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北师大版数学九年级上册 1.2 菱形的性质与判定 三阶训练
一、选择题
1．如图，菱形盒子ECDF底部有一面平面镜l，从点A 处射入一道平行于 CD 的光线，入射光线经过镜面反射后恰好经过点B(法线与平面镜l垂直，反射角等于入射角)，若∠C=35°，则∠α的度数为（　　）
A．100° B．105° C．110° D．115°
2．如图，在菱形中，点为对角线上一点，且，若，则（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在菱形中，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点运动；动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动．若运动秒后，四边形是平行四边形，则的值为（　　）
A．2 B． C．4 D．
4．如图，在菱形 ABCD 中，按如下步骤作图：①分别以点 C和点D 为圆心，大于 长为半径作弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，与CD 交于点E，连结BE.若AD=4，直线 MN恰好经过点A，则BE 的长为(　　)
A． B． C． D．
5．如图，在边长为4的菱形中，，点、分别为、边上的动点，连接、、．若，则以下结论正确的是（　　）
①；②是等边三角形；③四边形的面积是；④△DEF面积有最大值为．
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
6．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC 是一条对角线，E 是AC 上一点，过点 E 作EF⊥AB，垂足为 F，连结DE.若AE=BF，则DE：BC的值为 （　　)
A．2：3 B． C．2.5：3 D． ：3
7．如图，菱形ABCD的边长为1，BD=1，E，F分别是边AD，CD 上的两个动点，且满足AE+CF=1，设△BEF的面积为s，则s的取值范围是(　　).
A． B． C． D．
8．如图，在菱形ABCD中，，，BD与AC相交于点O，点P是线段AB上的任意点，以PB为对角线作平行四边形POBQ，连结DQ，则DQ的最小值是（　　）
A． B．4 C． D．
二、填空题
9．如图，菱形的边长为，面积为，点在上移动，，为中点，则的最小值为　 　．
10．油纸伞在我国已有一千多年的历史，是中国古代劳动人民智慧的结晶．图①是一把油纸伞展开后的剖面图，点、分别为伞骨、的中点，伞圈为伞柄上可移动的点，四边形为菱形．当油纸伞打开到图①的程度时，，当油纸伞缩拢到图②的程度时，，若，则伞圈下滑的距离的长度为　 　．
11．如图，在菱形中，点，分别在，上，，连接，，．若菱形面积为，，四边形的面积是面积的3.5倍，则线段的长为　 　 ．
12．在菱形中，为菱形内部一点，且，连接，点F为中点，连接，点G是中点，连接，则的最大值为　 　．
13．如图，在菱形ABCD中，点P是对角线BD上一动点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，记菱形高线的长为h，则下列结论：
①当P为BD中点时，则PE＝PF；②PE+PF＝h；
③∠EPF+∠A＝180°；④若AB＝2，∠EPF＝60°，连结PC，则PE+PC有最小值为2；
⑤若h＝2，∠EPF＝60°，连结EF，则S△PEF的最大值为．
其中正确的结论有　 　(填序号）．
三、解答题
14．如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AO=OC，OB=OD且∠1=∠2．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）E为AO上一点，连接BE，若AE=4，AB=6，EB=2，求AO的长．
15．阅读材料：
中国-西班牙联合发行《中欧班列（义乌-马德里）》特种邮票1套2枚，两枚邮票的大小、形状相同（如图1）．邮票在设计时采用了多种数学元素：根据画面内容邮票以平行四边形的形式呈现，代表着列车前进的速度，凸显中欧班列的动态美；中国与西班牙两个列车图形保持对称，并向外延展，凸显中欧班列的和谐美；
在单枚邮票票面上的平行四边形中，邻边与的长度比非常接近黄金分割数．单枚邮票的规格（平行四边形：长边50毫米，短边32毫米，高28毫米）见图2所示．设图1的中边上的高为．
根据以上信息解决问题：
（1）【相关计算】①单枚邮票的面积为：________，周长为：________．
②计算的长为：________（结果用最简二次根式表示）；
（2）【特例证明】图1中，求证：四边形是平行四边形．
（3）【数形结合】现在将图1中的设计成标准的黄金平行四边形，也就是满足相邻两边的比为黄金分割数的平行四边形．如图3所示，即在中，两邻边、满足，现又在上取点，且满足，过点作交边于点．求证：四边形是菱形．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】菱形的性质；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵四边形ECDF是菱形
∴CD//EF，∠F=∠C=35°
∵AG//CD
∴AG//EF
∴∠AGD=∠F=35°
∵法线垂直于GD，反射角等于入射角
∴∠AGB=2(90°-∠AGD)=2×(90°-35°)=110°
∵AG//EF
∴若∠C=35°，则∠α=∠AGB=110°
故选：C.
【分析】由菱形的性质可得∠F=∠C=35°，CD//EF，即得∠AGD=∠F=35°，又可得∠AGB=110°，再根据平行线的性质即可求解.
2．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：在菱形中，，
，
在菱形中，为对角线，，则，
在中，，，则，
故选：B．
【分析】
由于菱形是平行四边形，则由邻角互补可得的值，又菱形的一条对角线平分一组对角，则可得的值，再由等边对等角结合三角形的内角和定理即可．
3．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，，
∴，
∴当时，四边形是平行四边形，
由题意得，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：D．
【分析】先求出当时，四边形是平行四边形，可得，再结合，可得，最后求出即可.
4．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
由作图可知，直线MN为线段CD的垂直平分线，
在 中，由勾股定理得，AE=
∵AB∥CD，
在 中，由勾股定理得，BE=
故选： D.
【分析】由作图可知，直线MN为线段CD的垂直平分线，则 结合菱形的性质，利用勾股定理计算即可.
5．【答案】B
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：①连接BD，
∵四边形ABCD为菱形， ∠DAB=60°，
∴AD=AB=CD=4，
∴△ABD、△CBD均为等边三角形，
AD=BD=4，
又∵∠EBF=60°，
即：∠ABE+∠EBD=∠EBD+∠DBF=60°，
∴∠ABE=∠DBF，
在△ABE和△BDF中，
∴△ABE≌△DBF(ASA)，
∴BE=BF，故①正确；
②·∵BE=BF，∠EBF=60°，
∴△EBF为等边三角形，故②正确；
③如图，过B作BG⊥AD于G，
∴AG=DG=2，
∵△ABE≌△DBF，
故③正确；
④∵△BEF为等边三角形，
当BE⊥AD时， BE最短， △BEF的面积最小，
此时
同理可得：此时
当△BEF的面积最小，△DEF的面积最大，最大值为 故④错误；
∴正确的结论为：①②③.
故选： B.
【分析】①连接BD，根据菱形ABCD的性质及∠DAB=60°，可以得到△ABD为等边三角形，结合∠EBF=60°，可得∠ABE=∠DBF，可利用ASA判定△ABE≌△DBF，从而得到BE = BF； ②根据 即可得到 为等边三角形；③根据 及 可以得到 ，再求等边三角形面积即可；④当 时，BE最短，等边 的面积最小，由 ，可以得到 的面积最大值
6．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：因为四边形ABCD是菱形，
所以AB=BC=AD，又∠ABC=60°，
因此比△ABC是等边三角形，
故∠BAC=60°，AC=AB=BC。
因为EF⊥AB，
所以△AEF是直角三角形，∠AFE=90°，∠EAF=60°，
则∠AEF=30°，设AE=x，由30°角所对直角边是斜边的一半，得，再由勾股定理得.
已知AE=BF，
所以BF=AE=x，
因此，即。
因为菱形ABCD中，且ADIIBC，∠DAB=180°-∠ABC=120°，∠BAC=60°，
所以∠DAE=∠DAB-∠BAC=60°。
在△ADE中，，AE=x，∠DAE=60°，
过D作DG⊥AC于G，∠DAG=60°，则AG=，
，，
在Rt△DEG中，由勾股定理得。
因此，对应选项B.
故答案为：B.
【分析】 本题利用菱形性质与 60° 角构造等边三角形，结合直角三角形边角关系设参数表示线段长，再用勾股定理计算 DE 长度，最终求出 DE 与 BC 的比值。
7．【答案】D
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵四边形 ABCD是菱形，
∴AD=BC=CD=AB=1.
∵BD=1， ∴AB=AD=BD.
∴△ABD是等边三角形.
∴∠A=∠ADB=∠C=∠DBC=60°.
∵AE+CF=1，AE+DE=1， ∴DE=CF.
在△BED 和△BFC中，
∴△BED≌△BFC.
∴BE=BF，∠EBD=∠FBC.
∴∠EBF=∠EBD+∠DBF=∠FBC+∠DBF=∠DBC=60°.
∴△BEF 是等边三角形.
根据等边三角形的面积公式得
当点 E与点A 或点D 重合时，BE 最大，此时BE=1，此时s最大，且最大值为
当BE⊥AD时，BE最小，则
由勾股定理得
此时s最小，且最小值为
所以s的取值范围为
故答案为：D.
【分析】利用菱形的性质和正三角形的特点可证得继而可得 为正三角形，然后根据点 E与点A 或点D 重合时，BE 最大；BE⊥AD时，BE最小，根据勾股定理解答即可.
8．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：根据题意可知，Q在线段Q1Q2（不包括Q2）上，如图，
∵ 四边形ABCD为菱形，∴ AB=AD，OB=OD，∵ ∠BAD=60°，∴ △ABD为等边三角形，∴ OB=BD=，
∵ 四边形OBQ为平行四边形，
∴ OB=PQ=BQ2，
∴ DQ2=，
当DQ'⊥Q1Q2时，此时DQ'最小，
∵∠Q'DQ2=30°，
∴ Q'Q2=，
∴ DQ'=
故答案为：C.
【分析】先根据题意确定Q的运动轨迹，再根据菱形的性质和等边三角形的判定与性质可推出DQ2=，根据垂线段最短可知DQ'最小，根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求得DQ'的值即可.
9．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】作E点关于AD的对称点H，延长CD交AH的延长线于点M，
作AP⊥CD，DQ⊥AB，
由对称可知，EF=HF，∠DAB=∠DAM，
又∵G为EC中点，
∴FG=，
∵菱形ABCD面积为20，边长为5，
∴DQ=AP=4，
在△ADQ中，由勾股定理得，AQ=PA=3，
∵CD∥AB，且∠DAB=∠DAM，
∴∠MAD=∠MDA，
∴MA=MD，
设MP=x，则MA=MD=x+3，
由勾股定理得，，
∴，
∴x=，
∴MA=MD=x+3=，
当CH⊥AM时，此时CH取最小，即FG取最小，
由三角形面积，得，
解得CH=，
∴FG==，
故答案为：.
【分析】作E点关于AD的对称点H，延长CD交AH的延长线于点M，作AP⊥CD，DQ⊥AB，根据题意得FG为CH长的一半，由CD∥AB和∠DAB=∠DAM，可得△MAD为等腰三角形，设MP=x，利用勾股定理求出MA的长，在△AMC中，由等积法可求得CH的最小值，进而得解.
10．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图①，∵四边形为菱形，，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
如图②，设交于点，
，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题先根据菱形的性质和已知角度判断图①中三角形形状求出，再通过等边三角形性质和勾股定理求出图②中，最后由计算即可得解。
11．【答案】
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：过点作于点，于点，过点作，交的延长线于点，连接，如图所示：
四边形是菱形，，
，，
菱形面积为，
，
，
，
同理：，
，
和等底等高，
，
四边形的面积是面积的3.5倍，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
根据平行线间的距离处处相等得：，
在中，由勾股定理得：，
，
在中，由勾股定理得：．
故答案为：．
【分析】过点作于点，于点，过点作，交延长线于点，连接；根据菱形性质得出BC=AB=CD=14，AD∥BC，根据菱形面积公式结合建立方程求出AM的长，同理得到AN的长；根据等底等高三角形面积相等得，进而得，再根据三角形面积公式得，由此得，；由平行线间的距离处处相等得出DH=AM，在中，由勾股定理求出CH，再根据线段和差得EH，然后在中，由勾股定理即可求出的长．
12．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解∶如图所示∶连接交于点，连接，取的中点，连接和，
∵在菱形中，为中点，为中点，，
∴，
当、、、共线时，也为，
∵为中点、为中点，
∴
∵在菱形中，且，，
∴，，，
∴，
∴．
∴，
∴，
∵．
∴，
∴的最大值为．
故答案为∶．
【分析】连接交于点，连接，取的中点，连接和， 利用菱形的性质及已知条件可求出OF的长，当、、、共线时，也为，同时可求出GH的长，利用菱形的性质可求出∠ABO的度数及OB的长，利用勾股定理求出OC的长，可得到OH的长；再利用勾股定理求出BH的长；然后利用三角形的三边关系可知，据此可求出BG的最大值.
13．【答案】①②③
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；菱形的性质
【解析】【解答】解：①如图：
∵菱形ABCD
∴PB=PD，
∴CA平分∠BCD，
∵PE⊥BC， PF⊥CD，
∴PE=PF.
∴①正确，
②如图：延长EP交AD于F'，
∵菱形ABCD，
∴AD//BC，
∵PE⊥BC，
∴PF'⊥AD.
∵菱形ABCD，
∴DB平分∠ADC，
∵PF⊥CD，PF'⊥AD，
∴PF=PF’
∴PE+PF=PE+PF'=EF'=h.
∴②正确，
③∵菱形ABCD，
∴∠BAD=∠BCD，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴∠PEC+∠PFC=90°+90°=180°，
∴∠EPF+∠BCD=360°-(∠PEC+∠PFC)=180°，
∴∠EPF+∠BAD=180°
∴③正确，
④过C作CE'⊥AB，交BD于P，
∵PE=PE'，
∴CE'=CP+PE'=CP+PE.
∵CE'最小，
∴PE+PC最小.
∵AB=2，
∴，
∴，
∴PE+PC最小值.
∴④错误.
④过F作FG⊥PE，
设PE=x，
由②知PF=h-PE=2-x，
∵PF⊥CD，又∠PDF=30°，
∴∠DPF=60°，
∴∠GPF=180°-∠BPE-∠DPF=60°，
∴，
∴，
∴
∴⑤错误，
故答案为：①②③.
【分析】①运用菱形的对角线平分对角解答即可；②运用菱形的对称性解答即可；③运用姜形的对角相等解答即可；④利用垂线段最短解答即可；⑤设PE=x，再换算出，，再配方解答即可.
14．【答案】（1）证明：因为AO=OC，OB=OD，
所以四边形ABCD是平行四边形，
所以AD∥BC，
所以∠2=∠ACB，
因为∠1=∠2，
所以∠1=∠ACB
所以AB=CB，
所以平行四边形ABCD是菱形
（2）解：因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD，
在Rt△ABO和Rt△EBO中，根据勾股定理得：OB2=AB2-AO2=BE2-OE2，
设OE=x，
因为AE=4，AB=6，EB=2，AO=4+x，
所以62-（4+x）2=（2）2-x2，
解得：x=1，
所以AO=AE+OE=4+1=5．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定，对角线互相平分，即AO=OC，OB=OD，即可得到四边形ABCD是平行四边形，即可得到AD∥BC，再利用平行线的性质，两直线平行，内错角相等，即可得到∠2=∠ACB，再根据∠1=∠2，等量代换即可得到∠1=∠ACB，利用等角对等边即可得到AB=CB，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可得到平行四边形ABCD是菱形。
（2）根据菱形的性质，对角线互相平分且垂直，即可得到AC⊥BD，根据支架三角形勾股定理得OB2=AB2-AO2=BE2-OE2，再利用方程的思想，设OE=x，根据AE=4，AB=6，EB=2，AO=4+x，利用勾股定理得到62-（4+x）2=（2）2-x2，所以x=1，所以AO=AE+OE=4+1=5，即可得到答案。
15．【答案】（1）①1400；164；②
（2）证明：∵四边形和四边形都是平行四边形，
∴，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（3）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形．
【知识点】二次根式的性质与化简；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：（1）由阅读材料可知：毫米，毫米，毫米，
①单枚邮票的面积为：，
周长为：．
故答案为：1400；164；
②解：在中，毫米，毫米，
由勾股定理得：，
则，
故答案为：；
【分析】（1）根据矩形的面积计算公式即可求解；
（2）首先根据四边形和四边形都是平行四边形，可得出，，，，进而即可得出四边形是平行四边形；
（3）首先根据四边形ABCD为平行四边形，可得出，，进而得出四边形是平行四边形，进而通过计算可得出，即可得出平行四边形是菱形．
（1）解：由阅读材料可知：毫米，毫米，毫米，
①单枚邮票的面积为：，
周长为：．
故答案为：1400；164；
②解：在中，毫米，毫米，
由勾股定理得：，
则，
故答案为：；
（2）证明：∵四边形和四边形都是平行四边形，
∴，，，，∴，，∴四边形是平行四边形；
（3）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形．
1 / 1北师大版数学九年级上册 1.2 菱形的性质与判定 三阶训练
一、选择题
1．如图，菱形盒子ECDF底部有一面平面镜l，从点A 处射入一道平行于 CD 的光线，入射光线经过镜面反射后恰好经过点B(法线与平面镜l垂直，反射角等于入射角)，若∠C=35°，则∠α的度数为（　　）
A．100° B．105° C．110° D．115°
【答案】C
【知识点】菱形的性质；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵四边形ECDF是菱形
∴CD//EF，∠F=∠C=35°
∵AG//CD
∴AG//EF
∴∠AGD=∠F=35°
∵法线垂直于GD，反射角等于入射角
∴∠AGB=2(90°-∠AGD)=2×(90°-35°)=110°
∵AG//EF
∴若∠C=35°，则∠α=∠AGB=110°
故选：C.
【分析】由菱形的性质可得∠F=∠C=35°，CD//EF，即得∠AGD=∠F=35°，又可得∠AGB=110°，再根据平行线的性质即可求解.
2．如图，在菱形中，点为对角线上一点，且，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：在菱形中，，
，
在菱形中，为对角线，，则，
在中，，，则，
故选：B．
【分析】
由于菱形是平行四边形，则由邻角互补可得的值，又菱形的一条对角线平分一组对角，则可得的值，再由等边对等角结合三角形的内角和定理即可．
3．如图，在菱形中，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点运动；动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动．若运动秒后，四边形是平行四边形，则的值为（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，，
∴，
∴当时，四边形是平行四边形，
由题意得，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：D．
【分析】先求出当时，四边形是平行四边形，可得，再结合，可得，最后求出即可.
4．如图，在菱形 ABCD 中，按如下步骤作图：①分别以点 C和点D 为圆心，大于 长为半径作弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，与CD 交于点E，连结BE.若AD=4，直线 MN恰好经过点A，则BE 的长为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
由作图可知，直线MN为线段CD的垂直平分线，
在 中，由勾股定理得，AE=
∵AB∥CD，
在 中，由勾股定理得，BE=
故选： D.
【分析】由作图可知，直线MN为线段CD的垂直平分线，则 结合菱形的性质，利用勾股定理计算即可.
5．如图，在边长为4的菱形中，，点、分别为、边上的动点，连接、、．若，则以下结论正确的是（　　）
①；②是等边三角形；③四边形的面积是；④△DEF面积有最大值为．
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：①连接BD，
∵四边形ABCD为菱形， ∠DAB=60°，
∴AD=AB=CD=4，
∴△ABD、△CBD均为等边三角形，
AD=BD=4，
又∵∠EBF=60°，
即：∠ABE+∠EBD=∠EBD+∠DBF=60°，
∴∠ABE=∠DBF，
在△ABE和△BDF中，
∴△ABE≌△DBF(ASA)，
∴BE=BF，故①正确；
②·∵BE=BF，∠EBF=60°，
∴△EBF为等边三角形，故②正确；
③如图，过B作BG⊥AD于G，
∴AG=DG=2，
∵△ABE≌△DBF，
故③正确；
④∵△BEF为等边三角形，
当BE⊥AD时， BE最短， △BEF的面积最小，
此时
同理可得：此时
当△BEF的面积最小，△DEF的面积最大，最大值为 故④错误；
∴正确的结论为：①②③.
故选： B.
【分析】①连接BD，根据菱形ABCD的性质及∠DAB=60°，可以得到△ABD为等边三角形，结合∠EBF=60°，可得∠ABE=∠DBF，可利用ASA判定△ABE≌△DBF，从而得到BE = BF； ②根据 即可得到 为等边三角形；③根据 及 可以得到 ，再求等边三角形面积即可；④当 时，BE最短，等边 的面积最小，由 ，可以得到 的面积最大值
6．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC 是一条对角线，E 是AC 上一点，过点 E 作EF⊥AB，垂足为 F，连结DE.若AE=BF，则DE：BC的值为 （　　)
A．2：3 B． C．2.5：3 D． ：3
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：因为四边形ABCD是菱形，
所以AB=BC=AD，又∠ABC=60°，
因此比△ABC是等边三角形，
故∠BAC=60°，AC=AB=BC。
因为EF⊥AB，
所以△AEF是直角三角形，∠AFE=90°，∠EAF=60°，
则∠AEF=30°，设AE=x，由30°角所对直角边是斜边的一半，得，再由勾股定理得.
已知AE=BF，
所以BF=AE=x，
因此，即。
因为菱形ABCD中，且ADIIBC，∠DAB=180°-∠ABC=120°，∠BAC=60°，
所以∠DAE=∠DAB-∠BAC=60°。
在△ADE中，，AE=x，∠DAE=60°，
过D作DG⊥AC于G，∠DAG=60°，则AG=，
，，
在Rt△DEG中，由勾股定理得。
因此，对应选项B.
故答案为：B.
【分析】 本题利用菱形性质与 60° 角构造等边三角形，结合直角三角形边角关系设参数表示线段长，再用勾股定理计算 DE 长度，最终求出 DE 与 BC 的比值。
7．如图，菱形ABCD的边长为1，BD=1，E，F分别是边AD，CD 上的两个动点，且满足AE+CF=1，设△BEF的面积为s，则s的取值范围是(　　).
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵四边形 ABCD是菱形，
∴AD=BC=CD=AB=1.
∵BD=1， ∴AB=AD=BD.
∴△ABD是等边三角形.
∴∠A=∠ADB=∠C=∠DBC=60°.
∵AE+CF=1，AE+DE=1， ∴DE=CF.
在△BED 和△BFC中，
∴△BED≌△BFC.
∴BE=BF，∠EBD=∠FBC.
∴∠EBF=∠EBD+∠DBF=∠FBC+∠DBF=∠DBC=60°.
∴△BEF 是等边三角形.
根据等边三角形的面积公式得
当点 E与点A 或点D 重合时，BE 最大，此时BE=1，此时s最大，且最大值为
当BE⊥AD时，BE最小，则
由勾股定理得
此时s最小，且最小值为
所以s的取值范围为
故答案为：D.
【分析】利用菱形的性质和正三角形的特点可证得继而可得 为正三角形，然后根据点 E与点A 或点D 重合时，BE 最大；BE⊥AD时，BE最小，根据勾股定理解答即可.
8．如图，在菱形ABCD中，，，BD与AC相交于点O，点P是线段AB上的任意点，以PB为对角线作平行四边形POBQ，连结DQ，则DQ的最小值是（　　）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：根据题意可知，Q在线段Q1Q2（不包括Q2）上，如图，
∵ 四边形ABCD为菱形，∴ AB=AD，OB=OD，∵ ∠BAD=60°，∴ △ABD为等边三角形，∴ OB=BD=，
∵ 四边形OBQ为平行四边形，
∴ OB=PQ=BQ2，
∴ DQ2=，
当DQ'⊥Q1Q2时，此时DQ'最小，
∵∠Q'DQ2=30°，
∴ Q'Q2=，
∴ DQ'=
故答案为：C.
【分析】先根据题意确定Q的运动轨迹，再根据菱形的性质和等边三角形的判定与性质可推出DQ2=，根据垂线段最短可知DQ'最小，根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求得DQ'的值即可.
二、填空题
9．如图，菱形的边长为，面积为，点在上移动，，为中点，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】作E点关于AD的对称点H，延长CD交AH的延长线于点M，
作AP⊥CD，DQ⊥AB，
由对称可知，EF=HF，∠DAB=∠DAM，
又∵G为EC中点，
∴FG=，
∵菱形ABCD面积为20，边长为5，
∴DQ=AP=4，
在△ADQ中，由勾股定理得，AQ=PA=3，
∵CD∥AB，且∠DAB=∠DAM，
∴∠MAD=∠MDA，
∴MA=MD，
设MP=x，则MA=MD=x+3，
由勾股定理得，，
∴，
∴x=，
∴MA=MD=x+3=，
当CH⊥AM时，此时CH取最小，即FG取最小，
由三角形面积，得，
解得CH=，
∴FG==，
故答案为：.
【分析】作E点关于AD的对称点H，延长CD交AH的延长线于点M，作AP⊥CD，DQ⊥AB，根据题意得FG为CH长的一半，由CD∥AB和∠DAB=∠DAM，可得△MAD为等腰三角形，设MP=x，利用勾股定理求出MA的长，在△AMC中，由等积法可求得CH的最小值，进而得解.
10．油纸伞在我国已有一千多年的历史，是中国古代劳动人民智慧的结晶．图①是一把油纸伞展开后的剖面图，点、分别为伞骨、的中点，伞圈为伞柄上可移动的点，四边形为菱形．当油纸伞打开到图①的程度时，，当油纸伞缩拢到图②的程度时，，若，则伞圈下滑的距离的长度为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图①，∵四边形为菱形，，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
如图②，设交于点，
，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题先根据菱形的性质和已知角度判断图①中三角形形状求出，再通过等边三角形性质和勾股定理求出图②中，最后由计算即可得解。
11．如图，在菱形中，点，分别在，上，，连接，，．若菱形面积为，，四边形的面积是面积的3.5倍，则线段的长为　 　 ．
【答案】
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：过点作于点，于点，过点作，交的延长线于点，连接，如图所示：
四边形是菱形，，
，，
菱形面积为，
，
，
，
同理：，
，
和等底等高，
，
四边形的面积是面积的3.5倍，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
根据平行线间的距离处处相等得：，
在中，由勾股定理得：，
，
在中，由勾股定理得：．
故答案为：．
【分析】过点作于点，于点，过点作，交延长线于点，连接；根据菱形性质得出BC=AB=CD=14，AD∥BC，根据菱形面积公式结合建立方程求出AM的长，同理得到AN的长；根据等底等高三角形面积相等得，进而得，再根据三角形面积公式得，由此得，；由平行线间的距离处处相等得出DH=AM，在中，由勾股定理求出CH，再根据线段和差得EH，然后在中，由勾股定理即可求出的长．
12．在菱形中，为菱形内部一点，且，连接，点F为中点，连接，点G是中点，连接，则的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解∶如图所示∶连接交于点，连接，取的中点，连接和，
∵在菱形中，为中点，为中点，，
∴，
当、、、共线时，也为，
∵为中点、为中点，
∴
∵在菱形中，且，，
∴，，，
∴，
∴．
∴，
∴，
∵．
∴，
∴的最大值为．
故答案为∶．
【分析】连接交于点，连接，取的中点，连接和， 利用菱形的性质及已知条件可求出OF的长，当、、、共线时，也为，同时可求出GH的长，利用菱形的性质可求出∠ABO的度数及OB的长，利用勾股定理求出OC的长，可得到OH的长；再利用勾股定理求出BH的长；然后利用三角形的三边关系可知，据此可求出BG的最大值.
13．如图，在菱形ABCD中，点P是对角线BD上一动点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，记菱形高线的长为h，则下列结论：
①当P为BD中点时，则PE＝PF；②PE+PF＝h；
③∠EPF+∠A＝180°；④若AB＝2，∠EPF＝60°，连结PC，则PE+PC有最小值为2；
⑤若h＝2，∠EPF＝60°，连结EF，则S△PEF的最大值为．
其中正确的结论有　 　(填序号）．
【答案】①②③
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；菱形的性质
【解析】【解答】解：①如图：
∵菱形ABCD
∴PB=PD，
∴CA平分∠BCD，
∵PE⊥BC， PF⊥CD，
∴PE=PF.
∴①正确，
②如图：延长EP交AD于F'，
∵菱形ABCD，
∴AD//BC，
∵PE⊥BC，
∴PF'⊥AD.
∵菱形ABCD，
∴DB平分∠ADC，
∵PF⊥CD，PF'⊥AD，
∴PF=PF’
∴PE+PF=PE+PF'=EF'=h.
∴②正确，
③∵菱形ABCD，
∴∠BAD=∠BCD，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴∠PEC+∠PFC=90°+90°=180°，
∴∠EPF+∠BCD=360°-(∠PEC+∠PFC)=180°，
∴∠EPF+∠BAD=180°
∴③正确，
④过C作CE'⊥AB，交BD于P，
∵PE=PE'，
∴CE'=CP+PE'=CP+PE.
∵CE'最小，
∴PE+PC最小.
∵AB=2，
∴，
∴，
∴PE+PC最小值.
∴④错误.
④过F作FG⊥PE，
设PE=x，
由②知PF=h-PE=2-x，
∵PF⊥CD，又∠PDF=30°，
∴∠DPF=60°，
∴∠GPF=180°-∠BPE-∠DPF=60°，
∴，
∴，
∴
∴⑤错误，
故答案为：①②③.
【分析】①运用菱形的对角线平分对角解答即可；②运用菱形的对称性解答即可；③运用姜形的对角相等解答即可；④利用垂线段最短解答即可；⑤设PE=x，再换算出，，再配方解答即可.
三、解答题
14．如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AO=OC，OB=OD且∠1=∠2．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）E为AO上一点，连接BE，若AE=4，AB=6，EB=2，求AO的长．
【答案】（1）证明：因为AO=OC，OB=OD，
所以四边形ABCD是平行四边形，
所以AD∥BC，
所以∠2=∠ACB，
因为∠1=∠2，
所以∠1=∠ACB
所以AB=CB，
所以平行四边形ABCD是菱形
（2）解：因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD，
在Rt△ABO和Rt△EBO中，根据勾股定理得：OB2=AB2-AO2=BE2-OE2，
设OE=x，
因为AE=4，AB=6，EB=2，AO=4+x，
所以62-（4+x）2=（2）2-x2，
解得：x=1，
所以AO=AE+OE=4+1=5．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定，对角线互相平分，即AO=OC，OB=OD，即可得到四边形ABCD是平行四边形，即可得到AD∥BC，再利用平行线的性质，两直线平行，内错角相等，即可得到∠2=∠ACB，再根据∠1=∠2，等量代换即可得到∠1=∠ACB，利用等角对等边即可得到AB=CB，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可得到平行四边形ABCD是菱形。
（2）根据菱形的性质，对角线互相平分且垂直，即可得到AC⊥BD，根据支架三角形勾股定理得OB2=AB2-AO2=BE2-OE2，再利用方程的思想，设OE=x，根据AE=4，AB=6，EB=2，AO=4+x，利用勾股定理得到62-（4+x）2=（2）2-x2，所以x=1，所以AO=AE+OE=4+1=5，即可得到答案。
15．阅读材料：
中国-西班牙联合发行《中欧班列（义乌-马德里）》特种邮票1套2枚，两枚邮票的大小、形状相同（如图1）．邮票在设计时采用了多种数学元素：根据画面内容邮票以平行四边形的形式呈现，代表着列车前进的速度，凸显中欧班列的动态美；中国与西班牙两个列车图形保持对称，并向外延展，凸显中欧班列的和谐美；
在单枚邮票票面上的平行四边形中，邻边与的长度比非常接近黄金分割数．单枚邮票的规格（平行四边形：长边50毫米，短边32毫米，高28毫米）见图2所示．设图1的中边上的高为．
根据以上信息解决问题：
（1）【相关计算】①单枚邮票的面积为：________，周长为：________．
②计算的长为：________（结果用最简二次根式表示）；
（2）【特例证明】图1中，求证：四边形是平行四边形．
（3）【数形结合】现在将图1中的设计成标准的黄金平行四边形，也就是满足相邻两边的比为黄金分割数的平行四边形．如图3所示，即在中，两邻边、满足，现又在上取点，且满足，过点作交边于点．求证：四边形是菱形．
【答案】（1）①1400；164；②
（2）证明：∵四边形和四边形都是平行四边形，
∴，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（3）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形．
【知识点】二次根式的性质与化简；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：（1）由阅读材料可知：毫米，毫米，毫米，
①单枚邮票的面积为：，
周长为：．
故答案为：1400；164；
②解：在中，毫米，毫米，
由勾股定理得：，
则，
故答案为：；
【分析】（1）根据矩形的面积计算公式即可求解；
（2）首先根据四边形和四边形都是平行四边形，可得出，，，，进而即可得出四边形是平行四边形；
（3）首先根据四边形ABCD为平行四边形，可得出，，进而得出四边形是平行四边形，进而通过计算可得出，即可得出平行四边形是菱形．
（1）解：由阅读材料可知：毫米，毫米，毫米，
①单枚邮票的面积为：，
周长为：．
故答案为：1400；164；
②解：在中，毫米，毫米，
由勾股定理得：，
则，
故答案为：；
（2）证明：∵四边形和四边形都是平行四边形，
∴，，，，∴，，∴四边形是平行四边形；
（3）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形．
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