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华东师大版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.章末复习第10章数的开方第10章数的开方全章综合复习（知识点+全套习题）【全章核心知识点总结】10.1平方根1、平方根定义：如果一个数的平方等于$$a$$（$$a\ge0$$），那么这个数叫做$$a$$的平方根。即：若$$x^2=a$$，则$$x$$是$$a$$的平方根。2、平方根性质（必考）：①正数有两个互为相反数的平方根；②0的平方根是0；③负数没有平方根（平方数非负）。3、算术平方根：正数$$a$$的正的平方根，记作$$\sqrt{a}$$，0的算术平方根是0。4、核心区别：平方根：$$\pm\sqrt{a}$$（两个值，0除外）算术平方根：$$\sqrt{a}$$（唯一非负值）5、双重非负性：$$\sqrt{a}\ge0$$、$$a\ge0$$（考试高频考点，常用于求值）6、基础公式：$$(\sqrt{a})^2=a(a\ge0)$$，$$\sqrt{a^2}=|a|$$10.2立方根1、立方根定义：若$$x^3=a$$，则$$x$$叫做$$a$$的立方根，记作$$\sqrt[3]{a}$$。2、立方根性质（与平方根核心区别）：①正数的立方根是正数；②负数的立方根是负数；③0的立方根是0；④任意实数都有且只有一个立方根。3、核心公式：$$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$$，$$(\sqrt[3]{a})^3=a$$10.3实数1、实数分类：有理数和无理数统称为实数。2、有理数：整数、分数，有限小数、无限循环小数。3、无理数（三类必考）：①开方开不尽的数：$$\sqrt{2}、\sqrt{3}、\sqrt{5}$$等；②特殊常数：$$\pi$$；③无限不循环小数。4、实数与数轴：实数和数轴上的点一一对应。5、实数性质：①相反数：$$a$$的相反数是$$-a$$；②绝对值：正实数绝对值是本身，负实数绝对值是相反数，0的绝对值是0；③倒数：非零实数$$a$$的倒数为$$\dfrac{1}{a}$$。6、实数大小比较：数轴上右边的数总比左边的数大。---【第10章全章综合练习题】一、选择题（每题4分，共20分）1.下列说法正确的是（）A.任意数都有两个平方根B.负数没有立方根C. 0的算术平方根是0D. $$\sqrt{16}=\pm4$$2.下列各数中，属于无理数的是（）A.$$\sqrt{4}$$ B. $$\dfrac{1}{3}$$ C. $$\sqrt{7}$$ D. 0.253. $$\sqrt{81}$$的平方根是（）A. 9 B. $$\pm9$$ C. 3 D. $$\pm3$$4.立方根等于本身的数是（）A. 0 B. 1、-1 C. 0、1、-1 D.任意实数5.实数$$a$$、$$b$$在数轴上对应点位置如图，下列结论正确的是（）A. $$a>b$$ B. $$|a|<|b|$$ C. $$a+b>0$$ D. $$-a<-b$$二、填空题（每题4分，共24分）1. 16的平方根是________，算术平方根是________。2. $$\sqrt[3]{-27}=$$________，$$\sqrt{0.09}=$$________。3.若$$x^2=25$$，则$$x=$$________；若$$x^3=-8$$，则$$x=$$________。4.无理数的核心特征是________小数。5.实数与数轴上的点是________关系。6.若$$\sqrt{x-2}$$有意义，则$$x$$的取值范围是________。三、解答题（每题9分，共36分）1.计算：（1）$$\sqrt{36}-\sqrt[3]{8}$$（2）$$\sqrt{16}+\sqrt{(-3)^2}$$（3）$$\sqrt[3]{64}-\sqrt{25}$$2.求下列各式中$$x$$的值：（1）$$x^2-49=0$$（2）$$(x-1)^3=27$$3.将下列各数分类：$$-3、0、\sqrt{5}、\sqrt{16}、\dfrac{\pi}{2}、0.101001\cdots$$（1）有理数（2）无理数4.已知$$\sqrt{x+3}+|y-2|=0$$，求$$x+y$$的值。四、综合应用题（共20分）1.一个正数的两个平方根分别是$$2a-1$$和$$a-5$$，求这个正数。（10分）2.已知一个正方体的体积是$$343\mathrm{cm^3}$$，求这个正方体的棱长。（10分）---【全章习题参考答案】一、选择题1.C 2.C 3.D 4.C 5.B二、填空题1. $$\pm4$$；42. -3；0.33. $$\pm5$$；-24.无限不循环5.一一对应6. $$x\ge2$$三、解答题1.解：（1）原式$$=6-2=4$$（2）原式$$=4+3=7$$（3）原式$$=4-5=-1$$2.解：（1）$$x^2=49$$，解得$$x=\pm7$$（2）$$x-1=3$$，解得$$x=4$$3.解：有理数：$$-3、0、\sqrt{16}$$无理数：$$\sqrt{5}、\dfrac{\pi}{2}、0.101001\cdots$$4.解：∵ $$\sqrt{x+3}\ge0，|y-2|\ge0$$，且和为0∴ $$x+3=0，y-2=0$$解得：$$x=-3，y=2$$$$x+y=-3+2=-1$$四、综合应用题1.解：正数的两个平方根互为相反数∴ $$2a-1+a-5=0$$$$3a-6=0$$，解得$$a=2$$代入得平方根：$$3$$和$$-3$$这个正数为：$$3^2=9$$答：这个正数是9。2.解：设正方体棱长为$$x\mathrm{cm}$$由题意得：$$x^3=343$$解得：$$x=\sqrt[3]{343}=7$$答：正方体的棱长为7cm。【全章易错点终极汇总】1、混淆平方根与算术平方根：平方根有正负两个，算术平方根只有非负值，$$\sqrt{a}$$默认取正。2、易错考题：$$\sqrt{81}$$的平方根，需先算出$$\sqrt{81}=9$$，再求9的平方根为$$\pm3$$。3、平方根、立方根区别：负数无平方根，但负数有立方根。4、二次根式有意义条件：被开方数$$a\ge0$$，牢记双重非负性。5、无理数判断误区：带根号的数不一定是无理数（如$$\sqrt{16}$$），开方开不尽的才是。6、易错公式：$$\sqrt{a^2}=|a|$$，不等于$$a$$，负数开方后要变号。7、正数的两个平方根互为相反数，解题常用此性质列方程求值。8、0、1、-1是特殊数，平方根、立方根等于本身的数需区分记忆。知识结构
实 数
有理数
无理数
实际问题
平方根
立方根
算术平方根
立方
平方
思考并回答下列问题：
问题1：平方根与立方根的定义是什么？它们有什么性质？
问题2：有理数与实数的定义是什么？
问题4：实数的相反数、绝对值、倒数与有理数相同吗？
问题5：实数运算法则、运算律与有理数相同吗？
问题3：数轴上的点与实数有什么关系？你是怎么理解的？
要 点
1.掌握平方根、算术平方根、立方根的意义是学习本章的关键.在研究时，要抓住平方根（立方根）与平方（立方）之间的关系，例如，可以通过平方（立方）运算来寻求平方根（立方根），并可以用来验证开平方（开立方）的正确性.
2.在实数范围内，任意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.任意一个实数有且只有一个立方根，正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数.
3.有理数和无理数统称为实数.实数与数轴上的点之间有着一一对应关系.这是数集从有理数集扩充到实数集的一大进步，使数的知识更加丰富.
一、平方根、算术平方根和立方根的概念与性质
概 念 表示 主要性质
平方根
算术 平方根
立方根
若 ，则 x 叫做 a 的平方根.
正数有两个平方根，互为相反数.
0 的平方根是 0.负数没有平方根.
若 ，则 x 的非负数值叫做 a 的算术平方根.
非负性：当 a≥0 时， ≥0.
若 ，则 x 叫做的立方根.
正数的立方根是一个正数；
负数的立方根是一个负数；
0 的立方根是 0.
联 系 平方根与算术平方根：(1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一种；(2)存在条件相同：平方根和算术平方根都只有 才有；(3)0 的平方根、算术平方根均为 　.
平方根与立方根：(1)都与相应的乘方运算互为 　运算；(2)都可归结为非负数的非负方根来研究．平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立方根也可通过转化为正数的立方根来研究，即 ＝　　 ；
(3)0 的平方根和立方根都是 0.　
非负数
0
逆
二、开平方与开立方
求一个非负数 a 的　 　的运算，叫做开平方.
其中 a 叫做　 　.
求一个数 a 的　 　的运算，叫做开立方．其中 a 叫做　 　.
开平方与　 　、开立方与　 　都分别互为逆运算.
平方根
被开方数
立方根
被开方数
平方
立方
[点拨] (1)求正数的平方根时，往往先求出其算术平方根，再在求出的数前面加上“±”号；
(2)根据平方(立方)运算与开平方(开立方)运算互为逆运算的关系，我们可以通过平方(立方)运算来求一个数的平方根(立方根)．
用计算器求一个正数 a 的算术平方根，只需要按书写顺序在计算器上依次键入 .
1. 用计算器求一个正数的算术平方根
三、用计算器求算术平方根、立方根
2. 用计算器求立方根
用计算器求一个数 a 的立方根，只需要按书写顺序在计算器上依次键入 .
a
EXE
3
EXE
a
四、实数
1.实数的分类
无理数：
无限不循环小数
有理数：有限小数或无限循环小数
实数
分数
整数
开不尽方的数开方所得结果
有规律但不循环的无限小数
……
化简后含有 的数
按概念分：
正实数
负实数
数实
负有理数
正有理数
按符号分类：
0
负无理数
正无理数
0
正实数
负实数
2. 实数与数轴
(1)实数和数轴上的点是一一对应的关系；
(2)在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的
数大.
3. 在实数范围内，有理数的有关概念、运算法则同样适用.
考点1 平方根
1. 的平方根是( )
D
A. 9 B. 9和 C. 3 D. 3和
2. 下列说法正确的是( )
A
A. 的平方根是
B. 的算术平方根是5
C. 的平方根是7
D. 1的平方根和算术平方根都是1
返回
3.已知，当最小时， 的算术平方
根为___.
1
4. 已知9，16和 三个数，使这三个数中的一
个数是另外两个数乘积的一个平方根，写出所有符合条件的
数 的值：_____________.
，，
返回
5.如图，在 的方格中（每个小正方形
的边长为1），四边形 是正方形，
利用面积的关系可得正方形 的边长
是____.
【点拨】
，所以正方形的边长是 .
返回
考点2 立方根
6. 的立方根为( )
A
A. B. C. D. 不存在
7.将体积分别为和 的长方体铁块，熔成一个
正方体铁块，那么这个正方体铁块的棱长是___ .
9
返回
8.已知与互为相反数其中，则 __.
【点拨】由与互为相反数可得 与
互为相反数，所以 ，整理得
.将代入可得， .
返回
考点3 实数及分类
9. 在实数，，，0， ， ，
中，无理数有( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
返回
10.把下列各数填入相应的集合内：
（每两个2之间的1依次多一个）， ，
，，，，，， .
正有理数集合：{_______ …}；
正无理数集合：{ ____________________________________
_________________ …}；
,
（每两个2之间的1依次多一个），，
负有理数集合：{_ ______ …}；
负无理数集合：{______________________ …}；
正实数集合：{_______________________________________
________________________ …}；
负实数集合：{_ __________________________ …}.
,
,,,,
,,,,,
（每两个2之间的1依次
多一个），，， ，
【解】正有理数集合： ；
正无理数集合： （每两个2之间的1依次
多一个），， ；
负有理数集合： ；
负无理数集合：{-,,, ,…}；
正实数集合： （每两个2之间的1依次多
一个），，，， ；
负实数集合：,,,,,… .
返回
考点4 实数的性质
11. 是 的( )
A
A. 相反数 B. 平方根
C. 绝对值 D. 算术平方根
12. ［2025天津和平区月考］ 的绝对值是( )
A
A. 3 B. C. D.
13.的倒数是_____， _______.
返回
考点5 估算与大小比较
14. 若，，，则，，
的大小关系为( )
D
A. B. C. D.
返回
15. ［2025成都郫都区期中］如图，若数轴上的点， ，
，，表示数，0，1，2，3，则表示的点 应在
( )
C
A. 线段上 B. 线段 上
C. 线段上 D. 线段 上
返回
16. 大、中、小三个正方形
按如图所示的方式摆放，若大正方形的面积
为5，小正方形的面积为1，则正方形
的边长可能是( )
B
A. 1 B. C. D. 3
17.比较大小：___11，___2.（填“ ”或“ ”）
返回
考点6 实数的运算
18. 下列各数中，与 的和为有理数的是( )
B
A. B. C. D.
【点拨】 ，是无理数；
，是有理数;
，是无理数；
，是无理数，故选B.
返回
19.计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） .
原式 .
返回
20.［2025重庆江津区月考］我们用表示不大于 的最大整
数.的值称为数的小数部分，如， 的小
数部分为 .
（1）___， ____；
1
（2）设的小数部分为，求 的值.
【解】， 的整数部分为2.
的小数部分为， .
， .
.
返回
思想1 方程思想
21. 已知，则
( )
C
A. 0 B. C. 1 D. 2 026
返回
思想2 数形结合思想
22. ［2025佛山三水区期中］已知实数，， 在数轴上的对
应点如图所示，则 ( )
C
A. B. C. D.
返回
思想3 分类讨论思想
23.已知，其中， 均为整数，
则 _________.
0或2或4
【点拨】，其中， 均为整
数，，， 可分三种情况：①
当，时， ，
， ；②当
，时， 或
，， 或
；③当 ，
时，或， ，
或
.综上， 或2或0.
返回
思想4 整体思想
24.已知， ，且
，，求 的值.
【解】， ，
①, ，
将①变形得 ,
将②代入③,得，将代入②，得 .
， ，
，即, .
.
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