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华东师大版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.13.1.3反证法第十三章勾股定理华东师大版八上13.1.3反证法同步练习题一、选择题（每题4分，共20分）1.下列关于反证法的说法正确的是（）A.反证法是直接证明命题成立的方法B.反证法先假设命题的结论不成立C.反证法不需要推出矛盾D.反证法只能证明假命题2.用反证法证明“一个三角形中最多有一个直角”，应先假设（）A.一个三角形中没有直角B.一个三角形中至少有一个直角C.一个三角形中至少有两个直角D.一个三角形中最多有两个直角3.反证法的核心步骤是（）A.已知、求证、证明B.假设结论不成立，推出矛盾，肯定原结论C.举例验证结论D.利用公式直接推导4.用反证法证明“两直线平行，同位角相等”，第一步假设正确的是（）A.两直线不平行B.同位角不相等C.同位角相等D.两直线平行5.下列命题适合用反证法证明的是（）A.求证线段相等B.求证角度相等C.求证三角形中最多有一个钝角D.求线段长度二、填空题（每题4分，共24分）1.反证法是一种________证明方法（填“直接”或“间接”）。2.反证法的三步流程：①________；②________；③________。3.用反证法证明命题时，首先要假设________。4.矛盾的常见类型：与已知条件矛盾、与基本事实矛盾、与________矛盾。5.证明“三角形的三个内角中至少有一个角不大于60°”，应假设________。6.当命题正面证明困难，或出现“至多、至少、唯一”类词语时，适合用________证明。三、解答题（每题9分，共36分）1.写出下列命题反证法的第一步假设。（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（2）三角形中至少有一个锐角（3）两条直线相交只有一个交点2.辨析正误，对的打“√”，错的打“×”。（1）反证法不需要假设，直接推导结论（2）反证法推出矛盾后，即可证明原命题成立（3）所有命题都适合用反证法证明（4）“至多、至少”类命题常用反证法3.用反证法证明：在一个三角形中，不可能有两个钝角。4.用反证法证明：垂直于同一条直线的两条直线互相平行。四、综合证明应用题（共20分）1.用反证法证明：在△ABC中，若∠C≠90°，则AC +BC ≠AB 。（10分）2.用反证法证明：一条线段只有一个中点。（10分）参考答案一、选择题1.B 2.C 3.B 4.B 5.C二、填空题1.间接2.假设结论不成立；推出矛盾；否定假设，肯定原结论3.原命题的结论不成立4.定理、定义5.三角形三个内角都大于60°6.反证法三、解答题1.解：（1）假设在同一平面内，过一点有两条直线与已知直线垂直；（2）假设三角形中没有锐角（三个角都是直角或钝角）；（3）假设两条直线相交有两个或两个以上交点。2.（1）×（2）√（3）×（4）√3.证明：假设一个三角形中有两个钝角，不妨设△ABC中，∠A＞90°，∠B＞90°，则∠A+∠B＞180°，又∵三角形内角和为180°，即∠A+∠B+∠C=180°，∴与三角形内角和定理矛盾。∴假设不成立，∴在一个三角形中，不可能有两个钝角。4.证明：假设垂直于同一条直线的两条直线不平行，则两条直线相交，已知直线a⊥直线l，直线b⊥直线l，a、b相交，则过直线l外一点有两条直线与已知直线垂直，与基本事实矛盾。∴假设不成立，∴垂直于同一条直线的两条直线互相平行。四、综合应用题1.证明：假设AC +BC =AB ，由勾股定理逆定理可得，△ABC为直角三角形，且∠C=90°，这与已知条件∠C≠90°矛盾，∴假设不成立，∴若∠C≠90°，则AC +BC ≠AB 。2.证明：假设一条线段有两个中点，设线段AB的中点有M、N两个，则AM=$$\dfrac{1}{2}$$AB，AN=$$\dfrac{1}{2}$$AB，∴ AM=AN，即两点M、N重合，与假设两个中点矛盾。∴假设不成立，∴一条线段只有一个中点。知识点拓展讲解（约400字）反证法是初中几何唯一的间接证明方法，区别于常规的直接推理证明，是本章重难点、考试高频考点，专门解决正面证明困难的命题。核心原理：不从正面证明结论正确，而是假设结论错误，通过严谨推理推出矛盾，从而反向证明原命题正确。标准三步解题法：反设→归谬→存真。反设：否定原命题结论（最关键、最易错步骤）；归谬：结合已知条件、定理、公理推导，得出矛盾；存真：否定假设，确定原命题成立。必考题型特征：题干含至多、至少、唯一、不可能、至多一个等限定词，优先选用反证法。高频易错点：反设错误，否定结论不彻底；推导矛盾无依据；混淆直接证明与间接证明。本节常结合三角形性质、勾股定理、直线位置关系综合考查，是锻炼几何逻辑思维的关键内容。熟练掌握反设技巧和证明步骤，可轻松攻克特殊几何证明难题，完善初中几何证明体系。学习目标
1.了解反证法的证明步骤，体会反证法证明问题的思想
2.理解并体会反证法的思想内涵. (难点)
3.通过反证法的学习，培养辩证唯物主义观念.
情境导入
路边苦李
王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘？
王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下，果然是苦李.
王戎是怎么知道李子是苦的呢？他运用了怎样的推理方法？
02
新知导入
我们已经知道，当一个三角形的三边长a、b、c(a≤b≤c)满足关系 a2+b2=c2时，这个三角形一定是直角三角形.
如果此时a2+b2≠c2，那么这个三角形是否一定不是直角三角形呢
03
新知探究
探究
反证法
【做一做】作出以如下各组数为边长的三角形，算算较短的两边长的平方和是否等于最长边的平方，再观察它们的图形，你发现了什么
（1）a=1.0，b=2.4，c=2.6；
（2）a=2，b=3，c=4；
（3）a=2，b=2.5，c=3.
03
新知探究
探究
反证法
我们可以发现，第一组恰好满足a2+b2=c2，由勾股定理的逆定理可知，组成的三角形是直角三角形，与所作图形一致。而另外两个三角形较短的两边长的平方和都不等于最长边的平方，所作图形都不是直角三角形.
由此，可以猜想：当一个三角形的三边长a、b、c(a≤b≤c)存在关系a2+b2≠c2时，这个三角形不是直角三角形.
03
新知探究
探究
反证法
然而，想从已知条件a2+b2≠c2(a ≤b≤c) 出发，直接经过推理得出结论，十分困难.
我们可以换一种思维方式，用如下方法证明这个结论:
(1)假设它是直角三角形；
(2)根据勾股定理，一定有a2+b2=c2，与已知条件a2+b2≠c2矛盾；
(3)因此假设不成立，即它不是直角三角形.
总结归纳
一个命题，当正面证明有困难或者不可能时，就可以尝试用反证法.
用反证法证明命题的步骤：
①先假设结论的反面是正确的；
②通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件等相矛盾；
③由矛盾判断假设不成立，进而得出原结论正确.
拓展提高
反证法是数学证明的一种重要方法，历史上许多著名的命题都是用反证法证明的. 一个命题，当从正面证明有困难或者不可能时，就可以尝试运用反证法，有时问题竟能轻易地被解决，此即所谓“正难，则反”.因此，牛顿就说过:“反证法是数学家最精良的武器之一.”用反证法不是直接证明结论，而是间接地去否定与结论相反的一面，从而得出事物真实的一面.
反证法是一种间接的证明方法.
03
新知探究
【思考】现在再回到勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 即“在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C=
90°，那么a2+b2=c2”是一个真命题.
对于一般的非直角三角形，情况又会如何呢
即“在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C≠90°，那么a2+b2≠c2”是真命题吗
03
新知探究
假设a2+b2=c2，∵∠C≠90°，∴△ABC不是直角三角形，
∴由勾股定理得a2+b2≠c2，这与假设相矛盾，
∴假设不成立，
∴在△ABC中，如果AB =c，BC=a，CA= b，且∠C ≠90°，
那么a2+b2≠c2是真命题。
使用反证法证明该命题为真命题，需先假设结论不成立，再根据已知条件推出矛盾，从而证明原命题成立。
03
新知探究
【例5】证明：两条直线相交只有一个交点.
已知：两条相交直线l1与l2.
求证：l1与l2只有一个交点.
分析：想从已知条件“两条相交直线 l1与l2”出发，经过推理，得出结论“l1与l2只有一个交点”是很困难的，因此可以考虑用反证法.
03
新知探究
【例5】证明：两条直线相交只有一个交点.
已知：两条相交直线l1与l2.
求证：l1与l2只有一个交点.
证明：假设两条相交直线l1与l2不止一个交点，不妨假设l1与l2有两个交点A和B.
这样过点A和点B就有两条直线l1和l2 .这与“两点确定一条直线”，即“经过点A和点B的直线只有一条”这个基本事实矛盾.
所以假设不成立，因此两条直线相交只有一个交点.
03
新知探究
【例6】证明:在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
已知：△ABC.
求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设△ABC 中没有一个内角小于或等于60°，即
∠A> 60°，∠B> 60°，∠C > 60°.
于是 ∠A +∠B+ ∠C > 60°+ 60°+ 60°= 180°，
这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾.
所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
1. 用反证法证明命题“四边形中至少有一个角
不是锐角”时，应先假设( )
A. 没有一个角是钝角或直角
B. 至多有一个钝角或直角
C. 没有一个角是锐角
D. 没有一个角是钝角
√
解此题的关键是要懂得反证法的意义及步骤.在假设
结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果
只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必
须一一否定.
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2. 如图，在中，，点 为
内一点，连结，， ，
，求证： ，用反证
法证明时，第一步应假设( )
A. B.
C. D.
√
返回
3. 命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相
平行”，用反证法证明时，最终推出与( )矛盾.
A. 两点确定一条直线
B. 在同一平面内，过一点与已知直线垂直的直线只有一条
C. 过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条
D. 垂直的定义
【点拨】命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线
互相平行”，用反证法证明时，最终推出与在同一平面内，过
一点与已知直线垂直的直线只有一条矛盾.
√
返回
4.用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补.
【解】已知:如图,,,都被 所截.
求证: .
证明:假设 .
,
.
,
,这和平角为 矛盾,
假设 不成立,即 .
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5. 下列对反证法的理解错误的是( )
A. 直接证明命题比较困难时可以考虑反证法
B. 命题的结论是否定形式时可以考虑反证法
C. 反证法的假设可以作为下面证明时的条件
D. 用反证法证得的结论有时不可靠
√
返回
6. 已知在中， ，求证：
.下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
，这与三角形内角和为 矛盾；
②因此假设不成立. ;
③假设在中， ;
④由，得 ，即 .这
四个步骤正确的顺序应是( )
A. ④③①② B. ③④②① C. ①②③④ D. ③④①②
√
【点拨】运用反证法证明这个命题的四个步骤：假设在
中， ；由，得 ，
即 ； ，这与三角
形内角和为 矛盾；因此假设不成立. .
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7.用反证法证明命题：“若，是整数，且 能被5整除，则
， 中至少有一个能被5整除”时，应假设________________
____.
，都不能被5整除
8.［2025保定期末］如图，在 中，
，是的平分线，是
边上的中线.用反证法证明点与点 不重合.
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【证明】假设点与点重合.延长到 ，
使，连结 .
是 边上的中线，
.又 ，
，
， .
是的平分线， ，
， ，
，这与 相矛盾.
点与点 重合是错误的.
点与点 不重合.
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05
课堂小结
本节课你学到了什么？
1.一个命题，当正面证明有困难或者不可能时，就可以尝试用反证法.
2.用反证法证明命题的步骤：
①先假设结论的反面是正确的；
②通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件等相矛盾；
③由矛盾判断假设不成立，进而得出原结论正确.

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