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甘肃陇南市康县第一中学、第二中学、永兴中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题
一、单选题
1．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．已知 ，，且和的分布密度曲线如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
3．一个直线运动的质点的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
4．若，则（ ）
A．1 B．-1 C．6078 D．-6078
5．如果散点图中所有的散点都落在一条斜率不为0的直线上，则下列结论错误的是（ ）
A．解释变量和响应变量线性相关 B．相关系数
C．决定系数 D．残差平方和等于1
6．甲同学参加综合素质测试，该测试共有6个项目．已知甲同学每个项目合格的概率均为，合格得3分，不合格扣2分，且各项目是否合格相互独立．设6个项目测试完后甲的总得分为Y，期望为，方差为，当最大时，（ ）
A． B． C． D．
7．已知事件的概率均不为0，下列说法正确的是（ ）
A．若，则事件与为对立事件
B．若，则事件与为相互独立事件
C．若，则
D．若，则
8．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知展开式中共有8项．则该展开式结论正确的是（ ）
A．所有项的二项式系数和为128 B．所有项的系数和为
C．系数最大项为第2项 D．有理项共有4项
10．甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（ ）
A．5人站成一排，若甲、乙必须相邻，共有48种排法
B．5人站成一排，若甲、乙不能相邻，共有72种排法
C．5人站成一排，若甲不能站在两端，共有72种排法
D．5人站成两排，若甲、乙站前排，丙、丁、戊站后排，共有120种排法
11．已知，，，设的最小值为N，且（为自然对数的底数），则下列说法正确的是（ ）
A． B．的最大值是
C． D．若且，则
三、填空题
12．若，则________.
13．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.
14．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且，则______．
四、解答题
15．已知函数．
(1)当时，比较与的大小；
(2)讨论的单调性；
(3)当时，证明．
16．在某次世界乒乓球锦标赛的团体比赛中，中国队将对阵韩国队．比赛实行5局3胜制，根据以往战绩，中国队在每一局中获胜的概率都是．
(1)求中国队以的比分获胜的概率；
(2)设事件“韩国队先胜第一局”，设事件“中国队获得最终的胜利”，求；
(3)假设全场比赛的局数为随机变量，在韩国队先胜第一局的前提下，求的分布列和数学期望．
17．2024年某公司推出高、中、低3个价位的S型新能源汽车，这3个价位的新能源汽车的销量之比为3∶3∶4，用户对这3个价位的新能源汽车的满意率分别为80%，60%，70%．
(1)求用户对S型新能源汽车的满意率；
(2)从对S型新能源汽车满意的用户中随机抽取1人，求此用户购买的是低价位S型新能源汽车的概率．
18．为深入学习党的二十大精神，激励青年学生积极奋发向上.某学校团委组织学生参加了“青春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如图所示.
(1)用样本估计总体，试估计此次知识竞赛成绩的平均数；
(2)将此次竞赛成绩近似看作服从正态分布（用样本平均数和标准差分别作为的近似值），已知样本的标准差.现从该校参与知识竞赛的所有学生中任取100人，记这100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数为随机变量，求的数学期望；
(3)从得分区间和的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自于不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间的概率.
参考数据：若，则，.
19．已知函数，直线与曲线相切.
(1)求的值；
(2)若对任意，存在，使得不等式成立，求的最大值；
(3)若，求证：对任意，有.
试卷第2页，共4页
《甘肃陇南市康县第一中学、第二中学、永兴中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A D D C D B AD ABC
题号 11
答案 BD
1．C
解析：由题设，
因为定义域为，不等式两边同乘，
得到，
令或.
因为二次函数开口向上，
所以的解为或.
因为的定义域为，
所以最后不等式的解集为.
2．C
解析：由题图可知，，则，即，所以A错误；
根据正态曲线的性质，越大图象越矮胖，则，即，所以B错误；
由图可知，，所以C正确；
由图可知，，所以D错误．
3．A
解析：由题意得，所以，
即该质点在时的瞬时速度为．
故选：A．
4．D
解析：由，
两边同时求导得，
令，则.
5．D
解析：直线对应的函数为一次函数，故解释变量和响应变量是一次函数关系，故A正确.
因为样本点都落在直线上，所以样本相关系数，所以，所以B 正确。
决定系数和残差平方和都能反映模型的拟合程度，故决定系数，残差平方和为0，故C正确，D错误
故选：D
6．C
解析：依题意，合格项目的个数，则，，
由每个项目合格得分，不合格扣2分，得甲的总得分，
因此，，
则，又，
所以当时，取得最大值.
故选：C
7．D
解析：对于A：因为，由，只能得到，并不能得到事件与为对立事件，故A错误；
对于B：因为，
由，只能得到，并不能得到，从而不能得出事件与为相互独立事件，故B错误；
对于C：由可得或，当时不能得出，故C错误；
对于D：因为，
又，所以，故D正确.
故选：D.
8．B
解析：设，则，当时，，
故在上单调递减，
而，故，
故选：B
9．AD
解析：A项，因为的展开式共有8项，所以．
故所有项的二项式系数和为，故A正确；
B项，令，可得所有项的系数和为，故B错误；
因为二项展开式的通项公式为：
．.
C项， 当，设项系数最大，
由，解得，则，
且，第3项系数为.
当时，，系数为1；
当时，，系数为；
由，故第3项的系数最大；故C错误；
D项，由为整数，且可知，的值可以为：0，2，4，6，
所以二项展开式中，有理项共有4项，故D正确．
故选：AD.
10．ABC
解析：选项A：把甲、乙看成一个整体与其余3人全排列，有种排法，
甲、乙两人之间有种排法，所以共有种排法，A正确.
选项B：先排丙、丁、戊有种排法，丙、丁、戊形成4个空，
从4个空中选2个排甲、乙，有种排法，所以共有种排法，B正确.
C选项：先从中间3个位置选一个给甲，有种方法，其余4人全排列，有种方法.
根据分步乘法计数原理，共有种排法，C正确.
D选项：甲、乙站前排有种排法，丙、丁、戊站后排有种排法，
根据分步乘法计数原理，共有种排法，D错误.
故选：ABC
11．BD
解析：解：，
当且仅当即，时取等号，故A错误；
因为且，所以，
设，，
时，的解为，的解为，
则在单调递增，单调递减，故最大值为，则的最大值是，故B正确；
令，，则，
，，所以在区间上单调递增，
又，，即，
即，，
即，故C错误；
由，
，，，，
，即，故D正确．
12．7
解析：因为，故，即，解得
故答案为：
13．
解析：4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学
先取2名同学看作一组，选法有：
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种
故答案为：.
14．
解析：因为数列为等比数列，且各项均为正数，设公比为，
所以，，
由得，即，
解得或（舍），
所以．
15．(1)
(2)时在上单调递增；时在上单调递增，在上单调递减
(3)证明：由（2）知，当时，在取得最大值，最大值为，
所以等价于，即，
设，则，
当时，，当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减，
故当时，取得最大值，最大值为，所以当时，，
从而当时，，即．
解析：（1）当时，，的定义域为，
则，
故当时，；当时，．
故在上单调递增，在上单调递减；
又，故．
（2）的定义域为，．
若，则当时，，故在上单调递增，
若，则当时，；当时，．
故在上单调递增，在上单调递减；
（3）略
16．(1)
(2)
(3)的分布列为：
3 4 5
解析：（1）设中国队以的比分获胜的事件为，
则.
（2）在韩国队先胜第一局的前提下，中国队获得最终的胜利有2种情况：
①中国队连胜3局，此时的概率为：；
②中国队在2到4局中胜2局，再胜第5局，
此时概率为：；
所以.
（3）由题意知，
则，
，
，
所以的分布列为：
3 4 5
则.
17．(1)0.7
(2)0.4
解析：（1）设“用户购买的是高价位的S型新能源汽车”，
“月用户购买的是中价位的S型新能源汽车”，
“用户购买的是低价位的S型新能源汽车”，
“用户对S型新能源汽车满意”，
则，，两两互斥，且，，，
，，，
由全概率公式得
．
（2）从对S型新能源汽车满意的用户中随机抽取1人，此用户购买的是低价位S型新能源汽车的概率，就是在B发生的条件下，发生的概率，
18．(1)
(2)
(3)
解析：（1）由题意有，
所以估计此次知识竞赛成绩的平均数为；
（2）由题意有，因为，即，所以，
由题意得抽取100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数服从二项分布，即，所以，
所以抽取100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数的数学期望为；
（3）由频率分布直方图有：分数在和的频率分别为和，
按照分层抽样，抽取10份，其中在应抽取份，分数应抽取份，
令事件抽取3份试卷来自不同区间，事件取出的试卷有2份来自区间，
所以，
所以.
所以抽测3份试卷有2份来自区间的概率为.
19．(1)
(2)
(3)
由已知可得，
则，
令，则，
所以在上单调递增，
又函数在上单调递增且恒为正，
所以在上单调递增且恒为正，
所以在单调递增，
令，，则，
因为，所以，在单调递增，
所以对任意有，
因为时，
，
所以，即.
解析：（1）设直线与曲线相切于点处，
因为，所以①，
又因为②，①②联立解得，.
（2）由（1）得，
对任意，存在，使得不等式成立，
等价于对任意，即可，
所以当时恒成立，
令，只需即可，
因为，令，
则，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
因为，所以，
又 ，，所以当时，，即，单调递减，
当时，，即，单调递增，
所以，即的最大值为.
（3）略
答案第10页，共10页
答案第9页，共10页

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