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华东师大版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.章末复习第13章勾股定理第14章数据的收集与表示全章综合复习（知识点+全套习题）【全章核心知识点总结】14.1.1数据有用吗1、数据的价值：客观反映事实、发现规律、预测趋势、辅助科学决策。2、核心思想：用数据说话，数据判断优于主观猜测，更客观、准确。3、应用场景：生活决策、商业经营、校园统计、气象预测、社会调查。14.1.2获取数据（普查与抽样调查）1、两种调查方式：普查：对全体对象调查，结果精准；费时费力，适合范围小、无破坏性、要求精准的调查。抽样调查：抽取部分对象调查，省时高效；存在误差，适合范围广、数量大、有破坏性的调查。2、四大统计概念：总体：所要考察的全体数据个体：每一个考察的数据样本：抽取的一部分个体的数据样本容量：样本中个体的数量（纯数字，无单位）3、抽样要求：样本必须具有随机性、代表性、广泛性。14.2.1频数直方图1、核心概念：频数：每组数据的个数（整数）频率：频数与总数的比值（小数/百分数）2、万能公式：频率=频数÷数据总数频数=数据总数×频率数据总数=频数÷频率3、重要性质：所有组频数之和=数据总数所有组频率之和= 14、直方图特点：小长方形无间隔，展示连续数据分布。14.2.2扇形统计图1、作用：清晰反映部分与整体的百分比关系。2、核心公式：部分占比=部分数量÷总体数量圆心角度数= 360°×对应百分比部分数量=总体数量×百分比3、性质：所有扇形百分比和为100%，圆心角总和为360°。4、短板：无法直接看出具体数据大小，不同总体扇形图不能直接对比数量。14.2.3容易误导读者的统计图1、三大误导原因：①条形/折线图纵轴不从0开始，夸大数据微小差距；②对比统计图刻度、单位不统一，无法公平对比；③立体、异形统计图，利用视觉误差放大数据差异。2、核心原则：看图不看样，读数才算王，一切以真实数据计算为准，不凭视觉判断。三大统计图终极对比（必背）条形统计图：看数量多少折线统计图：看变化趋势扇形统计图：看部分整体比例频数直方图：看数据分布规律---【第14章全章综合练习题】一、选择题（每题4分，共20分）1.下列调查适合普查的是（）A.调查一批灯泡使用寿命B.调查本班同学视力C.调查全国学生身高D.调查长江水质2.为了解全校学生睡眠时间，抽取100名学生调查，样本是（）A.全校学生B. 100名学生C. 100名学生的睡眠时间D.全校学生睡眠时间3.一组数据共50个，某组频数为10，该组频率为（）A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.44.某部分占总体30%，对应扇形圆心角为（）A. 30°B. 72°C. 108°D. 144°5.容易误导读者的统计图特点是（）A.刻度规范B.纵轴截断不从0开始C.标注完整D.单位统一二、填空题（每题4分，共24分）1.统计中，样本容量是指样本中个体的________，无单位。2.所有组频率之和等于________，频数之和等于________。3.扇形统计图用来表示________与________的比例关系。4.条形统计图纵轴不从0开始，容易________数据差异，造成视觉误导。5.想要观察数据增减变化趋势，选用________统计图。6.抽样调查的样本必须具有随机性、________、________。三、解答题（每题9分，共36分）1.判断下列调查方式是普查还是抽样调查，并说明理由。（1）检测一批烟花爆竹的爆炸性能（2）统计班级同学校服尺码（3）调查全国初中生阅读时长2.一组数据共80个，分为4组，频数分别为16、24、20、20，求每组频率。3.已知总人数150人，其中男生90人，女生60人，求男、女生对应扇形圆心角度数。4.简答：如何避免被误导性统计图欺骗？写出两条核心方法。四、综合应用题（共20分）1.某班50名学生体育测试成绩统计：60以下5人，60-70分10人，70-80分15人，80-90分12人，90-100分8人。求各组频率，并指出人数最多的分数段。（10分）2.某商家两款产品销量：甲105件，乙101件，绘制统计图时纵轴从100开始，视觉上差距巨大。请分析该图的误导之处，并说明正确读图方式。（10分）---【全章习题参考答案】一、选择题1.B 2.C 3.B 4.C 5.B二、填空题1.数量2. 1；数据总数3.部分；整体4.夸大5.折线6.代表性；广泛性三、解答题1.解：（1）抽样调查，调查具有破坏性；（2）普查，范围小、数量少、结果要求准确；（3）抽样调查，范围广、人数庞大，普查耗时耗力。2.解：总数据80个第一组：16÷80=0.2第二组：24÷80=0.3第三组：20÷80=0.25第四组：20÷80=0.253.解：男生占比：90÷150=60%，圆心角=360°×60%=216°女生占比：60÷150=40%，圆心角=360°×40%=144°4.答：①不依靠图形高矮、起伏的视觉效果判断数据，以具体数值计算为准；②检查统计图坐标轴刻度、起点、单位是否规范统一，拒绝截断、不标准的统计图。四、综合应用题1.解：总人数50人60分以下：5÷50=0.160-70分：10÷50=0.270-80分：15÷50=0.380-90分：12÷50=0.2490-100分：8÷50=0.16人数最多的分数段：70～80分2.解：误导之处：纵轴从100开始，截断了基础数值，刻意放大了4件的微小销量差，视觉上营造出甲产品销量远超乙产品的假象，误导读者判断。正确读图方式：摒弃视觉观感，读取真实数据，甲乙销量仅相差4件，整体销量基本接近；判断数据差距必须以数值计算结果为准，不依赖统计图外观。【全章易错点终极汇总】1、总体、样本都是数据，不是人或物体；样本容量无单位。2、频率是比值（≤1），频数是个数（整数）。3、扇形图只能看比例，不能直接比数量，不同总体无法对比。4、直方图无间隔，普通条形图有间隔，二者不可混淆。5、统计图看图核心：看数不看图，看刻度不看高矮。6、有破坏性、范围广一定用抽样；精准、范围小一定用普查。1．勾股定理
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 　 .
即：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为 a、b，斜边为 c ，那么一定有　 　.
平方
a2＋b2＝c2
勾股定理表达式的常见变形：a2＝c2－b2，b2＝c2－a2，
勾股定理分类计算：如果已知直角三角形的两边是 a、b (且 a＞b)，那么，当第三边 c 是斜边时，c＝_________；当 a 是斜边时，第三边 c＝_________.
注意事项 只有在直角三角形里才可以用勾股定理，运用时要分清直角边和斜边．
据说验证勾股定理的方法有五百多种，其中很多是用平面图形的面积来进行验证的，比如我国古代的数学家赵爽就用了下面的方法：
2．勾股定理的验证
∵四个直角三角形与中间的小正方形
拼成了一个大正方形，
∴4×ab＋(b－a)2＝c2，
∴a2＋b2＝c2.
3．勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长 a、b、c 有关系：a2＋b2＝ ，那么这个三角形是直角三角形．
利用此定理判定直角三角形的一般步骤：
(1) 确定最大边；
(2) 算出最大边的平方与另两边的　 　 ；
(3) 比较最大边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则说明这个三角形是　 　三角形．
平方和
直角
c2
4．勾股数
能够成为直角三角形三条边长的三个　 　数，称为勾股数，即满足 a2＋b2＝c2 的三个　 　数 a、b、c，称为勾股数．
[注意] 勾股数都是正整数．
正整
正整
5．勾股定理的应用
应用勾股定理及其逆定理可解决如下问题：
(1) 已知 三角形的任意两边，求第三边长或图形周长、面积的问题；
(2) 说明线段的平方关系问题；
(3) 在　 上作表示 等数的点的问题；
(4) 解决实际问题．一些实际问题，如解决圆柱侧面两点间距离问题、航海问题、折叠问题、梯子下滑问题等，常直接或间接运用勾股定理及其逆定理．
直角
数轴
考点1 勾股定理及其应用
（第1题）
1. 《九章算术》是我国古代最
重要的数学著作之一，在《勾股》章中记载了一
道“折竹抵地”问题.对这个问题稍作改编，如图，
在中， ， ，
，则 的长为___.
4
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（第2题）
2.如图甲是我国古代著名的“赵爽
弦图”的示意图，它是由四个全等
的直角三角形围成的.在
中，若直角边， ，
将四个直角三角形中边长为6的直
角边分别向外延长一倍，得到如
76
图乙所示的“数学风车”，则这个 “数学风车”的外围周长
（图乙中的实线）是____.
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3. 一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观
察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面的高度 米，
如图，与小狗的距离米，小狗的高 米.
（绳子一直是直的）
（1）此时牵狗绳 的长是多少？
【解】如图，过点作 于
点 ，
则易知 米，
米，
米，
（米），即此时牵
狗绳 的长为2.6米.
（2）小方将手上的小球扔至3米远的 处，若她站着不动，
牵狗绳最长放至4米，则小狗能否将小球捡回来？请说明理
由.（假设小狗碰到球就能将球捡回来）
小狗能将小球捡回来.理由：如图，
过点作，交 的延长
线于点，连结 ，
易知米， 米，
（米）.
米米， 小狗能将小球捡
回来.
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考点2 勾股定理的逆定理及其应用
4.如图， ，，，， ，
则 ____.
（第4题）
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（第5题）
5. 如图是某超市购物车的侧面
简化示意图.测得支架 ，
，两轮中心的距离 ，
则点到的距离为___ .
（第5题）
【点拨】过作于 ，
，， ，
是直角三角形，
且 . 的面积
， ，
解得，即点到的距离为 .
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6.［2025西安碑林区期中］如图，
在中， ，
， .
（1）判断 的形状，并说明理由；
【解】是直角三角形.理由：， ，
，， 是
直角三角形.
（2）若为线段上一点，连结，且 ，求
的面积.
，， 设
，则 ，
.由（1）知，
是直角三角形，且 ，
，即 ，
解得 .
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考点3 勾股数
7. 法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如
的方程，显然，这个方程有无数组解.我们把满
足该方程的正整数的解称为勾股数.如 就是一组
勾股数.
（1）请你再写出两组勾股数：（__________），
（_________________________）；
6，8，10
9，12，15（答案不唯一）
（2）在研究直角三角形的勾股数时，古希腊哲学家柏拉图
曾指出：如果表示大于1的整数，， ，
，那么以，， 为三边的三角形为直角三角形
（即，， 为勾股数），请你加以说明.
【解】，，， 为勾股数.
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考点4 反证法
8. 用反证法证明“在中，，， ，
且 ，那么 .”应先假设
( )
A.
B.
C.
D. 或
√
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9.用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个
内角的和.
已知：如图，是 的一个外角.
求证： .
【证明】假设,在 中,
, .
, .
,与假设相矛盾. 假设不成立.
.
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思想1 数形结合思想
10.［2025青岛期中］如图， ，正方形 和
正方形的面积分别是289和225，则以 为直径的半圆
的面积是____.
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思想2 转化思想
（第11题）
11. 如图，在 中，
，，是 边上
的高，若，分别是和 上的动点，
连结，.则 的最小值是
( )
A. 4.8 B. 6 C. 9.6 D. 12
√
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（第12题）
12.如图，四边形 是一块长方形
土地，， ，
中间竖有一堵高 的长方体砖墙
，一只蚂蚁从点 爬到
点 ，它必须翻过中间那堵墙，则它
至少要爬____ .
26
【点拨】如图，
将题图展开，，连结 ，则
即为蚂蚁爬行的最短路径.易知四边形 为长方形.
在中，， .
.
它至少要爬 .
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思想3 方程思想
13.如图，在中， ，，，
为上一点，若是的平分线，则 ___.
5
（第13题）
（第13题）
【点拨】过点作于点 ，
，.又 是
的平分线， ，
.
在和 中，
.在 中，
， .设
，则
，在
中， ，即
，解得 ，
.
（第13题）
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（第14题）
14.［2024陕西］如图，在 中，
，是边上一点，连结 ，
在的右侧作，且 ，
连结.若， ，则四
边形 的面积为____.
60
（第14题）
【点拨】 ，
，
.
平分.过点作 于
点，于点 ，则
， ，且
， 四边形 的面积为
， .设
，则 ，由勾股定
理，得
，
，解得
， .
（第14题）
四边形
的面积为60.
（第14题）
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思想4 分类讨论思想
15.［2025常州期中］在中，，，
为边上的高，且，则 _______.
7或25
【点拨】根据题意，得,， ，
， ，
.当 为钝角时，
如图①， ；
当 为锐角时，如图②，此时
.
综上， 或25.
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16.如图，为直线上的一个动点，于点， 于
点，点在点的右侧，并且点，在直线 的同侧，
，，连结，，，当 的长为
___________时， 为直角三角形.
6或4或
【点拨】第一种情况：如图①，当 时，过 作
于 ，
，， 四边形 为长方形.
， .由勾股
定理，得 ，
，
，
， ，
解得 ；
第二种情况： 如图②，当时，过作
于，易得， ，由勾股定理，得
， ，
，
， ，
解得；第三种情况：当 时，由勾股定理，
得 ，由第二种情况，易得
，即 ，
.综上，当的长为6或4或时， 为直角三角形.
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