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广东深圳市龙华区2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题
1．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：解不等式，可得，即集合，
集合，则.
故答案为：B.
【分析】先解不等式求得集合M，再根据集合交集的定义求解即可.
2．复数的共轭复数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：，则该复数的共轭复数为.故答案为：D.
【分析】先利用复数代数形式的乘除运算化简复数，再根据共轭复数的定义求解即可.
3．已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（　　）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、若，，则可以平行或相交或异面，故A错误；
B、若，，则或或，故B错误；
C、若，，则或，故C错误；
D、若，，则，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据空间中线线、线面的位置关系判断即可.
4．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的面积为（　　）
A． B．12 C． D．6
【答案】A
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：由题可得，原平面图形为直角梯形，其中，，，
因为，，所以，所以，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据斜二测画法还原原平面图形，并计算原平面图形的边长，再根据梯形面积公式求解即可.
5．已知的内角、、的对边分别为、、，且，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：中，，，
由正弦定理得，解得，
由题意可知，则，即为锐角，则.
故答案为：C.
【分析】由，，利用正弦定理求得的值，根据三角形中边的大小分析可知为锐角，最后利用同角三角函数的基本关系求解即可.
6．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素．如图，该几何体是一个棱长为的正八面体，则此正八面体的体积与表面积的数值之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】棱锥的结构特征；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：连接，相交于点，如图所示：
易知四边形为正方形，则平面，
由正八面体的性质可知，，则，，
则体积，
表面积，
即.
故答案为：A.
【分析】连接，相交于点，利用四棱锥体积、表面积公式求解即可.
7．菱形的边长为，为的中点，为的中点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：连接，
则，，
，，，；
因为为的中点，为的中点，所以；
则.
故答案为：D.
【分析】连接，根据向量的运算法则，结合向量的数量积定义求解即可.
8．定义域为的函数满足，且当时，，若对任意的都有，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的最大（小）值；函数的图象；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：因为函数的定义域为，满足，所以，
且当时，，
当，时，，
则，
当，时，，
则，
当，时，，
则，
作出函数的大致图象，如图所示：
对任意，都有，设的最大值为，
则，所以，解得或，
由图可知：m的最大值为，即的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】由题意，令，可得，根据时，，作出函数的大致图象，数形结合求解即可.
9．已知向量，，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．在方向上的投影向量为
C．
D．与垂直的单位向量为
【答案】A,C
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的投影向量；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，
A、，故A正确；
B、，
则在方向上的投影向量，故B错误；
C、，因此，故C正确；
D、与向量垂直的一个向量为，
因此与垂直的单位向量为，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据向量的坐标运算即可判断A；根据投影向量的定义求解即可判断B；根据向量的坐标运算以及向量模的坐标运算求解即可判断C；根据向量垂直以及单位向量的定义即可判断D.
10．已知复数，，且，则下列命题一定成立的有（　　）
A．若，则 B．若，则是实数
C．若，则是纯虚数 D．
【答案】A,B,C
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：设复数，，则，，
A、，
若，则，，
则，即，故A正确；
B、若，即，则，所以为实数，故B正确；
C、设，则．
又，所以，，所以是纯虚数，故C正确；
D、②，，与②式不同，故D不一定成立.
故答案为：ABC．
【分析】设复数，，根据共轭复数的定义求其对应的共轭复数，再根据复数的模长，结合复数代数形式的加法运算，以及复数相等求解即可判断A；根据复数相等，结合复数的概念即可判断B；根据复数的乘法运算，结合复数的概念即可判断CD.
11．如下图，在正三棱柱中，，D是棱上任一点，且不与点C重合，则下列正确的是（　　）
A．若D是棱中点，则三棱锥的体积为
B．三棱锥体积为定值
C．周长的最小值为
D．棱AB上总存在点E，使得直线平面
【答案】A,B,D
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、因为D是棱中点，，所以，
是正三角形，，，
，
三棱锥的体积为，故A正确；
B、，到平面的距离等于到平面的距离，
取的中点，连接，是正三角形，，
又平面，平面，，
，平面，是到平面的距离，
是正三角形，，，
，
，
故三棱锥体积为定值，故B正确；
C、侧面展开图为：
由侧面展开图可得，
在正三棱柱中，
则的周长为，
故周长的最小值为，故C错误；
D、 在上取一点，使得，则，
当时，四边形是平行四边形，
故，平面，平面，则平面，故D正确.
【分析】 若D是棱中点，先求，再利用等体积法，结合棱锥的体积公式求解即可判断A；
由，可得到平面的距离等于到平面的距离，取的中点，连接，
，由题意，根据线面垂直的判定推出平面，即是到平面的距离，求出是到平面的距离，由是正三角形求出的长度，求出，则，利用棱锥的体积公式求解即可判断B；借助侧面展开图求出，在正三棱柱中的长度，从而得到周长的最小值即可判断C；在上取一点，使得，则四边形是平行四边形，得到，利用线面平行的判定定理证明直线平面 即可判断D.
12．在中，分别是内角所对的边，若，，，则边　 　．
【答案】
【知识点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：在中，，
由余弦定理得.
故答案为：.
【分析】直接利用余弦定理求解即可.
13．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为　 　．
【答案】74
【知识点】正弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由图可得，
则，
在中，由正弦定理，可得，解得m.
故答案为：74.
【分析】利用正弦定理列方程求鹳雀楼的高度即可.
14．已知正四面体的棱长为 ，现截去四个全等的小正四面体，得到如图的八面体，若这个八面体能放进半径为 的球形容器中，则截去的小正四面体的棱长最小值为　 　.
【答案】
【知识点】棱锥的结构特征；球内接多面体
【解析】【解答】解：如图，正四面体在点截去小正四面体，
取中点，连接，过点作⊥平面，则在上，且⊥平面，垂足为，连接，则为正的中心，
大正四面体的外接球球心在高上，设为，连接，则，
因为大正四面体的棱长为，故，解得，
由勾股定理得，
在中，，即，解得，
则大正四面体的外接球半径为6，
若这个八面体的外接球半径为，则截去的小正四面体的棱长最小，
由对称性可知，这个八面体的外接球的球心与正四面体的外接球球心重合，连接，
则，
设截去的小正四面体的棱长为，则，即，
则，故，故高，
所以，
在中，，即，
解得或，
，不合要求，舍去，符合要求，
截去的小正四面体的棱长最小值为.
故答案为：.
【分析】本题考查正四面体的性质与外接球问题，核心是先求出原正四面体的外接球半径，再根据容器半径列出方程，求解截去的小正四面体棱长的最小值。
15．在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为、，已知向量，向量，向量，，且，．
（1）求x与y的值；
（2）若向量，向量，求向量，的夹角的大小．
【答案】（1）解：由题意知，，
因为，所以，解得，
由，可得，解得；
（2）解：由（1）得，
若，则，
因为，所以，
设与的夹角为，.
则，
因为，所以.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）根据向量平行和垂直的坐标表示列式求解即可；
（2）由（1）得，根据向量的坐标运算，结合向量夹角公式求解即可.
（1）由题意知，.
∵，∴，解得.
∵，∴，解得.
（2）由（1）得.
∵，
∴.
∵，
∴.
设与的夹角为，.
则.
∵，
∴.
16．如图，已知圆台的轴截面为等腰梯形，满足，点为（不包括端点）上一点，为线段的中点，
（1）证明：平面；
（2）若圆台的体积为，求圆台的表面积．
【答案】（1）证明：连接，，如图所示：
因为四边形为等腰梯形，所以，
因为，为中点，所以，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又因为为的中点，所以为三角形的中位线，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又因为平面，平面，，所以平面平面，
又因为平面，所以平面；
（2）解：设上底面圆半径为，则，，
上底面圆半径为，则，，
设圆台高为，体积为，
则，解得，
在截面等腰梯形中，过作的垂线，垂足为，如图所示：
则，即圆台母线长，
故圆台的表面积.
【知识点】直线与平面平行的判定；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）连接，，根据梯形的性质以及中位线定理，面面平行的判定先证明平面平面，再根据线面平行的判定定理证明平面即可；
（2）设上底面圆半径为，上底面圆半径为，圆台高为，体积为，由题意，根据圆台体积，求出圆台的高，再求圆台的母线长，最后根据表面积公式求解即可.
（1）
连接，，
因为四边形为等腰梯形，
所以，
因为，为中点，
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面，
又因为为的中点，
所以为三角形的中位线，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面，
又因为平面，平面，，
所以平面平面，
又因为平面，
所以平面.
（2）设上底面圆半径为，则，，
上底面圆半径为，则，，
设圆台高为，体积为，
则，
解得，
在截面等腰梯形中，过作的垂线，垂足为，如图，
则，
所以圆台母线长，
所以圆台的表面积.
17．如图，在中，已知，，，点M在边BC上且，AM与AC边上的中线BN相交于点P．
（1）求中线BN的长；
（2）若，，、，求的值．
【答案】（1）解：易知，
因为是边上的中线，所以为的中点，
所以，，
，
即，
解得，则中线的长为；
（2）解：因为，所以，
因为共线，所以存在实数使得，即①，
又因为三点共线，所以存在实数使得，
所以②，
由不共线，根据平面向量基本定理，①②中的对应系数相等，
可得，解得，
则.
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）以为基向量表示向量，结合向量模长公式、以及向量数量积运算求解的长度即可；
（2），以为基向量表示，再根据、三点共线，利用共线向量定理表示，最后利用平面向量基本定理的系数唯一性列方程求解即可.
（1）由题意得，，
∵是边上的中线，
∴为的中点，
∴，
∴，
∴，
代入已知数值得，
∴，即中线的长为.
（2）∵，
∴，
∵，
∴①，
∵，
∴②，
∵不共线，根据平面向量基本定理，①②中的对应系数相等，
∴，
解得，
∴.
18．已知中，角所对的边分别为，满足．
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的最大值；
（3）若，为线段上一点，满足，求的面积．
【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
整理得：，
即，，
而，故，又因为，所以；
（2）解：，，
由余弦定理，可得，
又因为，当且仅当时，等号成立；
所以，
当且仅当时，等号成立，所以，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以周长，当且仅当时，等号成立，
则周长的最大值为；
（3）解：如图所示：
设，则，
在中，由余弦定理可得：，
在中，由余弦定理可得：，
又因为与互补，所以，所以①，
在中，由余弦定理可得：，
整理得②，由①②可得：，解得，
则.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；解三角形；余弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式化简求解即可；
（2）利用余弦定理，结合基本不等式求解即可；
（3）设，则，在和中，分别利用余弦定理求得，根据与互补，可得①，再在中，利用余弦定理可得②，联立①②，求得，代入三角形面积公式求解即可.
（1）因为，
所以．
整理得：，
即，，
而，故，又因为，所以；
（2），，
由余弦定理可得：，
即，
又因为，当且仅当时，等号成立；
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以周长，当且仅当时，等号成立，
所以周长的最大值为；
（3）如图所示：
设，
则，
在中，由余弦定理可得：
，
在中，由余弦定理可得：
，
又因为与互补，
所以，
所以①，
在中，由余弦定理可得：
，
整理得，②
由①②可得：，
解得，
所以
19．设，．
（1）证明：；
（2）令．
①解关于实数a的不等式：；
②若对于任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）证明：由题意可知，
，
故，即；
（2）解：①、由题意得，定义域为
，为奇函数，
当时，易知单调递增，则在单调递减，
为奇函数，在单调递减，
，，
又有为奇函数，，
在单调递减，由定义域知，
当时，，不等式恒成立；
当时， ， ，解得；
当时， ，此时，与题意矛盾，舍去，
综上：；
②、当，单调递减，则，
，即，
设，则在上恒成立，
当，即时，，解得，；
当，即时，，解得，；
综上，实数的取值范围为．
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；有理数指数幂的运算性质；指数型复合函数的性质及应用；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）先根据函数解析式，根据指数幂的运算性质化简分别求的表达式，即可证明结论；
（2）①、先求函数的定义域，利用奇偶性的定义以及单调性的定义判断函数的奇偶性和单调性，再利用函数的奇偶性以及单调性，结合函数定义域解不等式即可；
②、当，单调递减，则，问题转化为在上恒成立，结合二次函数最值分类讨论求解即可．
（1）由题意可知
，
故，即；
（2）①由题意得，定义域为
，为奇函数.
当时，易知单调递增，则在单调递减，
为奇函数，在单调递减，
，
又有为奇函数，
在单调递减，由定义域知
当时，，不等式恒成立；
当时， ， ，解得；
当时， ，此时，与题意矛盾，舍去.
综上：
②当，单调递减，则，
，即
设，则在上恒成立，
当，即时，，解得，；
当，即时，，解得，；
综上，实数的取值范围为．
1 / 1广东深圳市龙华区2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题
1．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．复数的共轭复数是（　　）
A． B． C． D．
3．已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（　　）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
4．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的面积为（　　）
A． B．12 C． D．6
5．已知的内角、、的对边分别为、、，且，，则（　　）
A． B． C． D．
6．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素．如图，该几何体是一个棱长为的正八面体，则此正八面体的体积与表面积的数值之比为（　　）
A． B． C． D．
7．菱形的边长为，为的中点，为的中点，则（　　）
A． B． C． D．
8．定义域为的函数满足，且当时，，若对任意的都有，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．已知向量，，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．在方向上的投影向量为
C．
D．与垂直的单位向量为
10．已知复数，，且，则下列命题一定成立的有（　　）
A．若，则 B．若，则是实数
C．若，则是纯虚数 D．
11．如下图，在正三棱柱中，，D是棱上任一点，且不与点C重合，则下列正确的是（　　）
A．若D是棱中点，则三棱锥的体积为
B．三棱锥体积为定值
C．周长的最小值为
D．棱AB上总存在点E，使得直线平面
12．在中，分别是内角所对的边，若，，，则边　 　．
13．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为　 　．
14．已知正四面体的棱长为 ，现截去四个全等的小正四面体，得到如图的八面体，若这个八面体能放进半径为 的球形容器中，则截去的小正四面体的棱长最小值为　 　.
15．在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为、，已知向量，向量，向量，，且，．
（1）求x与y的值；
（2）若向量，向量，求向量，的夹角的大小．
16．如图，已知圆台的轴截面为等腰梯形，满足，点为（不包括端点）上一点，为线段的中点，
（1）证明：平面；
（2）若圆台的体积为，求圆台的表面积．
17．如图，在中，已知，，，点M在边BC上且，AM与AC边上的中线BN相交于点P．
（1）求中线BN的长；
（2）若，，、，求的值．
18．已知中，角所对的边分别为，满足．
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的最大值；
（3）若，为线段上一点，满足，求的面积．
19．设，．
（1）证明：；
（2）令．
①解关于实数a的不等式：；
②若对于任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：解不等式，可得，即集合，
集合，则.
故答案为：B.
【分析】先解不等式求得集合M，再根据集合交集的定义求解即可.
2．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：，则该复数的共轭复数为.故答案为：D.
【分析】先利用复数代数形式的乘除运算化简复数，再根据共轭复数的定义求解即可.
3．【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、若，，则可以平行或相交或异面，故A错误；
B、若，，则或或，故B错误；
C、若，，则或，故C错误；
D、若，，则，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据空间中线线、线面的位置关系判断即可.
4．【答案】A
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：由题可得，原平面图形为直角梯形，其中，，，
因为，，所以，所以，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据斜二测画法还原原平面图形，并计算原平面图形的边长，再根据梯形面积公式求解即可.
5．【答案】C
【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：中，，，
由正弦定理得，解得，
由题意可知，则，即为锐角，则.
故答案为：C.
【分析】由，，利用正弦定理求得的值，根据三角形中边的大小分析可知为锐角，最后利用同角三角函数的基本关系求解即可.
6．【答案】A
【知识点】棱锥的结构特征；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：连接，相交于点，如图所示：
易知四边形为正方形，则平面，
由正八面体的性质可知，，则，，
则体积，
表面积，
即.
故答案为：A.
【分析】连接，相交于点，利用四棱锥体积、表面积公式求解即可.
7．【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：连接，
则，，
，，，；
因为为的中点，为的中点，所以；
则.
故答案为：D.
【分析】连接，根据向量的运算法则，结合向量的数量积定义求解即可.
8．【答案】A
【知识点】函数的最大（小）值；函数的图象；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：因为函数的定义域为，满足，所以，
且当时，，
当，时，，
则，
当，时，，
则，
当，时，，
则，
作出函数的大致图象，如图所示：
对任意，都有，设的最大值为，
则，所以，解得或，
由图可知：m的最大值为，即的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】由题意，令，可得，根据时，，作出函数的大致图象，数形结合求解即可.
9．【答案】A,C
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的投影向量；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，
A、，故A正确；
B、，
则在方向上的投影向量，故B错误；
C、，因此，故C正确；
D、与向量垂直的一个向量为，
因此与垂直的单位向量为，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据向量的坐标运算即可判断A；根据投影向量的定义求解即可判断B；根据向量的坐标运算以及向量模的坐标运算求解即可判断C；根据向量垂直以及单位向量的定义即可判断D.
10．【答案】A,B,C
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：设复数，，则，，
A、，
若，则，，
则，即，故A正确；
B、若，即，则，所以为实数，故B正确；
C、设，则．
又，所以，，所以是纯虚数，故C正确；
D、②，，与②式不同，故D不一定成立.
故答案为：ABC．
【分析】设复数，，根据共轭复数的定义求其对应的共轭复数，再根据复数的模长，结合复数代数形式的加法运算，以及复数相等求解即可判断A；根据复数相等，结合复数的概念即可判断B；根据复数的乘法运算，结合复数的概念即可判断CD.
11．【答案】A,B,D
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、因为D是棱中点，，所以，
是正三角形，，，
，
三棱锥的体积为，故A正确；
B、，到平面的距离等于到平面的距离，
取的中点，连接，是正三角形，，
又平面，平面，，
，平面，是到平面的距离，
是正三角形，，，
，
，
故三棱锥体积为定值，故B正确；
C、侧面展开图为：
由侧面展开图可得，
在正三棱柱中，
则的周长为，
故周长的最小值为，故C错误；
D、 在上取一点，使得，则，
当时，四边形是平行四边形，
故，平面，平面，则平面，故D正确.
【分析】 若D是棱中点，先求，再利用等体积法，结合棱锥的体积公式求解即可判断A；
由，可得到平面的距离等于到平面的距离，取的中点，连接，
，由题意，根据线面垂直的判定推出平面，即是到平面的距离，求出是到平面的距离，由是正三角形求出的长度，求出，则，利用棱锥的体积公式求解即可判断B；借助侧面展开图求出，在正三棱柱中的长度，从而得到周长的最小值即可判断C；在上取一点，使得，则四边形是平行四边形，得到，利用线面平行的判定定理证明直线平面 即可判断D.
12．【答案】
【知识点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：在中，，
由余弦定理得.
故答案为：.
【分析】直接利用余弦定理求解即可.
13．【答案】74
【知识点】正弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由图可得，
则，
在中，由正弦定理，可得，解得m.
故答案为：74.
【分析】利用正弦定理列方程求鹳雀楼的高度即可.
14．【答案】
【知识点】棱锥的结构特征；球内接多面体
【解析】【解答】解：如图，正四面体在点截去小正四面体，
取中点，连接，过点作⊥平面，则在上，且⊥平面，垂足为，连接，则为正的中心，
大正四面体的外接球球心在高上，设为，连接，则，
因为大正四面体的棱长为，故，解得，
由勾股定理得，
在中，，即，解得，
则大正四面体的外接球半径为6，
若这个八面体的外接球半径为，则截去的小正四面体的棱长最小，
由对称性可知，这个八面体的外接球的球心与正四面体的外接球球心重合，连接，
则，
设截去的小正四面体的棱长为，则，即，
则，故，故高，
所以，
在中，，即，
解得或，
，不合要求，舍去，符合要求，
截去的小正四面体的棱长最小值为.
故答案为：.
【分析】本题考查正四面体的性质与外接球问题，核心是先求出原正四面体的外接球半径，再根据容器半径列出方程，求解截去的小正四面体棱长的最小值。
15．【答案】（1）解：由题意知，，
因为，所以，解得，
由，可得，解得；
（2）解：由（1）得，
若，则，
因为，所以，
设与的夹角为，.
则，
因为，所以.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）根据向量平行和垂直的坐标表示列式求解即可；
（2）由（1）得，根据向量的坐标运算，结合向量夹角公式求解即可.
（1）由题意知，.
∵，∴，解得.
∵，∴，解得.
（2）由（1）得.
∵，
∴.
∵，
∴.
设与的夹角为，.
则.
∵，
∴.
16．【答案】（1）证明：连接，，如图所示：
因为四边形为等腰梯形，所以，
因为，为中点，所以，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又因为为的中点，所以为三角形的中位线，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又因为平面，平面，，所以平面平面，
又因为平面，所以平面；
（2）解：设上底面圆半径为，则，，
上底面圆半径为，则，，
设圆台高为，体积为，
则，解得，
在截面等腰梯形中，过作的垂线，垂足为，如图所示：
则，即圆台母线长，
故圆台的表面积.
【知识点】直线与平面平行的判定；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）连接，，根据梯形的性质以及中位线定理，面面平行的判定先证明平面平面，再根据线面平行的判定定理证明平面即可；
（2）设上底面圆半径为，上底面圆半径为，圆台高为，体积为，由题意，根据圆台体积，求出圆台的高，再求圆台的母线长，最后根据表面积公式求解即可.
（1）
连接，，
因为四边形为等腰梯形，
所以，
因为，为中点，
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面，
又因为为的中点，
所以为三角形的中位线，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面，
又因为平面，平面，，
所以平面平面，
又因为平面，
所以平面.
（2）设上底面圆半径为，则，，
上底面圆半径为，则，，
设圆台高为，体积为，
则，
解得，
在截面等腰梯形中，过作的垂线，垂足为，如图，
则，
所以圆台母线长，
所以圆台的表面积.
17．【答案】（1）解：易知，
因为是边上的中线，所以为的中点，
所以，，
，
即，
解得，则中线的长为；
（2）解：因为，所以，
因为共线，所以存在实数使得，即①，
又因为三点共线，所以存在实数使得，
所以②，
由不共线，根据平面向量基本定理，①②中的对应系数相等，
可得，解得，
则.
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）以为基向量表示向量，结合向量模长公式、以及向量数量积运算求解的长度即可；
（2），以为基向量表示，再根据、三点共线，利用共线向量定理表示，最后利用平面向量基本定理的系数唯一性列方程求解即可.
（1）由题意得，，
∵是边上的中线，
∴为的中点，
∴，
∴，
∴，
代入已知数值得，
∴，即中线的长为.
（2）∵，
∴，
∵，
∴①，
∵，
∴②，
∵不共线，根据平面向量基本定理，①②中的对应系数相等，
∴，
解得，
∴.
18．【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
整理得：，
即，，
而，故，又因为，所以；
（2）解：，，
由余弦定理，可得，
又因为，当且仅当时，等号成立；
所以，
当且仅当时，等号成立，所以，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以周长，当且仅当时，等号成立，
则周长的最大值为；
（3）解：如图所示：
设，则，
在中，由余弦定理可得：，
在中，由余弦定理可得：，
又因为与互补，所以，所以①，
在中，由余弦定理可得：，
整理得②，由①②可得：，解得，
则.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；解三角形；余弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式化简求解即可；
（2）利用余弦定理，结合基本不等式求解即可；
（3）设，则，在和中，分别利用余弦定理求得，根据与互补，可得①，再在中，利用余弦定理可得②，联立①②，求得，代入三角形面积公式求解即可.
（1）因为，
所以．
整理得：，
即，，
而，故，又因为，所以；
（2），，
由余弦定理可得：，
即，
又因为，当且仅当时，等号成立；
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以周长，当且仅当时，等号成立，
所以周长的最大值为；
（3）如图所示：
设，
则，
在中，由余弦定理可得：
，
在中，由余弦定理可得：
，
又因为与互补，
所以，
所以①，
在中，由余弦定理可得：
，
整理得，②
由①②可得：，
解得，
所以
19．【答案】（1）证明：由题意可知，
，
故，即；
（2）解：①、由题意得，定义域为
，为奇函数，
当时，易知单调递增，则在单调递减，
为奇函数，在单调递减，
，，
又有为奇函数，，
在单调递减，由定义域知，
当时，，不等式恒成立；
当时， ， ，解得；
当时， ，此时，与题意矛盾，舍去，
综上：；
②、当，单调递减，则，
，即，
设，则在上恒成立，
当，即时，，解得，；
当，即时，，解得，；
综上，实数的取值范围为．
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；有理数指数幂的运算性质；指数型复合函数的性质及应用；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）先根据函数解析式，根据指数幂的运算性质化简分别求的表达式，即可证明结论；
（2）①、先求函数的定义域，利用奇偶性的定义以及单调性的定义判断函数的奇偶性和单调性，再利用函数的奇偶性以及单调性，结合函数定义域解不等式即可；
②、当，单调递减，则，问题转化为在上恒成立，结合二次函数最值分类讨论求解即可．
（1）由题意可知
，
故，即；
（2）①由题意得，定义域为
，为奇函数.
当时，易知单调递增，则在单调递减，
为奇函数，在单调递减，
，
又有为奇函数，
在单调递减，由定义域知
当时，，不等式恒成立；
当时， ， ，解得；
当时， ，此时，与题意矛盾，舍去.
综上：
②当，单调递减，则，
，即
设，则在上恒成立，
当，即时，，解得，；
当，即时，，解得，；
综上，实数的取值范围为．
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