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华东师大版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.12.4.2线段垂直平分线第十二章全等三角形华东师大版八上12.4.2线段垂直平分线同步练习题一、选择题（每题4分，共20分）1.关于线段垂直平分线的定义，下列说法正确的是（）A.垂直于一条线段的直线叫做线段的垂直平分线B.平分一条线段的直线叫做线段的垂直平分线C.垂直并且平分一条线段的直线叫做线段的垂直平分线D.过线段中点的直线叫做线段的垂直平分线2.线段垂直平分线的性质是（）A.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等B.到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上C.垂直平分线上的点到线段中点距离相等D.垂直平分线上的点互相平行3.已知点P在线段AB的垂直平分线上，若PA=6cm，则PB的长为（）A. 3cm B. 6cm C. 12cm D.无法确定4.若PA=PB，则可以判定（）A.点P一定在线段AB的垂直平分线上B.点P一定在AB的上方C.点P一定在AB的下方D. AB垂直平分线段OP5.三角形三边垂直平分线的交点具有的性质是（）A.到三角形三边距离相等B.到三角形三个顶点距离相等C.平分三角形内角D.垂直三角形各边二、填空题（每题4分，共24分）1.垂直并且________一条线段的直线，叫做线段的垂直平分线。2.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到________相等。3.线段垂直平分线的判定定理：到线段两端点距离相等的点在________上。4.若直线l垂直平分AB，点P在直线l上，PA=5，则PB=________。5.三角形三条边的垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的________。6.线段的垂直平分线是线段的________对称轴（填“一条”或“两条”）。三、解答题（每题9分，共36分）1.辨析正误，对的打“√”，错的打“×”。（1）垂直于线段的直线是线段的垂直平分线（2）平分线段的直线是线段的垂直平分线（3）到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上（4）线段垂直平分线上的任意点到线段两端距离相等2.已知：直线MN垂直平分线段AB，点P、Q在MN上。求证：PA=PB，QA=QB。3.已知：PA=PB，QA=QB。求证：直线PQ垂直平分线段AB。4.区分线段垂直平分线的性质与判定：（1）由点在垂直平分线上，推出距离相等；（2）由距离相等，推出点在垂直平分线上。分别写出对应的定理名称。四、综合证明应用题（共20分）1.已知：在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D。若AD=5，求BD的长度。（10分）2.已知：点P在△ABC外，且PA=PB=PC。求证：点P在△ABC三边的垂直平分线上。（10分）参考答案一、选择题1.C 2.A 3.B 4.A 5.B二、填空题1.平分2.线段两个端点的距离3.这条线段的垂直平分线4. 55.外心6.一条三、解答题1.（1）×（2）×（3）√（4）√2.证明：∵直线MN垂直平分线段AB，点P、Q在MN上（已知）根据线段垂直平分线的性质定理∴ PA=PB，QA=QB。3.证明：∵ PA=PB（已知）∴点P在AB的垂直平分线上（线段垂直平分线判定定理）∵ QA=QB（已知）∴点Q在AB的垂直平分线上（线段垂直平分线判定定理）∵两点确定一条直线∴直线PQ垂直平分线段AB。4.（1）线段垂直平分线的性质定理；（2）线段垂直平分线的判定定理。四、综合应用题1.解：∵ DE垂直平分AB（已知）∴ BD=AD（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）∵ AD=5∴ BD=5答：BD的长度为5。2.证明：∵ PA=PB（已知）∴点P在AB的垂直平分线上（垂直平分线判定）∵ PB=PC（已知）∴点P在BC的垂直平分线上（垂直平分线判定）∵ PA=PC（已知）∴点P在AC的垂直平分线上（垂直平分线判定）∴点P在△ABC三边的垂直平分线上。知识点拓展讲解（约400字）本节线段垂直平分线是几何高频核心考点，承接互逆命题、互逆定理知识，是典型的互逆定理应用模型，分为性质与判定两大核心内容，广泛用于线段相等证明、几何求值、轨迹问题。核心知识双向对应：性质定理（点在线上→距离相等），用于证线段相等、求边长；判定定理（距离相等→点在线上），用于判定垂直平分线、证明垂直平分关系。二者互为逆定理，是考试最爱考查的互逆定理组合之一。高频易错点：单独垂直或单独平分都不是垂直平分线，必须同时满足垂直+平分；切勿混淆三角形外心与内心，三边垂直平分线交点是外心，到三顶点距离相等；角平分线交点是内心，到三边距离相等。经典解题模型：垂直平分线可实现线段等量转化，常用于周长计算、边长替换、等腰三角形推导，是后续几何折叠、最值问题、圆的外接圆知识点的基础，必须熟练掌握性质与判定的双向运用。学习目标
1.理解和掌握线段垂直平分线的定理及其逆定理
2.知道线段垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合.
3.了解数学和生活的紧密联系.
复习回顾
线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
A
B
C
D
O
对称轴：线段的垂直平分线
经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线叫做线段的垂直平分线.（又名中垂线）
如何利用尺规作线段的垂直平分线呢？
02
新知导入
【想一想】如图，直线CD垂直平分线段AB，在直线CD上任取一点 M，连结MA与MB，想一想，如果我们把线段AB沿直线CD对折，线段MA与MB会重合吗
03
新知探究
探究
探究线段垂直平分线的性质定理
如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，点P是MN上任意一点，连结PA、PB. 将线段AB沿直线MN对折，我们发现PA与PB完全重合。
我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴.
于是有：线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
03
新知探究
探究
探究线段垂直平分线的性质定理
已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC=BC，点P是直线MN上的任意一点.
求证：PA=PB.
分析：图中有Rt△APC和Rt△BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得PA=PB.
03
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探究
探究线段垂直平分线的性质定理
已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC=BC，点P是直线MN上的任意一点.
求证：PA=PB.
证明：∵MN⊥AB，∴∠ACP=∠BCP=90°，
在△ACP和△BCP中，
∵AC=BC，∠ACP=∠BCP=90°，PC=PC，
∴△ACP≌△BCP，∴PA=PB.
03
新知探究
探究
探究线段垂直平分线的性质定理
如图：如果改变点P的位置，那么PA还等于PB吗
总结归纳
线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
数学语言：
∵MN垂直平分AB ，
∴PA=PB.
03
新知探究
【例】如图所示，在△ABC中，AB＞AC，AB=8，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点E和点D，△AEC的周长为13，求AC的长.
解：∵DE垂直平分BC，∴BE=CE，
∴C△AEC=AC+AE+CE
=AC+AE+BE
=AC+AB
∴13=8+AC，∴AC=5.
03
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探究
探究线段垂直平分线性质定理的逆定理
【探索】”线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等“这一定理描述了线段垂直平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢
条件
结论
性质定理
逆命题
线段垂直平分线上的点
点到线段两端的距离相等
到线段两端距离相等的点
点在线段的垂直平分线上
03
新知探究
探究
探究线段垂直平分线的性质定理
想一想：上述填写的逆命题是否是一个真命题？
怎样证明这个命题是否正确？
已知：如图，QA = QB.
求证：点Q在线段AB的垂直平分线上.
03
新知探究
探究
探究线段垂直平分线的性质定理
证明：如图，过点Q作MN⊥AB，垂足为点C.
∵ QA = QB，QC ⊥AB，
∴ AC=CB(等腰三角形的三线合一).
∴点Q在线段AB的垂直平分线上.
总结归纳
于是就有定理：
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
数学语言：
∵ PA=PB，CA=CB，
∴ PC垂直平分AB .
03
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探究
探究三角形三边的垂直平分线相交于一点
上述两条定理互为逆定理，根据上述两条定理，我们就能证明：
三角形三边的垂直平分线交于一点.
从图中可以看出，要证明三角形三边的垂直平分线交于一点，只需证明其中两条边的垂直平分线的交点一定在第三条边的垂直平分线上就可以了.
03
新知探究
探究
探究三角形三边的垂直平分线相交于一点
其思路可表示如下：
试试看，现在你会证明了吗？
03
新知探究
探究
探究三角形三边的垂直平分线相交于一点
证明：∵ l 是AB的垂直平分线，m是BC的垂直平分线，∴OA=OB，OB =OC，
∴OA =OC ，
∴点O在AC的垂直平分线n上，
即AB、AC、BC的垂直平分线相交于点O.
1. 如图是一块三角形的草坪，点，， 处
各种一棵树，现要在草坪上建一灌溉出水口，要使出水口到
三棵树的距离相等，则灌溉出水口的位置应选在( )
A. 三边的垂直平分线的交点上
B. 三条角平分线的交点上
C. 三条高所在直线的交点上
D. 三条中线的交点上
√
返回
（第2题）
2. 如图，中边 的垂直平分线分别
交,于,,连结,,
的周长为,则 的周长是( )
A. B. C. D.
√
返回
（第3题）
3. ［2025淮安期中］如图，在锐角
中， ，和 分别垂直平分边
，，则 的度数为( )
A. B. C. D.
√
【点拨】如图，连结， ，
，
.
和分别垂直平分边， ，
，， ，
，
，
，
， .
返回
4.［2025武汉江汉区期中］如图，在中，，
是上的一点，是上一点，且，若 ，
则 的长是___.
2
（第4题）
返回
（第5题）
5. 风筝又称“纸鸢”，距今已
有2000多年的历史，如图是一款风筝骨架的
简化图，已知， ，
， ，则制作这个风筝
需要的布料至少为_______ .
2 700
返回
6.如图，在中，是边上一点，连结， 垂直平
分，垂足为，交于点，连结 .
（1）若的周长为18，
的周长为6，则 ___；
6
【点拨】因为是线段 的垂直平
分线，所以，.因为 的周长为18，
的周长为6，所以 ，
. 所以
.所以 .
（2）若 , ,求 的度数.
【解】因为 , ,
所以
.
由题意易得， .又因
为 ，
所以 .
所以 .
所以 .
返回
05
课堂小结
本节课你学到了什么？
1.线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
2.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
3.三角形三边的垂直平分线交于一点.

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