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浙教版数学七年级上册 2.5 有理数的乘方 三阶训练
一、选择题
1． 2026年清明假期期间，京杭大运河杭州景区接待游客约409000人次，数据409000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C．40.9×104 D．
2．一张纸的厚度为0.09 mm，假设可以一直连续对折，那么至少对折n次后，所得的厚度可以超过厚度为0.9cm的数学课本，则n的值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．若，则．例如，若，则．请计算（　　）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
4．若，，，，则（　　）
A． B． C． D．
5．某种细菌每分钟由1个裂变成3个，经过4分钟后，由1个裂变成34个，再经过x分钟，1个这样的细菌可以裂变成（　　）
A．3（x+4）个 B．个 C．个 D．个
6．若 是最大的负整数， 是绝对值最小的有理数， 是倒数等于它本身的自然数，则 的值为（　　）
A．2019 B．2014 C．2015 D．2
7．一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第六次后剩下的绳子长度为（　　）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
8．有三个互不相等的有理数，既可以表示为1，a+b，a 的形式，也可以表示为0，，b 的形式，则 a2024+b2024的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
9．某种细胞由1个分裂成2个需要30min，这种细胞由1个分裂成256个需要　 　h。
10．根据乘方的意义，可将 转化为底数为 的幂，句 从而可得到： 按此规律，计算： 　 　
11．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为　 　个．
12．已知m为整数，若m+2023，4m-2023的值都是整数的平方，则满足条件的m的最小值为　 　．
13．计算( 的结果是　 　.
14．我们规定：若有理数a，b，c满足ac=b，就记作(a，b)=c．如，23=8，则((2，8)=3；42=16，则(4，16)=2．按此规定计算：(3，27)=　 　；(2，64)=　 　．
三、解答题
15．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22025的值．
解：设S=1+2+22+23+24+…+22025，将等式两边同时乘2得：
2S=2+2+22+23+24+…+22026
将下式减去上式得2S-S=22026-1
即S=22026-1
即1+2+22+23+24+…+22025=22026-1
请你仿照此法计算：
（1）1+2+22+23+24+…+210
（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）．
16．阅读以下材料：
苏格兰数学家纳皮尔(1550——1617)是对数的创始人.他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉(1707——1783)才发现指数与对数之间的联系.
对数的定义：一般地，若(且a≠1)，那么x叫作以a为底N的对数，记作.x=比如指数式可以转化为对数式对数式可以转化为指数式=9.
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
理由如下：
设则
由对数的定义得
又
根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题.
（1）填空：　 　，　 　，　 　.
（2）求证：
（3）拓展运用：计算
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】根据科学记数法中，a为整数位只有一位的小数，n为整数位数减1，
故 409000=4.09×105.
故答案为：D.
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示大于10的数，根据科学记数法结合题意，确定a和n的值即可.
2．【答案】C
【知识点】有理数乘方的实际应用
【解析】【解答】解：折一次厚度变成这张纸的2倍，
折两次厚度变成这张纸的22倍，
折三次厚度变成这张纸的23倍，
折n次厚度变成这张纸的2n倍，
0.9cm=9mm
0.09×2n≥9，
2n≥100，
26<100<27，
故n的最小值为7，
故答案为：C .
【分析】根据实际情况分析可知，折一次厚度变成这张纸的2倍，折两次厚度变成这张纸的22倍，折三次厚度变成这张纸的23倍，折n次厚度变成这张纸的2n倍，由此列出不等式计算即可.
3．【答案】D
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：当时，得，
∵，
∴，
根据题意得，
当时，得，
∵，
根据题意得，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据题干给出的范例，先分别求出与的值，再计算它们的差即可.
4．【答案】B
【知识点】有理数的乘方法则；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：=-0.09，=-9，，，
∴ -9＜-0.09＜＜9，即b＜a＜c＜d.
故答案为：B.
【分析】先求各数的值，再比较大小即可求得.
5．【答案】D
【知识点】有理数乘方的实际应用
【解析】【解答】解：∵某种细菌每分钟由1个裂变成3个，经过4分钟后，由1个裂变成34个，
∴再经过x分钟，1个这样的细菌可以裂变成34×3x=个．
故答案为：D．
【分析】根据每分钟由1个裂变成3个，数量是之前的3倍求解可得．
6．【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的倒数；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：根据题意得：a=-1，b=0，c=1，
则原式=1+0+1=2，
故答案为：D.
【分析】根据最大的负整数是-1，绝对值最小的有理数是0，倒数等于它本身的自然数 是1，计算即可.
7．【答案】C
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵1- = ，
∴第2次后剩下的绳子的长度为( )2米；
依此类推第六次后剩下的绳子的长度为( )6米.
故答案为：C.
【分析】根据乘方的意义和题意可知：第2次后剩下的绳子的长度为( )2米，那么依此类推得到第六次后剩下的绳子的长度为( )6米.
8．【答案】C
【知识点】乘方的相关概念；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵三个互不相等的有理数，既可以表示为1，，b的形式，也可以表示为0，，a的形式，
∴这两组的数分别对应相等，
①若，，，
则，，
此时，，
②若，，，
则，
此时与三个互不相等的有理数矛盾；
③若，，时，
∵当时不成立，
∴此情况不成立．
综上所述，的值是2，
故答案为：C．
【分析】根据题意可得这两组的数分别对应相等，分三种情况讨论即可解答．
9．【答案】4
【知识点】有理数乘方的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得：每个周期(30min)细胞数目变为原来的2倍
设这种细胞由1个分裂成256个需要n个周期
∴
解得：n=8
∴8×0.5=4h
∴这种细胞由1个分裂成256个需要4h
故答案为：4
【分析】设这种细胞由1个分裂成256个需要n个周期，根据每个周期(30min)细胞数目变为原来的2倍建立方程，解方程即可求出答案.
10．【答案】
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∴
，
故答案为：．
故答案为： .
【分析】将 转化为底数为的幂，然后分出17个与底数相乘，再求幂，然后计算乘法解答即可．
11．【答案】1838
【知识点】有理数乘方的实际应用
【解析】【解答】解：2+0×6+3×6×6+2×6×6×6+1×6×6×6×6=1838，
故答案为：1838．
【分析】根据“满6进1”可知，从右到左第一根绳子上一个结代表一个1，第二根绳子上一个结代表6，第三根绳子一个结代表一个．
12．【答案】578
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：由题意知4m-2023＞0，
∴m＞505.75，
∴ m+2023＞2528.75，
∵502=2500，512=2601，
∴m+2023=2601=512时，m=578，
当m=578时，4m-2023=289=172，
∴ 满足条件的m的最小值为578.
故答案为：578.
【分析】由m为整数，且m+2023，4m-2023的值都是整数的平方 ，可得4m-2023＞0，可求m＞505.75，从而得出m+2023＞2528.75， 根据502=2500，512=2601，可得m+2023=2601=512时，m=578，再将578代入4m-2023验证即可.
13．【答案】22023
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：因为同底数幂的乘法法则为am×an=am+n（a≠0，m、n为整数），所以（-2）2024可变形为（-2）2024=（-2）2023×（-2），
所以（-2）2024+（-2）2023=（-2）2023×（-2）+（-2）2023，
提取公因式（-2）2023后可得原式=（-2）2023×（-1），
根据负数的奇次幂是负数可得（-2）2023×（-1）=-22023×（-1）=22023.
故答案为：22023.
【分析】本题主要考查有理数的乘方以及提公因式法，可根据同底数幂的乘法法则对原式进行变形，然后提取公因式进行计算.
14．【答案】3；6
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：第1空∵∴（3，27）=3；
第2空∵∴（2，64）=6
故答案为：3、6
【分析】 由已知条件记作（a，b）=c计算出结果即可；
15．【答案】（1）解： 设，将等式两边同时乘2得：，将下式减去上式得：，即，则
（2）解： 设 ①，
两边同时乘3得：②，
②-①得：，即 ，
则
【知识点】有理数乘方的实际应用
【解析】【分析】(1)令，两边同时乘以2得，再相减，可得S的值；
(2)令，两边同时乘以3得，再相减，可得S的值.
16．【答案】（1）5；3；0
（2）证明：设logaM=m，logaN=n，则M=a"，N=a"，
由定义得
又∵m-n=log M-log N，
∴
（3）解：原式=log5(125×6÷30)=log525=2.
【知识点】有理数的乘方法则；有理数的乘除混合运算
【解析】【解答】解：（1）①∵25=32，33=27，70=1
∴5； ， ，，
故答案为：5；3；0；
【分析】（1）根据对数定义，即可得出答案；
（2）设logaM=m，logaN=n，根据对数式和指数式之间的关系，可得出进而得出再根据m-n=log M-log N，即可得出
（3）根据，可得出原式=log5(125×6÷30)=log525=2.
1 / 1浙教版数学七年级上册 2.5 有理数的乘方 三阶训练
一、选择题
1． 2026年清明假期期间，京杭大运河杭州景区接待游客约409000人次，数据409000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C．40.9×104 D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】根据科学记数法中，a为整数位只有一位的小数，n为整数位数减1，
故 409000=4.09×105.
故答案为：D.
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示大于10的数，根据科学记数法结合题意，确定a和n的值即可.
2．一张纸的厚度为0.09 mm，假设可以一直连续对折，那么至少对折n次后，所得的厚度可以超过厚度为0.9cm的数学课本，则n的值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】有理数乘方的实际应用
【解析】【解答】解：折一次厚度变成这张纸的2倍，
折两次厚度变成这张纸的22倍，
折三次厚度变成这张纸的23倍，
折n次厚度变成这张纸的2n倍，
0.9cm=9mm
0.09×2n≥9，
2n≥100，
26<100<27，
故n的最小值为7，
故答案为：C .
【分析】根据实际情况分析可知，折一次厚度变成这张纸的2倍，折两次厚度变成这张纸的22倍，折三次厚度变成这张纸的23倍，折n次厚度变成这张纸的2n倍，由此列出不等式计算即可.
3．若，则．例如，若，则．请计算（　　）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】D
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：当时，得，
∵，
∴，
根据题意得，
当时，得，
∵，
根据题意得，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据题干给出的范例，先分别求出与的值，再计算它们的差即可.
4．若，，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的乘方法则；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：=-0.09，=-9，，，
∴ -9＜-0.09＜＜9，即b＜a＜c＜d.
故答案为：B.
【分析】先求各数的值，再比较大小即可求得.
5．某种细菌每分钟由1个裂变成3个，经过4分钟后，由1个裂变成34个，再经过x分钟，1个这样的细菌可以裂变成（　　）
A．3（x+4）个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【知识点】有理数乘方的实际应用
【解析】【解答】解：∵某种细菌每分钟由1个裂变成3个，经过4分钟后，由1个裂变成34个，
∴再经过x分钟，1个这样的细菌可以裂变成34×3x=个．
故答案为：D．
【分析】根据每分钟由1个裂变成3个，数量是之前的3倍求解可得．
6．若 是最大的负整数， 是绝对值最小的有理数， 是倒数等于它本身的自然数，则 的值为（　　）
A．2019 B．2014 C．2015 D．2
【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的倒数；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：根据题意得：a=-1，b=0，c=1，
则原式=1+0+1=2，
故答案为：D.
【分析】根据最大的负整数是-1，绝对值最小的有理数是0，倒数等于它本身的自然数 是1，计算即可.
7．一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第六次后剩下的绳子长度为（　　）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】C
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵1- = ，
∴第2次后剩下的绳子的长度为( )2米；
依此类推第六次后剩下的绳子的长度为( )6米.
故答案为：C.
【分析】根据乘方的意义和题意可知：第2次后剩下的绳子的长度为( )2米，那么依此类推得到第六次后剩下的绳子的长度为( )6米.
8．有三个互不相等的有理数，既可以表示为1，a+b，a 的形式，也可以表示为0，，b 的形式，则 a2024+b2024的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】乘方的相关概念；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵三个互不相等的有理数，既可以表示为1，，b的形式，也可以表示为0，，a的形式，
∴这两组的数分别对应相等，
①若，，，
则，，
此时，，
②若，，，
则，
此时与三个互不相等的有理数矛盾；
③若，，时，
∵当时不成立，
∴此情况不成立．
综上所述，的值是2，
故答案为：C．
【分析】根据题意可得这两组的数分别对应相等，分三种情况讨论即可解答．
二、填空题
9．某种细胞由1个分裂成2个需要30min，这种细胞由1个分裂成256个需要　 　h。
【答案】4
【知识点】有理数乘方的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得：每个周期(30min)细胞数目变为原来的2倍
设这种细胞由1个分裂成256个需要n个周期
∴
解得：n=8
∴8×0.5=4h
∴这种细胞由1个分裂成256个需要4h
故答案为：4
【分析】设这种细胞由1个分裂成256个需要n个周期，根据每个周期(30min)细胞数目变为原来的2倍建立方程，解方程即可求出答案.
10．根据乘方的意义，可将 转化为底数为 的幂，句 从而可得到： 按此规律，计算： 　 　
【答案】
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∴
，
故答案为：．
故答案为： .
【分析】将 转化为底数为的幂，然后分出17个与底数相乘，再求幂，然后计算乘法解答即可．
11．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为　 　个．
【答案】1838
【知识点】有理数乘方的实际应用
【解析】【解答】解：2+0×6+3×6×6+2×6×6×6+1×6×6×6×6=1838，
故答案为：1838．
【分析】根据“满6进1”可知，从右到左第一根绳子上一个结代表一个1，第二根绳子上一个结代表6，第三根绳子一个结代表一个．
12．已知m为整数，若m+2023，4m-2023的值都是整数的平方，则满足条件的m的最小值为　 　．
【答案】578
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：由题意知4m-2023＞0，
∴m＞505.75，
∴ m+2023＞2528.75，
∵502=2500，512=2601，
∴m+2023=2601=512时，m=578，
当m=578时，4m-2023=289=172，
∴ 满足条件的m的最小值为578.
故答案为：578.
【分析】由m为整数，且m+2023，4m-2023的值都是整数的平方 ，可得4m-2023＞0，可求m＞505.75，从而得出m+2023＞2528.75， 根据502=2500，512=2601，可得m+2023=2601=512时，m=578，再将578代入4m-2023验证即可.
13．计算( 的结果是　 　.
【答案】22023
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：因为同底数幂的乘法法则为am×an=am+n（a≠0，m、n为整数），所以（-2）2024可变形为（-2）2024=（-2）2023×（-2），
所以（-2）2024+（-2）2023=（-2）2023×（-2）+（-2）2023，
提取公因式（-2）2023后可得原式=（-2）2023×（-1），
根据负数的奇次幂是负数可得（-2）2023×（-1）=-22023×（-1）=22023.
故答案为：22023.
【分析】本题主要考查有理数的乘方以及提公因式法，可根据同底数幂的乘法法则对原式进行变形，然后提取公因式进行计算.
14．我们规定：若有理数a，b，c满足ac=b，就记作(a，b)=c．如，23=8，则((2，8)=3；42=16，则(4，16)=2．按此规定计算：(3，27)=　 　；(2，64)=　 　．
【答案】3；6
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：第1空∵∴（3，27）=3；
第2空∵∴（2，64）=6
故答案为：3、6
【分析】 由已知条件记作（a，b）=c计算出结果即可；
三、解答题
15．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22025的值．
解：设S=1+2+22+23+24+…+22025，将等式两边同时乘2得：
2S=2+2+22+23+24+…+22026
将下式减去上式得2S-S=22026-1
即S=22026-1
即1+2+22+23+24+…+22025=22026-1
请你仿照此法计算：
（1）1+2+22+23+24+…+210
（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）．
【答案】（1）解： 设，将等式两边同时乘2得：，将下式减去上式得：，即，则
（2）解： 设 ①，
两边同时乘3得：②，
②-①得：，即 ，
则
【知识点】有理数乘方的实际应用
【解析】【分析】(1)令，两边同时乘以2得，再相减，可得S的值；
(2)令，两边同时乘以3得，再相减，可得S的值.
16．阅读以下材料：
苏格兰数学家纳皮尔(1550——1617)是对数的创始人.他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉(1707——1783)才发现指数与对数之间的联系.
对数的定义：一般地，若(且a≠1)，那么x叫作以a为底N的对数，记作.x=比如指数式可以转化为对数式对数式可以转化为指数式=9.
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
理由如下：
设则
由对数的定义得
又
根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题.
（1）填空：　 　，　 　，　 　.
（2）求证：
（3）拓展运用：计算
【答案】（1）5；3；0
（2）证明：设logaM=m，logaN=n，则M=a"，N=a"，
由定义得
又∵m-n=log M-log N，
∴
（3）解：原式=log5(125×6÷30)=log525=2.
【知识点】有理数的乘方法则；有理数的乘除混合运算
【解析】【解答】解：（1）①∵25=32，33=27，70=1
∴5； ， ，，
故答案为：5；3；0；
【分析】（1）根据对数定义，即可得出答案；
（2）设logaM=m，logaN=n，根据对数式和指数式之间的关系，可得出进而得出再根据m-n=log M-log N，即可得出
（3）根据，可得出原式=log5(125×6÷30)=log525=2.
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