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北师大版数学九年级上册 1.2 菱形的性质与判定 一阶训练
一、选择题
1．下列命题正确的是(　　)
A．正五边形的外角和是540°
B．对角线互相垂直的四边形一定是菱形
C．三角形两边的和大于第三边
D．一组对角相等的四边形一定是平行四边形
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的判定；菱形的判定；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：选项A：任意多边形的外角和均为，与边数无关，因此正五边形外角和为，不是，故A错误；
选项B：对角线互相垂直且平分的四边形才是菱形，仅对角线垂直无法判定四边形为菱形，故B错误；
选项C：根据三角形三边关系，任意三角形中两边之和大于第三边，该命题成立，故C正确；
选项D：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，仅一组对角相等无法判定平行四边形，故D错误。
故答案为：
【分析】本题考查多边形外角和、菱形判定、三角形三边关系、平行四边形判定的命题辨析。结合对应几何定理逐一验证每个命题：多边形外角和恒为；菱形需同时满足对角线垂直与互相平分；三角形天然满足两边之和大于第三边；平行四边形需要两组对角分别相等，据此即可选出正确的命题。
2．如图，在菱形中，，，则菱形的周长为（　　）
A．36 B．30 C．24 D．18
【答案】C
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴菱形的周长，
故选：C．
【分析】本题以菱形与等边三角形综合为背景，考查了菱形的性质、平行线的性质及等边三角形的判定与性质。由菱形得AD∥BC及AB＝BC，结合∠BAD＝120°得∠B＝60°，证△ABC为等边三角形，得AB＝AC，再求菱形周长。
3．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A、由图可知，对角线与两邻边的夹角均为，即邻边相等，则根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判定选项A一定是菱形；
B、由三角形内角和定理可知对角线夹角为，即对角线垂直，则根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判定选项B一定是菱形；
C、根据图中数据，只能说明同旁内角互补，不能说明一定是菱形；
D、由图可知对角线平分内角，即所分成的两个角均为，由平行线性质可推出三角形为等边三角形，故邻边相等，则选项D一定是菱形；
故选C
【分析】
根据菱形的判定定理，对每个选项逐一进行分析判断.
4．若菱形的周长为8，高为1，则菱形两个相邻的内角的度数比为（　　).
A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图
∵菱形的周长为8，高为1
∴AD=2，AE=1
∴∠D=30°
∴∠C=180°-∠D=150°
∴两个相邻的内角的度数比为150：30=5：1
故答案为：C
【分析】根据菱形性质可得AD，根据含30°角的直角三角形性质可得∠D，根据菱形性质可得∠C，再根据角之间的关系即可求出答案.
5．如图，为菱形的对角线，已知，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠BCA=∠DCA，
∴∠D+∠DCB=180°，
∴∠DCB=180°-140°=40°，
∴∠BCA=∠DCA=20°，
故选：C.
【分析】根据菱形的性质得出AD∥BC，∠BCA=∠DCA，根据平行线的性质得出∠D+∠DCB=180°，从而得出∠DCB=40°，即可得出∠BCA=20°.
6．如图，将菱形纸片沿着线段剪成两个全等的图形，则的度数是（　　）
A．40° B．60° C．80° D．100°
【答案】C
【知识点】菱形的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵纸片是菱形
∴对边平行且相等
∴（两直线平行，内错角相等）
故选：C．
【分析】根据菱形性质，结合直线平行性质即可求出答案.
7．如图，菱形的周长为16，，则的长为（　　）
A． B．4 C． D．2
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：四边形为菱形，周长为16，
，
，为对角线，
，
为等边三角形，
，
故选：B．
【分析】根据菱形性质可得AB，，再根据等边三角形判定定理及性质即可求出答案.
8．如图，在菱形中，点，分别是，的中点，若菱形的周长为24，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．5
【答案】A
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵菱形的周长为，
∴ ．
∵点，分别是，的中点，
∴=3 ．
故答案为：A ．
【分析】本题先根据菱形的四条边相等，可以求出AB=6，再结合三角形中位线定理计算即可求出的长．
9．如下图，菱形中，，，则的长为（　　）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
故答案为：A。
【分析】利用菱形的性质结合可得出是等边三角形，进一步即可得出．
10．一个菱形的两条对角线分别是6cm和8cm，则这个菱形的面积等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
这个菱形的面积等于
故答案为：A
【分析】根据菱形的面积即可求出答案.
二、填空题
11．已知菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的周长为　 　．
【答案】20
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别为6和8，
∴ 两对角线的一半分别为3，4，
由勾股定理得，菱形的边长
所以，菱形的周长：=4×5=20.
故答案为： 20.
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出两对角线的一半，再利用勾股定理列式求出边长，然后根据菱形的四条边都相等求解即可.
12．四边形ABCD的对角线互相垂直，垂足为点O，且满足AO=CO，请添加一个适当的条件：　 　 ，使四边形ABCD成为菱形.（只需要添加一个条件即可）
【答案】DO=BO（答案不唯一）
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：添加条件即可，
，，
四边形 是平行四边形，
四边形 的对角线互相垂直，
平行四边形 是菱形
故可添加为．
故答案为：（答案不唯一） .
【分析】根据菱形的判定定理解答即可．
13．如图，在菱形中，，，分别为，的中点，且，则菱形的面积为　 　．
【答案】12
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，分别为，的中点，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴菱形的面积为，
故答案为：．
【分析】本题考查菱形的性质与三角形中位线定理，菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半。E、F分别是AB、BC的中点，因此EF是△ABC的中位线，中位线的长度等于对应底边AC长度的一半，由此可求出对角线AC的长度，再结合已知的对角线BD长度，代入菱形面积公式计算即可得到结果。
14．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD对角线的交点的坐标是O（0，0)，点B的坐标是（0，1)，且. 则点A的坐标是　 　。
【答案】(2，0)
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BOC=90°，OC=OA，
∵点B的坐标是（0，1），
∴OB=1，
在直角三角形BOC中，
∴OC=2，
∵C和A关于原点对称，
∴A坐标为(2，0)
故答案为：(2，0).
【分析】 根据菱形性质得OC的长，因而得点C的坐标，根据对称性质可得答案.
15．如图，两条笔直的公路、相交于点O，村庄C的村民分别在两条公路的旁边各建一个加工厂B，D．已知四边形是菱形，村庄C到公路的距离为，则村庄C到公路的距离是　 　
【答案】4
【知识点】角平分线的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接，过点C作于E，作于F，
∵村庄C到公路的距离为，
∴
∵四边形是菱形
∴平分，
∴，
即C到公路的距离是．
故答案为：4．
【分析】首先连接AC，过点C作CE⊥l2于E，作CF⊥l1于F，由菱形的每一条对角线平分一组对角得出AC平分∠BAD，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出CF=CE=4km，从而得出答案.
三、解答题
16．四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=5，AO=4.求AC，BD的长以及菱形ABCD的面积.
【答案】解：如图，
∵四边形ABCD是菱形
∴AC=2AO=8，AC⊥BD
∴
∴BD=2BO=6
∴菱形ABCD的面积为
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【分析】根据菱形性质可得AC=2AO=8，AC⊥BD，根据勾股定理可得BO，再根据菱形面积即可求出答案.
17．如图，在菱形ABCD中，BD=4，∠A：∠ABC=1：2.求△ABD的周长.
【答案】解：∵四边形ABCD为菱形
∴AB=BC=CD=DA，∠A+∠ABC=180°
∵∠A：∠ABC=1：2
∴∠A=60°
∴△ABD为等边三角形
∴AB=BD=AD=4
∴△ABD的周长为：AB+BD+AD=12
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【分析】根据菱形性质可得AB=BC=CD=DA，∠A+∠ABC=180°，根据角之间的关系可得∠A，再根据等边三角形判定定理及性质即可求出答案.
1 / 1北师大版数学九年级上册 1.2 菱形的性质与判定 一阶训练
一、选择题
1．下列命题正确的是(　　)
A．正五边形的外角和是540°
B．对角线互相垂直的四边形一定是菱形
C．三角形两边的和大于第三边
D．一组对角相等的四边形一定是平行四边形
2．如图，在菱形中，，，则菱形的周长为（　　）
A．36 B．30 C．24 D．18
3．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．若菱形的周长为8，高为1，则菱形两个相邻的内角的度数比为（　　).
A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1
5．如图，为菱形的对角线，已知，则等于（　　）
A． B． C． D．
6．如图，将菱形纸片沿着线段剪成两个全等的图形，则的度数是（　　）
A．40° B．60° C．80° D．100°
7．如图，菱形的周长为16，，则的长为（　　）
A． B．4 C． D．2
8．如图，在菱形中，点，分别是，的中点，若菱形的周长为24，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．5
9．如下图，菱形中，，，则的长为（　　）
A．2 B．1 C． D．
10．一个菱形的两条对角线分别是6cm和8cm，则这个菱形的面积等于（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的周长为　 　．
12．四边形ABCD的对角线互相垂直，垂足为点O，且满足AO=CO，请添加一个适当的条件：　 　 ，使四边形ABCD成为菱形.（只需要添加一个条件即可）
13．如图，在菱形中，，，分别为，的中点，且，则菱形的面积为　 　．
14．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD对角线的交点的坐标是O（0，0)，点B的坐标是（0，1)，且. 则点A的坐标是　 　。
15．如图，两条笔直的公路、相交于点O，村庄C的村民分别在两条公路的旁边各建一个加工厂B，D．已知四边形是菱形，村庄C到公路的距离为，则村庄C到公路的距离是　 　
三、解答题
16．四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=5，AO=4.求AC，BD的长以及菱形ABCD的面积.
17．如图，在菱形ABCD中，BD=4，∠A：∠ABC=1：2.求△ABD的周长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的判定；菱形的判定；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：选项A：任意多边形的外角和均为，与边数无关，因此正五边形外角和为，不是，故A错误；
选项B：对角线互相垂直且平分的四边形才是菱形，仅对角线垂直无法判定四边形为菱形，故B错误；
选项C：根据三角形三边关系，任意三角形中两边之和大于第三边，该命题成立，故C正确；
选项D：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，仅一组对角相等无法判定平行四边形，故D错误。
故答案为：
【分析】本题考查多边形外角和、菱形判定、三角形三边关系、平行四边形判定的命题辨析。结合对应几何定理逐一验证每个命题：多边形外角和恒为；菱形需同时满足对角线垂直与互相平分；三角形天然满足两边之和大于第三边；平行四边形需要两组对角分别相等，据此即可选出正确的命题。
2．【答案】C
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴菱形的周长，
故选：C．
【分析】本题以菱形与等边三角形综合为背景，考查了菱形的性质、平行线的性质及等边三角形的判定与性质。由菱形得AD∥BC及AB＝BC，结合∠BAD＝120°得∠B＝60°，证△ABC为等边三角形，得AB＝AC，再求菱形周长。
3．【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A、由图可知，对角线与两邻边的夹角均为，即邻边相等，则根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判定选项A一定是菱形；
B、由三角形内角和定理可知对角线夹角为，即对角线垂直，则根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判定选项B一定是菱形；
C、根据图中数据，只能说明同旁内角互补，不能说明一定是菱形；
D、由图可知对角线平分内角，即所分成的两个角均为，由平行线性质可推出三角形为等边三角形，故邻边相等，则选项D一定是菱形；
故选C
【分析】
根据菱形的判定定理，对每个选项逐一进行分析判断.
4．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图
∵菱形的周长为8，高为1
∴AD=2，AE=1
∴∠D=30°
∴∠C=180°-∠D=150°
∴两个相邻的内角的度数比为150：30=5：1
故答案为：C
【分析】根据菱形性质可得AD，根据含30°角的直角三角形性质可得∠D，根据菱形性质可得∠C，再根据角之间的关系即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】菱形的性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠BCA=∠DCA，
∴∠D+∠DCB=180°，
∴∠DCB=180°-140°=40°，
∴∠BCA=∠DCA=20°，
故选：C.
【分析】根据菱形的性质得出AD∥BC，∠BCA=∠DCA，根据平行线的性质得出∠D+∠DCB=180°，从而得出∠DCB=40°，即可得出∠BCA=20°.
6．【答案】C
【知识点】菱形的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵纸片是菱形
∴对边平行且相等
∴（两直线平行，内错角相等）
故选：C．
【分析】根据菱形性质，结合直线平行性质即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：四边形为菱形，周长为16，
，
，为对角线，
，
为等边三角形，
，
故选：B．
【分析】根据菱形性质可得AB，，再根据等边三角形判定定理及性质即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵菱形的周长为，
∴ ．
∵点，分别是，的中点，
∴=3 ．
故答案为：A ．
【分析】本题先根据菱形的四条边相等，可以求出AB=6，再结合三角形中位线定理计算即可求出的长．
9．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
故答案为：A。
【分析】利用菱形的性质结合可得出是等边三角形，进一步即可得出．
10．【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
这个菱形的面积等于
故答案为：A
【分析】根据菱形的面积即可求出答案.
11．【答案】20
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别为6和8，
∴ 两对角线的一半分别为3，4，
由勾股定理得，菱形的边长
所以，菱形的周长：=4×5=20.
故答案为： 20.
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出两对角线的一半，再利用勾股定理列式求出边长，然后根据菱形的四条边都相等求解即可.
12．【答案】DO=BO（答案不唯一）
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：添加条件即可，
，，
四边形 是平行四边形，
四边形 的对角线互相垂直，
平行四边形 是菱形
故可添加为．
故答案为：（答案不唯一） .
【分析】根据菱形的判定定理解答即可．
13．【答案】12
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，分别为，的中点，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴菱形的面积为，
故答案为：．
【分析】本题考查菱形的性质与三角形中位线定理，菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半。E、F分别是AB、BC的中点，因此EF是△ABC的中位线，中位线的长度等于对应底边AC长度的一半，由此可求出对角线AC的长度，再结合已知的对角线BD长度，代入菱形面积公式计算即可得到结果。
14．【答案】(2，0)
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BOC=90°，OC=OA，
∵点B的坐标是（0，1），
∴OB=1，
在直角三角形BOC中，
∴OC=2，
∵C和A关于原点对称，
∴A坐标为(2，0)
故答案为：(2，0).
【分析】 根据菱形性质得OC的长，因而得点C的坐标，根据对称性质可得答案.
15．【答案】4
【知识点】角平分线的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接，过点C作于E，作于F，
∵村庄C到公路的距离为，
∴
∵四边形是菱形
∴平分，
∴，
即C到公路的距离是．
故答案为：4．
【分析】首先连接AC，过点C作CE⊥l2于E，作CF⊥l1于F，由菱形的每一条对角线平分一组对角得出AC平分∠BAD，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出CF=CE=4km，从而得出答案.
16．【答案】解：如图，
∵四边形ABCD是菱形
∴AC=2AO=8，AC⊥BD
∴
∴BD=2BO=6
∴菱形ABCD的面积为
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【分析】根据菱形性质可得AC=2AO=8，AC⊥BD，根据勾股定理可得BO，再根据菱形面积即可求出答案.
17．【答案】解：∵四边形ABCD为菱形
∴AB=BC=CD=DA，∠A+∠ABC=180°
∵∠A：∠ABC=1：2
∴∠A=60°
∴△ABD为等边三角形
∴AB=BD=AD=4
∴△ABD的周长为：AB+BD+AD=12
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【分析】根据菱形性质可得AB=BC=CD=DA，∠A+∠ABC=180°，根据角之间的关系可得∠A，再根据等边三角形判定定理及性质即可求出答案.
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