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北京市海淀区教师进修学校附属实验学校2025-2026学年下学期八年级期末数学
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列二次根式中，最简二次根式是（）
A. B. C. D.
2.下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（）
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3.下列各式中，计算正确的是（）
A. B. C. D.
4.已知一次函数，点，在该函数图象上，且，则下列关系正确的是（ ）
A. B. C. D. 不确定
5.在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（ ）
A. B. C. D.
6.如图，点E是上的中点，于点D，连接，若，则的长度为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
7.如图，某游乐园内摩天轮的中心点距地面的高度为，摩天轮按逆时针方向作匀速运动．摩天轮上的一点自最低点点起，经过后，点的高度与的函数图像如图所示，在摩天轮转动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A. 当时，随的增大而增大 B. 摩天轮的直径为
C. P点离地面最高为 D. P点离地面时，摩天轮运动了
8.我校为了解八年级学生的体能状况，对甲、乙两个班级学生的一分钟跳绳成绩进行了测试．测试结束后，体育老师绘制了两个班级成绩的箱线图（如图）．根据箱线图提供的信息，关于甲、乙两班学生一分钟跳绳成绩的统计量，下列说法正确的是（）
A. 可以准确得出两个班的平均数，且甲班平均数高于乙班
B. 可以准确得出两个班的中位数，且甲班中位数高于乙班
C. 可以准确得出两个班的方差，且甲班方差小于乙班
D. 若每个班有38名学生，则甲班第10名跳绳次数小于乙班第10名跳绳次数
9.中，为边上点，平分，过点作，与交于点，作，与交于点，连接．现有以下结论：
①；
②当时，四边形是平行四边形；
③当是正三角形时，四边形是菱形；
④保持的长度不变，改变大小，一定可以使得点是中点．
其中正确的有（ ）个
A. B. C. D.
10.如图,P是正方形ABCD的边CD右侧一点,CP=CD,PCD为锐角,连PB,PD,DCP的平分线交BP于Q点,过点B作BEPD交PD延长线于点E,连接AE,则以下结论:BPD=;PB=2PQ+CQ;PD=AE;若点D为PE中点,PB=6,则四边形ABPE的面积为,其中正确的结论有( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，共18分。
11.若二次根式有意义，则的取值范围是 ．
12.如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、D、E都是网格线交点，则 ．
13.如图,在矩形ABCD中,AB=8，AD=6，点E,F分别是边AD,CD上的动点，连接BE,EF，点G为BE的中点，点H为EF的中点，连接GH,则GH的最大值是 .
14.某同学本学期体育素质历次测试的成绩（单位：分）如表所示：
测试类别 平时测试 期中测试 期末测试
第1次 第2次 第3次
成绩/分 84 85 86 80 90
如果本学期的总评成绩是将平时测试的平均成绩、期中测试成绩、期末测试成绩按的比例计算，该同学本学期体育素质的总评成绩是 分．
15.如图1，在中，，点P从点A出发沿以的速度匀速运动至点B，图2是点P运动时，的长度y（单位：）随时间x（单位：s）变化而变化的函数图象．根据所给信息，点C到的距离是 ．
16.某商店共有种不同型号的口罩，每种型号的口罩都有红、白、蓝三种颜色，每种型号的红色口罩价格均为每包50元，白色口罩价格均为每包元，蓝色口罩价格均为每包元（，且，均为整数）．甲、乙、丙三家公司各买一包每种型号的口罩，且对于同种型号的口罩，三家公司选择的颜色各不相同．结账时，甲、乙各自花费了1200元，丙花费了1400元．
(1) 若，，则的值为 ；
(2) 若丙购买的口罩包含三种颜色，则丙用于购买白色和蓝色的口罩最多一共花费 元．
三、解答题(本题共52分，第17题6分，第18题4分，第19-24题，每小题5分，第25题6分，第26题6分)，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17.计算：
(1) ；
(2) ．
18.如图，在中，D，E分别是、的中点，连接，延长到点F，使得，连接交于点O．求证：．
19.主题实践：
生活情境 某市在创建全国文明城市期间，在市区大道中间的隔离护栏处加装了花卉盆栽，其平面示意图如图所示，假如每个盆栽的宽度为1.2米，两个盆栽之间的距离为3米（支撑杆宽度忽略不计）．
数学数据 对该隔离护栏的长度进行测量，得到了如表数据： 盆栽个数x23456…护栏总长y（米）5.4a13.81822.2…
根据上述的素材，解决以下问题：
(1) 根据表中数据的规律，表格中a= ；
(2) 若y为x的一次函数，请求出y与x之间的函数关系式．
(3) 若（2）中函数的图象上有，两点，求的值．
20.已知：为锐角三角形，．
求作：菱形．
作法：如图，
①以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N；
②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点E，作射线与交于点O；
③以点O为圆心，以长为半径作弧，与射线交于点D，连接，；
四边形就是所求作的菱形．
(1) 使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）：
(2) 完成下面的证明：
证明：∵平分，
∴ ．
∵，
∴四边形是平行四边形（ ）（填推理的依据）．
∵，
∴四边形是菱形（ ）（填推理的依据）．
21.在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．
(1) 求的值；
(2) 当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围．
22.如图，在中，交于点O，E是的中点，过点O，E分别作直线的垂线，垂足分别为G，F．
(1) 求证：四边形是矩形；
(2) 若，，，求的长．
23.从文本生成到语音识别，从绘画到编程，的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革．为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组进行了调查统计．数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中随机抽取20名，记录他们对两款软件的评分，对数据整理描述如下：
a．信息处理速度得分统计图：
b．信息识别准确度得分统计图：
c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表：
信息处理速度得分 信息识别准确度得分
平均数 中位数 众数 平均数 方差
甲 7 a
乙 b 7
根据以上信息，解答下列问题：
(1) 表格中 ， ；
(2) 使用者对该软件评分大于6分视为高分，否则视为低分．甲、乙两款软件的开发公司加大了研发投入．数学兴趣小组邀请之前的20名使用者做第二次调查．经调查：甲款软件的所有使用者对信息识别准确度的评分均提升了1分，乙款软件的低分使用者对信息识别准确度的评分均提升了2分，高分使用者的评分不变．在第二次调查中，甲款软件的信息识别准确度评分数据的平均数和方差分别记为，；乙款软件的信息识别准确度评分数据的平均数和方差分别记为，．则 ， ， ，（填“”“”“”）．
24.某芯片公司设计了两个方案用以提升某类芯片的产量和性能．将第批次芯片按方案一和方案二生产、优化后的成品率（合格芯片占比）分别记为和，对于给定的方案，可以认为是的函数．部分数据如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 …
70 78 84 88 90 91 92 93 …
74 81 87 91 95 97 98 …
对于方案二，从第二批次起，每一批次比前一批次增加的成品率逐渐减少或保持不变．对于给定的方案，在平面直角坐标系中描出各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线和，曲线如图所示．
(1) 当整数的值为 时，按方案一优化后的成品率首次超过；
(2) 写出表中的值（为整数），并在给出的平面直角坐标系中画出曲线；
(3) 按方案一和方案二生产、优化每个批次的芯片用时分别是2天和3天，且每批次芯片只按一种方案生产、优化，将成品率不低于的批次称为合格批次．
①根据上述函数关系，该公司最早在第 天（整数）开始生产合格批次的芯片；
②公司采用方案二对此类芯片生产、优化了18天时，接到客户订单，预定20个合格批次的芯片，并要求按一种方案生产，则它接到通知后最快经过 天（整数）完成这个订单．
25.在正方形中，将边绕点A逆时针旋转得到线段，与延长线相交于点F，过B作交于点G，连接．
(1) 如图1，求证：；
(2) 当时，依题意补全图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
26.对于平面直角坐标系xOy中的点P和正方形给出如下定义:若正方形的对角线交于点O，四条边分别和坐标轴平行，我们称该正方形为原点正方形，当原点正方形上存在点Q，满足PQ≤1时，称点P为原点正方形的友好点.
(1) 当原点正方形边长为4时，
①在点P1(0，0)，P2(-1，1)，P3(3，2)中，原点正方形的友好点是__________；
②点P在直线y=x的图象上，若点P为原点正方形的友好点，求点P横坐标的取值范围；
(2) 一次函数y=-x+2的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，若线段AB上存在原点正方形的友好点，直接写出原点正方形边长a的取值范围.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】5
14.【答案】86
15.【答案】 /厘米
16.【答案】【小题1】

【小题2】


18.【答案】【小题1】
解：
．
【小题2】
解：
．

19.【答案】证明：在中，D，E分别是、的中点，
是的中位线，
，，
，
，
，
在和中，
，
，

20.【答案】【小题1】

【小题2】
解：设与的一次函数关系式为，
将，和，代入解析式，
得：，
解得，
∴与的函数关系式为；
【小题3】
解：∵点，在函数的图象上，
∴，，
∴．

21.【答案】【小题1】
解：如图，菱形ABDC即为所求作；
【小题2】
OB
对角线互相平分的四边形是平行四边形
一组邻边相等的平行四边形是菱形

22.【答案】【小题1】
解：∵函数的图象过点和，
，
解得，即，
∴的值为，的值为．
【小题2】
解：由上可得函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，
∵，，
∴和的函数是从左到右为下降的直线，
当时，不等式需对所有成立，
整理得，
要使该不等式对任意大的正数都成立，则的系数必须非负，即，
解得，
结合，得．
当时，将代入和中，
即，，
∵函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，
∴将代入时，，
即，
解得：，
综上可得：且．

23.【答案】【小题1】
证明：∵四边形为平行四边形，交于点O，
∴，即为中点，
∵E是的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
又∵，即，
∴四边形是矩形；
【小题2】
解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的中位线，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴．
17.【答案】【小题1】
9
【小题2】

24.【答案】【小题1】
4
【小题2】
解：∵对于方案二，从第二批次起，每一批次比前一批次增加的成品率逐渐减少或保持不变，
∴，
∴，
描点，连线，画出函数图象如图：
【小题3】
10
48

25.【答案】【小题1】
证明：∵边绕点A逆时针旋转得到线段，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∴；
【小题2】
补全图2如下：

，理由如下：
证明：如图，作于，交于，交于，连接.
，
，，
，
，
在和中，
，
,
,
，
四边形为平行四边形.
又，
四边形为菱形，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，，
，
在和中，
,
,
,

26.【答案】【小题1】
解：①∵原点正方形边长为4，
当P1（0，0）时，正方形上与P1的最小距离是2，故不存在Q使P1Q≤1；
当P2（-1，1）时，存在Q（-2，1），使P2Q≤1；
当P3（3，2）时，存在Q（2，2），使P3Q≤1；
故答案为P 、P ；
②如图所示：阴影部分就是原点正方形友好点P的范围，
由计算可得，点P横坐标的取值范围是：
1≤x≤2+或-2-≤ x≤-1；
【小题2】
一次函数y=-x+2的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，
∴A（0，2），B（2，0），
∵线段AB上存在原点正方形的友好点，
如图所示：
原点正方形边长a的取值范围2-≤ a≤6．

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