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《初高衔接》单元测试卷
时间：90分钟 满分：100分
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若分式的值为，现将分式中的和都扩大3倍，那么分式的值变为（ ）
A． B． C． D．
2．已知关于的一元二次方程满足，那么下列四个判断中正确的是（ ）
A．该方程一定有两个相等的实数根； B．该方程一定有两个不相等的实数根：
C．该方程一定有一个实数根为； D．该方程一定有一个实数根为．
3．关于的一元二次方程的解的情况，下列说法错误的是（ ）
A．方程必定有两个不相等的实数根
B．若方程有解，则两个解必定异号
C．若，则两根之和为
D．若方程有解，则两个解的和为负数
4．对于一个关于的整式，我们可以通过因式分解，分解为不能再分解的非常数因式的乘积，将其写成个整式的乘积，取的值为，这个整式的和记作整式的解码值．如当时，因式分解的结果为，则的值为，，，由此可以得到整式的解码值为．当时，整式的解码值是（ ）
A． B． C． D．
5．已知两个不为零的实数，满足，其中．则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．若，则（ ）
A． B．8 C． D．6
7．以下是解一元二次方程的一种方法：二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把排列为： ，然后按斜线交叉相乘，再相加，得到，若此时满足，那么就可以因式分解为，这种方法叫做“十字相乘法”．那么按照“十字相乘法”可因式分解为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，且，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．或
9．若满足，则分解因式等于（ ）
A． B．
C． D．
10．如果，那么的值为（　　）
A． B． C． D．3
二、选择题：本题共4小题，每小题6分，共24分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
11．二次函数的图象如图所示，其中正确的结论是（ ）
A． B． C． D．
12．已知有三个实数根，其中有一个根为1，另外两个实数根分别为和，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
13．已知，若，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．的最小值为-1 D．的最大值为1
14．已知关于x的一元二次不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．且
B．
C．不等式的解集为或
D．不等式恒成立，则的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
15．已知方程的两根分别为，，则的值为______．
16．两个非零实数，（）满足，，则的值为______．
17．设实数，，满足则的最小值是________.
18．定义一种新运算：m※n＝，下列说法：
①若※，则；
②若※，则※的解集为；
③代数式|2※|＋|3※||9※|取得最小值时，；
④函数|※x|的图象与直线※（k为常数）有且仅有两个交点，则．
其中错误的是________.
四、解答题：本题共2小题，共26分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．在计算多项式乘法时，，发现中间多项都可以消掉，进而得到，大家给这个式子起名叫作“立方和公式”，那么就可以利用“立方和公式”进行分解因式，．如果将转化为，就会得到，整理得，那么这个式子就应该叫作“立方差公式”了．
(1)请你利用“立方和公式”和“立方差公式”完成下列等式：
①分解因式：_____；②填空：（_____）；
(2)计算：_____；
(3)若，，求的值．
20．分组分解也是因式分解的一种方法，顾名思义就是将原多项式进行合理分组后分别进行因式分解的方法．如
分解因式：
请你利用分组分解法分解因式：
(1)；
(2)；
(3)若 ， ， 是△ 的三边，当时，判断△ 的形状．《初高衔接》单元测试卷（解析版）
1．A
【解析】已知，
将x，y都扩大3倍后，得到新分式：
．
2．C
【解析】由，显然是方程的一个根，
无法确定是否为方程的根，因此C正确，D错误；
由，得，则，
说明方程可能有两个相等实数根，也可能有两个不相等实数根，因此A、B错误．
3．D
【解析】由，可知，，，
对于A：因 ，
∴方程必有两个不相等的实数根，故A正确；
对于B：因两根之积为，且，∴方程有两异号根，故B正确；
对于C：因为，当时，两根之和为， 故C正确；
对于D： 因为，当时，两根之和为，故D错误．
4．C
【解析】因为.
所以分解得到个整式，根据定义取.
分别计算各整式的值：，，.
所以解码值为．
5．A
【解析】∵ ，且，∴两边同乘，得 ，
展开整理得 ，
因式分解得 ，即
∵ ，∴ ，可得，
∴，∴ ；
将代入 得 ，
∵ ，∴ ，即 ．
6．B
【解析】，
常数项相等：，.
项系数相等：， 代入，
.
7．D
【解析】∵
∴，故D正确.
8．D
【解析】由题意得，，，
∴或，
∵，∴或.
9．C
【解析】 ，得，可得，
将代入 得，可得，
将代入得：．
10．A
【解析】在等式的两边同时乘以，
得.
因为，所以，
两边同时平方得，展开得
，
因为，
所以，
即.
11．BCD
【解析】二次函数开口向上，所以，
当时，为负数，所以，对称轴，所以，
所以，A选项错误.
二次函数图象过点，所以，所以B选项正确.
当时，，
而，所以，所以D选项正确.
因为对称轴，则，所以，C选项正确.
12．BCD
【解析】因为，
所以，
所以和是方程的两根，所以，故A错误B正确；
因为，且，所以，
所以，故C正确；
因为，所以，
所以，故D正确.
13．ABD
【解析】由，得，
，
设，则．
，
，解得，即，故AB正确；
，即，
，即，
由知，，
，解得，同理可得，故C错误，D正确．
14．AB
【解析】因为关于x的一元二次不等式的解集为或，
所以，所以，所以，故A正确；
因为，所以，故B正确；
因为，所以不等式可化为，
所以或，故C错误；
因为不等式的解集为或，所以不等式恒成立，可转化为：不等式的解集为或.
所以，所以（），无最小值.故D错误.
15．
【解析】∵是方程的根，∴，∴．
∵，是方程的两根，
∴ ，∴，∴．
∴．
16．
【解析】 ，满足，，
，是一元二次方程的两个根，
由根与系数的关系得：，，
．
17．2
【解析】将整理得
则,是关于的方程的两个根，
由，解得或，
所以，
当时，取得最小值，且最小值为.
18．②③④
【解析】对于①，由新定义※，即，解得，故①正确；
对于②，当时，则，
所以※，解得，所以不等式的解集为，故②错误；
对于③，|2※|＋|3※|++|9※|，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以代数式|2※|＋|3※|++|9※|取得最小值时，，故③错误；
对于④，|※|，※，
当时，，令，则，
所以与在第二象限必有一个交点，则在第一象限只有一个交点，
联立得，则，
，解得，且此时交点为，

当时，，则与有且只有两个交点，

当时，，
对称轴为，开口向上，如图，必有两个交点，

综上，函数|※|的图象与※有且仅有两个交点，则或，故④错误.
19．（1）①；②；
（2）
；
（3）由条件可知，∴，
∵，∴当时，；
当时，；故的值为.
20．（1）；
（2）
；
（3），，
，，
， ， 是 的三边，
， ，，
，，
是等腰三角形．

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