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华东师大版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.13.1.2直角三角形的判定第十三章勾股定理华东师大版八上13.1.2直角三角形的判定同步练习题一、选择题（每题4分，共20分）1.直角三角形的判定定理（勾股定理逆定理）正确的是（）A.若三角形两边平方和等于第三边平方，则这个三角形是直角三角形B.任意三角形两短边和等于最长边C.两直角边平方和等于斜边平方D.有一个角是直角的三角形是等腰直角三角形2.下列各组线段，能组成直角三角形的是（）A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 5，6，73.在△ABC中，三边满足$$a^2+b^2=c^2$$，则直角为（）A. ∠A B. ∠B C. ∠C D.无法确定4.下列各组数中，不属于勾股数的是（）A. 5，12，13 B. 6，8，10 C. 7，8，9 D. 9，12，155.关于勾股定理与逆定理，说法正确的是（）A.勾股定理用于判定直角三角形B.逆定理是已知直角三角形求边长C.勾股定理：直角三角形→边长关系；逆定理：边长关系→直角三角形D.两者无任何关联二、填空题（每题4分，共24分）1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足________，那么这个三角形是直角三角形。2.利用逆定理判定直角三角形时，需先找________（最长边）。3.若三角形三边长为6、8、10，则这个三角形是________三角形。4.满足$$a^2+b^2=c^2$$的三个正整数，称为________。5.在△ABC中，三边为5、12、13，最大角的度数是________°。6.勾股定理和逆定理互为________。三、解答题（每题9分，共36分）1.判断下列各组线段能否构成直角三角形，写出判定过程。（1）9，12，15（2）4，5，6（3）8，15，172.辨析填空：区分勾股定理与逆定理。（1）已知三角形是直角三角形，求边长，用________；（2）已知三边长，判断是否为直角三角形，用________。3.已知△ABC三边长为$$\sqrt{2}、\sqrt{3}、\sqrt{5}$$，判断是否为直角三角形。4.已知三角形三边比为3:4:5，求证：该三角形是直角三角形。四、综合证明应用题（共20分）1.已知：在△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8。求证：△ABC是直角三角形，并求出它的面积。（10分）2.已知：在△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，判断△ABC的形状（非直角/直角）。（10分）参考答案一、选择题1.A 2.B 3.C 4.C 5.C二、填空题1. $$a^2+b^2=c^2$$2.最长边c3.直角4.勾股数5. 906.互逆定理三、解答题1.解：（1）能，$$9^2+12^2=81+144=225=15^2$$，是直角三角形；（2）不能，$$4^2+5^2=16+25=41\neq36=6^2$$，非直角三角形；（3）能，$$8^2+15^2=64+225=289=17^2$$，是直角三角形。2.（1）勾股定理（2）勾股定理逆定理3.解：最长边为$$\sqrt{5}$$$$(\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2=2+3=5=(\sqrt{5})^2$$满足逆定理，因此该三角形是直角三角形。4.证明：设三边长为$$3k、4k、5k（k\gt0）$$$$(3k)^2+(4k)^2=9k^2+16k^2=25k^2=(5k)^2$$满足勾股定理逆定理∴该三角形为直角三角形。四、综合应用题1.解：∵最长边AB=10$$AC^2+BC^2=8^2+6^2=64+36=100=10^2=AB^2$$∴△ABC是直角三角形，直角为∠C面积$$=\dfrac{1}{2}\times6\times8=24$$答：三角形为直角三角形，面积为24。2.解：最长边为BC=14$$13^2+15^2=169+225=394$$$$14^2=196$$$$394\neq196$$，不满足逆定理∴△ABC不是直角三角形。知识点拓展讲解（约400字）本节核心为勾股定理的逆定理，是判定直角三角形的核心方法，与上一节勾股定理构成完整的双向逻辑体系，是考试计算、证明、几何识图的高频考点。核心定理：若三角形三边长a、b、c满足两边平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。核心解题步骤：一找最长边，二算平方和，三对比判定。必须优先确定最长边，用两条较短边的平方和与最长边平方对比，不可随意组合边长计算，这是最核心的解题规范，也是高频易错点。核心概念区分：勾股定理是性质定理（直角三角形→边长关系，用于求边长、算长度）；逆定理是判定定理（边长关系→直角三角形，用于判形状、证垂直），二者为互逆定理，考试必考辨析。常用勾股数可直接秒杀题型，基础勾股数的正整数倍数依然是勾股数。本节是后续几何垂直证明、折叠计算、网格直角判定、实际应用题的基础，熟练掌握双向定理运用，可彻底解决直角三角形所有基础计算与判定题型。学习目标
1.了解直角三角形的判定条件．（重点）
2.能够运用勾股数解决简单实际问题．（难点）
复习回顾
思考：如何判定一个三角形是直角三角形？
如果∠A+∠B=90°，那么△ABC就是一个直角三角形，∠C为直角.
两个角互余的三角形是直角三角形.
除了根据角的关系判定，还能根据其他的关系判定吗？
02
新知导入
想一想：如何判定一个三角形是直角三角形
如果∠A +∠B =90°，那么△ABC就是一个直角三角形，∠C为直角.
即有如下的直角三角形的判定方法:
有两个角互余的三角形是直角三角形.
02
新知导入
由勾股定理，你能猜想是什么特殊关系吗
古埃及人曾经用下面的方法画直角:
将一根长绳打上等距离的13个结，然后如图所示钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角.
你知道这是什么道理吗
03
新知探究
探究
勾股定理的逆定理
【试一试】试作出三边长分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么样的三角形:
(1)a=3，b=4，c=5；
(2)a=4，b=6，c=8；
(3)a=6，b=8，c=10.
03
新知探究
探究
勾股定理的逆定理
可以发现，按(1)(3)所作的三角形都是直角三角形，最长边所对的角是直角；按(2)所作的三角形不是直角三角形.
03
新知探究
探究
勾股定理的逆定理
观察上面三组数据，结合上节课学习的勾股定理，算一算，你能发现什么？
在这三组数据中，（1）（3）两组数据恰好都满足 a2+b2=c2.
（1）32+42=52
（3）62+82=102
总结归纳
对于直角三角形的判定，有一般的结论：
勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角.
a
b
c
03
新知探究
探究
勾股定理的逆定理
已知：如图①，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b， a2+b2=c2.
求证：∠C =90°.
证明：如图②，作△A'B'C'，使 ∠C'=90°，
A'C'=b， B'C'=a，
则A'B'=a2+b2=c2，即A'B'=c.
03
新知探究
探究
勾股定理的逆定理
已知：如图①，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b， a2+b2=c2.
求证：∠C =90°.
在△ABC和△A'B'C'中，
∵BC=a=B'C'，AC =b=A'C'，AB =c=A'B'，
∴△ABC≌△A'B'C'.
∴∠C= ∠C'= 90°.
03
新知探究
【例4】在△ABC中，AB=n2-1，BC= 2n，AC= n2+1( n为大于1的整数 ). 问：△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由.
解：∵ AB2+BC2=(n2- 1)2 +( 2n )2
=n4 - 2n2+1+ 4n2
=n4+ 2n2+1
=(n2 +1)2=AC2,
∴△ABC是直角三角形，边AC所对的角是直角.
想一想，为什么选择AB2+BC2 AB、BC、CA的大小关系是怎样的
拓展提高
利用边的关系判定直角三角形的步骤：
(1)比较三边长a，b，c的大小，找出最长边．
(2)计算两短边的平方和，看它是否与最长边的平方相等；若相等，则是直角三角形，且最长边所对的角是直角；若不相等，则此三角形不是直角三角形．
03
新知探究
探究
勾股数
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
例如：3、4、5，6、8、10，n2 - 1、2n、n2+1(n为大于1的整数)，等等，都是勾股数.
你能再举几个例子吗？
5，12，13 8，15，17 7，24，25
拓展提高
判断勾股数的方法：
(1)确定是不是三个正整数；
(2)确定最大数；
(3)计算：看较小两数的平方和是否等于最大数的平方．
易错警示：勾股数必须同时满足两个条件：
(1)三个数都是正整数；
(2)两个较小数的平方和等于最大数的平方．
（第1题）
1. 如图，长为 的梯子靠在墙上，梯子
的底端离墙脚线的距离为 ，则梯子顶
端距离地面的高度 是( )
B
A. B.
C. D.
2. 圆柱形玻璃杯的底面半径为，高为 ，有一只长为
的吸管任意斜放于杯中，则吸管露出杯口外的长度至
少为( )
C
A. B. C. D.
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（第3题）
3. 如图，学校有一块直角三角形菜
地， ， .
为方便劳作，准备在菜地中间修建
一条小路.测量发现，
， ，
，则 的长为( )
B
A. B. C. D.
（第3题）
【点拨】 ，
.设 ，则
，
，
.在
中，由勾股定理得 ，即
，解得，即 .
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4.如图，一扇卷闸门用一块宽，长 的长方形木板
撑住，用这块木板最多可将这扇卷闸门撑起____ 高.
39
（第4题）
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（第5题）
5.［2025重庆沙坪坝区期中］小宁购买了拳击反
应球作为居家健身器材.如图，若将球体支架最
底端到球体支架最顶端看成一条线段 ，当
反应球被击打时，可看作线段绕着点 旋转得
到线段 （在安全角度范围内旋转）.小宁击打
反应球后与支架的水平距离为 ，当
130
时，，则球体支架_____ .
（第5题）
【点拨】由题意可知， ，设球体
支架，则 ，
.在 中，由勾股定理得
，解得 ，即球体支
架 .
从实际问题中抽象出直角三角形模型，用未知数表
示出直角三角形的各边，最后根据勾股定理列方程解决问题.
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6. 爱护森林人人有责，如图单位： 是
某森林小队为该地区森林鸟类安装的木屋示意图，它为轴对
称图形，求屋顶到地面 的距离.
【解】 木屋为轴对称图形，
是等腰三角形，如图，作
，垂足为 ，
由题意得 ，
.
，， 屋顶 到
地面的距离为 .
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（第7题）
7. 在我国古代数学
著作《九章算术》“勾股”章有一题：
“今有开门去阃 一尺，不合二
寸，问门广几何.”大意是说：如图，
推开两扇门和 ，门边缘
B
A. 100寸 B. 101寸 C. 102寸 D. 103寸
，两点到门槛的距离为1尺（1尺 寸），两扇门的
间隙为2寸，那么门的宽度（两扇门的和） 为( )
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（第8题）
8. 足球是世界上最受欢迎
的运动项目之一，2025赛季中超联赛于2月
22日开幕.如图是一场足球赛中的场景，球
员向边线传球，传球落点在边线 上
任何位置都能被边线球员接住球，而边线球
B
A. 15 B. C. 20 D.
员不运球直接传给球员，图中四边形 为直角梯形，
，， ，则两次传球中足球飞
过的最短路径为( )
【点拨】如图，作关于的对称点 ，连
结交于，连结，过作 于
，易得两次传球中足球飞过的最短路径长
为 的长，
，
，
.
依题意得， ，
.
，
.又 ，
， ，
即两次传球中足球飞过的最短路径为 .
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9. 如图，在
中， ， ，
，， ，
10或
，是直线上一动点，把沿 所在的直线
翻折后，若点落在直线上的点处，则 的长是______.
05
课堂小结
本节课你学到了什么？
1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角.
2.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.

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