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华东师大版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.13.1.1直角三角形三边的关系第十三章勾股定理华东师大版八上13.1.1直角三角形三边的关系同步练习题一、选择题（每题4分，共20分）1.直角三角形三边关系（勾股定理）的正确表述是（）A.两直角边的和等于斜边B.两直角边的平方和等于斜边的平方C.两直角边的平方差等于斜边的平方D.任意两边平方和等于第三边平方2.在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b为直角边，c为斜边，则下列公式正确的是（）A. $$a^2+b^2=c^2$$ B. $$a^2+c^2=b^2$$C. $$b^2+c^2=a^2$$ D. $$a+b=c$$3.已知直角三角形两直角边长分别为3和4，则斜边长为（）A. 5 B. 7 C. 25 D. 124.直角三角形斜边为13，一条直角边为5，则另一条直角边长为（）A. 8 B. 10 C. 12 D. 145.下列关于勾股定理的说法正确的是（）A.适用于所有三角形B.只适用于直角三角形C.适用于锐角三角形D.适用于钝角三角形二、填空题（每题4分，共24分）1.在直角三角形中，________的平方和等于________的平方，这就是勾股定理。2.若Rt△ABC中，∠C=90°，直角边a=6，b=8，则斜边c=________。3.勾股定理字母公式：$$________$$（∠C=90°）。4.已知直角三角形斜边c=5，一条直角边a=3，则另一条直角边b=________。5.常见勾股数：3、4、________；5、________、13。6.勾股定理揭示了直角三角形________之间的数量关系。三、解答题（每题9分，共36分）1.根据勾股定理完成计算（∠C=90°）。（1）已知a=9，b=12，求c；（2）已知c=25，a=7，求b。2.判断正误，并说明理由。（1）在△ABC中，$$a^2+b^2=c^2$$（2）直角三角形两短边平方和等于最长边平方3.已知直角三角形两直角边长为5、12，求斜边长度和三角形周长。4.一个直角三角形斜边长为10，一条直角边长为6，求该三角形的面积。四、综合应用题（共20分）1.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，a:b=3:4，斜边c=20，求直角边a、b的长。（10分）2.一个等腰直角三角形，直角边长为4，求斜边长。（10分）参考答案一、选择题1.B 2.A 3.A 4.C 5.B二、填空题1.两直角边；斜边2. 103. $$a^2+b^2=c^2$$4. 45. 5；126.三边三、解答题1.解：（1）$$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$$（2）$$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{625-49}=\sqrt{576}=24$$2.解：（1）×，勾股定理只适用于直角三角形，未说明∠C为直角不成立；（2）√，直角三角形最长边为斜边，两短边为直角边，符合勾股定理。3.解：斜边$$c=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$$周长$$=5+12+13=30$$答：斜边长13，周长为30。4.解：另一条直角边：$$\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$$面积：$$\dfrac{1}{2}\times6\times8=24$$答：三角形面积为24。四、综合应用题1.解：设$$a=3k，b=4k（k\gt0）$$由勾股定理：$$(3k)^2+(4k)^2=20^2$$$$9k^2+16k^2=400$$$$25k^2=400$$$$k^2=16，k=4$$∴ $$a=12，b=16$$答：两条直角边分别为12、16。2.解：等腰直角三角形两直角边相等，均为4斜边长$$=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$$答：斜边长为$$4\sqrt{2}$$。知识点拓展讲解（约400字）本节是勾股定理入门第一课，开启初中几何计算新篇章，是几何与代数结合的核心考点。核心定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，字母表达式$$a^2+b^2=c^2$$，仅限直角三角形使用。核心解题规则：c一定是斜边（最长边），公式绝对不能乱套。已知两边求第三边是基础题型，分为三类：已知两直角边求斜边、已知斜边和一直角边求另一直角边、利用比例设未知数求边长。必背基础勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10，倍数勾股数同样满足定理，可快速口算解题。本节高频易错点：非直角三角形乱用勾股定理、分不清斜边与直角边、计算时忘记开平方、公式书写颠倒。勾股定理是后续几何求值、折叠问题、最短路径、立体图形展开计算的基础，熟练掌握三边换算、规范计算步骤，是学好整章内容的关键。学习目标
1.掌握勾股定理及其简单应用，理解定理的一般探究
方法．（重点）
2.通过利用方格纸计算面积的方法探索勾股定理，经历观察、归纳
3.猜想和验证的数学发现过程，发展数形结合的数学思想．（难点）
新课导入
你知道2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM 2002)吗？在这次大会上，可以看到一个简洁优美、远看像旋转的纸风车的图案，它就是大会的会标.
会徽的原型即是1700多年前中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图.
02
新知导入
我们知道直角三角形的内角之间存在一些特殊的关系：
一个角为直角，另外两个锐角互余.
那么，直角三角形的三条边之间是否也存在某种特殊关系呢
03
新知探究
探究
勾股定理
如图是正方形瓷砖铺成的地面，观察图中着色的三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系？
两个小正方形P、Q的面积之和等于大正方形 R的面积.
即AC2+ BC2 = AB2
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新知探究
探究
勾股定理
如图是正方形瓷砖铺成的地面，观察图中着色的三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系？
这说明，在等腰直角三角形ABC中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
03
新知探究
探究
勾股定理
那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢
观察图片，如果每一小方格表示1cm2，那么可以得到:
正方形P的面积=____cm2
正方形Q的面积=____cm2
正方形R的面积=____cm2.
9
16
25
03
新知探究
探究
勾股定理
那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢
我们发现，正方形P、Q、R的面积之间的关系是__________________________________.
P、Q的面积之和等于大正方形 R
由此，我们得出Rt△ABC的三边长之间存在的关系是_______________________.
AC2+ BC2 = AB2
03
新知探究
探究
勾股定理
【做一做】作出两条直角边分别为5cm、12cm 的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系式对于这个直角三角形是否成立.
5cm
12cm
通过测量，斜边长度为13cm，仍然满足52+122=132.
13cm
03
新知探究
探究
勾股定理
对于任意一个直角三角形，它的三边长之间是否都有这样的关系呢
观察导入语中所提到的2002年国际数学家大会的会标中的那个像旋转的风车的会徽.
它是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成的图案.
记直角三角形的两条直角边长分别为a、b(b>a)，斜边长为c.
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新知探究
探究
勾股定理
对于任意一个直角三角形，它的三边长之间是否都有这样的关系呢
观察导入语中所提到的2002年国际数学家大会的会标中的那个像旋转的风车的会徽.
化简，可得 a2+b2=c2.
于是图中各个部分的面积之间有如下的等式：4× ab+( b-a )2=c2，
总结归纳
由上面的探索与验证，可以发现：
对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a2+b2=c2，这种关系，我们称之为勾股定理.
勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于
斜边的平方.
a
b
c
拓展提高
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
我国古代，人们把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
03
新知探究
【例1】在 Rt△ABC中，∠B = 90°， AB = 6， BC =8.
求AC的长.
解：根据勾股定理，可得
AB2+ BC2= AC2.
应用勾股定理，由直角三角形任意两边的长，可以求出第三边的长.
03
新知探究
【例2】如图，Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2cm，另一条直角边BC的长为6cm. 求AC的长.
解：由已知AB = AC-2，BC = 6cm，
根据勾股定理，可得
AB2+ BC2=( AC - 2 )2 + 62 = AC2，
解得 AC=10cm.
03
新知探究
【例3】如图，为了求出位于湖两岸的点A、B之间的距离，一名观测者在点C处设桩，使△ABC恰好为直角三角形. 通过测量，得到AC的长为160m， BC的长为128m. 问：从点A穿过湖到点B有多远
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新知探究
【例3】如图，为了求出位于湖两岸的点A、B之间的距离，一名观测者在点C处设桩，使△ABC恰好为直角三角形. 通过测量，得到AC的长为160m， BC的长为128m. 问：从点A穿过湖到点B有多远
解：如图 ，在Rt△ABC 中，
AC=160m，BC=128m，
根据勾股定理，可得
答：从点A穿过湖到点B有96m.
1. 下列说法中正确的是( )
C
A. 已知,,是三角形的三边长，则
B. 在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方
C. 在中， ，,,是,, 的对边，所
以
D. 在中， ,,,是,, 的对边，所
以
返回
（第2题）
2. 象棋是中
国的传统棋种，如图所示的象棋棋盘
中，各个小正方形的边长均为1.“马”
从图中的位置出发，按照“马走日”的
规则，走一步之后的落点与“帅”的最
大距离是( )
A
A. 5 B. C. D.
3. 若在直角三角形中，有两边长分别是3和4，
则第三边长为_______.
5或
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（第4题）
4.如图，点，分别在， 上，
，垂足为， .若
，，则点到直线 的距离
为___.
（第4题）
【点拨】 ，
，即 ，
，
.设点到直线
的距离为， ，
， .
返回
5.如图，在中，于点,点为 上一点，连
结,,的延长线交于点,已知 ，
.
（1）试说明： .
【解】, , 易得
为等腰直角三角形,
. .又
, ,
, ,
.又
, ,
, , .
（2）利用图中阴影部分面积完成勾股定
理的验证.已知：如图，在 中，
,,, ，试
说明： .
, ,
，，, .
返回
6. 如图，在
中， ，分别以各边为直径
作半圆，图中阴影部分在数学史上称为
“希波克拉底月牙”，当，
时，阴影部分的面积为( )
C
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
【点拨】 在 中，
， ，， 由
勾股定理，得
，
阴影部分的面积为 .
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7. ［2025沧州期末］意大利著
名画家达·芬奇用如图所示的
方法证明了勾股定理.若设图①
C
A. B.
C. D.
中空白部分的面积为，图②中空白部分的面积为 ，则下
列等式成立的是( )
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8.如图，已知 ，且
，，，则 的长是____.
10
（第8题）
05
课堂小结
本节课你学到了什么？
1.对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a2+b2=c2，这种关系，我们称之为勾股定理.
2.勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

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