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2025-2026学年度高二数学期末试卷
7.已知函数f()=
3-1+1,(x≤1)
m(-1以x>),若F)=f(田)-2(+音的零点个数为4，则实数a取值范国围为《)
一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。）
1.已知集合A=o水.B=小，则4n8=《)
5ug网
G
a.
D.(
B.(1,2)
8.若正实数x,y,z满足x+lx=y+2y=z+3nz,则下列大小关系中不可能成立的是()
c〔
D.
A.x>y>z
B.z>y>x
C.>>y
D.x=y=z
2.使命题“3x∈R,
x2-mx+3≤0”是假命题的一个充分不必要条件是()
二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分。每小题给出的四个选项中，只有多个选项符合题目要求。全
部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分)
A.∈[0,12)
B.m∈[0,12]
C.m∈(1,12)
D.m∈[1,12]
9.下列说法中正确的是()
3.点M在曲线y=x-√3x-3上移动，设曲线在点M处切线的倾斜角为，则角a的取值范围是()
A.回归直线y=r+a恒过样本点的中心(x,y)
A[
B.两个变量线性相关性越强，则相关系数r就越接近1.
e别倍
n寸
c.已知随机变量X~B4兮)则8(x)-号D(3x-)=8
3
D.某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变.
4.如图，直三棱柱ABC-ABC,∠BCA=90°，点D,F分别是AB,AC的中点，若BC=CA=CC1,则BD与AF
10.如图，棱长为1的正方体ABCD-AB,CD中，P为线段BC上的动点，则正确的是()
所成角的余弦值是()
D
D
B
A.30
B.号
C.30
10
15
D.vis
10
A.BD⊥AP
B.APW面ADC
5.已知函数y=f(x)的定义域为R,f(1+x)=f(3-x),当0C.P到面4DC的距离为定值2y5D.A4CP面积的最小值为巨
3
处的切线的斜率为()
11.日常生活中植物寿命的统计规律常体现出分布的无记忆性假设在一定的培养环境下，一种植物的寿命是取值为
A.2
B.1
C.-1
D.-2
正整数的随机变量X,根据统计数据，它近似满足如下规律：对任意正整数，寿命恰好为的植物在所有寿命不
6.己知定义在R上的函数f(x)满足以下条件：对任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y)+3,f()=4,且当x>0
小于的植物中的占比为10%.记“一株植物的寿命为n”为事件A,“一株植物的寿命不小于n”为事件Bn.则下列结论
时，f(x)>-3,则不等式f(x2+x)+∫(1-2x)>15的解集为()
正确的是()
A.（-0,-1)U(3,+0）
B.(-0,-1)U(2,+m)
A.P(A)=0.01
C.(-1,3)
D.(-1,2)
B.P(Bn）=0.9-
C.设4=P(AB2),则{an}为等比数列
第1页，共2页参考答案
2025-2026 学年度高二数学期末试卷参考答案
1．D
【详解】不等式 ，即 ，即 ，
解得 ，故 ，
不等式 可化为 ，即 ，
解得 ，故 ，
所以 .
2．C
【详解】命题“ ， ”是假命题等价于“ ， ”是真命题，
即 ，不等式 恒成立，
当 时，则不等式化简为 恒成立，
当 时，不等式 恒成立，
则等价于 ，解得 ，
综上所述命题“ ， ”是真命题的充要条件是
即命题“ ， ”是假命题的充要条件是 ，
若要找命题“ ， ”是假命题的充分不必要条件，
则只需要找 的真子集，由选项知只有 是 的真子集.
3．A
【详解】以 为原点建立如图所示空间直角坐标系，
设 ，则 ， ， ， ，
， ，
则 与 所成角的余弦值为： .
4．D
【详解】因为 ，所以 ，
由于 ，因此 ，可得 ，
即切线斜率 ，
因为切线的倾斜角为 ，且 ，斜率 ，分两种情况讨论：
当 时，即 ，可得
当 时，即 ，结合正切函数在 上单调递增且 ，可得
综合以上两种情况，倾斜角 的取值范围是： .
5．C
【详解】由函数 的定义域为 ， ，得函数 的图象关于直线 对称，
因此曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处切线关于直线 对称，
其斜率互为相反数，当 时， ，求导得 ，则 ，
所以曲线 在点 处的切线的斜率为 .
6．B
【详解】任取 ， ，且 ，因为 ，
所以 ，
因为 时， ，且 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 在 上是增函数，
令 ，所以 ，
令 ， ，所以 ，
不等式 等价于 ，
所以 ，即 ，
因为 在 上是增函数，所以 ，解得 或 ，
所以不等式的解集为 .
7．D
【详解】根据解析式知 的图象如图所示：
由题意， 有 4个不相等的实数根，
设 ，结合图象可知 有两个不等实根，
设此关于 方程的解为 、 ，其中 均不为零且 ．
由题设可得关于 的方程 和 共有 4个不同的解， ，
故 不能都大于 2，不能都小于等于 1，
故 （舍）或 或 （舍）．
令 ，其开口向上，
需满足 ，即 ，解得 .
8．C
【详解】设 ，定义函数 ， ，
由于 对正实数 恒成立，因此 是单调递增函数，
其中对应 的参数分别为 ，
当 时， 代入得 ，
因此 ，故选项 D成立；
当 时，此时所有 ， ，
对相同的 ，参数 越大， 越小，需要更大的 才能让 ，
因此 越大对应 越大，由 ，得 ，故选项 B成立，
当 时， 此时所有 ， ，对相同的 ，参数 越大， 越大，
需要更小的 才能让 ，因此 越大对应 越小，由 ，
得 ，故选项 A成立，综上，只有 不可能成立.
9．AC
【详解】在 A选项中，根据回归直线的基本性质，
回归直线 恒过样本点的中心 ，A正确，
在 B选项中，相关系数 的绝对值越接近 1，说明两个变量线性相关性越强，
负相关时 接近 ，并非只有接近 1才代表相关性强，B错误，
在 C选项中，若 ，则期望 ，方差 ，
所以 ， ，
根据方差性质 得 ，C正确，
在 D选项中，原 7个数平均数为 ，总和为 ，加入新数据 后，
8个数的平均数仍为 ，原方差满足 ，化简得 ，
新方差为 ，方差发生改变，D错误.
10．ABD
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
在 上，过点 作 交 于 设 ，则 ,
则
选项 A： ,
因为 ,所以 ，A正确;
选项 B：在正方体 中，因为 ， ∥ ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ∥ ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ∥平面 ，同理可证 ∥平面 ，
因为 ， 平面 ，所以平面 平面
因为 面 ，故 平面 ，B正确;
选项 C：因为 平面 ，所以 到面 的距离为 到面 的距离，设为
等边 边长 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 到面 的距离为 ，C 错误；
选项 D： ,
所以 所以
所以 面积是
当 , D 正确.
11．BCD
【详解】设植物总数为 ，寿命为 年的植物数为 ，
由题意， ，
则 ①
②
② ①得， ，
即 ，故 ，故 A错误；
由 ，
故 ，故 B正确；
由 ，
故 ，即 为等比数列，故 C正确；
因为 ，
设 ，则 ，
，
相减可得
，
所以 ，故 D正确.
故选：BCD
12．
【详解】解：命题“ ”的否定为：“ ， ”，
因为原命题为假命题，则其否定为真，所以
当 时， 恒成立，满足题意；
当 时，只需 ，解得： .
所以实数 的取值范围是 .
故答案为： .
13．16
【详解】因为 ， 为正实数，且 ，
所以 ，且 ，即 ， ，所以 .
对 因式分解可得 ，
所以 （当且仅当 ，即 ， 时取等号），
故 的最小值为 16.
14．
【详解】因为
所以 等价于 ，
两边同加 得
则原不等式等价于
记 ，则 等价于 ，
因为 恒成立， 在 上单调递增，
所以 等价于 ，
记 ， ，则 恒成立等价于 ，
又 ，
所以当 时， ，函数 在 上单调递增；
当 时， ，函数 在 上单调递减；
所以 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
15．【详解】（1）对函数求导可得 ，
因为 在 和 处取得极值，所以 是方程 的两个根，
由韦达定理： ,解得 .
将 代入导函数得： ，
当 时 ，当 时 ，当 时 ，
和 处导数值变号，故为极值点，所以 .
（2）由 ，得 ， ,
时， ， 单调递增； 时， ， 单调递减；
时， ， 单调递增， ， ， ，
因此 在 上的最小值为 .
任意 都满足 ，等价于最小值大于 ，
即： ，解得： ，所以 的取值范围是 .
16．【详解】（1）甲组成员共 46人，其中男生 16人，则其中女生 30人，
男生有 50人，则男生在乙组有 34人，女生有 50人，则女生在乙组有 20人，
则列联表为：
甲组 乙组 合计
男生
女生
合计
（2）零假设 学生喜欢文学类还是科普类书籍与性别无关，
，
根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，
即认为学生喜欢文学类还是科普类书籍与性别有关.
（3）女生喜欢文学类书籍的概率为 ，
依题意，随机变量 服从二项分布 ，
， ，
， ，
则随机变量 的分布列如下表所示：
0
所以 .
17．【详解】（1）当 时，每局比赛乙队获胜的概率为 ，
采用方案一，三局两胜制下乙获胜分两种情况： 胜和 胜，
因此乙队最终获胜的概率 ；
采用方案二，五局三胜制下乙获胜分三种情况： 胜、 胜和 胜，
因此乙队最终获胜的概率 ，
而 ，所以采用方案一对乙更有利，乙队最终获胜的概率 .
（2）①当 时，甲队最终获胜的事件为 ，五局三胜制下甲获胜分三种情况： 胜、 胜和 胜，
，
比赛恰好进行了四局的事件为 ，则 ，
所以求在甲队最终获胜的条件下，比赛恰好进行了四局的概率为 .
②甲队得分 的所有可能取值为 ，
，即乙以 或 胜甲， ；
，即乙以 胜甲， ；
，即甲以 胜乙， ；
，即甲以 或 胜乙， ，
所以 的分布为
0 1 2 3
期望 .
18．【详解】(1) 等边 的边长为 3， ， .
， .
由余弦定理得 ，解得 ；
， ， ；
为直角三角形，即 .
.
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面
平面 ；
平面 ， .
（2）由（1） ，得 .
由折叠得， .
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面
平面 .
为直线 与平面 所成的角.
， ， ， ， ， .
在 中， .
即直线 与平面 所成角的正弦值为
（3）线段 上存在一点 ，使得二面角 的大小为 ，且线段 的长度为 ，理由如下：
平面 ， 平面 ， 平面 ， ， .
平面 ， 平面 ， .
以 为原点，分别以 ， ， 所在的直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， .
.
点 在线段 上， 设 ，得 .
， .
平面 ， 平面 的法向量可取 .
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ；
令 ，则 ， .
平面 的一个法向量为 .
二面角 的大小为 ，
，解得 或 .
， .
，则 .
即线段 的长度为 .
19．【详解】（1） ，则 ，
，又 ，解得 ；
（2）由（1）得 ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，解得 ，
则当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ，
， ，
故存在 ，使得 ，且有 ，
则当 时， ，当 时， ，
故 在 、 上单调递减，在 上单调递增，
故 有两个极值点；
（3）令 ，则 ，
令 ，则 ；
若 ，则 恒成立（不恒为零），
故 在 上单调递减，又 ，
当 时， ，故 在 上有唯一零点，
即 与 有唯一交点；
若 时， 有两个实根，
设这两个实根分别为 、 ，且 ，则 、 ，
则当 时， ，当 时， ，
故 在 、 上单调递减，在 上单调递增，
故 为 的极小值， 为 的极大值，且 ，
由 ，则 ，
则
，
由 ，则 ，
则有 、 ，故 ，则 ，
又 时， ，故 在 上存在唯一零点，
即 与 有唯一交点；
综上所述： 与 交点个数为 .

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