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华东师大版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.13.2.1勾股定理在现实生活中的应用第十三章勾股定理华东师大版八上13.2.1勾股定理在现实生活中的应用同步练习题一、选择题（每题4分，共20分）1.生活中利用勾股定理的核心前提是（）A.任意三角形场景B.出现直角三角形场景，已知两边求第三边C.任意长度计算D.角度大小计算2.一架梯子斜靠在竖直墙上，梯子长10m，墙底到梯子底端距离6m，则梯子顶端离地高度为（）A. 4m B. 6m C. 8m D. 16m3.一个长方形门框长12dm、高5dm，能通过的最长直木条长度为（）A. 13dm B. 17dm C. 7dm D. 60dm4.池塘边有两点A、B，无法直接测量AB距离，取一点C使∠C=90°，测得AC=8m，BC=6m，则AB长为（）A. 10m B. 14m C. 2m D. 48m5.下列生活问题不能用勾股定理解决的是（）A.求梯子靠墙的高度B.求长方形对角线长度C.求三角形的内角和D.求湖面两点直线距离二、填空题（每题4分，共24分）1.勾股定理解决实际问题的核心：将生活场景抽象为________三角形，利用三边关系求值。2.长方形的长和宽与对角线构成直角三角形，对角线长度可利用________求解。3.一棵竖直大树折断后，树顶落地距离树根6m，折断部分长10m，则折断处离地________m。4.水平距离、竖直高度、直线斜边距离，三者构成________关系。5.直角三角形中，已知任意________条边，可利用勾股定理求出第三条边。6.实际应用题解题关键：找准生活场景中的________角，确定直角边与斜边。三、解答题（每题9分，共36分）1.一棵垂直地面的大树高18m，台风折断，折断后树顶落在离树根8m处，折断部分为斜边，求大树折断处距离地面的高度。2.一扇长方形大门，宽90cm，高120cm，现要在门的对角加一根加固木条，求木条的长度。3.消防员搭梯子救火，梯子长15m，梯子底端离建筑物9m，求梯子顶端到达建筑物的高度。4.小明从家出发，先向东走120m，再向北走50m到达书店，求小明家到书店的直线距离。四、综合应用题（共20分）1.台风过后，一棵垂直高度为25m的树木折断，折断部分完好，树顶触地，触地点距离树根15m，求树木剩余直立部分的高度。（10分）2.一艘小船从码头出发，先向正东航行24km，再向正北航行10km，此时小船突发故障，求小船距离码头的直线距离。（10分）参考答案一、选择题1.B 2.C 3.A 4.A 5.C二、填空题1.直角2.勾股定理3. 84.勾股定理三边5.两6.直三、解答题1.解：设折断处离地高度为$$x$$ m，则折断斜边长$$(18-x)$$m。由勾股定理得：$$x^2+8^2=(18-x)^2$$$$x^2+64=324-36x+x^2$$$$36x=260$$$$x=\dfrac{65}{9}$$答：折断处距离地面$$\dfrac{65}{9}$$米。2.解：长方形长宽与对角线构成直角三角形木条长度$$=\sqrt{90^2+120^2}=\sqrt{8100+14400}=\sqrt{22500}=150(\text{cm})$$答：木条长度为150cm。3.解：由勾股定理得：高度$$=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12(\text{m})$$答：梯子顶端高度为12m。4.解：东西、南北方向互相垂直，构成直角三角形直线距离$$=\sqrt{120^2+50^2}=\sqrt{14400+2500}=\sqrt{16900}=130(\text{m})$$答：直线距离为130m。四、综合应用题1.解：设直立部分高$$x$$ m，则折断斜边长$$(25-x)$$m根据勾股定理：$$x^2+15^2=(25-x)^2$$$$x^2+225=625-50x+x^2$$$$50x=400$$$$x=8$$答：树木剩余直立部分高度为8m。2.解：正东、正北方向互相垂直，形成直角三角形直线距离$$=\sqrt{24^2+10^2}=\sqrt{576+100}=\sqrt{676}=26(\text{km})$$答：小船距离码头直线距离为26km。知识点拓展讲解（约400字）本节是勾股定理的**实际应用专题**，核心是将生活实景数学化，把生活中的垂直、水平场景抽象为直角三角形，是考试应用题高频考点。所有题型的解题核心逻辑完全一致：找直角、定三边、套公式、求边长。常见经典生活模型：梯子靠墙模型、树木折断模型、长方形对角线模型、方位行走模型（东西+南北垂直）、湖面测距模型。所有场景均隐含天然直角，无需额外证明直角，可直接使用勾股定理计算。高频两类题型：一是直接已知两边求第三边，基础口算即可解题；二是**方程类应用题**，总长度固定，设直角边为未知数，利用斜边列方程求解，是考试重难点。解题易错点：混淆直角边与斜边、忽略单位统一、方程列式错误。掌握本节内容，可解决初中所有勾股定理生活应用题，熟练掌握建模思想，为后续折叠问题、最短路径问题、立体图形展开求值打下扎实基础。学习目标
1.能运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.(重点)
2.经历勾股定理的应用过程
3.熟练掌握其应用方法，明确应用条件.（难点）
情境导入
看一看：观察下图中物体的运动过程，试着计算其运动路程.
02
新知导入
【想一想】直角三角形中，三边长度之间满足什么样的关系？
在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
若c为直角△ABC的斜边，a，b为直角边，则a，b，c的关系为_____________.
a2＋b2＝c2
勾股定理能解决直角三角形的许多问题，因此在现实生活和数学中有着广泛的应用.
03
新知探究
【例1】如图，一个圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径. 一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C.求这只蚂蚁爬行的最短路程.(精确到0.01cm)
03
新知探究
【分析】蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，如 果将这半个侧面展开，就可以得到长方形 ABCD.
03
新知探究
观察图片，思考以下问题：
(1)长方形ABCD的边AD的长与圆柱底面圆的周长有什么关系
(2)长方形ABCD的边CD的长与圆柱的高相等吗
(3)圆柱表面上的蚂蚁爬行的最短路径相当于直角三角形ABC的哪条边长
03
新知探究
(1)长方形ABCD的边AD的长是圆柱底面圆的周长的一半.
(2)长方形ABCD的边CD的长与圆柱的高相等.
(3)圆柱表面上的蚂蚁爬行的最短路径相当于直角三角形ABC的AC的边长.
03
新知探究
解：如图 ，在Rt△ABC中，BC=圆柱体底面周长的一半=10cm.
AB=圆柱的高=4cm.
由勾股定理，可得
答：这只蚂蚁爬行的最短路程约为10.77cm.
10cm
4cm
总结归纳
求圆柱侧面上两点间的最短路线长的方法：
解决这类题的关键是转化，即把圆柱展开，将曲线化成直线，构造直角三角形，再利用勾股定理求出结果.
03
新知探究
【做一做】如图，若圆柱的底面周长是30cm，高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰，则这条丝线的最小长度是( ).
A.80cm
B.70cm
C.60cm
D.50cm
D
A
B
30cm
40cm
50cm
03
新知探究
【例2】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5m，宽1.6m，要开进厂门形状如图所示的某工厂.
问：这辆卡车能否通过该工厂的厂门？(厂门上部分为半圆形拱门)
分析：由于车宽1.6m，所以这辆卡车能否通过该工厂的厂门，只要比较距厂门中线0.8m处的高度与车高即可. 如图所示，点D在离厂门中线0.8m处，且CD⊥AB，与地面相交于点H.
03
新知探究
【例2】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5m，宽1.6m，要开进厂门形状如图所示的某工厂.
问：这辆卡车能否通过该工厂的厂门？(厂门上部分为半圆形拱门)
解：在Rt△OCD中，由勾股定理，可得
CH=CD+DH=0.6 +2.3 =2.9 >2.5.
可见高度上有0.4m的余量，因此这辆卡车能通过该工厂的厂门.
总结归纳
构造直角三角形利用勾股定理解决生活中的实际问题：
在解一些求高度、宽度、长度、距离等的问题时，首先要结合题意画出符合要求的直角三角形，也就是把实际问题转化为数学问题，进而把要求的量看作直角三角形的一条边，然后利用勾股定理进行求解．
【做一做】
如图,以Rt△ABC的三边为边分别向外作正方形.在以BC为边所作的正方形中，点O是正方形对角线的交点,过点O作AB的平行线，交正方形于M、N两点，过点O作MN的垂线，交正方形于E、F两点，这样把正方形划分成四个形状和大小都一样的四边形.试将图中5个着色的图形拼入到上方空白的大正方形中，填满整个大正方形.
03
新知探究
03
新知探究
1. 如图，长为的橡皮筋放置在直线上，固定两端点
和，然后把中点向上拉升至 点，则橡皮筋被拉长了
( )
（第1题）
A. B. C. D.
√
返回
（第2题）
2. 如图，一圆柱体
的底面周长为，高为， 是
直径，一只蚂蚁从点 出发沿着圆柱体的侧
面爬行到点 的最短路程是( )
A. B. C. D.
√
返回
（第3题）
3.［2025洛阳期末］如图，在离水面
高度为8米的岸上，有人用绳子拉船
靠岸，开始时绳子 的长为17米，
几分钟后船到达点 的位置，此时绳
子 的长为10米，则船向岸边移动
了___米.
9
（第3题）
【点拨】 在 中，
，米，
（米）， 船向岸边移动了9米.
米，
（米） 米，
（米），
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（第4题）
4. 如图，在笔直的铁路
上有两点，，相距，， 为
两村庄，， ，
于点，于点 ，现要
在上建一个中转站，使得， 两
13.3
村庄到站的距离相等，则_____ .
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5.《国务院关于印发全民健身计划
（2021-2025年）的通知》文件提出，加大
全民健身场地设施供给，进一步增加全民
健身的热情.某市某健身广场为方便群众夜
间健身活动，在广场部分位置加装照明灯，
向阳兴趣小组利用长的竹竿测量照明灯灯板 的长.如
图，灯板垂直地面于点 ，第一次将竹竿的一个端点
与点重合，另一个端点落在地面上的 处，
第二次将竹竿的一个端点与点 重合，另一
个端点落在地面上的处.已知 ，
，求灯板 的长.
【解】由题意可知， .在
中，， ，则
.
在中，， ，
则 .
.
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6.在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有
一条雕龙从柱底沿石柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方，
石柱上刻有雕龙的部分的柱高约为16米，则雕刻在石柱上的
巨龙至少长为______.
20米
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7. 跷跷板是一种常见的儿童玩具.跷跷板一端
着地时如图①，支柱 地面，， 为握把，
且于，， .跷跷板可以绕点
转动，如图②是跷跷板水平时，即，此时点 ，
，，的对应点分别为点，，，，恰有 .则
跷跷板的长为_____ .
265
【点拨】由题意得，，，过 作
于， .
，.在 中，
， ，
.又， .
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8. 机械厂车间里的师傅利用剩余钢板边角料
加工机器零件.如图，是一块直角三角形钢板边角料，
，边长为10分米， 边长为6分米.
（1）求该钢板的面积为多少平方
分米；
【解】 ， 边长为10
分米， 边长为6分米，
该钢板的面积为24平方分米.
分米. （平方分米）.
（2）现要利用这块边角料截取一个以 为底边，且面积最
大的等腰三角形 .
①请用尺规作图法确定点 的位置（不写作法，不用证明，
保留作图痕迹）；
如图，点 即为所求.
②求出 的长.
如图，由作图可知是 的垂直平分线，
，
在中，根据勾股定理，得 ，
，解得 分米，
的长为6.25分米.
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05
课堂小结
本节课你学到了什么？
1.求圆柱侧面上两点间的最短路线长的方法：
解决这类题的关键是转化，即把圆柱展开，将曲线化成直线，构造直角三角形，再利用勾股定理求出结果.
2.构造直角三角形利用勾股定理解决生活中的实际问题：
在解一些求高度、宽度、长度、距离等的问题时，首先要结合题意画出符合要求的直角三角形，也就是把实际问题转化为数学问题，进而把要求的量看作直角三角形的一条边，然后利用勾股定理进行求解．

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