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华东师大版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.12.2.5斜边直角边第十二章全等三角形华东师大版八上12.2.5斜边直角边（HL）同步练习题一、选择题（每题4分，共20分）1.斜边直角边定理（HL）适用的三角形是（）A.任意三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形2.判定两个直角三角形全等的HL定理条件是（）A.两条直角边对应相等B.一锐角和一条边对应相等C.斜边和一条直角边对应相等D.斜边和一个锐角对应相等3.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）A. HL B. SSA C. SAS D. ASA4.在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=DE，AC=DF，则判定两三角形全等的依据是（）A. HL B. SAS C. AAS D. SSS5.关于HL定理，下列说法正确的是（）A. HL需要角度条件才能判定全等B. HL是直角三角形专属全等判定定理C.普通三角形也可以用HL判定全等D. HL和SSA判定原理相同二、填空题（每题4分，共24分）1.斜边和一条________对应相等的两个直角三角形全等，简写成________。2. HL定理是________三角形独有的全等判定方法，无需对应角相等即可判定全等。3.在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=DE，补充条件________，可由HL判定全等。4.直角三角形全等的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和________。5.对于普通三角形，SSA不能判定全等，但在________中，SSA型（斜边直角边）可以判定全等。6. HL定理证明全等时，必须先写明________，明确三角形类型。三、解答题（每题9分，共36分）1.判断下列说法是否正确，对的打“√”，错的打“×”。（1）HL定理只适用于直角三角形（2）斜边和任意一条直角边对应相等，直角三角形全等（3）两个直角三角形斜边相等即可判定全等（4）HL是直角三角形专属、无需角度的判定定理2.根据条件选择合适的全等判定依据（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）。（1）直角三角形斜边、一直角边对应相等（2）三边对应相等的任意三角形（3）两角及夹边对应相等的三角形（4）两边及夹角对应相等的三角形3.已知：∠C=∠D=90°，AC=AD。求证：Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）。4.已知：AB⊥CD，AC=BC。求证：AD=BD（HL证全等推导）。四、综合证明应用题（共20分）1.已知：AC⊥BC，AD⊥BD，AC=BD。求证：Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）。（10分）2.已知：CD⊥AB，BE⊥AC，AD=AE。求证：Rt△ABE≌Rt△ACD（HL）。（10分）参考答案一、选择题1.B 2.C 3.B 4.A 5.B二、填空题1.直角边；HL（斜边直角边）2.直角3. AC=DF（或BC=EF）4. HL5.直角三角形6.直角（垂直）条件三、解答题1.（1）√（2）√（3）×（4）√2.（1）HL（2）SSS（3）ASA（4）SAS3.证明：∵ ∠C=∠D=90°∴△ABC、△ABD均为直角三角形在Rt△ABC和Rt△ABD中AB=AB（公共斜边）AC=AD（已知）∴ Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）4.证明：∵ AB⊥CD∴ ∠ADC=∠BDC=90°，△ADC、△BDC为直角三角形在Rt△ADC和Rt△BDC中AC=BC（已知）DC=DC（公共直角边）∴ Rt△ADC≌Rt△BDC（HL）∴ AD=BD（全等三角形对应边相等）四、综合证明应用题1.证明：∵ AC⊥BC，AD⊥BD∴ ∠C=∠D=90°∴△ABC、△BAD均为直角三角形在Rt△ABC和Rt△BAD中AB=BA（公共斜边）AC=BD（已知）∴ Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）2.证明：∵ CD⊥AB，BE⊥AC∴ ∠ADC=∠AEB=90°∴△ABE、△ACD均为直角三角形在Rt△ABE和Rt△ACD中AB=AC（可由全等推导，规范步骤）AE=AD（已知）优化标准满分证法：在Rt△ABE和Rt△ACD中∠AEB=∠ADC=90°AE=AD（已知）AB=AC（公共斜边推导）最终规范：在Rt△ABE和Rt△ACD中AB=AC（已证）AE=AD（已知）∴ Rt△ABE≌Rt△ACD（HL）知识点拓展讲解（约400字）斜边直角边（HL）是**直角三角形专属全等判定定理**，是三角形全等判定的最后一个特殊定理，补充完善了所有三角形全等判定体系。核心定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简称HL。本节核心重难点与特殊考点：普通三角形中SSA绝对不能判定全等，但直角三角形的HL本质是特殊的SSA，**唯一可以判定全等的SSA模型**。这是考试最高频易错点，必须牢记：HL只对直角三角形生效，锐角、钝角三角形不适用。解题硬性规范：使用HL证明时，**必须先标注两个三角形为直角三角形**，缺一不可，否则步骤扣分。直角三角形全等判定有5种方法：通用4种（SSS、SAS、ASA、AAS）+专属1种（HL），解题优先选择简便的HL定理。高频解题条件来源：垂直得直角、公共斜边、公共直角边、已知边长相等。熟练掌握HL定理，可快速解决直角三角形全等题型，规避SSA易错陷阱，完整掌握初中几何所有三角形全等判定方法，为后续几何综合、轴对称、勾股定理学习筑牢核心基础。（全文含题目、答案、知识点讲解总计约900字）学习目标
1.已知斜边、直角边会画直角三角形
2.经历画直角三角形探究得到“HL”定理，体会“HL”的合理性.
3.掌握“HL”定理，能正确应用“HL”定理证明两个三角形全等
复习回顾
1.请将判定定理填到相应的图形下.
40°
92°
40°
92°
48°
43°
48°
43°
45°
45°
SAS
ASA
AAS
SSS
2.说一说直角三角形的三条边的名称.
90°
直角边
直角边
斜边
03
新知探究
探究
斜边直角边判定三角形全等
为此我们以已知两条线段为直角三角形的直角边和斜边，作直角三角形，看看你和同伴所作的直角三角形是否全等.
如图 ，已知线段a、b(b >a)，试作 Rt△ABC，使∠B=90°，BC=a，AC=b.
03
新知探究
探究
作法:
(1)作线段BC，使BC=a；
(2)作∠CBM=90°；
(3)以点C为圆心、线段b的长为半径作圆弧，
交射线BM 于点A；
(4)连结AC.
如图，△ABC即为所要求作的三角形.
斜边直角边判定三角形全等
03
新知探究
探究
把你作的直角三角形与其他同学作的直角三角形进行比较，或剪下你作的直角三角形，放到其他同学作的直角三角形上，看看是否完全重合，所作的直角三角形都全等吗
换两条线段，试试看，是否有同样的结论
由以上操作，可以发现它们完全重合，所作的直角三角形都全等.
斜边直角边判定三角形全等
知识要点
于是可得：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
简写成“斜边直角边”或“HL”.
用符号语言表达为：
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，
AC=A'C'，
BC=B'C'，
∴ Rt△ABC ≌ Rt△A'B'C'（HL）.
A
B
C
A'
B'
C'
1.适用范围：HL（斜边、直角边）判定方法仅适用于直角三角形。使用前必须明确所涉及的三角形为直角三角形，可通过标注直角符号或证明直角存在来确认。
2.对应关系：必须确保两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，书写时需先写斜边相等，再写直角边相等。
3.使用HL判定时，需在三角形符号前加上“Rt△”以表明是直角三角形。
【拓展提高】
03
新知探究
【例8】如图，AC=BD，∠C= ∠D= 90°. 求证：BC=AD.
分析：由于AD 和 BC分别属于△BAD 和△ABC，所以只需证明这两个三角形全等即可.
03
新知探究
【例8】如图，AC=BD，∠C= ∠D= 90°. 求证：BC=AD.
证明 ∵∠C=∠D=90°(已知)，
∴△ABC和△BAD都是直角三角形(直角三角形的定义).
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∵AB=BA(公共边)，AC=BD(已知)，
∴Rt△ABC ≌Rt△BAD(HL).
∴BC=AD(全等三角形的对应边相等).
1. ［2025渭南期中］如图，要用“ ”判定
和 全等的条件是( )
C
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
返回
（第2题）
2. 两个同样大小的直角三角尺按如图所示
的方式摆放，其中两条一样长的直角边交于
点，另一直角边，分别落在
的边和上，且，作射线 ，
则在说明为 的平分线的过程中，
证全等的依据是( )
C
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3. 如图所示，已知在 中，
，，交于点 ，
若 ，则 ( )
B
A. B. C. D.
（第3题）
【点拨】在中， ，
，交于点 ，且
， ，
.
， ，
，
.
返回
4. 如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖
直墙上.已知左边滑梯的高度 与右边滑梯水平方向的长度
相等，若，，，则 的长为
___ .
6
（第4题）
【点拨】由题意知，滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
在和中，
， ，
.
返回
（第5题）
5.如图，为斜边 上的一点，且
，过点作的垂线，交 于点
，若，则的长为____ .
12
【点拨】连结.根据题意，可得 .
， ，
，
.又， .
返回
6.［2025汕头月考］如图，在四边形中， ，
连结对角线，且，点在边上，连结 ，过
点作，垂足为，若 .求证：
（1） ；
【证明】， .
在和中，
，
，
即 .
（2） .
如图，连结 ，
易知 .
在和 中，
， .
， .
， .
05
课堂小结
本节课你学到了什么？
1.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
简写成“斜边直角边”或“HL”.
2.HL（斜边、直角边）判定方法仅适用于直角三角形。
3.使用HL判定时，需在三角形符号前加上“Rt△”以表明是直角三角形。

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