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华东师大版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.12.3.2等腰三角形的判定第十二章全等三角形华东师大版八上12.3.2等腰三角形的判定同步练习题一、选择题（每题4分，共20分）1.等腰三角形的判定定理是（）A.等边对等角B.等角对等边C.三线合一D.两角互余2.在△ABC中，∠A=∠B=50°，则可判定（）A. AB=AC B. AC=BC C. AB=BC D.△ABC是等边三角形3.下列条件中，不能判定三角形是等腰三角形的是（）A.有两个内角相等的三角形B.有两条边相等的三角形C.三个内角都相等的三角形D.有一个角为60°的三角形4.在△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，则△ABC是（）A.普通直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.钝角三角形5.下列说法正确的是（）A. “等边对等角”是判定定理B. “等角对等边”是性质定理C.等角对等边可判定等腰三角形D.三个角不等也可能是等腰三角形二、填空题（每题4分，共24分）1.等腰三角形的判定依据：在一个三角形中，如果有两个角相等，那么________，简说成________。2.有________条边相等的三角形是等腰三角形，这是定义法判定。3.在△ABC中，∠A=70°，∠B=70°，则相等的边是________。4.一个三角形若有两个内角为60°，则这个三角形是________三角形。5.等腰三角形的性质是等边对等角，判定是________。6.在△ABC中，∠C=50°，∠A=50°，则△ABC________等腰三角形（填“是”或“不是”）。三、解答题（每题9分，共36分）1.判断下列三角形是否为等腰三角形，并说明理由。（1）△ABC中，∠A=30°，∠B=30°（2）△ABC中，AB=5，BC=5（3）△ABC中，∠A=60°，∠B=50°（4）△ABC中，∠C=45°，∠A=45°2.辨析填空：区分性质与判定。（1）由边相等推出角相等，是等腰三角形的________；（2）由角相等推出边相等，是等腰三角形的________。3.已知：在△ABC中，∠B=∠C。求证：AB=AC。4.已知：AD∥BC，BD平分∠ABC。求证：AB=AD。四、综合证明应用题（共20分）1.已知：在△ABC中，AB=AC，DE∥BC。求证：△ADE是等腰三角形。（10分）2.已知：∠DAC是△ABC的外角，AD平分∠DAC，且AD∥BC。求证：AB=AC。（10分）参考答案一、选择题1.B 2.B 3.D 4.B 5.C二、填空题1.这两个角所对的边相等；等角对等边2.两3. BC、AC4.等边5.等角对等边6.是三、解答题1.解：（1）是，两角相等，等角对等边；（2）是，两边相等，定义判定等腰三角形；（3）不是，三个角互不相等，无边相等；（4）是，两角相等，等角对等边。2.（1）性质（2）判定3.证明：过点A作AD⊥BC于D，在△ABD和△ACD中∠B=∠C（已知）∠ADB=∠ADC=90°（垂直定义）AD=AD（公共边）∴△ABD≌△ACD（AAS）∴ AB=AC（全等三角形对应边相等）4.证明：∵ BD平分∠ABC（已知）∴ ∠ABD=∠DBC（角平分线定义）∵ AD∥BC（已知）∴ ∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等）∴ ∠ABD=∠ADB（等量代换）∴ AB=AD（等角对等边）四、综合证明应用题1.证明：∵ AB=AC（已知）∴ ∠B=∠C（等边对等角）∵ DE∥BC（已知）∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）∴ ∠ADE=∠AED（等量代换）∴ AD=AE（等角对等边）∴△ADE是等腰三角形2.证明：∵ AD平分∠DAC（已知）∴ ∠DAD=∠CAD（角平分线定义）∵ AD∥BC（已知）∴ ∠DAB=∠B，∠CAD=∠C（两直线平行，同位角相等）∴ ∠B=∠C（等量代换）∴ AB=AC（等角对等边）知识点拓展讲解（约400字）本节等腰三角形的判定是上一节性质的逆定理，是考试高频辨析考点，也是几何证明中证明线段相等的核心方法。核心判定方法有两种：一是定义法，有两条边相等的三角形是等腰三角形；二是判定定理，等角对等边，即三角形中有两个角相等，则这两个角对的边相等，三角形为等腰三角形。本节最核心易错点：严格区分性质与判定。性质：边相等→角相等（等边对等角）；判定：角相等→边相等（等角对等边），二者互为逆命题，做题不可混用，书写证明必须对应准确。高频解题模型：平行线+角平分线模型，可快速推导等角，进而判定等腰三角形，是中考经典基础模型。解题常用思路：先找等角，再用等角对等边证边相等，最终判定等腰三角形。熟练掌握本节内容，可完整掌握等腰三角形的所有考点，实现边角互推，为后续等边三角形的判定、几何综合证明、线段求值题型打下坚实基础。学习目标
1.能用所学的知识证明等腰三角形的判定定理与等边
三角形的判定定理.(重点)
2.能用等腰三角形性质定理与判定定理
3.等边三角形的性质定理与判定定理解决有关问题.(难点)
复习回顾
等腰三角形的性质：
A
B
C
1.等腰三角形的两个底角相等.
简写成“等边对等角”.
2.等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合.
简写成“等腰三角形的三线合一”.
思考：对于一个三角形，要怎样来判定它是不是等腰三角形呢？除了定义法，还有没有其他的判定方法
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新知探究
探究
探究等腰三角形的判定
【探索】我们知道，等腰三角形的两个底角相等.
反过来，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它是等腰三角形吗
你能试着画一画吗？
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新知探究
探究
探究等腰三角形的判定
【画一画】在纸上任意画线段BC，分别以点B和点C为顶点，以BC为一边，在BC的同侧画两个相等的角，两角的另一边相交于点A.
B
C
A
量一量，线段AB与AC相等吗？其他同学的结果与你的相同吗 你发现了什么
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新知探究
探究
探究等腰三角形的判定
【猜想】如果一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.
B
C
A
你能证明这个猜想吗？
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新知探究
探究
探究等腰三角形的判定
已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C.
求证：AB=AC.
分析：要证明AB=AC，可设法构造两个全等三角形，使AB、AC分别是这两个全等三角形的对应边，于是想到作∠BAC的平分线AD.
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新知探究
探究
探究等腰三角形的判定
已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C.
求证：AB=AC.
证明：如图，作∠BAC的平分线AD.
在△BAD和△CAD 中，
∵∠B=∠C，∠1=∠2，AD=AD，∴△BAD≌△CAD( AAS ).
∴AB=AC( 全等三角形的对应边相等 ) .
知识要点
我们可以发现，如果一个三角形中有两个角相等，那么它就是等腰三角形.
即有两个角相等的三角形是等腰三角形 .简写成“等角对等边”.
数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C， (已知)
∴ AC=AB. (等角对等边)
即△ABC为等腰三角形.
B
C
A
(
(
【拓展提高】如图，下列推理正确吗
A
B
C
D
2
1
∵ ∠1=∠2 ,
∴ BD=DC（等角对等边）.
A
B
C
D
2
1
∵∠1=∠2，
∴ DC=BC（等角对等边）.
“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．
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新知探究
探究
探究等腰三角形的判定
【例4】如图，在△ABC中，已知∠A= 40°，∠B= 70°.
求证：AB=AC.
证明：∠A+∠B+ ∠C=180°(三角形的内角和等于180°)
∠A=40°，∠B=70°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-40°-70°=70°.
∴∠C=∠B.
∴AB=AC(等角对等边).
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新知探究
探究
探究等边三角形的判定
由上述等腰三角形的判定定理，我们还可以得到等边三角形的两个判定定理：
三个角都相等的三角形是等边三角形；
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
你能证明这两
个定理吗？
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新知探究
探究
探究等边三角形的判定
证明：三个角都相等的三角形是等边三角形．
已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C．
求证：△ABC是等边三角形．
A
C
B
证明：∵∠A=∠B， ∴BC=AC，
又∵∠A=∠C，∴BC=AB，
∴AB=BC=CA，即△ABC是等边三角形．
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新知探究
探究
探究等边三角形的判定
证明：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°．
求证：△ABC是等边三角形．
A
C
B
证明: ∵AB=AC，∠B=60°，
∴∠C=∠B=60°，∴∠A=180°-∠C-∠B=60°，
∴∠A=∠B =∠C=60°．
∴△ABC是等边三角形.
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新知探究
【例5】如图，AB∥CD，∠1= ∠2. 求证：AB =AC.
证明：AB∥CD，
∴∠B=∠2(两直线平行，同位角相等).
又∵∠1=∠2，∴∠B=∠1.
∴AB=AC(等角对等边).
【分析】要证AB=AC，可以设法证明∠B=∠1，而∠1=∠2，因此只要证明∠B=∠2.
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新知探究
【例6】如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠ACB =∠A'C'B'=90°,
AB =A'B', AC =A'C'.
求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.
证明：由于直角边AC=A'C'，我们通过平移和轴对称，改变Rt△ABC的位置，使点A与点A'、点C与点C'重合，且使点B与点B'分别位于A'C'的两侧，如图所示.
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新知探究
∵∠A'C'B= ∠A'C'B'= 90°. ∴∠B'C'B = ∠A'C'B'+ ∠A'C'B= 180°,
即点B'、C'、B在同一条直线上.
在△A'B'B 中，∵A'B'=AB =A'B，∴∠B=∠B'(等边对等角).
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，
∵∠B=∠B'，∠ACB = ∠A'C'B', AC =A'C',
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(AAS).
1. ［2024泰安］如图，直线，等边三角形 的两个顶
点，分别落在直线，上，若 ，则 的
度数是( )
A. B. C. D.
√
返回
（第2题）
2. 如图，是等边三角形 的边
上的高，以点为圆心， 长为半
径作弧交的延长线于点 ，则
( )
A. B. C. D.
√
返回
（第3题）
3. 如图，等边三角形中，是 上
的高， ，图中与
相等的线段有( )
A. 5条 B. 6条 C. 7条 D. 8条
√
【点拨】如图，连结.由题意可得,, ,
都是全等的等边三角形，
,即图中与
相等的线段有7条，故选C.
返回
4.［2025绍兴诸暨期中］如图，是等边三角形， 是
边上的中线，点在上，且，则 的度数
为______.
（第4题）
（第4题）
【点拨】 是等边三角形，
.是 边上的中线，
， ，
， .
， ，
，
，.
（第4题）
返回
（第5题）
5.如图，已知等边三角形 的高为
，为内一点， 于点
，于点，于点 ，则
______.
【点拨】连结，，，作 边上的高
，如图所示，则 .因为
，所以
.因为 是等边三角形，
所以 ，所以
，所以
.
返回
6.如图，是等边三角形， 是中
线，过作，交 的延长线于点
.
（1）求 的度数；
【解】是等边三角形， 是中
线，平分， ，
.
， .
（2）求证：是 的中线.
【证明】由（1）可知， ，
. ，
，
， .
在等边三角形中， ，
，是 的中线.
返回
（第7题）
7. ［2025南京江宁区月考］如图，在等
边三角形中，点，分别在边 ，
上，把沿直线翻折，使点
落在点处，，分别交边 于点
，，若 ，则 的度数
为( )
A. B. C. D.
√
（第7题）
【点拨】 为等边三角形，
.由翻折的性质得
. 在 中，
，
.
在中， ，
， .
（第7题）
返回
（第8题）
8. ［2025洛阳期中］如图，，
及都是等边三角形，，分别为 ，
的中点.若，则图形 外围
的周长是( )
A. 12 B. 14 C. 15 D. 16
√
9. ［2025武汉东西湖区月考］如图，点
为线段上一点，分别以， 为
边，在同侧作等边三角形 和等边
三角形，连结，相交于点 ，
则 的度数为( )
A. B. C. D.
√
（第10题）
10. 如图，在等边三角形中， ，
点在上，且，点是 上一动
点，连结,将线段绕点 逆时针旋转
得到线段，若使点恰好落在 上，
则线段 的长是( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
√
05
课堂小结
本节课你学到了什么？
1.如果一个三角形中有两个角相等，那么它就是等腰三角形.
即有两个角相等的三角形是等腰三角形 .简写成“等角对等边”.
2.等边三角形的两个判定定理：
三个角都相等的三角形是等边三角形；
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.

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