，和，分别代入，得：
，
解得；
②∵，
∴，
又，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
解：，
∵，
∴，
∴，
解得；
∴；
解，
∴，
∴，
综上，的取值范围为．
20．【问题情境】数学兴趣小组以矩形纸片为基本图形，探索几何图形折叠变化中的数学问题，其中，．
【特例探究】
（1）如图1：小坪对矩形进行折叠，使得和重合，折痕分别交和于、，点的对应点是，连接．
①根据轴对称性质：
对应点的连线被对称轴垂直且平分
是的垂直平分线
②请探究和的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】
（2）①如图2：小山沿着过点的直线折叠，使得点的对应点恰好在的延长线上，折痕交于，点的对应点为，求线段的长．
②小深沿着与图中平行的直线折叠矩形，折痕分别交、于、，点和点的对应点分别是和．请你借助图分析，当是等腰三角形时，直接写出折痕的长度．
【答案】(1) ① ；
解：②∵四边形是矩形
，
沿折叠后与重合，
∴，；；，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
见解析
(2)解：①∵沿折叠后落在的延长线处∴ ，，且，
∵四边形是矩形，
，
又在中，，由勾股定理可知，
；
；
在中，；
；
，
②，，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】（1）解：①根据轴对称性质：
对应点的连线被对称轴垂直且平分
是的垂直平分线
（2）解：②折痕的长度为，，；
折叠过程中，延长、相交于，则四边形为矩形，
根据折叠可得，垂直平分，，
，，，四点共线，，
情形一：当时，在中，；，
∵
由①可得：，
∴
情形二：时，过点作交于点，
∴，
由①可得
∴，
∴； 则
∴
情形三：，则
∴
综上所述，当是等腰三角形时，折痕的长度为，，．
【分析】（1）①根据垂直平分线的性质，得EF是的垂直平分线；
②，四边形是矩形，得，
沿折叠后与重合，
，；；，，，即．
（2）①根据折叠得，，且，
解，勾股定理得，，在，得，=9， ；．
②根据折叠可得，垂直平分，，分三种情况讨论，，，分别求解即可．情形一：当时，在中，；，
由①得：
情形二：时，过点作交于点，
，①得，； 则
情形三：，则
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