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华东师大版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.13.2.2勾股定理及其逆定理的综合运用第十三章勾股定理华东师大版八上13.2.2勾股定理及其逆定理的综合运用同步练习题一、选择题（每题4分，共20分）1.勾股定理及其逆定理的综合运用中，下列说法正确的是（）A.先用法则求边长，再判定直角三角形B.勾股定理：判直角；逆定理：求边长C.勾股定理：已知直角求边长；逆定理：已知边长判直角D.两个定理用法完全相同2.三角形三边长为9、12、15，则该三角形的面积为（）A. 54 B. 90 C. 108 D. 1803.在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=√11，则△ABC是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形4.若一个三角形的三边之比为5:12:13，则它的最大内角为（）A. 60°B. 90°C. 120°D. 150°5.综合运用题型的核心解题步骤是（）A.直接套公式计算B.先判断是否为直角三角形，再进行边长、面积计算C.先算面积再判形状D.仅判断三角形形状二、填空题（每题4分，共24分）1.勾股定理用于________，勾股定理逆定理用于________。2.三边长为6、8、10的三角形是________三角形，面积为________。3.综合解题核心思路：先________，后计算边长、周长、面积。4.若三角形三边满足$$a^2+c^2=b^2$$，则直角在________点。5.四边形求值问题，常分割为两个________三角形，利用勾股定理求解。6.判断三角形是否为直角三角形，必须以________边的平方为对比依据。三、解答题（每题9分，共36分）1.判断下列三角形是否为直角三角形，若是，求出三角形面积。（1）三边长：7、24、25（2）三边长：8、9、102.在△ABC中，AB=13，BC=5，AC=12。（1）判断△ABC的形状；（2）求AB边上的高。3.已知△ABC三边a=15，b=8，c=17，求证：△ABC是直角三角形，并求周长和面积。4.辨析简答：什么时候用勾股定理？什么时候用逆定理？四、综合证明应用题（共20分）1.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=4，CD=12，BC=13。求四边形ABCD的面积。（10分）2.在△ABC中，AB=20，AC=15，BC=25，点D是BC中点，求AD的长。（10分）参考答案一、选择题1.C 2.A 3.C 4.B 5.B二、填空题1.直角三角形求边长；边长判定直角三角形2.直角；243.判定三角形形状（判定直角）4. B5.直角6.最长三、解答题1.解：（1）$$7^2+24^2=49+576=625=25^2$$，是直角三角形面积$$=\dfrac{1}{2}\times7\times24=84$$；（2）$$8^2+9^2=64+81=145\neq100=10^2$$，不是直角三角形。2.解：（1）最长边AB=13，$$5^2+12^2=25+144=169=13^2$$∴△ABC是直角三角形，∠C=90°；（2）设AB边上高为h，$$S=\dfrac{1}{2}\times5\times12=\dfrac{1}{2}\times13\times h$$解得$$h=\dfrac{60}{13}$$。3.解：∵ $$8^2+15^2=64+225=289=17^2$$∴△ABC为直角三角形，∠C=90°周长$$=8+15+17=40$$面积$$=\dfrac{1}{2}\times8\times15=60$$答：周长为40，面积为60。4.简答：已知三角形是直角三角形，求边长、周长、高，用勾股定理；已知三角形三边长，判断是否为直角三角形、证明垂直，用勾股定理逆定理。四、综合应用题1.解：连接BD，∵ ∠A=90°，AB=3，AD=4∴ $$BD=\sqrt{3^2+4^2}=5$$∵ BD=5，CD=12，BC=13$$5^2+12^2=13^2$$，∴ ∠BDC=90°$$S_{ABCD}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle BCD}$$$$=\dfrac{1}{2}\times3\times4+\dfrac{1}{2}\times5\times12=6+30=36$$答：四边形面积为36。2.解：∵ $$15^2+20^2=225+400=625=25^2$$∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°∵ D为斜边BC中点直角三角形斜边中线等于斜边的一半∴ $$AD=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{25}{2}=12.5$$答：AD长为12.5。知识点拓展讲解（约400字）本节是整章勾股定理的综合收官重难点，核心是掌握“双向定理混用”，彻底区分性质与判定，解决几何综合、四边形分割、斜边上的高等进阶题型。核心解题逻辑（必考模板）：先逆后正。先用勾股定理逆定理，通过三边长判定三角形为直角三角形；再用勾股定理、直角三角形面积公式、斜边中线性质，求解高、边长、周长、面积。这是考试综合题的固定解题流程。高频拓展模型：不规则四边形面积问题，通过连接对角线分割为两个三角形，先判直角、再分别求面积求和；直角三角形斜边中线模型，判定直角后，直接用“斜边中线等于斜边一半”秒杀线段长度问题。本节核心易错点：不判定直角就直接用勾股定理计算、找错最长边导致判定失误、求斜边上的高不会用“等面积法”。熟练掌握本节综合运用，可完全攻克八上直角三角形所有计算与几何综合题型，为后续几何大题、动点问题、折叠问题筑牢核心基础。学习目标
1.能运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.(重点)
2.经历勾股定理的应用过程
3.熟练掌握其应用方法，明确应用条件.（难点）
02
新知导入
【想一想】我们学过的无理数有哪些
这些无理数是无限不循环小数，你能在纸上画出一条长度恰好为 的线段吗
02
新知导入
如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，我们能画出长度为1、2、3的线段，那么长度为 的线段怎么画？
03
新知探究
【思考】 是无理数，如何用勾股定理将其转化为几何线段
勾股定理是“a2+b2=c2 ”，若斜边c= ，则c2 =5，那么两直角边a、b满足什么关系
结合方格纸特点(直角边长度为正整数)，a和b分别是多少
a2+b2=5
a=1，b=2，因为12+22=5.
03
新知探究
【画一画】根据上面的推导，在方格纸上画一画.
A
·
第一步：定直角顶点。在方格纸的格点上取一点A作为直角顶点。
第二步：画直角边。从A点出发，沿水平方向向右画1个单位长度，标记点B；沿竖直方向向上画2个单位长度，标记点C。
B
C
第三步：连斜边。用直尺连接B、C两点，线段BC即为长度为 的线段。
03
新知探究
A
·
B
C
【想一想】为什么BC的长度是 ？
在Rt△ABC中，由勾股定理，可得
总结归纳
结合 的作图过程，想一想“用勾股定理在方格纸上画无理数线段
的一般步骤是什么 ”
第一步：定目标。明确要画的无理数 ，计算n的值(即斜边的平方)。
第二步：找直角边。确定两直角边长度a、b，满足a2+b2=n(a、b可为正整数或已画出的无理数线段)。
第三步：构直角。在方格纸上取格点作为直角顶点，画出长度为a、b的两条垂直直角边。
第四步：连斜边。连接两直角边的另一个端点，斜边即为表示 的线段。
03
新知探究
【例3】如图，在3×3的方格图中，每个小方格的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：
（1）画出所有从点A出发，另一个端点在格点(即小正方形的顶点)上，且长度为 的线段；
B
C
E
D
如图，AB、AC、AE、AD的长度均为
03
新知探究
【例3】如图，在3×3的方格图中，每个小方格的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：
（2）画出所有以小题（1）中所画线段为腰的等腰三角形.
B
C
E
D
如图，△ABC、△ABE、△ABD、△ACE、△ACD、△AED 就是所要画的等腰三角形.
03
新知探究
【例4】如图，已知CD= 6m，AD=8m，∠ADC=90°，BC=24m，AB=26m.求图中着色部分的面积.
分析：着色部分的面积=△ABC的面积-△ADC的面积，因此需要求出两个三角形的面积即可解决问题。
03
新知探究
【例4】如图，已知CD= 6m，AD=8m，∠ADC=90°，BC=24m，AB=26m.求图中着色部分的面积.
解：在Rt△ADC中，
∵ AC2= AD2+ CD2=82+62=100(勾股定理)，
∴AC=10.
∵ AC2+ BC2= 102+ 242= 676 = 262 = AB2，
∴△ACB为直角三角形(勾股定理的逆定理).
03
新知探究
【例4】如图，已知CD= 6m，AD=8m，∠ADC=90°，BC=24m，AB=26m.求图中着色部分的面积.
（第1题）
1. 如图，某港口 位于东西方向的海岸
线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自
沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时
分别航行12海里和16海里，1小时后两
船分别位于， 处，且相距20海里，
如果知道甲船沿北偏西 方向航行，
则乙船沿( )方向航行.
A. 北偏东 B. 北偏东
C. 南偏东 D. 南偏东
√
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2. ［2025淄博期中］如图，学校在校园围墙边缘开垦了一块
四边形菜地，测得， ，
，，且 ，这块菜地的面积
是( )
（第2题）
A. B. C. D.
√
【点拨】如图，连结 ，
，， ，
，
， ，
是直角三角形，且 ， 四边形 的
面积的面积 的面积
， 这块菜地的面积为 .
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3. 如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1，点
，， 都在格点上，则下列结论错误的是( )
A. B.
C. 的面积为10 D. 点到直线 的距离是2
√
【点拨】A. ，正确，故
不符合题意；B.因为 ，
， ，所以
，所以 ，正
确，故不符合题意；C.
，错误，
故符合题意；D.设点到直线的距离为，因为 ，
所以，则，解得 ，即
点到直线 的距离是2，正确，故不符合题
意.
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4.如图，在笔直的公路 旁有一座山，
为方便运输货物现要从公路上的 处
开凿隧道修通一条公路到处，已知点
与公路上的停靠站的距离为 ，与
公路上另一停靠站的距离为，停靠站， 之间的距
离为，且 .
（1）求修建的公路 的长.
【解】， ，
， ，
是直角三角形，且
， ，
.故修建的公路的长是 .
（2）一辆货车从处到 处走过的路程是多少？
在中， ，故一辆货车
从处到处走过的路程是 .
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5. 如图是 的正方形网格
（每个小方格的边长为1），每个小正方形
的顶点称为格点，点， 均在格点上，只
用无刻度的直尺在图中以线段 为底画一
个等腰直角三角形，要求点 在格点
上，并证明三角形 是等腰直角三角形.
【解】如图所示.
证明：由题意知 ，
,
， ，满足勾股定理
的逆定理，故这两个三角形都是满足条件的等腰直角三角形.
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6. 如图，某小区的两个喷泉
，之间的距离为 .现要为喷泉铺设供
水管道，，供水点在小路 上，供水
点到的距离的长为， 的长为
，则喷泉到小路 的最短距离为
( )
A. B. C. D.
√
7.如图是由8个完全相同的小正方形
组成的网格，现将外围的格点从1号
到12号按顺序进行编号，点， ，
分别在2号、6号和10号格点上，如
果按顺时针方向同时移动，，
6
三点，各点每次只移动到下一个格点，这样绕长方形外围一
周回到原先的位置，在这个过程中， 有___次成为直角
三角形.
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05
课堂小结
本节课你学到了什么？
1.用勾股定理在方格纸上画无理数线段的步骤：
第一步：定目标。
第二步：找直角边。
第三步：构直角。
第四步：连斜边。
2.勾股定理及其逆定理的综合运用.

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