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浙教版数学七年级上册 1.1 从自然数到有理数 三阶训练
一、选择题
1．《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部，成书于公元一世纪左右．全书共分为九章，总结了战国和秦汉时期的数学成就，内容十分丰富．在“方程”一章中，首次正式引入了负数的概念．如果将盈利500元记作元，那么元表示（　　）
A．亏损700元 B．支出700元 C．亏损元 D．支出元
2．在数1，6.7，-14，0， 中，属于整数的有 (　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．下列数中，属于负数的是（　　）
A．2023 B． C． D．0
4．在，，，，，，中，非负数有(　　)
A．个 B．个 C．个 D．个
5．关于这六个数，下列说法错误的是（　　）
A．是整数
B．是正数
C．是负数
D．是有理数
6．如图是加工某零件的尺寸要求，现有的4件产品，直径尺寸（单位：）如下：45.04，44.09，44.98，45.01，则其中不合格的产品有___________件．
A．1件 B．2件 C．3件 D．4件
7．有下列说法：一个有理数不是正数就是负数；整数和分数统称为有理数；零是最小的有理数；正分数一定是有理数；一定是负数，其中正确的个数是(　　)
A． B． C． D．
8．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三
个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（　　）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
9．算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，如表所示．古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示．则“”所表示的数是（　　）
A．223 B． C．263 D．
10．有下列说法，正确的个数是（　　）个
①0是最小的整数；②一个有理数不是正数就是负数 ；③若是正数，则是负数；
④自然数一定是正数；⑤一个整数不是正整数就是负整数；⑥非负数就是指正数．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．一件衣服按300元出售，盈利率为20%，如果要将盈利率提到35%，那么每件售价应提高到　 　元。
12．小海同学利用假期整理学习笔记，放假第一周整理了全部笔记的．这时发现：剩下部分比已整理的页数要多页，小海同学一共要整理　 　页学习笔记．
13．算筹是中国古代的一种计数法，摆法有纵式和横式两种，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，……，纵横依次交替，零以空格表示，在个位数上画上斜线表示负数，则“”所表示的数是　 　．
纵式：
横式：
14．小王步行的速度比跑步的速度慢50％，跑步的速度比骑车的速度慢50％。如果他骑车从A城到B城，再步行返回A城共需要两小时，那么小王跑步从A城到B城需要　 　分钟。
三、解答题
15．一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，d，如果a≤b≤c≤d，那么我们把这个四位正整数叫做“进步数”，例如四位正整数1234：因为1<2<3<4，所以1234是“进步数”.
（1）写出四位正整数中的最大的“进步数”与最小的“进步数”.
（2）已知一个四位正整数m是“进步数”，m的千位、个位上的数字分别是1，8，且m能被9整除，求这个四位正整数m.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：根据题意，盈利500元记作元，
∴元表示亏损700元，
故答案为：A．
【分析】根据在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，即可求解.
2．【答案】B
【知识点】有理数的分类
【解析】【解答】解：数 1，6.7，-14，0， 中整数为： 1，-14，0，共3个.
故答案为：B .
【分析】先找出数中的整数为： 1，-14，0，据此可选出答案.
3．【答案】B
【知识点】正数、负数的概念与分类
【解析】【解答】解：是负数，和是正数，0既不是正数也不是负数
故答案为：B．
【分析】根据正、负数的概念判断即可.
4．【答案】C
【知识点】正数、负数的概念与分类
【解析】【解答】解：，，，，，，
∴非负数有，0，12%，7
∴非负数有4个
故答案为：C.
【分析】根据非负数的概念，非负数指的是零和正数符合，，，，，，，中找到0和正数.
5．【答案】B
【知识点】有理数的分类
【解析】【解答】解：A、-1，0是整数，正确，故A选项不符合题意；
B、0既不是正数也不是负数，故原说法错误，B选项符合题意；
C、-1，是负数，正确，故C选项不符合题意；
D、-1，，0.99，，0，3.1415是有理数，正确，故D选项不符合题意，
故答案为：B.
【分析】根据有理数的概念和分类依次判断即可.
6．【答案】B
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：，，
零件直径的合格范围是：零件直径，
，，
不合格的有2件，
故答案为：B．
【分析】先利用有理数的加减法求出零件直径的合格范围是：零件直径，再求解即可.
7．【答案】B
【知识点】正数、负数的概念与分类
【解析】【解答】解：① 一个有理数不是正数就是负数 ，说法错误0也是有理数；
② 整数和分数统称为有理数是对的；
③ 零是最小的有理数是错误的，还有负有理数；
④ 正分数一定是有理数是正确的；
⑤-a一定是负数是错的，比如-(-2)=2；
正确的只有2个.
故答案为：B.
【分析】根据有理数的概念，判断①错误的，②正确的，③错误的，④是正确的，根据负数的概念，⑤错误的.
8．【答案】D
【知识点】有理数及其分类
【解析】【解答】解：设a1，a2，a3，a4，a5是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．
首先，对于a1，a2，a3，a4，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后是奇数，那么这样的三个数的和是奇数，由奇偶性可得不满足这个三个数的和能被第一个数整数，与已知条件矛盾．
又如果ai（1≤i≤3）是偶数，ai+1是奇数，根据奇偶性则ai+2是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．
所以a1，a2，a3，a4，a5只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件：
2，1，3，4，5；
2，3，5，4，1；
2，5，1，4，3；
4，3，1，2，5；
4，5，3，2，1．
故选：D．
【分析】从三个数和的奇偶性出发：偶数+偶数+奇数=奇数，不能被偶数整除，则两个偶数不能连续排，也不能隔一个排，需要隔两个，则当第一个排偶数时，则为偶，奇，奇，偶，奇，符合；当第二个排偶数时，则为奇，偶，奇，奇，偶，不符合.所以再根据整除的条件，按“偶，奇，奇，偶，奇”排列找符合条件的情况.
9．【答案】D
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得，“”所表示的数是，
故答案为：D．
【分析】由题意得这个数是负数，根据表格给出的算筹计算方式可得，百位是2，十位是6，个位是2，据此可得答案．
10．【答案】B
【知识点】有理数的分类；有理数中的“非”数问题
【解析】【解答】解：①0不是最小的整数，如负整数，则原说法错误；
②有理数0既不是正数也不是负数，则原说法错误；
③若是正数，则是负数，则原说法正确；
④自然数0不是正数，则原说法错误；
⑤整数0既不是正整数也不是负整数，则原说法错误；
⑥非负数就是指不是负数，即正数和0，则原说法错误；
综上，正确的个数是1个，
故答案为：B．
【分析】整数包括正整数、0和负整数、有理数的分类“有理数可分为正有理数、0和负有理数”、正数和0是非负数，据此可得正确说法的个数.
11．【答案】337.5
【知识点】百分数的实际应用
【解析】【解答】解：成本：
300÷（1+20%）
=300÷1.2
=250（元）
现在的售价：
250×（1+35%）
=250×1.35
=337.5（元）
故答案为：337.5。
【分析】用原来的售价除以（1+20%）即可求出成本价。用成本价乘（1+35%）即可求出现在的售价。
12．【答案】210
【知识点】百分数的实际应用
【解析】【解析】解：根据已知条件，
∵剩下部分占比为：，
∴剩下部分比已整理的部分多的占比：，
∵剩下部分比已整理的页数要多页，
∴整本书有：（页），
故答案为：．
【分析】根据百分数的应用，将整本书看作单位1，求出剩下部分的百分比，以及剩下部分比已整理的部分多的占比，根据 剩下部分比已整理的页数要多页 ，这样可以计算出正确答案.
13．【答案】
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得：“”所表示的数是，
故答案为：.
【分析】根据题意可得，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，当个位有一根斜着的数筹时，代表负数，再根据数筹表示的数字规则，依次得出各个数位上对应的数字即可求解．
14．【答案】48
【知识点】百分数的实际应用
【解析】【解答】解：2小时=120分钟，120÷（4+1）=24分钟，24×2=48分钟，所以小王跑步从A城到B城需要48分钟。
故答案为：48。
【分析】小王步行的速度比跑步的速度慢50％，跑步的速度比骑车的速度慢50％，说明骑车速度是跑步速度的2倍，是步行速度的4倍，跑步速度是步行速度的2倍。先把单位进行换算，即2小时=120分钟，所以小王骑车从A城到B城用的时间=120÷（4+1）=24分钟，路程一定，速度和时间成反比，所以小王跑步从A城到B城需要的时间=小王骑车从A城到B城用的时间×2。
15．【答案】（1）9 999，1 111
（2）解：根据题意a≤b≤c≤d，且四位“进步数”m的千位、个位上的数字分别是1、8，
∴这个“进步数”m如下：
①当b＝1时，c取1≤c≤8中的整数，这个进步数可能是1118，1128，1138，1148，1158，1168，1178，1188；
其中，只有1188是9的倍数；
②当b＝2时，c取2≤c≤8中的整数，这个进步数可能是1228，1238，1248，1258，1268，1278，1288；
其中，只有1278是9的倍数；
③当b＝3时，c取3≤c≤8中的整数，这个进步数可能是1338，1348，1358，1368，1378，1388；
其中，只有1368是9的倍数；
④当b＝4时，c取4≤c≤8中的整数，这个进步数可能是1448，1458，1468，1478，1488；
其中，只有1458是9的倍数；
⑤当b＝5时，c取5≤c≤8中的整数，这个进步数可能是1558，1568，1578，1588；
其中，没有9的倍数；
⑥当b＝6时，c取6≤c≤8中的整数，这个进步数可能是1668，1678，1688；
其中，没有9的倍数；
⑦当b＝7时，c取7≤c≤8中的整数，这个进步数可能是1778，1788；
其中，没有9的倍数；
⑧当b＝8时，c＝8，这个进步数可能是1888；
不是9的倍数；
∴这个四位正整数m是1188或1278或1368或1458
【知识点】有理数的概念
【解析】【解答】解：（1）根据题意a≤b≤c≤d，
∴四位正整数中，最大的“进步数”是9999，最小的“进步数”是1111，
故答案为：9999；1111；
【分析】（1）根据“进步数”的概念分析最大数和最小数；
（2）根据“进步数”的概念和千位、个位上的数字分别是1、8，且m能被9整除，分情况分析求解．
1 / 1浙教版数学七年级上册 1.1 从自然数到有理数 三阶训练
一、选择题
1．《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部，成书于公元一世纪左右．全书共分为九章，总结了战国和秦汉时期的数学成就，内容十分丰富．在“方程”一章中，首次正式引入了负数的概念．如果将盈利500元记作元，那么元表示（　　）
A．亏损700元 B．支出700元 C．亏损元 D．支出元
【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：根据题意，盈利500元记作元，
∴元表示亏损700元，
故答案为：A．
【分析】根据在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，即可求解.
2．在数1，6.7，-14，0， 中，属于整数的有 (　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】有理数的分类
【解析】【解答】解：数 1，6.7，-14，0， 中整数为： 1，-14，0，共3个.
故答案为：B .
【分析】先找出数中的整数为： 1，-14，0，据此可选出答案.
3．下列数中，属于负数的是（　　）
A．2023 B． C． D．0
【答案】B
【知识点】正数、负数的概念与分类
【解析】【解答】解：是负数，和是正数，0既不是正数也不是负数
故答案为：B．
【分析】根据正、负数的概念判断即可.
4．在，，，，，，中，非负数有(　　)
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【知识点】正数、负数的概念与分类
【解析】【解答】解：，，，，，，
∴非负数有，0，12%，7
∴非负数有4个
故答案为：C.
【分析】根据非负数的概念，非负数指的是零和正数符合，，，，，，，中找到0和正数.
5．关于这六个数，下列说法错误的是（　　）
A．是整数
B．是正数
C．是负数
D．是有理数
【答案】B
【知识点】有理数的分类
【解析】【解答】解：A、-1，0是整数，正确，故A选项不符合题意；
B、0既不是正数也不是负数，故原说法错误，B选项符合题意；
C、-1，是负数，正确，故C选项不符合题意；
D、-1，，0.99，，0，3.1415是有理数，正确，故D选项不符合题意，
故答案为：B.
【分析】根据有理数的概念和分类依次判断即可.
6．如图是加工某零件的尺寸要求，现有的4件产品，直径尺寸（单位：）如下：45.04，44.09，44.98，45.01，则其中不合格的产品有___________件．
A．1件 B．2件 C．3件 D．4件
【答案】B
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：，，
零件直径的合格范围是：零件直径，
，，
不合格的有2件，
故答案为：B．
【分析】先利用有理数的加减法求出零件直径的合格范围是：零件直径，再求解即可.
7．有下列说法：一个有理数不是正数就是负数；整数和分数统称为有理数；零是最小的有理数；正分数一定是有理数；一定是负数，其中正确的个数是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正数、负数的概念与分类
【解析】【解答】解：① 一个有理数不是正数就是负数 ，说法错误0也是有理数；
② 整数和分数统称为有理数是对的；
③ 零是最小的有理数是错误的，还有负有理数；
④ 正分数一定是有理数是正确的；
⑤-a一定是负数是错的，比如-(-2)=2；
正确的只有2个.
故答案为：B.
【分析】根据有理数的概念，判断①错误的，②正确的，③错误的，④是正确的，根据负数的概念，⑤错误的.
8．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三
个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（　　）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】D
【知识点】有理数及其分类
【解析】【解答】解：设a1，a2，a3，a4，a5是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．
首先，对于a1，a2，a3，a4，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后是奇数，那么这样的三个数的和是奇数，由奇偶性可得不满足这个三个数的和能被第一个数整数，与已知条件矛盾．
又如果ai（1≤i≤3）是偶数，ai+1是奇数，根据奇偶性则ai+2是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．
所以a1，a2，a3，a4，a5只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件：
2，1，3，4，5；
2，3，5，4，1；
2，5，1，4，3；
4，3，1，2，5；
4，5，3，2，1．
故选：D．
【分析】从三个数和的奇偶性出发：偶数+偶数+奇数=奇数，不能被偶数整除，则两个偶数不能连续排，也不能隔一个排，需要隔两个，则当第一个排偶数时，则为偶，奇，奇，偶，奇，符合；当第二个排偶数时，则为奇，偶，奇，奇，偶，不符合.所以再根据整除的条件，按“偶，奇，奇，偶，奇”排列找符合条件的情况.
9．算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，如表所示．古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示．则“”所表示的数是（　　）
A．223 B． C．263 D．
【答案】D
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得，“”所表示的数是，
故答案为：D．
【分析】由题意得这个数是负数，根据表格给出的算筹计算方式可得，百位是2，十位是6，个位是2，据此可得答案．
10．有下列说法，正确的个数是（　　）个
①0是最小的整数；②一个有理数不是正数就是负数 ；③若是正数，则是负数；
④自然数一定是正数；⑤一个整数不是正整数就是负整数；⑥非负数就是指正数．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】有理数的分类；有理数中的“非”数问题
【解析】【解答】解：①0不是最小的整数，如负整数，则原说法错误；
②有理数0既不是正数也不是负数，则原说法错误；
③若是正数，则是负数，则原说法正确；
④自然数0不是正数，则原说法错误；
⑤整数0既不是正整数也不是负整数，则原说法错误；
⑥非负数就是指不是负数，即正数和0，则原说法错误；
综上，正确的个数是1个，
故答案为：B．
【分析】整数包括正整数、0和负整数、有理数的分类“有理数可分为正有理数、0和负有理数”、正数和0是非负数，据此可得正确说法的个数.
二、填空题
11．一件衣服按300元出售，盈利率为20%，如果要将盈利率提到35%，那么每件售价应提高到　 　元。
【答案】337.5
【知识点】百分数的实际应用
【解析】【解答】解：成本：
300÷（1+20%）
=300÷1.2
=250（元）
现在的售价：
250×（1+35%）
=250×1.35
=337.5（元）
故答案为：337.5。
【分析】用原来的售价除以（1+20%）即可求出成本价。用成本价乘（1+35%）即可求出现在的售价。
12．小海同学利用假期整理学习笔记，放假第一周整理了全部笔记的．这时发现：剩下部分比已整理的页数要多页，小海同学一共要整理　 　页学习笔记．
【答案】210
【知识点】百分数的实际应用
【解析】【解析】解：根据已知条件，
∵剩下部分占比为：，
∴剩下部分比已整理的部分多的占比：，
∵剩下部分比已整理的页数要多页，
∴整本书有：（页），
故答案为：．
【分析】根据百分数的应用，将整本书看作单位1，求出剩下部分的百分比，以及剩下部分比已整理的部分多的占比，根据 剩下部分比已整理的页数要多页 ，这样可以计算出正确答案.
13．算筹是中国古代的一种计数法，摆法有纵式和横式两种，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，……，纵横依次交替，零以空格表示，在个位数上画上斜线表示负数，则“”所表示的数是　 　．
纵式：
横式：
【答案】
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得：“”所表示的数是，
故答案为：.
【分析】根据题意可得，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，当个位有一根斜着的数筹时，代表负数，再根据数筹表示的数字规则，依次得出各个数位上对应的数字即可求解．
14．小王步行的速度比跑步的速度慢50％，跑步的速度比骑车的速度慢50％。如果他骑车从A城到B城，再步行返回A城共需要两小时，那么小王跑步从A城到B城需要　 　分钟。
【答案】48
【知识点】百分数的实际应用
【解析】【解答】解：2小时=120分钟，120÷（4+1）=24分钟，24×2=48分钟，所以小王跑步从A城到B城需要48分钟。
故答案为：48。
【分析】小王步行的速度比跑步的速度慢50％，跑步的速度比骑车的速度慢50％，说明骑车速度是跑步速度的2倍，是步行速度的4倍，跑步速度是步行速度的2倍。先把单位进行换算，即2小时=120分钟，所以小王骑车从A城到B城用的时间=120÷（4+1）=24分钟，路程一定，速度和时间成反比，所以小王跑步从A城到B城需要的时间=小王骑车从A城到B城用的时间×2。
三、解答题
15．一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，d，如果a≤b≤c≤d，那么我们把这个四位正整数叫做“进步数”，例如四位正整数1234：因为1<2<3<4，所以1234是“进步数”.
（1）写出四位正整数中的最大的“进步数”与最小的“进步数”.
（2）已知一个四位正整数m是“进步数”，m的千位、个位上的数字分别是1，8，且m能被9整除，求这个四位正整数m.
【答案】（1）9 999，1 111
（2）解：根据题意a≤b≤c≤d，且四位“进步数”m的千位、个位上的数字分别是1、8，
∴这个“进步数”m如下：
①当b＝1时，c取1≤c≤8中的整数，这个进步数可能是1118，1128，1138，1148，1158，1168，1178，1188；
其中，只有1188是9的倍数；
②当b＝2时，c取2≤c≤8中的整数，这个进步数可能是1228，1238，1248，1258，1268，1278，1288；
其中，只有1278是9的倍数；
③当b＝3时，c取3≤c≤8中的整数，这个进步数可能是1338，1348，1358，1368，1378，1388；
其中，只有1368是9的倍数；
④当b＝4时，c取4≤c≤8中的整数，这个进步数可能是1448，1458，1468，1478，1488；
其中，只有1458是9的倍数；
⑤当b＝5时，c取5≤c≤8中的整数，这个进步数可能是1558，1568，1578，1588；
其中，没有9的倍数；
⑥当b＝6时，c取6≤c≤8中的整数，这个进步数可能是1668，1678，1688；
其中，没有9的倍数；
⑦当b＝7时，c取7≤c≤8中的整数，这个进步数可能是1778，1788；
其中，没有9的倍数；
⑧当b＝8时，c＝8，这个进步数可能是1888；
不是9的倍数；
∴这个四位正整数m是1188或1278或1368或1458
【知识点】有理数的概念
【解析】【解答】解：（1）根据题意a≤b≤c≤d，
∴四位正整数中，最大的“进步数”是9999，最小的“进步数”是1111，
故答案为：9999；1111；
【分析】（1）根据“进步数”的概念分析最大数和最小数；
（2）根据“进步数”的概念和千位、个位上的数字分别是1、8，且m能被9整除，分情况分析求解．
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