资源简介

专题14.相似三角形中的八大重要模型
本专题包含相似三角形中的八大重要模型，主要有：（双）A字型、（双）8（X）字型、母子型（共边共角模型）、手拉手模型、一线三等角模型、对角互补模型、半角模型、十字架模型等。通过这些综合训练希望能让大家弄清楚这些模型的适用条件，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！
1．（浙江温州·三模）如图，在中，平分分别交，，延长线于点，，，记与的面积分别为，，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，∴，
∵平分，∴，∴，∴，
∵，∴设，，则，，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，，
∴，，∴，∴，
∴，即，故选：C．
2.（2026八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，与交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、，作直线，分别交、于点、，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，，
∵以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，，，
∵垂直平分，，
，，，，，故选：A．
3．（2026翠屏区八年级上学期期末数学试题）在Rt△ABC中，，AC=BC，D为BC的中点，过C作CE⊥AD于点E，延长CE交AB于点F，，连接FD；若AC=4，则CF+FD的值是（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【详解】证明：作BG⊥CB，交CF的延长线于点G，如图所示：
∵∠CBG=90°，CF⊥AD，∴∠CAD+∠ADC=∠BCG+∠ADC=90°，∴∠CAD=∠BCG，
在△ACD和△CBG中， ，∴△ACD≌△CBG（ASA），∴CD=BG，CG=AD
∵D为BC的中点∴CD=BD，∴BG=BD，∵∠ABC=45°，∴∠FBD=∠GBF=∠CBG，
在△BFG和△BFD中，，∴△BFG≌△BFD（SAS），
∴FG=FD，∴CF+FD=CF+FG=CG=AD
又∵，AC=BC，AC=4，∴ ∴CF+FD=AD=故选：A
4．（2026九年级下·广东·专题练习）如图，在中，，高，正方形一边在上，点E，F分别在，上，交于点N，则的长为（　　）
A．15 B．20 C．25 D．30
【答案】B
【详解】解：设正方形的边长，
∵四边形是正方形，，，，
∵是的高，，∴四边形是矩形，，
，（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
，，，解得：，．故选：B．
5．（2026·成都市·九年级期中）如图所示，在中，，，在中，，点P在上，交于点E，交于点F．当时，的值为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】解：∵在中，，，∴AC= ，
过P作PH⊥BC于H，PQ⊥AB于Q，则∠PQB=∠PHB=∠B=90°，
∴四边形PQBH是矩形，∴PH=BQ，∠QPH=90°=∠MPN，PQ∥BC，
∴∠EPH+∠QPE=∠EPH+∠HPF=90°，∴∠QPE=∠HPF，
∴△PQE∽△PHF，∴，又PE=2PF，∴PQ=2PH=2BQ，
∵PQ∥BC，∴△AQP∽△ABC，∴，
设BQ=x，则AQ=3﹣x，PQ=2x，∴，解得：，AP=3，故选：C．
6．（2026山西·九年级校考期中）如图，在正方形中，点、分别是、边上的两点，且，、分别交于、．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论是（ ）
A．①②④ B．①④ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【详解】解：∵∠BAN＝∠BAM+∠MAN＝∠BAM+45°，
∠AMD＝∠ABM+∠BAM＝45°+∠BAM，∴∠BAN＝∠AMD．
又∠ABN＝∠ADM＝45°，∴△ABN∽△MDA，∴AB：BN＝DM：AD．
∵AD＝AB，∴AB2＝BN DM．故④正确；
把△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADH．
∵∠ADF＝∠ADH＝90°，∴D、F、H在同一直线上，
∵∠BAD＝∠EAH＝90°，∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠HAF＝45°．
∵AE＝AH，AF＝AF，∴△AEF≌△AHF（SAS），
∴∠AFH＝∠AFE，即AF平分∠DFE．故②正确；
③∵AB∥CD，∴∠DFA＝∠BAN．∵∠AFE＝∠AFD，∠BAN＝∠AMD，∴∠AFE＝∠AMN．
又∠MAN＝∠FAE，∴△AMN∽△AFE．∴AM：AF＝AN：AE，即AM AE＝AN AF．故③正确；
由△AEF≌△AHF，可得EF＝FH，得BE+DF＝DH+DF＝FH＝FE．故①正确．故选：D．
7．（湖北黄石·中考真题）如图，将绕点A逆时针旋转到的位置，使点落在上，与交于点E若，则 （从“”中选择一个符合要求的填空）； ．

【答案】 （答案不唯一）
【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到，
∴，∴，即，
∵将绕点A逆时针旋转得到，∴，，
∴，∴，∴，即，解得：，
∵四边形是平行四边形，，∴，∴，
设，，则，，
∵，∴，∴，
∴，整理得：，把代入解得：故答案为：，．
8．（广东深圳·校考模拟预测）如图，已知等边三角形绕点顺时针旋转得，点、分别为线段和线段上的动点，若，则下列结论：①四边形为菱形；②；③为等边三角形；④；⑤若，，则．正确的有（填序号） ．
【答案】①②③④
【详解】解：由等边三角形和旋转的性质可知AB=AC=BD=CD，即四边形ABDC为菱形，故①正确；
∵在△ABE和△CBF中，，∴△ABE △CBF(SAS)，故②正确；
∵△ABE △CBF，∴BE=BF，∠ABE=∠CBF，
∵∠ABC=∠ABE+∠EBC=60°，∴∠CBF+∠EBC=60°，即∠EBF=60°，
∴△BEF为等边三角形，故③正确；
∵∠CFB=∠CFG+∠BFG，∠CGE=∠CFG+∠FCG，
又∵∠FCG=60°，∠BFG=60°，∴∠CFB=∠CGE，故④正确；
∵AE=CF=1，∴BC=AC=AE+CE=4，∵∠CFB=∠CGE，∠ECG=∠BCF=60°，∴△CFB △CGE，
∴，即∴CG=，∴BG=BC CG=4 =，故⑤错误．
综上，①②③④正确．故答案为①②③④．
9．（四川成都·中考真题）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则 ．

【答案】
【详解】解：连接，过E作于F，设，，

∵，为中点，∴，又，
∴，，，∴，，
∵，∴，则，又，
∴，∴，，
∴，则；
∵是的一条角平分线，∴，又，
∴，∴∴，则，
∴，即，解得（负值已舍去），故答案为：．
10．（2026八年级下·上海青浦·期末）如图，点在矩形的边上，过点作的垂线，与边交于点，若，，，点分别是、的中点，则线段的长为 ．
【答案】
【详解】解：如图，连接，
，
∵四边形为矩形，∴，，，∴，∵，∴，∴，
∴，∴，∴，即，∴，
∴，∴，
∵点分别是、的中点，∴是的中位线，∴，故答案为：．
11．（2026九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在等边三角形中，分别是边上的点，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，若，则为 （用含m的式子表示）．
【答案】
【详解】解：是等边三角形，，，
由折叠的性质得到，，
，，，
，设，则，∴，
∴，可化为，∴，
∴，∴，
又∵，即有，
∴，∴，故答案为：．
12．（2026八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，相交于点M，过点M作垂直于交于点H，已知，则的值为 ．

【答案】
【详解】∵，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴，故答案为：．
13．（2026九年级上·浙江·课后作业）如图，在中，，，．将线段绕点B顺时针旋转得到线段，过点D作交的延长线于点E，连接交于点N，则 ．
【答案】
【详解】解：如图，作交CE于点M，
易得．是由BC绕点B顺时针旋转得到的，，，
∵∴∵∴
∵∴∵∴
在和中，，，，，，
， ，，即，．
，，．
14.（2026·南通·模拟预测）如图，已知是等边内的一点，且，延长，，分别交，于点D，E．若，，则的周长等于 ．

【答案】
【详解】解：如图，作于点F，∵在等边中，，∴，

由勾股定理得，，∵，∴，在中，，
∵P是等边内的一点，且，∴，
∵，∴，又∵，∴，
∴，即，解得，，∴，
∴的周长．故答案为：．
15.(2025九年级重庆·专题练习）如图，已知在梯形中，，且，P为上的一点，，求的长．
【答案】1或4
【详解】∵在梯形中，，∴．
又∵，，
∴，∴．∴．
设，则，∴，解得或4.∴或4．
16．（2026·福建福州·九年级校考阶段练习）如图1，中，，，，在上取一点，使得，过点作交于点，将绕点顺时针旋转得,连接 ．

(1)若点恰好落在线段上，请在图1中补全图形，并证明；(2)如图2，若点不在线段上，连接并延长，与的延长线交于点，当时，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：如图：

∵，，∴∴
在图1中：∵∴
∵∴∴
∵绕点顺时针旋转得∴
∵∴
∵∴∴即：
（2）解：∵∴
∵∴ ∴
∵∴
∴∴
∵,∴∴
∴∴∴
17．（2026·广东九年级课时练习）如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．∠APB＝120°．
（1）求证：△ACP∽△PDB；（2）当AC＝4，BD＝9时，试求CD的值．
【答案】（1）详见解析；（2）6．
【详解】（1）证明：∵△PCD为等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝60°．∴∠ACP＝∠PDB＝120°．
∵∠APB＝120°，∴∠A+∠B＝60°．∵∠PDB＝120°，∴∠DPB+∠B＝60°．∴∠A＝∠DPB．∴△ACP∽△PDB．
（2）解：由（1）得△ACP∽△PDB，∴，
∵△PCD是等边三角形，∴PC＝PD＝CD，∴，∴CD2＝AC BD．
∵AC＝4，BD＝9，∴CD＝6．
18．（2025·广西南宁·校联考一模）在等边中，点D是边上一点，点E是直线上一动点，连接，将射线绕点D顺时针旋转，与直线相交于点F．
(1)若点D为边中点．①如图1，当点E在边上，且时，请直接写出线段与的数量关系________；②如图2，当点E落在边上，点F落在边的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；(2)如图3，点D为边上靠近点C的三等分点．当时，直接写出的值．
【答案】(1)①；②仍然成立；理由见解析(2)或
【详解】（1）解：①DE=DF；∵△ABC为等边三角形，∴，∵点D为BC的中点，∴，
∵DE⊥AB，∴，∴，
∵，∴，
∴，∴，∴DE=DF；故答案为：DE=DF；
②DE=DF仍然成立；将DB绕点D顺时针旋转120°，交于AC于点，如图所示：
∵，∴，∴，
∴，∴，∴，为等边三角形，∴，
∵，，∴，
∴，∴DE=DF；
（2）①当点E在A、B两点之间时，将DB绕点D顺时针旋转120°，交于AC于点，如图所示：
设等边三角形的边长为a，∵AE:BE=3:2，∴，
∵，∴，
∴，∴，∴，
∴，为等边三角形，∴，
∵，，
∴，∴，，
∴，∴，
∴，∴；
②点E在B点下方时，将DB绕点D顺时针旋转120°，交于AC于点，如图所示：
设等边三角形的边长为a，∵AE:BE=3:2，∴，
∵，∴，
∴，∴，∴
∴，为等边三角形，
∴，即，∴，
∵，，
∴，∴，，
∴，∴，
∴，∴；
综上分析可知，的值为或4．
19．（2026·福建泉州·九年级校考期末）
问题背景：（1）如图①，已知，求证：；
尝试应用：（2）如图②，在和中，，，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，，求的值；
拓展创新：（3）如图③，D是内一点，，，，，求AD的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【详解】问题背景（1）证明：，，，
，，；
尝试应用（2）解：如图，连接，
，，，
由（1）知，，，∴，
∵∴∴
∵∴∴∴∴，
拓展创新（3）解：如图2，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接，
，，，，
又，，，
又，，
即，，，
，，
，．
20．（2026九年级·山东东营·阶段练习）（1）问题：如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：．
（2）探究：若将角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由．
（3）应用：如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，则的长．
【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）4
【详解】解：（1）证明：，，
，，，
又，，，；
（2）结论仍成立；理由如下：，
又，，，，
又，， ，；
（3），，，，，
是等腰直角三角形，，，，．
21．（山西·二模）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
有趣的布罗卡尔点和布罗卡尔角
1816年法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现了“布罗卡尔点”，但是他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，这一特殊点被一个数学爱好者——法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字将其命名．他的这一发现引起一大批数学家的兴趣，一时形成了一股研究“三角形几何”的热潮．关于布罗卡尔点的研究与推广以代数计算为主，充分体现了代数与几何的联系．
定义：如图1，若内一点P满足，则称P为的布罗卡尔点．若设，则称为布罗卡尔角．
人们研究发现，等边三角形只有一个布罗卡尔点．
任务：(1)等边三角形的布罗卡尔点是这个三角形的______心；
(2)若设等边三角形的面积为S，边长为a，布罗卡尔角为，求证：；
(3)如图2，在等腰直角三角形ABC中，，若P是它的一个布罗卡尔点，满足，，求的值．
【答案】(1)答案不唯一，如内、外、中、重等．(2)证明见解析(3)6
【详解】（1）根据题意，可知∠PAC =∠PCB=∠PBA = 30°，
∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°，∴∠PCA=∠PBC=∠PAB=30°，
∴P是∠ABC、∠BCA、∠BAC的角平分线的交点∴P是△A BC的内心.
（2）证明：由材料可知，等边三角形布罗卡尔角为．∴．
∵等边三角形的面积为S，边长为a，∴等边三角形一边上的高为．
∴．又∵，∴．
（3）∵是等腰直角三角形，，∴，．
∵，∴．又∵，∴．∴．
∵，∴，，∴的值为6．
22．（湖北武汉·校考模拟预测）如图1，中，，D为上一点，．

(1)求证：；(2)如图2，过点A作于M，交于点E，若，求的值；
(3)如图3，N为延长线上一点，连接、，若，，则 的值为___________．
【答案】(1)见详解(2)(3)
【详解】（1）∵，，
∴，∴， ∴；
（2）过点E作交于点F，

∵，∴，∴，
∵，∴，
∴为等腰三角形，∴，，
∵， ，∴，
设，则,，在中，，
∴，，∴，a，
∵，∴，即，∴,
又∵，，
∴，∴，∴，
∴∴，
（3）过点B作于点P，则，
又∵，∴，
∴，∴，，
设，即，，再设，则，
∵，∴，解得或（舍去），
∴，则，，∴．
23．（宁夏银川·二模）综合与实践
莹莹复习教材时，提前准备了一个等腰三角形纸片，如图，．为了找到重心，以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起，她先把点B与点C重叠对折，得折痕，展开后，她把点B与点A叠对折，得折痕，再展开后连接，交折痕于点O，则点O就是的重心．
教材重现：
如图，用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片．你知道怎样确定这个点的位置吗？ 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线（）如图，是的边上的中线．
（1）初步观察：连接，则与的数量关系是：________；
（2）初步探究：莹莹通过测量惊奇地发现．她的发现正确吗？请说明理由；
（3）拓展探究：①请帮助莹莹求出的面积；②连接，求线段的长度．
【答案】（1）（2）正确，理由见解析（3）①②
【详解】（1）解：，理由如下，由折叠可得，，
又∵，∴，∴，故答案为：；
（2）解：正确，理由如下：连接，

∵点D、E分别为的中点，∴是的中位线，∴，
∴，∴，
∴，∴；
（3）解：由折叠可得，，
∵，∴，连接，

∵点D、E分别为的中点，∴是的中位线，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴；
②连接，，，
， ．
24．（2025·湖北随州·模拟预测）[初步尝试]（1）如图①，在三角形纸片中，，将折叠，使点B与点C重合，折痕为，则与的数量关系为________；
[思考说理]（2）如图②，在三角形纸片中，，将折叠，使点B与点C重合，折痕为，求的值；
[拓展延伸]（3）如图③，在三角形纸片中，，将沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边上的点处，折痕为．①求线段的长；②若点O是边的中点，点P为线段上的一个动点，将沿折叠得到点A的对应点为点与交于点F，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）①；②
【详解】解：（1）如图①中，
折叠，使点与点重合，折痕为，垂直平分线段，，
，，，．故答案为．
（2）如图②中，，，由题意垂直平分线段，
，，，
，，，，，
，．
（3）①如图③中，由折叠的性质可知，，，
，，，，
，，，，，．
②如图③中，设．
，，，，
，，，， ，
， ，，，．
当时，．综上所述，．
25．（2025·新疆·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，，点M是的中点，点D和点N分别是线段和上的动点．
(1)当点D和点N分别是和的中点时，求a的值；(2)当时，以点C，D，N为顶点的三角形与相似，求的值；(3)当时，求的最小值．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：∵等腰直角三角形中，，，，，
∴，∵点D和点N分别是和的中点，∴，，
∵，∴；
（2）∵，，∴，
设，则：，，
∵等腰直角三角形中，，，
∴，∴，
∵是的中点，∴，∴，
当点C，D，N为顶点的三角形与相似时，分两种情况：
①当时，则：，∴，
此方程无解，不符合题意；
②当时，则：，∴，
解得：（不符合题意，舍去）或；∴；综上：；
（3）∵，，∴，作于点，连接，
则：，∴为等腰直角三角形，
∴，，∴，，
又，∴四边形为平行四边形，∴，
将绕点旋转90度得到，连接，则：，
∵，∴，又∵，∴，
∴，∴，∴，
∴当点在线段上时，的值最小为的长，
在中，，
∴，∴的最小值为．
26．（2025·山东青岛·模拟预测）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，，随后保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：
(1)【初步探究】如图2，当时，则_____；
(2)【初步探究】如图3，当点E，F重合时，请直接写出，，之间的数量关系：_________；
(3)【深入探究】如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．(4)【拓展延伸】如图5，在与中，，若，（m为常数）．保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接，如图6．试探究，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)(2)
(3)仍然成立，理由见解析(4)
【详解】（1）等腰直角三角形和等腰直角三角形，，
故答案为：
（2）
在与中，
又 重合，故答案为：
（3）同（2）可得 ，
过点，作，交于点，
则，，
在与中，，，
，是等腰直角三角形，，，
，，
在与中，，，
，，即，
（4）过点作，交于点，
，，，，
，，，
，，，
，，，中，，
，即．
27．（2025广东深圳三模试题）（1）【探究发现】如图1，正方形的对角线相交于点，在正方形绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点．证明：；

（2）【类比迁移】如图2，矩形的对角线相交于点，且，．在矩形绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点．若，求的长；
（3）【拓展应用】如图3，四边形和四边形都是平行四边形，且，，，是直角三角形．在绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点．当与重叠部分的面积是的面积的时，请直接写出的长．

【答案】（1）见解析（2）（3）
【详解】（1）正方形的对角线相交于点，在正方形绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点
，，，
，即，
在和中，；
（2）如图，过点作的平行线交于点、交于点，过点作垂线交于点，

四边形和四边形都是矩形，，，，
，，，
，
，，
，，，即，，
；
（3）如图，过点作的垂线交于点，

设，则，
设，则，
，，，
又，，
，，四边形和四边形都是平行四边形，是直角三角形
∴，(有公共角且都有直角)，
，∴，∵，即，
∴，，设，则，
∵，即，∴，
与重叠部分的面积是的面积的，平行四边形对角线平分平行四边形的面积，
，即，
∴，即，∴，
∴，∴．
28．（2026山东九年级期末）（1）如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，若，则的值为_________；
（2）如图2，在矩形中，，，点是上的一点，连接，，若，则的值为_________；
【类比探究】（3）如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：
【拓展延伸】（4）如图4，在中，，，，将沿翻折，点落在点处，得到，点，分别在边，上，连接，，若，则的值为_________．
【答案】（1）1；（2）；（3）见解析；（4）
【详解】（1）解：∵ 四边形是正方形，∴，，∴．
∵，∴．∴．
在和中，，∴．∴∴故答案为：1．
（2）∵四边形是矩形，∴．∴．
∵，∴∴
∵，∴，∴．
∵，，∴ ．故答案为：．
（3）证明：过点作于点，如图，
∵ ，，∴ 四边形为矩形．
∴，∴
∵，∴．
∵，，∴
∵，∴，∴
∵，∴∴∴∴
（4）过点作于点，连接，交于点，如图，
由题意：与关于轴对称，∴垂直平分，即，．
∵，，∴，∴∴
∵，∴，∴∴．
∵，∴．
∵，∴∴ ．
∵，∴∵，∴∴．
∵，∴．∴
29.（2026九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）四边形是平行四边形，连接，于点E，交边于点F．(1)如图1，，，求的长．
(2)如图2，，，猜想线段与的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，，．①求证：；②将沿直线翻折得到，连接交边于点P，连接，求的长．
【答案】(1)(2)，见解析(3)①见解析；②
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，，
，，，
∴，即，解得．，，
，；
（2）解：．理由：四边形是平行四边形，，
，，，，
设，则．，．
，，，
，．
，，；
（3）①证明：四边形是平行四边形，，，
，∴，，，，；
②解：如图，连接，由折叠得，
∵于点E，∴B，E，F，在一条直线上，过P作于H．由折叠得，，
四边形是平行四边形，，，．
，，，，
，．
，，，
，即，．
30.（辽宁朝阳·中考真题）如图，在RtABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点O不与点A，B重合），且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋转90°，交射线CB于点N．（1）如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明；
（3）点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且＜，请直接写出的值（用含k的式子表示）．
【答案】（1）OM＝ON，见解析；（2）ON＝k OM，见解析；（3）
【详解】解：（1）OM＝ON，如图1，作OD⊥AM于D，OE⊥CB于E，
∴∠ADO＝∠MDO＝∠CEO＝∠OEN＝90°，∴∠DOE＝90°，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠ABC＝45°，
在Rt△AOD中，，同理：OE＝OB，
∵OA＝OB，∴OD＝OE，∵∠DOE＝90°，∴∠DOM＋∠MOE＝90°，
∵∠MON＝90°，∴∠EON＋∠MOE＝90°，∴∠DOM＝∠EON，
在Rt△DOM和Rt△EON中，，∴△DOM≌△EON（ASA），∴OM＝ON．
（2）如图2，作OD⊥AM于D，OE⊥BC于E，
由（1）知：OD＝OA，OE＝OB，∴，
由（1）知：∠DOM＝∠EON，∠MDO＝∠NEO＝90°，∴△DOM∽△EON，
∴，∴ON＝k OM．
（3）如图3，设AC＝BC＝a，∴AB＝a，∵OB＝k OA，
∴OB＝ a，OA＝ a，∴OE＝OB＝a，
∵∠N＝∠ABC﹣∠BON＝45°﹣15°＝30°，∴EN＝＝OE＝ a，
∵CE＝OD＝OA＝a，∴NC＝CE＋EN＝a＋ a，
由（2）知：，△DOM∽△EON，∴∠AMO＝∠N＝30°
∵，∴，∴△PON∽△AOM，∴∠P＝∠A＝45°，
∴PE＝OE＝a，∴PN＝PE＋EN＝a＋ a，
设AD＝OD＝x，∴DM＝，由AD＋DM＝AC＋CM得，（＋1）x＝AC＋CM，
∴x＝（AC＋CM）＜（AC＋AC）＝AC，∴k＞1
∴，
∴．
31.（2025·河南周口 校考一模）（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______；
（2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明；
（3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长．
【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）
【详解】（1）解：∵将边绕点C顺时针旋转得到线段，∴，
∵，，∴．
在和中，∴，
∴．故答案为：
（2）．证明：同（1）可得，，，
∴，∴，∵，∴，∴．
（3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点，
则，，，由（1）同理可证，，
∴，，∴，，
∴．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题14.相似三角形中的八大重要模型
本专题包含相似三角形中的八大重要模型，主要有：（双）A字型、（双）8（X）字型、母子型（共边共角模型）、手拉手模型、一线三等角模型、对角互补模型、半角模型、十字架模型等。通过这些综合训练希望能让大家弄清楚这些模型的适用条件，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！
1．（浙江温州·三模）如图，在中，平分分别交，，延长线于点，，，记与的面积分别为，，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2.（2026八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，与交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、，作直线，分别交、于点、，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026翠屏区八年级上学期期末数学试题）在Rt△ABC中，，AC=BC，D为BC的中点，过C作CE⊥AD于点E，延长CE交AB于点F，，连接FD；若AC=4，则CF+FD的值是（ ）
A． B．5 C． D．
4．（2026九年级下·广东·专题练习）如图，在中，，高，正方形一边在上，点E，F分别在，上，交于点N，则的长为（　　）
A．15 B．20 C．25 D．30
5．（2026·成都市·九年级期中）如图所示，在中，，，在中，，点P在上，交于点E，交于点F．当时，的值为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2026山西·九年级校考期中）如图，在正方形中，点、分别是、边上的两点，且，、分别交于、．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论是（ ）
A．①②④ B．①④ C．①②③ D．①②③④
7．（湖北黄石·中考真题）如图，将绕点A逆时针旋转到的位置，使点落在上，与交于点E若，则 （从“”中选择一个符合要求的填空）； ．

8．（广东深圳·校考模拟预测）如图，已知等边三角形绕点顺时针旋转得，点、分别为线段和线段上的动点，若，则下列结论：①四边形为菱形；②；③为等边三角形；④；⑤若，，则．正确的有（填序号） ．
9．（四川成都·中考真题）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则 ．

10．（2026八年级下·上海青浦·期末）如图，点在矩形的边上，过点作的垂线，与边交于点，若，，，点分别是、的中点，则线段的长为 ．
11．（2026九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在等边三角形中，分别是边上的点，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，若，则为 （用含m的式子表示）．
12．（2026八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，相交于点M，过点M作垂直于交于点H，已知，则的值为 ．

13．（2026九年级上·浙江·课后作业）如图，在中，，，．将线段绕点B顺时针旋转得到线段，过点D作交的延长线于点E，连接交于点N，则 ．
14.（2026·南通·模拟预测）如图，已知是等边内的一点，且，延长，，分别交，于点D，E．若，，则的周长等于 ．

15.(2025九年级重庆·专题练习）如图，已知在梯形中，，且，P为上的一点，，求的长．
16．（2026·福建福州·九年级校考阶段练习）如图1，中，，，，在上取一点，使得，过点作交于点，将绕点顺时针旋转得,连接 ．(1)若点恰好落在线段上，请在图1中补全图形，并证明；(2)如图2，若点不在线段上，连接并延长，与的延长线交于点，当时，求的长．

17．（2026·广东九年级课时练习）如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．∠APB＝120°．
（1）求证：△ACP∽△PDB；（2）当AC＝4，BD＝9时，试求CD的值．
18．（2025·广西南宁·校联考一模）在等边中，点D是边上一点，点E是直线上一动点，连接，将射线绕点D顺时针旋转，与直线相交于点F．(1)若点D为边中点．①如图1，当点E在边上，且时，请直接写出线段与的数量关系________；②如图2，当点E落在边上，点F落在边的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；(2)如图3，点D为边上靠近点C的三等分点．当时，直接写出的值．
19．（2026·福建泉州·九年级校考期末）
问题背景：（1）如图①，已知，求证：；
尝试应用：（2）如图②，在和中，，，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，，求的值；
拓展创新：（3）如图③，D是内一点，，，，，求AD的长．
20．（2026九年级·山东东营·阶段练习）（1）问题：如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：．
（2）探究：若将角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由．
（3）应用：如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，则的长．
21．（山西·二模）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
有趣的布罗卡尔点和布罗卡尔角
1816年法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现了“布罗卡尔点”，但是他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，这一特殊点被一个数学爱好者——法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字将其命名．他的这一发现引起一大批数学家的兴趣，一时形成了一股研究“三角形几何”的热潮．关于布罗卡尔点的研究与推广以代数计算为主，充分体现了代数与几何的联系．
定义：如图1，若内一点P满足，则称P为的布罗卡尔点．若设，则称为布罗卡尔角．
人们研究发现，等边三角形只有一个布罗卡尔点．
任务：(1)等边三角形的布罗卡尔点是这个三角形的______心；
(2)若设等边三角形的面积为S，边长为a，布罗卡尔角为，求证：；
(3)如图2，在等腰直角三角形ABC中，，若P是它的一个布罗卡尔点，满足，，求的值．
22．（湖北武汉·校考模拟预测）如图1，中，，D为上一点，．

(1)求证：；(2)如图2，过点A作于M，交于点E，若，求的值；
(3)如图3，N为延长线上一点，连接、，若，，则 的值为____．
23．（宁夏银川·二模）综合与实践：莹莹复习教材时，提前准备了一个等腰三角形纸片，如图，．为了找到重心，以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起，她先把点B与点C重叠对折，得折痕，展开后，她把点B与点A叠对折，得折痕，再展开后连接，交折痕于点O，则点O就是的重心．
教材重现：
如图，用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片．你知道怎样确定这个点的位置吗？ 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线（）如图，是的边上的中线．
（1）初步观察：连接，则与的数量关系是：________；
（2）初步探究：莹莹通过测量惊奇地发现．她的发现正确吗？请说明理由；
（3）拓展探究：①请帮助莹莹求出的面积；②连接，求线段的长度．
24．（2025·湖北随州·模拟预测）[初步尝试]（1）如图①，在三角形纸片中，，将折叠，使点B与点C重合，折痕为，则与的数量关系为________；
[思考说理]（2）如图②，在三角形纸片中，，将折叠，使点B与点C重合，折痕为，求的值；
[拓展延伸]（3）如图③，在三角形纸片中，，将沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边上的点处，折痕为．①求线段的长；②若点O是边的中点，点P为线段上的一个动点，将沿折叠得到点A的对应点为点与交于点F，求的取值范围．
25．（2025·新疆·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，，点M是的中点，点D和点N分别是线段和上的动点．
(1)当点D和点N分别是和的中点时，求a的值；(2)当时，以点C，D，N为顶点的三角形与相似，求的值；(3)当时，求的最小值．
26．（2025·山东青岛·模拟预测）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，，随后保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：
(1)【初步探究】如图2，当时，则_____；
(2)【初步探究】如图3，当点E，F重合时，请直接写出，，之间的数量关系：_________；
(3)【深入探究】如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．
(4)【拓展延伸】如图5，在与中，，若，（m为常数）．保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接，如图6．试探究，，之间的数量关系，并说明理由．
27．（2025广东深圳三模试题）（1）【探究发现】如图1，正方形的对角线相交于点，在正方形绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点．证明：；

（2）【类比迁移】如图2，矩形的对角线相交于点，且，．在矩形绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点．若，求的长；
（3）【拓展应用】如图3，四边形和四边形都是平行四边形，且，，，是直角三角形．在绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点．当与重叠部分的面积是的面积的时，请直接写出的长．

28．（2026山东九年级期末）（1）如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，若，则的值为_________；
（2）如图2，在矩形中，，，点是上的一点，连接，，若，则的值为_________；
【类比探究】（3）如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：
【拓展延伸】（4）如图4，在中，，，，将沿翻折，点落在点处，得到，点，分别在边，上，连接，，若，则的值为_________．
29.（2026九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）四边形是平行四边形，连接，于点E，交边于点F．(1)如图1，，，求的长．
(2)如图2，，，猜想线段与的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，，．①求证：；②将沿直线翻折得到，连接交边于点P，连接，求的长．
30.（辽宁朝阳·中考真题）如图，在RtABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点O不与点A，B重合），且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋转90°，交射线CB于点N．（1）如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明；
（3）点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且＜，请直接写出的值（用含k的式子表示）．
31.（2025·河南周口 校考一模）（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______；
（2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明；
（3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑