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专题13. 特殊的平行四边形中的八大最值模型
本专题包含特殊的平行四边形中的最值模型八大最值模型，主要有：将军饮马、将军遛马、将军过桥、逆等线、瓜豆模型（原理）、费马点模型、胡不归模型等。通过这些综合训练希望能让大家弄清楚这些模型的适用条件，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！
1．（2026山东八年级期末）如图，在矩形中，，，若点是边上的一个动点．过点作且分别交对角线，直线于点O、F，则在点移动的过程中，的最小值为（ ）

A． B． C．17 D．18
2．（2025湖北·校考二模）如图，矩形中，，点在上，且，点分别为边上的动点，将沿直线翻折得到，连接，则的最小值为（ ）

A．5 B． C． D．
3．（2026九年级下·江苏宿迁·期中）如图，在正方形中，为边上一动点（点不重合），是等腰直角三角形，，连接．若时，则周长的最小值为（ ）

A．3 B． C． D．
4．（2025·安徽·校考一模）如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点(不与端点重合)，若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形EFGH周长的最小值等于（ ）
A．10 B．10 C．5 D．5
5．（2026八年级下·湖北武汉·期中）如图，正方形中，M为边上一点，将沿翻折到，点B折到点N，连，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．以上都不对
6.（2025·四川·校考二模）如图，菱形中，，，是对角线上的任意一点，则的最小值为（ ）．

A． B． C． D．
7.（2026八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，已知矩形，，，点M为矩形内一点，点E为边上任意一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．20
8．（2026九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在正方形中，为边上一点，点在边上，且，将点绕着点顺时针旋转得到点，连接，则的长的最小值为（ ）
A．2．5 B．3 C． D．4
9．（四川成都·模拟预测）如图，菱形的边长为4，，E是的中点，F是对角线上的动点，连接，将线段绕点F按逆时针旋转，G为点E对应点，连接，则的最小值为__．
10．（2026上·福建三明·八年级统考期中）如图，在长方形中，，，为边上的点，且．为边上的动点，以为边在其右侧作等腰直角三角形，．设中点为，则的最小值为 ．

11.（2026·陕西榆林·九年级校考期中）如图，点P是边长为4的菱形的对角线上一动点，若，则的最小值为 ．

12.（2026九年级上·河北沧州·期末）如图，设是边长为1的正方形内的两个点，则的最小值为 ．
13.（四川·校考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________．
14.（2026九年级上·广东·期中）如图，在菱形中，是边上一个动点，连接的垂直平分线交于点，交于点，连接．求的最小值．
15．（2025·陕西榆林·三模）如图，四边形是菱形，，，，分别是和上的动点，且，连接，，则的最小值为 ．
16．（2026八年级下·四川绵阳·期中）如图，菱形中，，；点是的中点，点是上一动点，连接．分别是的中点，连接，则的最小值是 ．
17．（陕西西安·模拟预测）如图，在正方形中，，是对角线上两点点靠近点，且，当的最小值为时，的长为 ．
18．（2025·陕西·校考模拟预测）如图，中，，，，，；垂足分别为点F和E．点G和H分别是和上的动点，，那么的最小值为______．

19．（2026·江苏淮安·八年级校考期中）如图，矩形中，，矩形的对角线相交于点O，点E，F为边上两个动点，且，则的最小值为_________．
20．（2026八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，菱形的周长为8，，E为的中点，M为上任意一点，则的最小值为 ．
21．（2026九年级下·陕西渭南·阶段练习）如图，是矩形的对角线，，，点在边上，，点为对角线上一动点，连接，，则周长的最小值为 ．
22．（2025·山东·校考二模）如图，在边长为1的正方形中，E为边上一动点（点E，B不重合），以为直角边在直线上方作等腰直角三角形，，连接，则在点E的运动过程中，周长的最小值是______．

23．（2026·浙江金华·八年级期末）在综合实践课上，小明把边长为2cm的正方形纸片沿着对角线AC剪开，如图l所示．然后固定纸片△ABC，把纸片△ADC沿AC的方向平移得到△A′D′C′，连A′B，D′B，D′C，在平移过程中：（1）四边形A′BCD′的形状始终是 __；（2）A′B+D′B的最小值为 __．
24．（广东·校考一模）如图，正方形ABCD的边长为10，E为BA延长线上一动点，连接DE，以DE为边作等边，连接AF，则AF的最小值为__________．
25.（四川达州·模拟预测）【问题发现】（1）如图1，在中，，若将绕点O逆时针旋转得，连接，则________．
【问题探究】（2）如图2，已知是边长为的等边三角形，以为边向外作等边，P为内一点，连接，将绕点C逆时针旋转，得，求的最小值；
【实际应用】（3）如图3，在长方形中，边，P是边上一动点，Q为内的任意一点，是否存在一点P和一点Q，使得有最小值？若存在，请求出此时的长，若不存在，请说明理由．
26.（2026八年级下·重庆巴南·阶段练习）如图，在中，，以为边向上作正方形，以为边作正方形，点恰好在线段上．
(1)若的长度比少4，，求的面积；(2)求证：；(3)已知点是内一动点，且不与的顶点和边重合，在（1）的条件下，请直接写出的最小值．
27．（2025·江苏淮安·一模）【问题发现】（1）如图1，矩形中，，，点是矩形内一点，过点作，分别交，于点，，，．则：
①________；
②与的关系是________；
【类比探究】（2）如图2，点是矩形外一点，过点作，分别交，反向延长线于点，②中结论还成立吗？若成立，请说明理由；
【拓展延伸】（3）如图3，在中，，是外一点，，，，求的最小值．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题13. 特殊的平行四边形中的八大最值模型
本专题包含特殊的平行四边形中的最值模型八大最值模型，主要有：将军饮马、将军遛马、将军过桥、逆等线、瓜豆模型（原理）、费马点模型、胡不归模型等。通过这些综合训练希望能让大家弄清楚这些模型的适用条件，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！
1．（2026山东八年级期末）如图，在矩形中，，，若点是边上的一个动点．过点作且分别交对角线，直线于点O、F，则在点移动的过程中，的最小值为（ ）

A． B． C．17 D．18
【答案】B
【详解】解：如图过C作，取，过点E作于点H，
∵四边形是矩形，∴，∴四边形是矩形，
∵，，∴，，∴，
∵，∴，∴，，
∴，∴，∴，∴，∴，，
∵， ，∴四边形是平行四边形，
∴，，∴当、、三点共线时最短，
∴，∴，故选B；
2．（2025湖北·校考二模）如图，矩形中，，点在上，且，点分别为边上的动点，将沿直线翻折得到，连接，则的最小值为（ ）

A．5 B． C． D．
【答案】D
【详解】解：作关于的对称点，连接，

，，
沿直线翻折得到，， ，
，， ， 四边形为矩形，，
在中， ，当、、、四点共线时，最小，
最小为，的最小值为．故选：D．
3．（2026九年级下·江苏宿迁·期中）如图，在正方形中，为边上一动点（点不重合），是等腰直角三角形，，连接．若时，则周长的最小值为（ ）

A．3 B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图所示，在上取一点G使得，连接，
∵四边形是正方形，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，又∵，∴，
∴，∴，∴点P在直线上运动，
如图所示，作点D关于直线的对称点F，连接，
∴，，即，
∴，即三点共线，
∵的周长，
∴当三点共线时，的周长有最小值，最小值为，
在中，由勾股定理得，
∴的周长最小值为，故选C．

4．（2025·安徽·校考一模）如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点(不与端点重合)，若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形EFGH周长的最小值等于（ ）
A．10 B．10 C．5 D．5
【答案】A
【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，，
∵，，∴，，
在和中∵，∴，
∴，同理，∴，
如图，作关于的对称点，连接交于，此时最小，即四边形周长最小，作于，∴四边形是矩形，∴，，
∵，，∴，，
在中，由勾股定理得，
∴四边形的周长，故选A．
5．（2026八年级下·湖北武汉·期中）如图，正方形中，M为边上一点，将沿翻折到，点B折到点N，连，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【答案】A
【详解】解：如图：∵正方形，∴，，
分别作于E，于F，则，
∴，∴，
∴，∴，由轴对称可得：，
∵，∴，又∵，∴，∴，
∵，根据垂线段最短可得：，∴，故的最小值为，故选：A．
6.（2025·四川·校考二模）如图，菱形中，，，是对角线上的任意一点，则的最小值为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图：过点E作，过点B作，连接．

∵在菱形中，，∴，
∵，∴，，即．∴．∴．
∵∴当时，即F与重合时，有最小值
∴的最小值．故选B．
7.（2026八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，已知矩形，，，点M为矩形内一点，点E为边上任意一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．20
【答案】C
【详解】解：将绕点A逆时针旋转得到，则，
∴和均为等边三角形，，∴，
∴，∴、、共线时最短，
由于点E也为动点，∴当时最短，而，∴，，
∵和均为等边三角形，∴，，
∴，，∴，
∴的最小值为 ．故选C．
8．（2026九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在正方形中，为边上一点，点在边上，且，将点绕着点顺时针旋转得到点，连接，则的长的最小值为（ ）
A．2．5 B．3 C． D．4
【答案】D
【详解】解：过点G作，垂足为H，∴，
∵四边形是正方形，∴，∴，
由旋转得：，∴，
∵，∴∴，∴，
∴点G在与平行且与的距离为1的直线上，
∴当点G在边上时，最小且，∴的最小值为4，故选：D．
9．（四川成都·模拟预测）如图，菱形的边长为4，，E是的中点，F是对角线上的动点，连接，将线段绕点F按逆时针旋转，G为点E对应点，连接，则的最小值为__．
【答案】
【详解】解：如图取的中点K，连接，，，延长交于J，作于H．
∵四边形是菱形，∴，，，∴，
∵，∴，∵，，∴，∴是等边三角形，
∵，，，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴点G在直线上运动，
根据垂线段最短可知，当点G与H重合时，的值最小，
在中，∵，，，
∴，∴的最小值为，故答案为：．
10．（2026上·福建三明·八年级统考期中）如图，在长方形中，，，为边上的点，且．为边上的动点，以为边在其右侧作等腰直角三角形，．设中点为，则的最小值为 ．

【答案】
【详解】解：如图，过点作于，过点作，∴，
∵四边形是长方形也就是矩形，，，
∴，，∴，
∵是等腰直角三角形，，∴，
∴，∴，
在和中，，∴，
∴，∴点在平行且到距离为的直线上运动，
当点、、共线时，，则，此时有最小值，
此时，∴四边形是长方形，
∴，∴，∴的最小值为，故答案为：．

11.（2026·陕西榆林·九年级校考期中）如图，点P是边长为4的菱形的对角线上一动点，若，则的最小值为 ．

【答案】
【详解】如图所示，将逆时针旋转得到，

∴，，∴是等边三角形
∴∴
∴当点，，，四点共线时，的值最小，即为的长度，
∵菱形的边长为4∴
∵，∴∴
∴的最小值为．故答案为：．
12.（2026九年级上·河北沧州·期末）如图，设是边长为1的正方形内的两个点，则的最小值为 ．
【答案】/
【详解】解：将绕点A顺时针旋转至；将绕点D逆时针旋转至，
∴，，，，∴和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴当六点共线时的值最小．
连接，∵，，∴是等边三角形，
∴，∴在的垂直平分线上，
同理可证，∴在的垂直平分线上，
∵四边形是正方形，∴，∴垂直平分，
∴，四边形是矩形，∴，，
∴，同理可求，∴，
即的值最小为．故答案为：．
13.（四川·校考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________．
【答案】
【详解】过点P作PQ⊥AD，垂足为Q，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC//AB，∴∠QDP=∠DAB=60°，
∴PQ=PD sin∠QDP=PD，∴=BP+PQ，∴当点B、P、Q三点共线时有最小值，
∴的最小值为，故答案为：3.
14.（2026九年级上·广东·期中）如图，在菱形中，是边上一个动点，连接的垂直平分线交于点，交于点，连接．求的最小值．
【答案】
【详解】解：如图，过点作于点，连接，过点作于点，
四边形是菱形，，，，
的垂直平分线是，，
，的最小值为，
，，的最小值为．
15．（2025·陕西榆林·三模）如图，四边形是菱形，，，，分别是和上的动点，且，连接，，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：如图,连接,过点作,使得,连接.

∵四边形是菱形,∴, ，
∴是等边三角形,∴,
∵,∴,∴,
∵,∴,∴,∴,
∵,，，
∴的最小值为．故答案为：.
16．（2026八年级下·四川绵阳·期中）如图，菱形中，，；点是的中点，点是上一动点，连接．分别是的中点，连接，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】解：如图，连接并延长交于点，连接，
，
∵四边形为菱形，∴，∴，
∵是的中点，∴，∵，∴，∴，
∵分别是，的中点，∴，∴要使有最小值，
即最小，∴当时，最小，
过点作于点，此时点和点重合，
在菱形中，，，
∵点是的中点，∴，∴，
∴，∴．∴的最小值是．故答案为：．
17．（陕西西安·模拟预测）如图，在正方形中，，是对角线上两点点靠近点，且，当的最小值为时，的长为 ．
【答案】
【详解】解：如图所示，平移至，则，连接,
∴四边形是平行四边形，∴，，∵，∴
∵在正方形中，，是对角线上两点
∴∴
在中，；∴故答案为：．
18．（2025·陕西·校考模拟预测）如图，中，，，，，；垂足分别为点F和E．点G和H分别是和上的动点，，那么的最小值为______．

【答案】
【详解】解：如图，过点E作交于点I，连接．

∵中，，，∴，∴，
∴，．∵，，∴．
∵，∴四边形为平行四边形，∴．同理可得出．
∵，，∴四边形为平行四边形，
∴，∴四边形为平行四边形，
∴，∴，∴当最小时，最小．
∵当点I，H，C三点共线时，最小，∴此时最小，如图，

∵，∴．∵∴四边形为平行四边形，∴，，
∵，，∴，∴，∴，
∴的最小值为． 故答案为：．
19．（2026·江苏淮安·八年级校考期中）如图，矩形中，，矩形的对角线相交于点O，点E，F为边上两个动点，且，则的最小值为_________．
【答案】
【详解】过点O作于点H，把点O向右平移2个单位至点，作点关于的对称点，交于点K，连接交于点E，作，交的延长线于点G．则四边形和四边形都是矩形，∴，，，．
∵，∴四边形是平行四边形，∴，
∴，
∴由两点之间线段最短可知，此时的值最小，最小值是线段的长．
∵四边形是矩形，∴，，，
∴，．∵，∴，∴，
∴，即的最小值为．故答案为：．
20．（2026八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，菱形的周长为8，，E为的中点，M为上任意一点，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：连接交于，连接，，

四边形是菱形，线段、互相垂直平分，
、关于对称，则，，即就是的最小值．
，，是等边三角形，
，．在中，，
，的最小值为．
21．（2026九年级下·陕西渭南·阶段练习）如图，是矩形的对角线，，，点在边上，，点为对角线上一动点，连接，，则周长的最小值为 ．
【答案】/
【详解】解：如图所示，过点作点，并延长交于点，连接
∵四边形是矩形，∴，，且，，
∴，∵，即，∴，
∴，即，∴，即，∴点为的中点，即，
∵，∴，且（对顶角相等），
∴，∴，，且，
∴是的垂直平分线，∴，∴周长为，
当、、三点共线时此时值最小，为，
在中，，∴，
∵，∴周长的最小值为，故答案为： ．
22．（2025·山东·校考二模）如图，在边长为1的正方形中，E为边上一动点（点E，B不重合），以为直角边在直线上方作等腰直角三角形，，连接，则在点E的运动过程中，周长的最小值是______．

【答案】
【详解】解：证明：四边形是正方形，，
，，，，
在上取点，使，连接，，，，

，，，，
，，
作点关于的对称点，则点、、在一条直线上，此时的最小值即为的长，
在中，由勾股定理得，
以、、为顶点的三角形周长的最小值为，故答案为：．
23．（2026·浙江金华·八年级期末）在综合实践课上，小明把边长为2cm的正方形纸片沿着对角线AC剪开，如图l所示．然后固定纸片△ABC，把纸片△ADC沿AC的方向平移得到△A′D′C′，连A′B，D′B，D′C，在平移过程中：（1）四边形A′BCD′的形状始终是 __；（2）A′B+D′B的最小值为 __．
【答案】 平行四边形 2
【详解】解：（1）如图2中，∵A′D′=BC，A′D′∥BC，
∴四边形A′BCD′是平行四边形，故答案为：平行四边形．
（2）如图2，作直线DD′，作点C关于直线DD′的对称点C″，连接D′C″，BC″，过点B作BH⊥CC″于H．
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=2，∠ABC=90°，∴AC=AB=2，
∵BJ⊥AC，∴AJ=JC，∴BJ=AC=，∵∠BJC=∠JCH=∠H=90°，∴四边形BHCJ是矩形，
∵BJ=CJ，∴四边形BHCJ是正方形，∴BH=CH=，在Rt△BHC″中，BH=，HC″=3，
∴，
∵四边形A′BCD′是平行四边形，∴A′B=CD′，∴A′B+BD′=BD′+CD′=BD′+D′C″≥BC″，
∴A′B+BD′≥2，∴A′B+D′B的最小值为2，故答案为：2．
24．（广东·校考一模）如图，正方形ABCD的边长为10，E为BA延长线上一动点，连接DE，以DE为边作等边，连接AF，则AF的最小值为__________．
【答案】5
【详解】解：如图，以AD为边作等边三角形△ADH，连接EH，∴HD＝AD＝AH＝10，∠HDA＝60°，
∵△DEF是等边三角形，∴ED＝DF，∠EDF＝60°＝∠HDA，∴∠EDH＝∠FDA，
在△EDH和△FDA中，，∴△EDH≌△FDA（SAS），∴AF＝EH，
∴当EH⊥AB时，EH有最小值，即AF有最小值，
∵∠EAH＝90° ∠HAD＝30°，EH⊥AB，∴EH＝AH＝5，∴AF的最小值为5，故答案为：5．
25.（四川达州·模拟预测）【问题发现】（1）如图1，在中，，若将绕点O逆时针旋转得，连接，则________．
【问题探究】（2）如图2，已知是边长为的等边三角形，以为边向外作等边，P为内一点，连接，将绕点C逆时针旋转，得，求的最小值；
【实际应用】（3）如图3，在长方形中，边，P是边上一动点，Q为内的任意一点，是否存在一点P和一点Q，使得有最小值？若存在，请求出此时的长，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】解：（1）如图，作于，
在中，，将绕点逆时针旋转得到三角形，
，，，
，，
，，，，
，故答案为：；
（2）如图，连接，将绕点C逆时针旋转得，
，，，∴是等边三角形，∴，
，当点、、、共线时，最小，最小值为的长，
连接，作于交延长线于E，，边长为，
，，，
，，，
，的最小值为；
（3）如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，连接，
∴，，∴都是等边三角形，
∴，∴，
∴当四点共线，且时，的值最小，即此时最小；
设此时交于G，在矩形中，，∴，∴，∴；
∵，∴四边形是矩形，∴，∴．
26.（2026八年级下·重庆巴南·阶段练习）如图，在中，，以为边向上作正方形，以为边作正方形，点恰好在线段上．
(1)若的长度比少4，，求的面积；(2)求证：；(3)已知点是内一动点，且不与的顶点和边重合，在（1）的条件下，请直接写出的最小值．
【答案】(1)24(2)见解析(3)
【详解】（1）解：设，则，
∵中，，∴，即解得（负值舍去）
∴，∴；
（2）证明：过点E作交于H，如图所示：
∵，∴，即，
∵，，∴，
在和中，，∴，∴，
∴，∴，∴；
（3）解：在（1）的条件下，，，
过点A作于点G，将绕点C顺时针旋转到，连接，延长，过点E作于点F，连接，如图所示：∵，∴，
∴，根据勾股定理得：，
根据旋转可知：，，，，
∴，∴，
∵两点之间线段最短，∴当B、P、D、E四点共线时，最小，则最小，
∴最小值为的长，∵，
∴，∴，
∵，∴，∴，，∴，
∴即的最小值为．
27．（2025·江苏淮安·一模）【问题发现】（1）如图1，矩形中，，，点是矩形内一点，过点作，分别交，于点，，，．则：
①________；
②与的关系是________；
【类比探究】（2）如图2，点是矩形外一点，过点作，分别交，反向延长线于点，②中结论还成立吗？若成立，请说明理由；
【拓展延伸】（3）如图3，在中，，是外一点，，，，求的最小值．
【答案】（1）①；②；（2）成立，理由见解析（3）
【详解】解：（1）①如图：四边形是矩形，，，
，，
过点作，分别交，于点，，，
四边形和四边形都是矩形，，
，，
，，，
，，
，故答案为：；
②，，
，故答案为：；
（2）成立，理由如下：四边形是矩形，
，，
过点作，分别交，反向延长线于点，
，四边形和四边形都是矩形，，
，，，
，，
，；
（3）作交的延长线于点，则，
，
作交的延长线于点，作交的延长线于点，连接，
，，，
四边形和四边形都是矩形，，
，，
，，，
，，，，
，，，
，四边形是矩形，，
，的最小值为．
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