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专题09 相似三角形重要模型之一线三等角模型
相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
1
模型来源 1
真题现模型 1
提炼模型 2
模型拓展 3
模型运用 4
模型1.一线三等角模型（相似模型） 4
12
动态旋转起源 ：该模型最初源于几何图形的动态构造，这种旋转过程揭示了模型从一般位置到特殊位置（如中点型、同侧型、异侧型等）的自然演变。 “一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等（或利用外角定理也可），从而得到两个三角形相似。
因模型在不同视角下呈现“K”或“M”形轮廓，各地教学中衍生出 K型图 （如华东地区）与 M型图 （如华北地区）的昵称差异。这种命名差异体现了模型视觉表现力的多样性。
（2025·青海西宁·一模）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？
(1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证：
(2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证：
(3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证：
1）一线三等角模型（同侧型）
（锐角型） （直角型） （钝角型）
条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。
证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2
∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。
2）一线三等角模型（异侧型）
条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC.
证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。
∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC.
3）一线三等角模型（变异型）
图1 图2 图3
①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.
证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。
∴，∵C为AB的中点，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD
②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A，
∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°，
∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.
证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°，
∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM
故：△ABM∽△NDE∽△NCM.
模型1.一线三等角模型（相似模型）
例1（2026·陕西西安·九年级校考期中）如图，是等边三角形，点D、E分别在上，且，若的边长为6，，则的长为 ．

例2（2026·浙江·九年级专题练习）如图，，点是线段上的一点，且．已知．(1)证明：．(2)求线段的长．

例3（北京校考·一模）已知梯形中，∥，且，，．
⑴如图，P为上的一点，满足∠BPC=∠A，求AP的长；
⑵如果点P在边上移动（点P与点不重合），且满足∠BPE=∠A，交直线于点E，同时交直线DC于点．①当点在线段DC的延长线上时，设，CQ=y，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；②写CE=1时，写出AP的长（不必写解答过程）
例4（2026九年级·山东东营·阶段练习）（1）问题：如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：．
（2）探究：若将角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由．
（3）应用：如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，则的长．
例5（2026·浙江·九年级专题练习）在中，，，点在所在的直线上运动，作（、、按逆时针方向）．（1）如图，若点在线段上运动，交于．
①求证：；②当是等腰三角形时，求的长；
（2）如图，若点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，求出线段的长度；若不存在，请简要说明理由；
（3）若点在的反向延长线上运动，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由．
例6（2026宜宾市九年级上期中）如图，在中，，点D是的中点，连结，过点B作分别交于点E、F．与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接，现给出以下几个结论：①；②；③点F是的中点；④；⑤．其中所有正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①④⑤
例7（2026广东九年级上月考）如图，在矩形中，为的中点，交于，延长与直线相交于点，连接．(1)求证：；(2)，是否存在这样的k值，使得与相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由．

1．（2026·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，点E、F分别在矩形的边上，且，若，则的长为（ ）

A．12 B．13 C．14 D．15
2．（2026安徽九年级期中）如图，在RtABC中，∠ABC＝90°．AB＝BC．点D是线段AB上的一点，连
接CD．过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，给出以下四个结论：①＝；②若点D是AB的中点，则AF＝AB；③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF＝DB；④若＝，则，其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2025年陕西省中考数学试题）如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（ ）
A．10 B．8 C．5 D．4
4．（2026·山东烟台·八年级统考期末）如图．是等边三角形，点D，E分别为边，上的点，，若，，则的长为 ．

5．（2026·浙江九年级专题练习）如图，为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上，，将沿直线DE翻折得到，当点F落在边BC上，且时，的值为 ．
6．（2026九年级上·广东·期中）如图，在中，，，．将线段绕点B顺时针旋转得到线段，过点D作交的延长线于点E，连接交于点N，则 ．
7．（2026九年级上·重庆·开学考试）如图，在平行四边形中，， 且，点E、F、G 分别为线段上的点，，，则 ．
8．（2026九年级·上海·假期作业）如图，等边的边长为6，点在上且，点在上，连接交于点，且，若点是射线上一点，当以、、为顶点的三角形与相似时，则的长为 ．
9．（2026·浙江·九年级专题练习）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，点P为BC边上一动点，若AP⊥DP，则BP的长为 ．
10．（2025·山西吕梁·模拟预测）如图，在中，，是的中位线，为上一点，连接，将沿折叠得到，点的对应点落在线段上，若，则的长为 ．
11．（2026·北京通州·九年级校考阶段练习）如图，已知，，点在上，且满足，，．求证：(1)；(2)求线段的长．
12．（2026·上海·九年级校考阶段练习）如图，梯形中，，点是边上一点，点在边上，射线交的延长线于点，且．(1)求证：；(2)若，求的长．

13．（2026·浙江·九年级专题练习）（1）问题：如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：．
（2）探究：若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用：如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．
14．（2026山东烟台·九年级统考期末）如图，在正方形中，，在边上取中点，连接，过点做与交于点，与的延长线交于点．(1)求证：；(2)求的面积．

15．（湖北·中考真题）如图，矩形中，分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为交于．
(1)求证：．(2)若为中点，且，求长．
(3)连接，若为中点，为中点，探究与大小关系并说明理由．
16．（湖北荆州·统考中考真题）如图1，点是线段上与点，点不重合的任意一点，在的同侧分别以，，为顶点作，其中与的一边分别是射线和射线，的两边不在直线上，我们规定这三个角互为等联角，点为等联点，线段为等联线．
(1)如图2，在个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；(2)如图3，在中，，，延长至点，使，作的等联角和．将沿折叠，使点落在点处，得到，再延长交的延长线于，连接并延长交的延长线于，连接．①确定的形状，并说明理由；
②若，，求等联线和线段的长（用含的式子表示）．
17．（湖北孝感·模拟预测）（1）【问题情景】：如图1，正方形中，点是边上一点（不与点重合），连接．将绕点顺时针旋转得到，连接，求的度数．以下是两名同学通过不同的方法构造全等三角形来解决问题的思路：
①小聪：过点作的延长线的垂线；②小明：在上截取，使得；
请你选择其中一名同学的解题思路，写出完整的解答过程．
（2）【类比探究】如图2，点是菱形的边上一点（不与点重合），，连接．将绕点顺时针旋转得到，连接，则的度数为______（用含的代数式表示）；
（3）【学以致用】：如图3，在（2）的条件下，连接，与相交于点，当时，若，求的值．
18．（2026·广东深圳·九年级校考阶段练习）【基础巩固】（1）如图1，在中，，，D是边上一点，F是边上一点，．求证：；
【尝试应用】（2）如图2，在四边形ABFC中，点D是边的中点，，若，，求线段的长．
【拓展提高】（3）在中．，，以A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上．若，求的长．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题09 相似三角形重要模型之一线三等角模型
相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
1
模型来源 1
真题现模型 1
提炼模型 2
模型拓展 3
模型运用 4
模型1.一线三等角模型（相似模型） 4
12
动态旋转起源 ：该模型最初源于几何图形的动态构造，这种旋转过程揭示了模型从一般位置到特殊位置（如中点型、同侧型、异侧型等）的自然演变。 “一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等（或利用外角定理也可），从而得到两个三角形相似。
因模型在不同视角下呈现“K”或“M”形轮廓，各地教学中衍生出 K型图 （如华东地区）与 M型图 （如华北地区）的昵称差异。这种命名差异体现了模型视觉表现力的多样性。
（2025·青海西宁·一模）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？
(1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证：
(2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证：
(3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证：
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析
【详解】（1）证明：∵，∴，
∵，∴，∴；
（2）∵，，
∴，∴．
（3）∵，，
∴，∴．∴，
∵点E是的中点，∴，∴，
∵，∴，∴，∴．
1）一线三等角模型（同侧型）
（锐角型） （直角型） （钝角型）
条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。
证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2
∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。
2）一线三等角模型（异侧型）
条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC.
证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。
∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC.
3）一线三等角模型（变异型）
图1 图2 图3
①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.
证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。
∴，∵C为AB的中点，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD
②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A，
∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°，
∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.
证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°，
∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM
故：△ABM∽△NDE∽△NCM.
模型1.一线三等角模型（相似模型）
例1（2026·陕西西安·九年级校考期中）如图，是等边三角形，点D、E分别在上，且，若的边长为6，，则的长为 ．

【答案】
【详解】解：∵是等边三角形，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，，∴，，∴，∴，∴，
∵，，∴，∴，
∴，∴，故答案为：．
例2（2026·浙江·九年级专题练习）如图，，点是线段上的一点，且．已知．(1)证明：．(2)求线段的长．

【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：∵，∴，
∵，∴，∴，∴；
（2）∵，∴，∵，∴，解得：．
例3（北京校考·一模）已知梯形中，∥，且，，．
⑴如图，P为上的一点，满足∠BPC=∠A，求AP的长；
⑵如果点P在边上移动（点P与点不重合），且满足∠BPE=∠A，交直线于点E，同时交直线DC于点．①当点在线段DC的延长线上时，设，CQ=y，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；②写CE=1时，写出AP的长（不必写解答过程）
【答案】⑴的长1或4;⑵① ;②或3-
【详解】解：⑴，，，
又梯形中，，，，，
设，，，解得，，的长1或4;
⑵①由⑴易得（如图），，即，
②当CE=1时，∵△PDQ∽△ECQ，∴,或，
，解得：AP=2或3 .
例4（2026九年级·山东东营·阶段练习）（1）问题：如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：．
（2）探究：若将角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由．
（3）应用：如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，则的长．
【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）4
【详解】解：（1）证明：，，
，，，
又，，，；
（2）结论仍成立；理由如下：，
又，，，，
又，， ，；
（3），，，，，
是等腰直角三角形，，，，．
例5（2026·浙江·九年级专题练习）在中，，，点在所在的直线上运动，作（、、按逆时针方向）．（1）如图，若点在线段上运动，交于．
①求证：；②当是等腰三角形时，求的长；
（2）如图，若点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，求出线段的长度；若不存在，请简要说明理由；
（3）若点在的反向延长线上运动，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由．
【答案】（1）①见解析，②2或或1；（2）存在，2；（3）不存在，见解析
【详解】（1）①证明：∵，，∴．∴．
又∵，∴．∴；
②解：分三种情况：
（i）当，时，得到，点分别与重合，∴．
（ii）当时，在△ABD和△DCE中，，∴，∴，
∵BC=，∴，∴；
（iii）当时，有，
∴，AD=CD，AE=CE=DE，∴．
综上所述，当是等腰三角形时，的长为2，或1．
（2）解：存在．∵，∴．
∵，∴．
∴，∴，∴，当，．
（3）解：不存在．理由如下：如图，
∵和不重合，∴，又，，∴≠．
例6（2026宜宾市九年级上期中）如图，在中，，点D是的中点，连结，过点B作分别交于点E、F．与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接，现给出以下几个结论：①；②；③点F是的中点；④；⑤．其中所有正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①④⑤
【答案】B
【详解】依题意得，，，，，，
又，，故①正确；如图，标记如下角，
，，，，
，，∴，故②正确；
在与中，（ASA），，
又点是的中点，，，，，
，，，
在与中，（SAS），，
是直角三角形，，，即点不是线段的中点，故③不正确；
是等腰直角三角形，，
，，
，，，，故④正确；
，，点是的中点，，
，即，故⑤错误．综上所述，①②④正确．故选：B．
例7（2026广东九年级上月考）如图，在矩形中，为的中点，交于，延长与直线相交于点，连接．(1)求证：；(2)，是否存在这样的k值，使得与相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)见解析(2)存在，
【详解】（1）证明：，，，
，，又，；
（2）解：存在使得与相似．理由如下：假设与相似，
存在两种情况：①当，则有与互余，于是，因此此种情况不成立；
②当，使得与相似，设，则，
，，，，
，，即，解得，（负值舍去）．
存在使得与相似．
1．（2026·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，点E、F分别在矩形的边上，且，若，则的长为（ ）

A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】A
【详解】解：四边形是矩形，，
，，，，，
，，故选：A．
2．（2026安徽九年级期中）如图，在RtABC中，∠ABC＝90°．AB＝BC．点D是线段AB上的一点，连
接CD．过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，给出以下四个结论：①＝；②若点D是AB的中点，则AF＝AB；③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF＝DB；④若＝，则，其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】解：依题意可得BC∥AG，∴△AFG∽△CFB，∴，
又AB＝BC，∴．故结论①正确；如图，∵∠1+∠3＝90°，∠1+∠4＝90°，∴∠3＝∠4．
在△ABG与△BCD中，，∴△ABG≌△BCD（ASA），∴AG＝BD，
又∵BD＝AD，∴AG＝AD；∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝AB；∴AG＝AD＝AB＝BC；
∵△AFG∽△BFC，∴＝，∴FC＝2AF，∴AF＝AC＝AB．故结论②正确；
当B、C、F、D四点在同一个圆上时，∵∠ABC＝90°，∴CD是B、C、F、D四点所在圆的直径，
∵BG⊥CD，∴，∴DF＝DB，故③正确；
∵，AG＝BD，，∴，∴＝，
∴AF＝AC，∴S△ABF＝S△ABC；∴S△BDF＝S△ABF，
∴S△BDF＝S△ABC，即S△ABC＝12S△BDF．故结论④错误．故选：C．
3．（2025年陕西省中考数学试题）如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（ ）
A．10 B．8 C．5 D．4
【答案】C
【详解】解：∵四边形为正方形，
∵为的中点，，∴，
∵，∴，又，∴，，
∴，即，∴，∴的面积．故选：C．
4．（2026·山东烟台·八年级统考期末）如图．是等边三角形，点D，E分别为边，上的点，，若，，则的长为 ．

【答案】或
【详解】解：∵是等边三角形，∴，，
∵，，
∴，∴，∴，即，
解得：或，经检验：或是原方程的解，故答案为：或．
5．（2026·浙江九年级专题练习）如图，为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上，，将沿直线DE翻折得到，当点F落在边BC上，且时，的值为 ．
【答案】
【详解】解：如图，作△ABC的高AL，作△BDF的高DH，
∵△ABC为等边三角形，△ADE与△FDE关于DE成轴对称，∴∠DFE=∠DAE= 60°，AD = DF，
∴∠CFE+∠FEC=∠CFE+∠DFB= 120°，∴∠DFB= ∠CEF，
又∠B=∠C= 60°，∴△BDF∽△CFE，∴ ，即 ，设CF= x(x > 0)，
∵BF=4CF，∴BF= 4x，∵BD=3，∴，
∵，∴，，
∵△BDF∽△CFE，∴，∴解得：x=2，
∴CF=4，∴BC=5x=10，∵在Rt△ABL中，∠B=60°，
∴AL=ABsin60°=10×=5，∴S△ABC=，
∵在Rt△BHD中，BD=3，∠B=60°，∴DH=BDsin60°=，
∴S△BDF=，
∵△BDF∽△CFE，∴，∵S△BDF=，∴S△CEF=，
又∵AF为轴对称图形对应点的连线,DE为对称轴，∴AD=DF，△ADF为等腰三角形，DE⊥AF，
∴S四边形ADFE==S△CEF=-S△ABC-S△CEF=，
∴．故答案为:．
6．（2026九年级上·广东·期中）如图，在中，，，．将线段绕点B顺时针旋转得到线段，过点D作交的延长线于点E，连接交于点N，则 ．
【答案】
【详解】解：如图，作交CE于点M，
易得．是由BC绕点B顺时针旋转得到的，，，
∵∴∵∴
∵∴∵∴
在和中，，，
，，，， ，
，即，． ，，．
7．（2026九年级上·重庆·开学考试）如图，在平行四边形中，， 且，点E、F、G 分别为线段上的点，，，则 ．
【答案】
【详解】延长，交于点，过作于，∵平行四边形中，，
∴，，，，∴，，
∵，∴，，，
∵，∴，∴，∴，∴
设，则，∴，
∵∴，∴，∵，∴，
∵，∴，∴∴，
在中，∴，解得或（舍去），
∴，即与是同一个点，∴，∴，
∴，∴，
∵，∴，故答案为：．
8．（2026九年级·上海·假期作业）如图，等边的边长为6，点在上且，点在上，连接交于点，且，若点是射线上一点，当以、、为顶点的三角形与相似时，则的长为 ．
【答案】4或7．
【详解】解：是等边三角形，，，
，，如图，当点在上时，作，
，，∴∥，，
是等边三角形，，，
当点在的延长线上时，作，
，，，△，
，，△，
，，，，综上所述：或7，故答案为：4或7．
9．（2026·浙江·九年级专题练习）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，点P为BC边上一动点，若AP⊥DP，则BP的长为 ．
【答案】1或2
【详解】设BP=x，则PC=3-x，∵AB∥CD，∠C＝90°，∴∠B=180°-∠C=90°，∴∠B=∠C，
∵AP⊥DP，∴∠APB+∠DPC=90°，∵∠CDP+∠DPC=90°，∴∠CDP=∠APB，
∴△CDP∽△BPA，∴，∵AB＝1，CD＝2，BC＝3，∴，
解得：x1=1，x2=2，∴BP的长为1或2，故答案为：1或2
10．（2025·山西吕梁·模拟预测）如图，在中，，是的中位线，为上一点，连接，将沿折叠得到，点的对应点落在线段上，若，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：是的中位线，．，，∴，
，．
如图，过点作，交的延长线于点．∴，
又∵，，∴，，
．由折叠的性质可知，，
在中，由勾股定理得．
，．，
，，，
，即，解得，故答案为：．
11．（2026·北京通州·九年级校考阶段练习）如图，已知，，点在上，且满足，，．求证：(1)；(2)求线段的长．

【答案】(1)见解析(2)3
【详解】（1）解：∵，∴，∴，
∵，∴，∴，又，∴；
（2）∵，∴，即
又，，，∴，∴．
12．（2026·上海·九年级校考阶段练习）如图，梯形中，，点是边上一点，点在边上，射线交的延长线于点，且．(1)求证：；(2)若，求的长．

【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：∵梯形中，，∴，
又∵∴
∴，∴∴∴即；
（2）解：∵∴
∵∴，∴则
∵∴，∴
13．（2026·浙江·九年级专题练习）（1）问题：如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：．
（2）探究：若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用：如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5
【详解】解：（1）证明：如图1，，
，，
又，；
（2）结论仍成立；理由：如图2，，
又，，
，，
又，， ；
（3）,,,
是等腰直角三角形
是等腰直角三角形
又即
解得．
14．（2026山东烟台·九年级统考期末）如图，在正方形中，，在边上取中点，连接，过点做与交于点，与的延长线交于点．(1)求证：；(2)求的面积．

【答案】(1)证明见解析(2)9
【详解】（1）证明：四边形是正方形，，，
，，，
在和中，，．
（2）解：∵在正方形中，，点为的中点，
，，，
由（1）已证：，，即，
解得，，又，，
，即，解得，则的面积为．
15．（湖北·中考真题）如图，矩形中，分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为交于．
(1)求证：．(2)若为中点，且，求长．
(3)连接，若为中点，为中点，探究与大小关系并说明理由．
【答案】(1)见详解(2)(3)
【详解】（1）解：如图：∵四边形是矩形，∴，∴，
∵分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，
∴，∴，∴，∴；
（2）解：如图：∵四边形是矩形，∴，，
∵为中点，∴，设，∴，
在中，，即，解得，
∴，∴，∵，∴，∴，解得，
∵，∴；
（3）解：如图：延长交于一点M，连接
∵分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，
∴直线
，，∴是等腰三角形，∴，
∵为中点，∴设，∴，
∵为中点，∴，∵，，∴，
∴，，∴，
在中，，∴，∴，
在中，，∵，∴，
∴，∴，∴，∴，
16．（湖北荆州·统考中考真题）如图1，点是线段上与点，点不重合的任意一点，在的同侧分别以，，为顶点作，其中与的一边分别是射线和射线，的两边不在直线上，我们规定这三个角互为等联角，点为等联点，线段为等联线．
(1)如图2，在个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；(2)如图3，在中，，，延长至点，使，作的等联角和．将沿折叠，使点落在点处，得到，再延长交的延长线于，连接并延长交的延长线于，连接．①确定的形状，并说明理由；
②若，，求等联线和线段的长（用含的式子表示）．
【答案】(1)见解析(2)①等腰直角三角形，见解析；②；
【详解】（1）解：如图所示（方法不唯一）
（2）①是等腰直角三角形．理由为：如图，过点作交的延长线于．
由折叠得，，
，，四边形为正方形
又，；，而，
是等腰直角三角形．
②过点作于，交的延长线于，则．
，，由是等腰直角三角形知：，，
，，而，，在中，，，
，，，
由，，∴四边形为正方形，，
由，得：，∴，
，而，即，解得：，
由①知：，，．
17．（湖北孝感·模拟预测）（1）【问题情景】：如图1，正方形中，点是边上一点（不与点重合），连接．将绕点顺时针旋转得到，连接，求的度数．以下是两名同学通过不同的方法构造全等三角形来解决问题的思路：
①小聪：过点作的延长线的垂线；②小明：在上截取，使得；
请你选择其中一名同学的解题思路，写出完整的解答过程．
（2）【类比探究】如图2，点是菱形的边上一点（不与点重合），，连接．将绕点顺时针旋转得到，连接，则的度数为______（用含的代数式表示）；
（3）【学以致用】：如图3，在（2）的条件下，连接，与相交于点，当时，若，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【详解】解：（1）小聪的证明：作交的延长线于，
顺时针旋转得到，，，，
在和中，，，
，，，是等腰直角三角形，，
又，；
小明的证明：在上截取，使得．
∵，由图可知，∴．
∵顺时针旋转得到，∴．
∴，∴．
在和中，，∴，
∴，；
（2）如图2，在上截取，使得，连接，
∵四边形是菱形，，，
，，∵将绕点顺时针旋转得到，
，，
，，，
，，，
，故答案为：；
（3）过点作交的延长线于点，
设菱形的边长为．，，
，，，，
，由（2）知，，∵，∴，
，，，
在上截取，使，连接，作于点．由（2）可知，，
，，，，
，，，，．
18．（2026·广东深圳·九年级校考阶段练习）【基础巩固】（1）如图1，在中，，，D是边上一点，F是边上一点，．求证：；
【尝试应用】（2）如图2，在四边形ABFC中，点D是边的中点，，若，，求线段的长．
【拓展提高】（3）在中．，，以A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上．若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）5；（3）10
【详解】（1）证明：，，，
，∴，，
，，；
（2）解：如图2中，延长交的延长线于点．
，，，，，
，，，，，
，，，，；
（3）解：如图，过点作与交于点，使，
，，，，
，，，
，，，，
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