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北师大版数学九年级上册 1.1 认识特殊的平行四边形 一阶训练
一、选择题
1．下列性质中，平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的是 (　　)
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角
【答案】B
【知识点】平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系
【解析】【解答】解：A、对角线相等是矩形、正方形的性质，不符合题意；
B、因为平行四边形的对角线互相平分，而矩形、菱形、正方形作为特殊的平行四边形同样具有这条性质，所以符合题意；
C、对角线互相垂直是菱形、正方形的性质，不符合题意；
D、对角线平分一组对角是菱形、正方形的性质，不符合题意；
故选：B.
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的联系及平行四边形的性质求解.
2．有一个角是直角的平行四边形是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．菱形和矩形 D．正方形
【答案】A
【知识点】平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【解答】解：根据矩形的判定定理“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可知选A正确.
故答案为：A.
【分析】选项A，有一个角是直角的平行四边形是矩形；选项B，有一组邻边相等的平行四边形是菱形；选项D，有一个角是直角、且有一组邻边相等的平行四边形是正方形.
3．在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（　　）
A．①，对角相等 B．③，有一组邻边相等
C．②，对角线互相垂直 D．④，有一个角是直角
【答案】A
【知识点】平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系
【解析】【解答】解：A、①，对角相等的平行四边形，不一定是矩形，故该转换条件填写错误，符合题意；
B、③，有一组邻边相等的矩形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意；
C、②，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意；
D、④，有一个角是直角的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意．
故答案为：A.
【分析】根据矩形判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形及有一个内角为直角的平行四边形是矩形可判断①；根据菱形判定方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形及对角线互相垂直的平行四边形是菱形可判断②；根据有一组邻边相等的矩形是正方形可判断③；根据有一个角是直角的菱形是正方形可判断④.
4．下列命题中，假命题是（　　）
A．两组对边平行的四边形是平行四边形
B．三个角是直角的四边形是矩形
C．四条边相等的四边形是菱形
D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
【答案】D
【知识点】平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【解答】解：A、两组对边平行的四边形是平行四边形，本选项正确；
B、三个角是直角的四边形是矩形，本选项正确；
C、四条边相等的四边形是菱形，本选项正确；
D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，本选项为假命题；
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法逐项判断即可.
5．学习了四边形之后，小颖同学用如下图所示的方式表示了四边形与特殊四边形的关系，则图中的“M”和“N”分别表示（　　）
A．平行四边形，正方形 B．正方形，菱形
C．正方形，矩形 D．矩形，菱形
【答案】B
【知识点】平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系
【解析】【解答】解：∵矩形和菱形是特殊的平行四边形，正方形即是菱形也是矩形，
∴是正方形，是菱形，
故答案为：B
【分析】平行四边形有特殊平行四边形，其中矩形、菱形、正方形是特殊平行四边形，正方形还是特殊的矩形，特殊的菱形.
6．如图所示，在 ABCD中，EF∥GH∥AB，MN∥BC，则图中的平行四边形的个数为（　　）．
A．12个 B．16个 C．14个 D．18个
【答案】D
【知识点】平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【解答】解：如图，
根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，则图中的四边形AEOM、AEFB、AMND、CNOF、CNMB、CDEF、DNOE、BMOF、AGPM、GPND、MPHB、HPCN、OEGP、OPHF、EGHF、GHCD、AGHB和ABCD都是平行四边形，共18个.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的定义判断即可.
7．如图，四边形OACB 是矩形， A，B 两点的坐标分别是(6，0)， (0，4)，点C在第一象限，则点C的坐标为(　　)
A．(4，0) B．(0，6) C．(4，6) D．(6，4)
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵，两点的坐标分别是，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴轴，轴，，
又∵点在第一象限，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据矩形的性质，结合两点的坐标，即可得出点C的坐标.
8．在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若AO=3，BO=4，则△COD的面积是(　　)
A．6 B．12 C．16 D．24
【答案】A
【知识点】三角形的面积；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD.
∵OA=3，OB=4，
∴OC=3，OD=4，
∴S△COD=3×4÷2=6.
故选：A.
【分析】根据菱形的性质和已知，可得OC和OD的值和AC⊥BD，再利用三角形的面积公式计算即可.
9．下列四边形，依据所标数据，不一定是菱形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：A选项：四条边都相等，是菱形，A选项不符合题意；
B选项：由得，该四边形是一组对边平行，而另一组对边相等，所以不一定是平行四边形，故不一定是菱形，B选项符合题意；
C选项：由得，该四边形是两组对边分别平行，且一组邻边相等的平行四边形，是菱形，C选项不符合题意；
D选项：由得，该四边形是一组对边平行且相等，一组邻边相等的平行四边形，是菱形，D选项不符合题意．
故选：B.
【分析】首先理解菱形的定义和性质：所有边长相等，对角相等，相邻角之和为180°。然后根据每个选项给出的数据，判断是否满足菱形的性质.
10．如图，在中，下列结论中错误的是（　　）
A．当时，是菱形
B．当时，是矩形
C．当平分时，是菱形
D．当时，是正方形
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A：根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得出A正确；
B：当OA=OB时，根据平行四边形的性质可得出AC=BD，进而根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得出B正确；
C：根据平分，再根据AD∥BC，可得出∠BAC=∠BCA，进而得出AB=AC，根据菱形定义，即可得出C正确；
D： 当时，可得出是矩形，不能判定是正方形，故而得出D不正确。
故答案为：D。
【分析】根据菱形的判定可得出A，C正确；根据矩形的判定可得出B正确；根据正方形的判定可得出D不正确，即可得出答案。
二、填空题
11．有一个角是直角的平行四边形是　 　；有一组邻边相等的平行四边形是　 　；四条边都相等，四个角都是直角的四边形是　 　.
【答案】矩形；菱形；正方形
【知识点】平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【解答】有一个角是直角的平行四边形是矩形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.
故答案为：矩形，菱形，正方形
【分析】根据矩形的定义解答①；根据菱形的定义解答②；根据正方形的判定定理判断③.
12．添加一个条件，使矩形 ABCD 成为正方形，这个条件可以是　 　.
【答案】AB=BC(答案不唯一)
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解： 使矩形 ABCD 成为正方形，添加的条件是：AB=BC，
故答案为：AB=BC .
【分析】根据一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形解答即可.
13．有一组　 　且有一个角是　 　的平行四边形是正方形.
【答案】邻边相等；直角
【知识点】平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【解答】解：有一组邻边相等且有一个是直角的平行四边形是正方形.
故答案为：邻边相等，直角
【分析】利用正方形的判定定理，可得答案.
14．小沛用一根40m长的绳子围成了一个菱形场地，则它的边长为　 　m．
【答案】10
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：菱形的边长为：（m）。
故答案为：10.
【分析】根据菱形的性质即可得出答案。
15．有下列四个条件：①，②，③，④．从中选取两个作为补充条件，使为正方形（如图）．现在文文选择了②③，你认为文文选择的　 　（填“对”或“不对”）
【答案】不对
【知识点】矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，
再根据现有条件无法证明为正方形，
∴文文选择的不对，
故答案为：不对．
【分析】先依据平行四边形判定为矩形、正方形的定理，分析所选条件能否使平行四边形ABCD成为正方形.
三、解答题
16．如图，在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，A，B两点均在小正方形的顶点上.请按下列要求，在图1，图2，图3中各画一个四边形(所画四边形的顶点均在小正方形的顶点上)
（1）在 图1中画一个正方形ABCD；
（2） 在 图2 中画一个菱形ABMN；
（3）在图3中画以A，B，E，F为顶点的平行四边形，且其中一条对角线长等于3.
【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；正方形的性质
1 / 1北师大版数学九年级上册 1.1 认识特殊的平行四边形 一阶训练
一、选择题
1．下列性质中，平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的是 (　　)
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角
2．有一个角是直角的平行四边形是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．菱形和矩形 D．正方形
3．在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（　　）
A．①，对角相等 B．③，有一组邻边相等
C．②，对角线互相垂直 D．④，有一个角是直角
4．下列命题中，假命题是（　　）
A．两组对边平行的四边形是平行四边形
B．三个角是直角的四边形是矩形
C．四条边相等的四边形是菱形
D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
5．学习了四边形之后，小颖同学用如下图所示的方式表示了四边形与特殊四边形的关系，则图中的“M”和“N”分别表示（　　）
A．平行四边形，正方形 B．正方形，菱形
C．正方形，矩形 D．矩形，菱形
6．如图所示，在 ABCD中，EF∥GH∥AB，MN∥BC，则图中的平行四边形的个数为（　　）．
A．12个 B．16个 C．14个 D．18个
7．如图，四边形OACB 是矩形， A，B 两点的坐标分别是(6，0)， (0，4)，点C在第一象限，则点C的坐标为(　　)
A．(4，0) B．(0，6) C．(4，6) D．(6，4)
8．在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若AO=3，BO=4，则△COD的面积是(　　)
A．6 B．12 C．16 D．24
9．下列四边形，依据所标数据，不一定是菱形的是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，在中，下列结论中错误的是（　　）
A．当时，是菱形
B．当时，是矩形
C．当平分时，是菱形
D．当时，是正方形
二、填空题
11．有一个角是直角的平行四边形是　 　；有一组邻边相等的平行四边形是　 　；四条边都相等，四个角都是直角的四边形是　 　.
12．添加一个条件，使矩形 ABCD 成为正方形，这个条件可以是　 　.
13．有一组　 　且有一个角是　 　的平行四边形是正方形.
14．小沛用一根40m长的绳子围成了一个菱形场地，则它的边长为　 　m．
15．有下列四个条件：①，②，③，④．从中选取两个作为补充条件，使为正方形（如图）．现在文文选择了②③，你认为文文选择的　 　（填“对”或“不对”）
三、解答题
16．如图，在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，A，B两点均在小正方形的顶点上.请按下列要求，在图1，图2，图3中各画一个四边形(所画四边形的顶点均在小正方形的顶点上)
（1）在 图1中画一个正方形ABCD；
（2） 在 图2 中画一个菱形ABMN；
（3）在图3中画以A，B，E，F为顶点的平行四边形，且其中一条对角线长等于3.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系
【解析】【解答】解：A、对角线相等是矩形、正方形的性质，不符合题意；
B、因为平行四边形的对角线互相平分，而矩形、菱形、正方形作为特殊的平行四边形同样具有这条性质，所以符合题意；
C、对角线互相垂直是菱形、正方形的性质，不符合题意；
D、对角线平分一组对角是菱形、正方形的性质，不符合题意；
故选：B.
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的联系及平行四边形的性质求解.
2．【答案】A
【知识点】平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【解答】解：根据矩形的判定定理“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可知选A正确.
故答案为：A.
【分析】选项A，有一个角是直角的平行四边形是矩形；选项B，有一组邻边相等的平行四边形是菱形；选项D，有一个角是直角、且有一组邻边相等的平行四边形是正方形.
3．【答案】A
【知识点】平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系
【解析】【解答】解：A、①，对角相等的平行四边形，不一定是矩形，故该转换条件填写错误，符合题意；
B、③，有一组邻边相等的矩形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意；
C、②，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意；
D、④，有一个角是直角的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意．
故答案为：A.
【分析】根据矩形判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形及有一个内角为直角的平行四边形是矩形可判断①；根据菱形判定方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形及对角线互相垂直的平行四边形是菱形可判断②；根据有一组邻边相等的矩形是正方形可判断③；根据有一个角是直角的菱形是正方形可判断④.
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【解答】解：A、两组对边平行的四边形是平行四边形，本选项正确；
B、三个角是直角的四边形是矩形，本选项正确；
C、四条边相等的四边形是菱形，本选项正确；
D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，本选项为假命题；
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法逐项判断即可.
5．【答案】B
【知识点】平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系
【解析】【解答】解：∵矩形和菱形是特殊的平行四边形，正方形即是菱形也是矩形，
∴是正方形，是菱形，
故答案为：B
【分析】平行四边形有特殊平行四边形，其中矩形、菱形、正方形是特殊平行四边形，正方形还是特殊的矩形，特殊的菱形.
6．【答案】D
【知识点】平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【解答】解：如图，
根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，则图中的四边形AEOM、AEFB、AMND、CNOF、CNMB、CDEF、DNOE、BMOF、AGPM、GPND、MPHB、HPCN、OEGP、OPHF、EGHF、GHCD、AGHB和ABCD都是平行四边形，共18个.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的定义判断即可.
7．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵，两点的坐标分别是，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴轴，轴，，
又∵点在第一象限，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据矩形的性质，结合两点的坐标，即可得出点C的坐标.
8．【答案】A
【知识点】三角形的面积；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD.
∵OA=3，OB=4，
∴OC=3，OD=4，
∴S△COD=3×4÷2=6.
故选：A.
【分析】根据菱形的性质和已知，可得OC和OD的值和AC⊥BD，再利用三角形的面积公式计算即可.
9．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：A选项：四条边都相等，是菱形，A选项不符合题意；
B选项：由得，该四边形是一组对边平行，而另一组对边相等，所以不一定是平行四边形，故不一定是菱形，B选项符合题意；
C选项：由得，该四边形是两组对边分别平行，且一组邻边相等的平行四边形，是菱形，C选项不符合题意；
D选项：由得，该四边形是一组对边平行且相等，一组邻边相等的平行四边形，是菱形，D选项不符合题意．
故选：B.
【分析】首先理解菱形的定义和性质：所有边长相等，对角相等，相邻角之和为180°。然后根据每个选项给出的数据，判断是否满足菱形的性质.
10．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A：根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得出A正确；
B：当OA=OB时，根据平行四边形的性质可得出AC=BD，进而根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得出B正确；
C：根据平分，再根据AD∥BC，可得出∠BAC=∠BCA，进而得出AB=AC，根据菱形定义，即可得出C正确；
D： 当时，可得出是矩形，不能判定是正方形，故而得出D不正确。
故答案为：D。
【分析】根据菱形的判定可得出A，C正确；根据矩形的判定可得出B正确；根据正方形的判定可得出D不正确，即可得出答案。
11．【答案】矩形；菱形；正方形
【知识点】平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【解答】有一个角是直角的平行四边形是矩形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.
故答案为：矩形，菱形，正方形
【分析】根据矩形的定义解答①；根据菱形的定义解答②；根据正方形的判定定理判断③.
12．【答案】AB=BC(答案不唯一)
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解： 使矩形 ABCD 成为正方形，添加的条件是：AB=BC，
故答案为：AB=BC .
【分析】根据一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形解答即可.
13．【答案】邻边相等；直角
【知识点】平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【解答】解：有一组邻边相等且有一个是直角的平行四边形是正方形.
故答案为：邻边相等，直角
【分析】利用正方形的判定定理，可得答案.
14．【答案】10
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：菱形的边长为：（m）。
故答案为：10.
【分析】根据菱形的性质即可得出答案。
15．【答案】不对
【知识点】矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，
再根据现有条件无法证明为正方形，
∴文文选择的不对，
故答案为：不对．
【分析】先依据平行四边形判定为矩形、正方形的定理，分析所选条件能否使平行四边形ABCD成为正方形.
16．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；正方形的性质
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