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第十章 概率
10.2事件的相互独立性
2026级数学备课组
教学内容
1.两个事件相互独立的概念定义；
2.相互独立事件的概率公式 ；
3.相互独立事件与互斥事件的区别；
4.相互独立事件的性质；
5.相互独立事件概率的简单应用.
教学目标：
1. 依托随机试验数据抽象归纳相互独立事件概念，掌握独立事件概率计算公式，辨析厘清相互独立事件与互斥事件的本质差异，发展数学抽象、逻辑推理核心素养；
2. 能利用公式P(AB)=P(A)P(B)判定事件独立性，规范运算求解简单独立事件同时发生的概率，提升概率运算解题能力，发展数学运算、数据分析核心素养；
3. 经历试验探究、定义归纳、公式应用的完整学习过程，提炼独立事件概率解题模型，依托模型解决生活概率实操问题，发展逻辑推理、数学建模核心素养.
教学重点和难点
1.教学重点：两个事件相互独立的概念与概率公式P(AB)=P(A)P(B)；相互独立事件的判断与概率计算.
2.教学难点：理解“相互独立”的本质含义，区分相互独立事件与互斥事件；相互独立事件性质的推导与应用.
环节一 创设情境，提出问题
前面已经研究过互斥事件、对立事件的概率性质，还研究过和事件的概率计算方法，对于积事件的概率是否也有相应确定的计算方法
积事件AB就是事件A与事件B同时发生.
概率的基本性质：
性质1 对任意的事件A, 都有P(A)≥0.
性质2 必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0, 即P(Ω)=1,P(Φ)=0.
性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B).
性质4 如果事件A与事件B互为对立，那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).
性质5 如果A B, 那么P(A)≤P(B).
性质6 设A,B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
猜想：积事件AB发生的概率一定与事件A、B发生的概率有关.
环节一 创设情境，提出问题
问题1：下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B, 事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗
试验1:分别抛掷两枚质地均匀的硬币.设A=“第一枚硬币正面朝上”,B=“第二枚硬币反面朝上”.
Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}
A={(1,1),(1,0)},B={(1,0),(0,0)}
AB={(1,0)}
因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率；
P(AB)=P(A)P(B)
环节一 创设情境，提出问题
问题1：下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B, 事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗
试验2：一个袋子中装有标号分别是1、2、3、4的4个球，除标号外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”,B=“第二次摸到球的标号小于3”.
Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}
A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)}
因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率.
B={(1,1),(2,1),(3,1),(4,1)(1,2),(2,2),(3,2),(4,2)}
AB={(1,1),(2,1),(1,2),(2,2)}
P(AB)=P(A)P(B)
环节一 创设情境，提出问题
试验3：一个袋子中装有标号分别是1、2、3、4的4个球，除标号外没有其他差异，采用不放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”,B=“第二次摸到球的标号小于3”.
Ω={(1,2),(1,3),(1,4)(2,1),(2,3),(2,4),
(3,1),(3,2),(3,4)(4,1),(4,2),(4,3)}
A={(1,2),(1,3),(1,4)(2,1),(2,3),(2,4)}
B={(2,1),(3,1),(4,1)(1,2),(3,2),(4,2)}
AB={(2,1),(1,2)}
P(AB)≠P(A)P(B)
追问1 试验1与试验2都满足P(AB)=P(A)P(B),即两个事件同时发生的概率等于它们分别发生的概率的乘积，这个规律具有一般性吗
追问2你认为在什么条件下，P(AB)=P(A)P(B)成立
试验3是“不放回”抽样，根据直观经验，事件A是否发生，会对事件B发生的概率产生影响，
猜想P(AB)=P(A)P(B)成立的前提条件是：
事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响.
环节二 抽象概念，辨析内涵
定义 设A,B两个事件，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B 相互独立，简称独立.
作用：(1)判断两个事件是否独立;
(2)在事件相互独立的条件下求积事件发生的概率.
问题2:根据已有经验，定义了一个对象(问题)后，要通过研究特例、相关元素的关系等加深理解.对于事件的独立性，你认为有哪些特例需要研究 又有哪些关系可以研究
P(AΩ)=P(A)=P(A)P(Ω),P(A )=0=P(A)P( )
从而必然事件Ω、不可能事件 与任意事件相互独立.
环节二 抽象概念，辨析内涵
定义 设A,B两个事件，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立.
追问：从事件的关系角度入手，如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立
Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}
A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)}
B={(1,1),(2,1),(3,1),(4,1)(1,2),(2,2),(3,2),(4,2)}
AB={(1,1),(2,1),(1,2),(2,2)}
={(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}
={(1,3),(2,3),(3,3),(4,3)(1,4),(2,4),(3,4),(4,4)}
={(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)}
={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}
={(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}
实验2
P(AB)=P(A)P(B)
环节二 抽象概念，辨析内涵
定义 设A,B两个事件，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立.
追问：从事件的关系角度入手，如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立
P(AB)=P(A)P(B)
严格推理证明：
环节三 研讨例题，巩固理解
例1.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8,乙的中靶概率为0.9,求下列事件 的概率：
(1)两人都中靶；
(2)恰好有一人中靶；
(3)两人都脱靶；
(4)至少有一人中靶.
环节三 研讨例题，巩固理解
例2.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为3/4 ,乙每轮猜对的概率为2/3.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率.
环节四 小结提升，形成结构
问题3：请带着以下问题回顾本节课的内容，并给出回答：
(1)事件相互独立的含义是什么 如何判断事件的独立性 试举例说明.
(2)举例说明独立事件与互斥事件的区别.
(3)通过推理求解事件概率的步骤是什么
(4)互斥事件的概率加法公式与独立事件同时发生的概率运算都是特殊情形下概率的计算方法，对 于更为一般的事件，我们还可以有哪些方法来计算概率呢
环节五 作业布置，应用迁移
作业1:教科书第250页习题10.2第1、2、3、4、6题.
作业2:通过解决教科书第249页练习2,第250页习题10.2第5题，分析并 说明三个事件相互独立的含义.
下 课
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