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浙教版数学七年级上册 2.3 有理数的乘法 三阶训练
一、选择题
1．算式中，运用了（　　）
A．乘法交换律 B．乘法结合律
C．乘法分配律 D．乘法交换律和乘法结合律
【答案】D
【知识点】有理数的乘法运算律
【解析】【解答】解：∵，
∴运用了乘法交换律和乘法结合律．
故选：D．
【分析】本题考查乘法的运算律，根据算式可得式子因数进行了交，又知先计算，据此可得应用了 乘法交换律和乘法结合律 ．
2． 若，，则，的值可能是（　　）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【知识点】有理数的乘法法则；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：∵ab <0，a、b异号，a+b>0，
A：a=2，b=3，ab=6>0，不符合ab<0；
B：a=-2，b=-3，a+b=-5 <0，不符合a+b>0；
C：a=-2，b=3，符合条件；
D：a=2，b=-3，a+b=-1<0，不符合a+b>0.
故答案为：C.
【分析】由ab<0可知a、b异号，由a+b>0可知正数的绝对值大于负数的绝对值，然后问题可求解.
3．有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（　　）
①；②；③；④．
A．①② B．②③④ C．②④ D．①②③④
【答案】C
【知识点】有理数的乘法法则；绝对值的概念与意义；有理数的大小比较-数轴比较法；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：根据数轴可知：a<0|b|，
∴ab<0，a+b<0.
∴式子②④正确，①③错误，
故选：C.
【分析】在数轴上，右边的点表示的数总大于左边的点表示的数，可得到a，b符号及大小关系，再根据绝对值，乘法法则，加法法则逐个判断即可.
4．若的值记为p，则的值可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的乘法运算律
【解析】【解答】解：
，
∵的值记为p，
∴原式=.
故答案为：C．
【分析】本题考查乘法分配律．利用乘法分配律将转化为，再求解，最后带入即可.
5．在下列计算过程中，表示的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的乘法运算律
【解析】【解答】解：
；
故答案为：A．
【分析】利用有理数乘法分配律的定义及计算方法分析求解即可.
6．下列说法：①一定是正数；②的结果必为非负数；③如果a大于b，那么a的倒数小于b的倒数；④n个数相乘，积的符号由负因数的个数决定；⑤如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】有理数的倒数；有理数的乘法法则；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：①当时，，不是正数，①错误；
②当时，；
当时，；
∴的结果必为非负数，②正确；
③当，，的倒数是，的倒数是，，③错误；
④个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，④错误；
⑤如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数，⑤错误；
∴正确的个数是1个，
故答案为：A
【分析】根据实数的分类结合绝对值、倒数对选项逐一判断即可求解。
7．下列是甲、乙两位同学简便计算“”的方法，下列判断正确的是（　　）
甲同学：原式 乙同学：原式
A．只有甲的方法正确 B．只有乙的方法正确
C．甲、乙的方法都正确 D．甲、乙的方法都不正确
【答案】C
【知识点】有理数的乘法运算律
【解析】【解答】解：方法一： 原式
；
方法二：原式
所以甲、乙的方法都正确．
故答案为：C.
【分析】利用乘法分配律的计算方法分别求出方法一和方法二的结果并判断即可.
8． 已知： 且 abc>0， a+b+c=0.则m共有x个不同的值，若在这些不同的m值中，最大的值为y，则x+y=(　　)
A．4 B．6 C．9 D．11
【答案】A
【知识点】有理数的乘法法则；化简含绝对值有理数；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：∵，
∴a、b、c中有两个负数，一个正数或a、b、c中三个都是正数，
又∵，
∴a、b、c中有两个负数，一个正数，
当，则，，，
∴
；
当，则，，，
∴
；
当，则，
∴
；
∴，
∴，
故答案为：A .
【分析】根据，确定出a、b、c中有两个负数，一个正数，再分别讨论a、b、c的符号，然后化简绝对值，从而确定x、y的值即可得到答案．
二、填空题
9．在这五个数中任意取两数相乘，所得乘积中的最小数与最大数之差的绝对值为　 　．
【答案】45
【知识点】有理数的乘法法则；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：乘积最小为：，乘积最大为：，
∴最小数与最大数之差的绝对值为，
故答案为：45 ．
【分析】由于正数与负数相乘得到的是负数，而负数的绝对值越大，其数值越小，故在给定的数中，要获得最小的乘积，应该选择一个最大的正数和一个最大的负数相乘； 要获得最大的乘积，我们应当选择两个绝对值最大的同号数相乘 ，据此计算后再根据有理数减法法则求出最小数与最大数之差，最后根据绝对值性质求解即可.
10．若与39的乘积的十位数字是9，则　 　．
【答案】8
【知识点】有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】解：
的十位数字是9
的十位数字
故答案为：8.
【分析】先把表示成十进制的形式，再求它与39的乘积可结果为，由于其十位上的数字是9，而8073十位上的数字是7，则390x的十位上的数字只能是2，由乘法口诀得x中只能等于8.
11．如果四个互不相同的正整数a，b，c，d满足（5-a)（5-b)（5-c)（5-d)=16，则5a+4b+4c+d 的最大值为　 　。
【答案】108
【知识点】有理数的乘法法则；正数、负数的概念与分类
【解析】【解答】解：∵16的因数有1，2，4，8，16，
∴16=1×16=2×8=2×2×4=4×4=2×2×2×2，
∵a，b，c，d是四个互不相同的正整数，
∴（5-a)，（5-b)，（5-c)，（5-d)也都是整数，它们的值小于5且都不相同，
∴16=1×16=2×2×2×2的组合不符合题意，
∴（5-a)，（5-b)，（5-c)，（5-d)的值，可能的组合（不考虑顺序）是：
1，-1，2，-8，对应四个互不相同的正整数分别是4，6，3，13；
-1，-2，2，4，对应四个互不相同的正整数分别是6，7，3，1；
1，-1，4，-4，对应四个互不相同的正整数分别是4，6，1，9；
要使5a+4b+4c+d的值最大，那么要使a的值最大，b、c次之，d最小，
∴当a=13，b=6，c=4，d=3时，有最大值，最大值为5a+4b+4c+d=5×13+4×6+4×4+3=108.
故填：108.
【分析】将16进行因数分解，再结合条件“a，b，c，d是四个互不相同的正整数”可得（5-a)，（5-b)，（5-c)，（5-d)的值的特点，找出可能的值的组合，找出符合“使得5a+4b+4c+d 的值 最大”的组合解答即可.
12．若一对整数的和为一个两位数，且该两位数的个位数字与十位数字相同，这对整数的积是一个三位数，且该三位数的个位、十位和百位数字都相同，则这对整数可以是　 　（写出一对即可）．
【答案】3与74
【知识点】有理数的乘法法则；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：一个百位数字、十位数字与个位数字相同的三位数一定是111的倍数，
所以它的因数中一定有111，
而，
由此可知这两个非零自然数中一定有一个数是3的倍数，而另一个数则是37的倍数，
因为两个非零自然数的和是一个十位数字与个位数字相同的两位数，
所以说明这两个非零自然数可能是一位数，也可能是两位数，
而在两位数中，37 的倍数只有37 和74，大于 37且十位数字与个位数字相同的两位数有44、55、66、77、88、99，
所以：经尝试发现 (18是3的倍数），，
因此，这两个自然数分别是37与18或3与74，
故答案为：3与74．
【分析】先得到三位数的因数中一定有111，利用可知这两个非零自然数中两个数必是3和37的倍数，然后尝试代入计算解题．
三、解答题
13．探究规律，完成相关题目：
小明说：“我定义了一种新的运算，叫（加乘）运算；”
然后他写出了一些按照（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：
；；；
；；；
；；；．
小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？
（1）观察以上式子，类比计算：
①　 　；②　 　；
（2）　 　；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）
（3）若，计算：的值．
【答案】（1）；
（2）
（3）解：根据题意可知，，即，
原式
.
【知识点】有理数的加、减混合运算；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：（1）根据题意可知，（加乘）运算的法则为：两数同号，结果为正数，并把绝对值相加；两数异号，结果为负数，并把绝对值相加；两数中至少一个为，结果为正数，并把绝对值相加．
，
故答案为：，
（2）由
原式
故答案为：
【分析】（1）根据新定义（加乘）运算的法则：两数同号，结果为正数，并把绝对值相加；两数异号，结果为负数，并把绝对值相加；两数中至少一个为，结果为正数，并把绝对值相加；
（2）根据新定义（加乘）运算的法则，进行计算，即可求解；
（3）由新定义（加乘）运算的法则，根据， 求得，，再由原式，进行计算，即可求解．
（1）根据题意可知，（加乘）运算的法则为：两数同号，结果为正数，并把绝对值相加；两数异号，结果为负数，并把绝对值相加；两数中至少一个为，结果为正数，并把绝对值相加．
，
故答案为：，
（2）原式
故答案为：
（3）根据题意可知，，即
，
原式
1 / 1浙教版数学七年级上册 2.3 有理数的乘法 三阶训练
一、选择题
1．算式中，运用了（　　）
A．乘法交换律 B．乘法结合律
C．乘法分配律 D．乘法交换律和乘法结合律
2． 若，，则，的值可能是（　　）
A．， B．， C．， D．，
3．有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（　　）
①；②；③；④．
A．①② B．②③④ C．②④ D．①②③④
4．若的值记为p，则的值可表示为（　　）
A． B． C． D．
5．在下列计算过程中，表示的是（　　）
A． B． C． D．
6．下列说法：①一定是正数；②的结果必为非负数；③如果a大于b，那么a的倒数小于b的倒数；④n个数相乘，积的符号由负因数的个数决定；⑤如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．下列是甲、乙两位同学简便计算“”的方法，下列判断正确的是（　　）
甲同学：原式 乙同学：原式
A．只有甲的方法正确 B．只有乙的方法正确
C．甲、乙的方法都正确 D．甲、乙的方法都不正确
8． 已知： 且 abc>0， a+b+c=0.则m共有x个不同的值，若在这些不同的m值中，最大的值为y，则x+y=(　　)
A．4 B．6 C．9 D．11
二、填空题
9．在这五个数中任意取两数相乘，所得乘积中的最小数与最大数之差的绝对值为　 　．
10．若与39的乘积的十位数字是9，则　 　．
11．如果四个互不相同的正整数a，b，c，d满足（5-a)（5-b)（5-c)（5-d)=16，则5a+4b+4c+d 的最大值为　 　。
12．若一对整数的和为一个两位数，且该两位数的个位数字与十位数字相同，这对整数的积是一个三位数，且该三位数的个位、十位和百位数字都相同，则这对整数可以是　 　（写出一对即可）．
三、解答题
13．探究规律，完成相关题目：
小明说：“我定义了一种新的运算，叫（加乘）运算；”
然后他写出了一些按照（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：
；；；
；；；
；；；．
小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？
（1）观察以上式子，类比计算：
①　 　；②　 　；
（2）　 　；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）
（3）若，计算：的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的乘法运算律
【解析】【解答】解：∵，
∴运用了乘法交换律和乘法结合律．
故选：D．
【分析】本题考查乘法的运算律，根据算式可得式子因数进行了交，又知先计算，据此可得应用了 乘法交换律和乘法结合律 ．
2．【答案】C
【知识点】有理数的乘法法则；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：∵ab <0，a、b异号，a+b>0，
A：a=2，b=3，ab=6>0，不符合ab<0；
B：a=-2，b=-3，a+b=-5 <0，不符合a+b>0；
C：a=-2，b=3，符合条件；
D：a=2，b=-3，a+b=-1<0，不符合a+b>0.
故答案为：C.
【分析】由ab<0可知a、b异号，由a+b>0可知正数的绝对值大于负数的绝对值，然后问题可求解.
3．【答案】C
【知识点】有理数的乘法法则；绝对值的概念与意义；有理数的大小比较-数轴比较法；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：根据数轴可知：a<0|b|，
∴ab<0，a+b<0.
∴式子②④正确，①③错误，
故选：C.
【分析】在数轴上，右边的点表示的数总大于左边的点表示的数，可得到a，b符号及大小关系，再根据绝对值，乘法法则，加法法则逐个判断即可.
4．【答案】C
【知识点】有理数的乘法运算律
【解析】【解答】解：
，
∵的值记为p，
∴原式=.
故答案为：C．
【分析】本题考查乘法分配律．利用乘法分配律将转化为，再求解，最后带入即可.
5．【答案】A
【知识点】有理数的乘法运算律
【解析】【解答】解：
；
故答案为：A．
【分析】利用有理数乘法分配律的定义及计算方法分析求解即可.
6．【答案】A
【知识点】有理数的倒数；有理数的乘法法则；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：①当时，，不是正数，①错误；
②当时，；
当时，；
∴的结果必为非负数，②正确；
③当，，的倒数是，的倒数是，，③错误；
④个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，④错误；
⑤如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数，⑤错误；
∴正确的个数是1个，
故答案为：A
【分析】根据实数的分类结合绝对值、倒数对选项逐一判断即可求解。
7．【答案】C
【知识点】有理数的乘法运算律
【解析】【解答】解：方法一： 原式
；
方法二：原式
所以甲、乙的方法都正确．
故答案为：C.
【分析】利用乘法分配律的计算方法分别求出方法一和方法二的结果并判断即可.
8．【答案】A
【知识点】有理数的乘法法则；化简含绝对值有理数；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：∵，
∴a、b、c中有两个负数，一个正数或a、b、c中三个都是正数，
又∵，
∴a、b、c中有两个负数，一个正数，
当，则，，，
∴
；
当，则，，，
∴
；
当，则，
∴
；
∴，
∴，
故答案为：A .
【分析】根据，确定出a、b、c中有两个负数，一个正数，再分别讨论a、b、c的符号，然后化简绝对值，从而确定x、y的值即可得到答案．
9．【答案】45
【知识点】有理数的乘法法则；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：乘积最小为：，乘积最大为：，
∴最小数与最大数之差的绝对值为，
故答案为：45 ．
【分析】由于正数与负数相乘得到的是负数，而负数的绝对值越大，其数值越小，故在给定的数中，要获得最小的乘积，应该选择一个最大的正数和一个最大的负数相乘； 要获得最大的乘积，我们应当选择两个绝对值最大的同号数相乘 ，据此计算后再根据有理数减法法则求出最小数与最大数之差，最后根据绝对值性质求解即可.
10．【答案】8
【知识点】有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】解：
的十位数字是9
的十位数字
故答案为：8.
【分析】先把表示成十进制的形式，再求它与39的乘积可结果为，由于其十位上的数字是9，而8073十位上的数字是7，则390x的十位上的数字只能是2，由乘法口诀得x中只能等于8.
11．【答案】108
【知识点】有理数的乘法法则；正数、负数的概念与分类
【解析】【解答】解：∵16的因数有1，2，4，8，16，
∴16=1×16=2×8=2×2×4=4×4=2×2×2×2，
∵a，b，c，d是四个互不相同的正整数，
∴（5-a)，（5-b)，（5-c)，（5-d)也都是整数，它们的值小于5且都不相同，
∴16=1×16=2×2×2×2的组合不符合题意，
∴（5-a)，（5-b)，（5-c)，（5-d)的值，可能的组合（不考虑顺序）是：
1，-1，2，-8，对应四个互不相同的正整数分别是4，6，3，13；
-1，-2，2，4，对应四个互不相同的正整数分别是6，7，3，1；
1，-1，4，-4，对应四个互不相同的正整数分别是4，6，1，9；
要使5a+4b+4c+d的值最大，那么要使a的值最大，b、c次之，d最小，
∴当a=13，b=6，c=4，d=3时，有最大值，最大值为5a+4b+4c+d=5×13+4×6+4×4+3=108.
故填：108.
【分析】将16进行因数分解，再结合条件“a，b，c，d是四个互不相同的正整数”可得（5-a)，（5-b)，（5-c)，（5-d)的值的特点，找出可能的值的组合，找出符合“使得5a+4b+4c+d 的值 最大”的组合解答即可.
12．【答案】3与74
【知识点】有理数的乘法法则；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：一个百位数字、十位数字与个位数字相同的三位数一定是111的倍数，
所以它的因数中一定有111，
而，
由此可知这两个非零自然数中一定有一个数是3的倍数，而另一个数则是37的倍数，
因为两个非零自然数的和是一个十位数字与个位数字相同的两位数，
所以说明这两个非零自然数可能是一位数，也可能是两位数，
而在两位数中，37 的倍数只有37 和74，大于 37且十位数字与个位数字相同的两位数有44、55、66、77、88、99，
所以：经尝试发现 (18是3的倍数），，
因此，这两个自然数分别是37与18或3与74，
故答案为：3与74．
【分析】先得到三位数的因数中一定有111，利用可知这两个非零自然数中两个数必是3和37的倍数，然后尝试代入计算解题．
13．【答案】（1）；
（2）
（3）解：根据题意可知，，即，
原式
.
【知识点】有理数的加、减混合运算；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：（1）根据题意可知，（加乘）运算的法则为：两数同号，结果为正数，并把绝对值相加；两数异号，结果为负数，并把绝对值相加；两数中至少一个为，结果为正数，并把绝对值相加．
，
故答案为：，
（2）由
原式
故答案为：
【分析】（1）根据新定义（加乘）运算的法则：两数同号，结果为正数，并把绝对值相加；两数异号，结果为负数，并把绝对值相加；两数中至少一个为，结果为正数，并把绝对值相加；
（2）根据新定义（加乘）运算的法则，进行计算，即可求解；
（3）由新定义（加乘）运算的法则，根据， 求得，，再由原式，进行计算，即可求解．
（1）根据题意可知，（加乘）运算的法则为：两数同号，结果为正数，并把绝对值相加；两数异号，结果为负数，并把绝对值相加；两数中至少一个为，结果为正数，并把绝对值相加．
，
故答案为：，
（2）原式
故答案为：
（3）根据题意可知，，即
，
原式
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