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专题07 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型）
相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。
1
模型来源 1
真题现模型 2
提炼模型 3
模型拓展 4
模型运用 4
模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 4
13
相似三角形的比例性质源于欧几里得《几何原本》，但未明确形成“母子模型”的命名。其核心原理（如共角共边的三角形相似性）已蕴含其中。后来在直角三角形中，斜边上的高将原三角形分割为两个小直角三角形，三者互为相似形，由此衍生出 射影定理 ，构成母子模型的数学内核。此时尚未出现“母子”的拟人化命名。
直到20世纪80年代现代教学归纳出 形象化命名“母子模型”。 后来该模型被纳入初中数学教材，作为相似三角形证明的核心模型之一。其核心价值在于简化比例证明，例如通过母子关系直接推导线段比例式。
（四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．在中，点为边上一点，连接．
(1)初步探究：如图2，若，求证：；
(2)尝试应用：如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长；
(3)创新提升：如图4，点为中点，连接，若，，，求的长．
【答案】(1)证明见解析(2)(3)
【详解】（1）证明：∵，，∴，∴，∴；
（2）解：∵点为中点，∴设，由（1）知，
∴，∴，
∴与的相似比为，∴，∵∴；
（3）解：过点作的平行线交的延长线于点，过作，如图1所示：
∴，又∵，∴，，
∴，即，∴，∴．
∵点为中点，∴设，
∵，∴，，
在中，，则由勾股定理可得，过点作于点，如图2所示：
∴，∴，∴，∴，，∴，∴，
∵，点为中点，∴，，，
又∵，∴，，
“母子型”模型（共边共角模型）：（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。
图1 图2 图3 图4
1）“母子”模型（斜射影模型）
条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.
证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC.
2）双垂直模型（射影模型）
条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB；
结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD，
∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
3）“母子”模型（变形）
条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA；
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA
4）共边模型
条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：；
证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC，
∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴
母子型相似证明题一般思路方法:
①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；
②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；
③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；
④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。
模型1.“母子型”模型（共边共角模型）
例1（2025·湖南·模拟预测）如图，D是的边上一点，，，．若的面积为6，则的面积为（ ）
A．6 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】解：∵，，∴，
∵，，∴，∴，∴，故选：B．
例2（2025·辽宁抚顺·三模）如图，在中，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点．以下结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意得，，平分，
∵在中，，，∴
∵平分，∴，故A正确；
∵平分，∴，∴，
∵，，∴，∴，∴，故B正确；
∵，∴，∴，
设，则，∴，∴，解得，
∴，，∴，故C错误；
过点E作于G，于H，

∵平分，，，∴
∴，故D正确；故选：C．
例3（2026九年级下·安徽黄山·期中）如图，是的斜边上的高，，，与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵是斜边上的高，
∴，，，∴，
∴，∴，即，解得：，
∴与的面积之比，故选：C．
例4（2025·江苏南京·三模）如图，在中，，是高．
(1)用直尺和圆规作，使与关于点D对称（保留作图的痕迹，不写作法），连接，求证：四边形是菱形；(2)若，则（1）中的菱形的高为__________．
【答案】(1)见解析；(2)6．
【详解】（1）解：如图，即为所求，
由作图可知，，∴四边形是平行四边形，
∵是高．∴，∴四边形是菱形；
（2）∵，是高．∴，
∵，∴，∴ ∴，
解得或（不合题意，舍去）∴，
∴,即菱形的边长为，
∵四边形是菱形 ∴，
设菱形的高为h，则，即，解得，
即菱形的高为．故答案为：
例5（2026九年级上·吉林长春·开学考试）如图，等边的边长为4，点在同一直线上，．(1)求证：；(2)直接写出的长为_________．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，∴，
∴，∴，∵，∴；
（2）解：∵等边的边长为4，∴，
∵，∴，即，∴，∴，
∵，，∴，
∴，即，∴（负值舍去）．
例6（2026九年级下·福建福州·期末）如图，中，边上的中线与的平分线交于F点，．(1)求证：；(2)求证：．

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．
【详解】（1）证明：∵，∴，∵是的平分线，∴，
∵，，∴，∴；
（2）证明：取中点，连接，如图，∴，

∵是边上的中线，即点为的中点，∴是的中位线，
∴，∴，∴，∵，∴，
∴，又∵，∴．
例7（河南·二模）三角形的布洛卡点（Brocardpoint）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．LCrelle1780-1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard1845-1922）重新发现，并用他的名字命名．如图1，若内一点P满足，则点P是的布洛卡点，是布洛卡角．
（1）如图2，点P为等边三角形ABC的布洛卡点，则布洛卡角的度数是___；PA、PB、PC的数量关系是_；
（2）如图3，点P为等腰直角三角形ABC（其中）的布洛卡点，且．
①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明；②若的面积为，求的面积．
【答案】（1）30°，；（2）①，证明见解析；（3）．
【详解】解：（1）由题意知：，
为等边三角形，，AB=BC=AC,
，，，
，，同理可证得出：，
，故答案是：30°，．
（2）①
证明：∵是等腰直角三角形∴，即，
∵，∴，又∵，∴.
（3）∵是等腰直角三角形，∴，∴.
∵，∴，∴，，，∴.
∵，∴.
在中，∵，，由勾股定理得，，
∴，∴∴．
例8（2025·河南·模拟预测）我校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，发现直角三角形斜边上的高分得的两个三角形与原三角形都相似，从而进行了深入研究．
（一）拓展探究如图1，在中，，，垂足为，
（1）兴趣小组的同学得出了三个结论：①，②，③．请选择其中一个进行证明．（2）如图2，为线段延长线上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由．
（二）学以致用（3）如图3，是直角三角形，，，，平面内一点，满足，，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，请直接写出线段的长．
【答案】（1）见解析；（2）是直角三角形；理由见解析；（3）
【详解】解：（1）选①证明：，，，
，，，；
选②证明：，，，
，，，；
选③证明：，，，
，，
，，；
（2）是直角三角形；理由如下：，，，
，，，，，
，，，
，，，是直角三角形；
（3）线段的长为．理由如下：是直角三角形，，，，如图，过作交的延长线于，过作交于，过作交于，，
，，，，
，，，，，，
，，，
，，，
，，，，解得：，
是定值，且是定值，在直线上运动，当时，取得最小值，此时与重合，，在直角三角形中，由勾股定理得：，
故当线段的长度取得最小值时，线段的长为．
1．（贵州贵阳·中考真题）如图，在中，是边上的点，，，则与的周长比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，
∵，∴，∴，
∴△ADC与△ACB的周长比1:2，故选：B．
2．（河北张家口·一模）如图，点D在的边上，添加一个条件，使得．以下是天翼和往琛的做法．下列说法不正确的是（ ）

天冀的做法：添加条件．
证明：∵，． ∴（两组角对应相等的两个三角形相似）
往琛的做法：添加条件．
证明：∵,．∴（两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似）
A．天翼的做法证明过程没有问题 B．往琛的做法证明过程没有问题
C．天翼的做法添加的条件没有问题 D．往琛的做法添加的条件有问题
【答案】B
【详解】解：依题意，，添加一组对应角相等，可以使得，故天翼的做法以及过程没有问题，往琛的做法添加的条件有问题，应为，证明过程中用到两组对应边成比例夹角相等，故B选项符合题意，故选：B．
3．（2025·浙江温州·三模）如图，在中，，是边上一点，与关于直线对称，交于点．若，，则的长为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵与关于直线对称，，∴，，
∵，∴，，∴，设，则，∴，
∵，，∴，
又，∴，∴，即，
解得，（不符合题意，舍去），经检验，，是原方程的解，∴，故选：D．
4．（浙江衢州·统考中考真题）如图，在中，．分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线分别交，于点．以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结．则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意可知，垂直平分，，，则选项A正确；
，，
，，，，
，，
，，则选项B正确；
假设，，
又，
，
，与矛盾，则假设不成立，选项C错误；
，，，
在和中，，，
，即，，则选项D正确；故选：C．
5．（2025·上海奉贤·三模）从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．如图，在中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，那么的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】解：由题意得，，∴，
∴，∴，∴，∴，故选：C．
6．（2025·新疆喀什·模拟预测）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接，以下结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：，，
，由作图可知：，为的角平分线，
，故A正确，，，
，，，，，故D正确，
，，，，即，
整理得：，，，，故B错误，
，，，，，
，，，，故C正确．故选：B．
7．（2026九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图， 是等边三角形，在一条直线上，，若，，则的长是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵是等边三角形，∴，，
∵，∴，
∵，，
∴，，∴，∴，
∵，，∴，∴，故选：．
8．（2026·山东威海·九年级校联考期中）如图，中，点在上，，若，，则线段的长为 ．
【答案】
【详解】解：如图所示，延长到，使，连接，∴
∵，，∴，
∴，∴，即，解得：，故答案为：．
9．（2026八年级下·湖南衡阳·期中）如图，在矩形 中，对角线 交于点 O，于点 E，已知，，则矩形的周长为 　 　

【答案】/
【详解】解：∵，，∴，
∵四边形是矩形，∴，
∵，，，，
，即解得（负值舍去）
∵∴，
∴矩形的周长为．故答案为：．
10．（山东东营·中考真题）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，若，，的面积为，则的面积为 ．
【答案】
【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点，
∴由作图可得是的角平分线，∴
∵∴∵∴
∴∴，
∵的面积为，∴的面积为，故答案为：．
11．（2025·浙江杭州·二模）如图，在菱形中，点在边上，连结并延长，交的延长线于点，连结交于点，连结．
(1)求证：．(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，， ，
在与中，，∴，∴，
∵，∴，∴，
又∵，∴，∴，∴；
（2）解：∵，∴，
∵，∴，∴，
∵， ∴，∴，∴，∴，
∵，∴，∴．
12．（2026九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点E，
(1)求证：；(2)若，求线段长．
【答案】(1)见解析(2)线段长为5
【详解】（1）证明：∵是的平分线，∴，∵，∴，
∵，∴，
∴ ，∴，又∵，∴．
（2）解：∵ ，∴，
由（1）得，∴，∴，
∴，∴线段长为5．
13．（2026陕西汉中·九年级期末）如图，是等腰直角斜边的中线，以点为顶点的绕点旋转，角的两边分别与、的延长线相交，交点分别为点、，与交于点，与交于点，且．(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，若，求证：；(3)如图2，过作于点，若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)．
【解析】（1）证明∶∵∠ACB=90°，AC= BC，CD是中线，
∴∠BCD=∠ACD=45°，∠BCE=∠ACF= 90°，∴∠DCE=∠DCF= 135°
∵在△DCE与△DCF中， ，∴，∴DE= DF；
（2）证明∶∵∠DCE= ∠DCF= 135°∴∠CDF+∠F=180°-135°=45°，
∵∠CDF +∠CDE=45°，∴∠F=∠CDE，
∴ ，∴，即；
（3）解：如图，∵DG⊥BC，∠ACB=90°，∠BCD=∠ACD=45°，
∴∠DGN=∠ECN=90°， ∠GCD=∠CDG=45°，∴CG= DG
当CD=2，CF=时，由可得，CE=2，
在Rt△DCG中，
∵∠ECN =∠DGN，∠ENC=∠DNG，∴，
∴，∴，∴．
14．（湖南·统考中考真题）在中，是斜边上的高．

(1)证明：；(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：∵是斜边上的高．
∴，∴，∴ 又∵∴，
（2）∵∴，又∴．
15．（浙江温州·三模）如图，在锐角三角形中，．以点为圆心长为半径画弧，交边于点，连接．点是延长线上的一点，连接，若平分．
(1)求证：．(2)当时，求的值．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：由题意得：，，，
平分，，；
（2）解：，
，，，．
16．（2026九年级下·浙江宁波·期末）【证明体验】
（1）如图1，在中，是边上的点，连结，若，求证：．
【思考探究】（2）如图2，在中，，，，是边上的点，连结，是的中点，连结．若，求的长．
【答案】（1）证明见解答；（2）的长为2
【详解】（1）证明：，，
，；
（2）解：如图，延长至，使，连接，则为的中点，
∵为中点，∴是的中位线，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，∴，
在中，，则，
∴，
设，则，，
，解得：，
，∴（不符合题意，舍去），∴的长为2．
17．（2026山东·九年级专题练习）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”．
(1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由；
(2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长．
【答案】(1)为的理想点,理由见解析(2)或
【解析】（1）解：点是的“理想点”，理由如下：
是中点，，，，
，，，，
，，，点是的“理想点”；
（2）①在上时，如图： 是的“理想点”，或，
当时，，，
，即是边上的高，
当时，同理可证，即是边上的高，
在中，，，，，
，，
②，，有， “理想点” 不可能在边上，
③在边上时，如图：是的“理想点”，，
又，，，即，，
综上所述，点是的“理想点”， 的长为或．
18.（2025·安徽淮北·三模）如图1，已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，△ABC内一点P将三个内角分成6个角（即∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6）．
（1）若∠1=∠3=∠5，求的值；
（2）如图2，已知：AP=AC．①若PB=PC，求证：∠1=2∠4；②若∠1=30°，求证：PB=PC．
【答案】（1）2：5； （2）①证明见解析②证明见解析
【解析】（1）∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠ABC=45°，∵∠1=∠3=∠5，∴∠2=∠4，
∴∠APB=180°-（∠2+∠3）=180°-45°=135°，同理，∠BPC=135°，∴∠APC=90°，
设AC=a，PC=x，则，
，∴△APB∽△BPC，
∴，∴，，
在Rt△PAC中，，∴，
∵，∴；
（2）①∵PB=PC，则∠4=∠5，设∠4=∠5=，
∵AP=AC，则∠6=∠APC=，即∠1=180°-2（）=2，即∠1=2∠4；
②如图所示，过P作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，
则四边形PDCE为矩形，在直角△APD中，∠1=30°，∴PD=PA，
又AP=AC=BC，∴PD=CE=BC，即PE垂直平分BC，∴PB=PC．
19．（2025·湖北武汉·三模）数学实验能增强学习数学的乐趣，还能经历知识再创造的过程，更是培养动手能力，创新能力的手段．小强在学习《相似》一章中对“两个角对应相等的两个三角形相似”这一判定产生了如下问题，请同学们帮他解决．在中，点D为边上一点，连接．
(1)初步探究：如图1，若，求证：；
(2)尝试应用：如图2，在（1）的条件下，若点D为中点，，求的长；
(3)创新提升：如图3，点E为中点，连接，若，，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)2(3)
【详解】（1）证明：如图2，
，，，，．
（2）解：如图3，设，点D为中点，，，
由（1）得，，
或（不符合题意，舍去），
的长是2．
（3）解法一：如图4，作交的延长线于点F，则；
点E为中点，，设，．
，．，
，，
，
作交的延长线于点H，则，
，，，
，，，
，，，
，，，
，解得，，的长是．
解法二：如图5，取中点M，连接、，
点E为中点，是的中位线，，
，，，
，、
，即，，
，，，，
设，则，，
，的长是．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题07 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型）
相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。
1
模型来源 1
真题现模型 2
提炼模型 3
模型拓展 4
模型运用 4
模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 4
13
相似三角形的比例性质源于欧几里得《几何原本》，但未明确形成“母子模型”的命名。其核心原理（如共角共边的三角形相似性）已蕴含其中。后来在直角三角形中，斜边上的高将原三角形分割为两个小直角三角形，三者互为相似形，由此衍生出 射影定理 ，构成母子模型的数学内核。此时尚未出现“母子”的拟人化命名。
直到20世纪80年代现代教学归纳出 形象化命名“母子模型”。 后来该模型被纳入初中数学教材，作为相似三角形证明的核心模型之一。其核心价值在于简化比例证明，例如通过母子关系直接推导线段比例式。
（四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．在中，点为边上一点，连接．
(1)初步探究：如图2，若，求证：；
(2)尝试应用：如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长；
(3)创新提升：如图4，点为中点，连接，若，，，求的长．
“母子型”模型（共边共角模型）：（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。
图1 图2 图3 图4
1）“母子”模型（斜射影模型）
条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.
证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC.
2）双垂直模型（射影模型）
条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB；
结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD，
∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
3）“母子”模型（变形）
条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA；
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA
4）共边模型
条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：；
证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC，
∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴
母子型相似证明题一般思路方法:
①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；
②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；
③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；
④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。
模型1.“母子型”模型（共边共角模型）
例1（2025·湖南·模拟预测）如图，D是的边上一点，，，．若的面积为6，则的面积为（ ）
A．6 B．2 C．3 D．4
例2（2025·辽宁抚顺·三模）如图，在中，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点．以下结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
例3（2026九年级下·安徽黄山·期中）如图，是的斜边上的高，，，与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
例4（2025·江苏南京·三模）如图，在中，，是高．
(1)用直尺和圆规作，使与关于点D对称（保留作图的痕迹，不写作法），连接，求证：四边形是菱形；(2)若，则（1）中的菱形的高为__________．
例5（2026九年级上·吉林长春·开学考试）如图，等边的边长为4，点在同一直线上，．(1)求证：；(2)直接写出的长为_________．
例6（2026九年级下·福建福州·期末）如图，中，边上的中线与的平分线交于F点，．(1)求证：；(2)求证：．

例7（河南·二模）三角形的布洛卡点（Brocardpoint）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．LCrelle1780-1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard1845-1922）重新发现，并用他的名字命名．如图1，若内一点P满足，则点P是的布洛卡点，是布洛卡角．
（1）如图2，点P为等边三角形ABC的布洛卡点，则布洛卡角的度数是___；PA、PB、PC的数量关系是_；
（2）如图3，点P为等腰直角三角形ABC（其中）的布洛卡点，且．
①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明；②若的面积为，求的面积．
例8（2025·河南·模拟预测）我校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，发现直角三角形斜边上的高分得的两个三角形与原三角形都相似，从而进行了深入研究．
（一）拓展探究如图1，在中，，，垂足为，
（1）兴趣小组的同学得出了三个结论：①，②，③．请选择其中一个进行证明．（2）如图2，为线段延长线上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由．
（二）学以致用（3）如图3，是直角三角形，，，，平面内一点，满足，，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，请直接写出线段的长．
1．（贵州贵阳·中考真题）如图，在中，是边上的点，，，则与的周长比是（ ）
A． B． C． D．
2．（河北张家口·一模）如图，点D在的边上，添加一个条件，使得．以下是天翼和往琛的做法．下列说法不正确的是（ ）

天冀的做法：添加条件．
证明：∵，． ∴（两组角对应相等的两个三角形相似）
往琛的做法：添加条件．
证明：∵,．∴（两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似）
A．天翼的做法证明过程没有问题 B．往琛的做法证明过程没有问题
C．天翼的做法添加的条件没有问题 D．往琛的做法添加的条件有问题
3．（2025·浙江温州·三模）如图，在中，，是边上一点，与关于直线对称，交于点．若，，则的长为（　　）
A．1 B． C． D．
4．（浙江衢州·统考中考真题）如图，在中，．分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线分别交，于点．以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结．则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·上海奉贤·三模）从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．如图，在中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，那么的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2025·新疆喀什·模拟预测）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接，以下结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2026九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图， 是等边三角形，在一条直线上，，若，，则的长是（ ）．
A． B． C． D．
8．（2026·山东威海·九年级校联考期中）如图，中，点在上，，若，，则线段的长为 ．
9．（2026八年级下·湖南衡阳·期中）如图，在矩形 中，对角线 交于点 O，于点 E，已知，，则矩形的周长为 　 　

10．（山东东营·中考真题）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，若，，的面积为，则的面积为 ．
11．（2025·浙江杭州·二模）如图，在菱形中，点在边上，连结并延长，交的延长线于点，连结交于点，连结．(1)求证：．(2)若，，求的长．
12．（2026九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点E，(1)求证：；(2)若，求线段长．
13．（2026陕西汉中·九年级期末）如图，是等腰直角斜边的中线，以点为顶点的绕点旋转，角的两边分别与、的延长线相交，交点分别为点、，与交于点，与交于点，且．(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，若，求证：；(3)如图2，过作于点，若，，求的长．
14．（湖南·统考中考真题）在中，是斜边上的高．
(1)证明：；(2)若，求的长．

15．（浙江温州·三模）如图，在锐角三角形中，．以点为圆心长为半径画弧，交边于点，连接．点是延长线上的一点，连接，若平分．
(1)求证：．(2)当时，求的值．
16．（2026九年级下·浙江宁波·期末）【证明体验】
（1）如图1，在中，是边上的点，连结，若，求证：．
【思考探究】（2）如图2，在中，，，，是边上的点，连结，是的中点，连结．若，求的长．
17．（2026山东·九年级专题练习）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”．(1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由；(2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长．
18.（2025·安徽淮北·三模）如图1，已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，△ABC内一点P将三个内角分成6个角（即∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6）．
（1）若∠1=∠3=∠5，求的值；
（2）如图2，已知：AP=AC．①若PB=PC，求证：∠1=2∠4；②若∠1=30°，求证：PB=PC．
19．（2025·湖北武汉·三模）数学实验能增强学习数学的乐趣，还能经历知识再创造的过程，更是培养动手能力，创新能力的手段．小强在学习《相似》一章中对“两个角对应相等的两个三角形相似”这一判定产生了如下问题，请同学们帮他解决．在中，点D为边上一点，连接．
(1)初步探究：如图1，若，求证：；
(2)尝试应用：如图2，在（1）的条件下，若点D为中点，，求的长；
(3)创新提升：如图3，点E为中点，连接，若，，，求的长．
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