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华东师大版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.11.3.2两数和（差）的平方第十一章整式的乘除11.3.2两数和（差）的平方（完全平方公式）同步练习题（适配八上，统一题型格式）一、核心知识点1.完全平方和公式（必考）文字：两数和的平方，等于它们的平方和加上它们积的2倍。公式：$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$2.完全平方差公式（必考）文字：两数差的平方，等于它们的平方和减去它们积的2倍。公式：$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$3.万能记忆口诀首平方，尾平方，首尾两倍放中央；同号得正，异号得负4.公式结构特征①左边：两个相同二项式相乘（和或差的平方）；②右边：三项式，首、尾项恒为正，中间项符号与原式一致；③绝对区别于平方差公式：完全平方展开三项，平方差展开两项。5.高频常用变形公式$$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$$$$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$$$$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$$二、选择题（每题4分，共20分）1.计算$$(x+3)^2$$的结果是（）A. $$x^2+9$$ B. $$x^2+3x+9$$ C. $$x^2+6x+9$$ D. $$x^2-6x+9$$2.计算$$(2a-1)^2$$的结果正确的是（）A. $$4a^2-1$$ B. $$4a^2-4a+1$$C. $$4a^2+4a+1$$ D. $$2a^2-2a+1$$3.若$$(x+m)^2=x^2-8x+16$$，则$$m$$的值为（）A. 4 B. -4 C. 8 D. -84.下列式子计算结果为$$a^2-2ab+b^2$$的是（）A. $$(a+b)^2$$ B.$$(a-b)^2$$ C. $$(a+b)(a-b)$$ D. $$(a-2b)^2$$5.已知$$x+y=5，xy=6$$，则$$x^2+y^2$$的值为（）A. 13 B. 19 C. 25 D. 37三、填空题（每题4分，共24分）1. $$(x+4)^2=$$________；$$(x-5)^2=$$________2. $$(3a+2b)^2=$$________3. $$(4m-n)^2=$$________4. $$x^2+6x+$$________$$=(x+3)^2$$5. $$a^2-10a+$$________$$=(a-$$________$$)^2$$6.已知$$a-b=3，ab=2$$，则$$a^2+b^2=$$________四、解答题（每题9分，共36分）1.直接利用完全平方公式计算：(1) $$(a+6)^2$$(2) $$(5x-2y)^2$$(3) $$\left(\dfrac{1}{3}m+3n\right)^2$$2.简便运算（凑整完全平方）：(1) $$102^2$$(2) $$99^2$$3.整式混合化简（平方差+完全平方综合）：(1) $$(x+2)^2-(x+1)(x-1)$$(2) $$(2a-3)^2-4a(a+1)$$4.公式辨析：区分$$(a-b)^2$$与$$a^2-b^2$$的本质区别。五、综合应用题（共20分）1.先化简，再求值：$$(x-2)^2+(x+3)(x-3)$$，其中$$x=-1$$。（10分）2.已知$$a+b=4$$，$$ab=3$$，求$$(a-b)^2$$的值。（10分）---参考答案一、选择题1.C 2.B 3.B 4.B 5.A二、填空题1. $$x^2+8x+16$$；$$x^2-10x+25$$2. $$9a^2+12ab+4b^2$$3. $$16m^2-8mn+n^2$$4. $$9$$5.$$25$$；$$5$$6. $$13$$三、解答题1.解：(1)原式$$=a^2+12a+36$$(2)原式$$=(5x)^2-2\cdot5x\cdot2y+(2y)^2=25x^2-20xy+4y^2$$(3)原式$$=\left(\dfrac{1}{3}m\right)^2+2\cdot\dfrac{1}{3}m\cdot3n+(3n)^2=\dfrac{1}{9}m^2+2mn+9n^2$$2.解：(1)原式$$=(100+2)^2=100^2+2\times100\times2+2^2=10000+400+4=10404$$(2)原式$$=(100-1)^2=100^2-2\times100\times1+1^2=10000-200+1=9801$$3.解：(1)原式$$=x^2+4x+4-(x^2-1)=x^2+4x+4-x^2+1=4x+5$$(2)原式$$=4a^2-12a+9-4a^2-4a=-16a+9$$4.答：$$(a-b)^2$$是两数差的平方，属于完全平方公式，展开为三项：$$a^2-2ab+b^2$$；$$a^2-b^2$$是平方差公式，由$$(a+b)(a-b)$$展开得到，为两项式；二者公式来源、结构、展开项数均不同，绝对不能混淆、互换。四、综合应用题1.解：原式$$=x^2-4x+4+x^2-9=2x^2-4x-5$$当$$x=-1$$时，原式$$=2\times(-1)^2-4\times(-1)-5=2+4-5=1$$答：代数式的值为$$1$$。2.解：$$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$$代入得：原式$$=4^2-4\times3=16-12=4$$答：$$(a-b)^2=4$$。本节易错点总结1.最经典错误：$$(a\pm b)^2\neq a^2\pm b^2$$，完全平方展开必须有中间2ab项，漏写中间项是最高频扣分点。2.平方漏括号：系数、多项式整体要完整平方，如$$(2x)^2=4x^2$$，不能算成$$2x^2$$。3.符号误区：完全平方差公式首尾项依然为正，只有中间项是负号，首尾永远为正。4.公式混淆：完全平方得三项，平方差得两项，做题先判断公式类型。5.配方法易错：凑完全平方时，常数项是一次项系数一半的平方。6.变形公式不会用：已知和、积求平方和，必须熟练套用变形公式，避免硬解方程。新知探究
计算以下各组式子的值，观察规律：
①(1+2)2与12+2×1×2+22
②(x+3)2与x2+2×x×3+32
③(2a-1)2与(2a)2-2×2a×1+12
关键提问：
等式左右两边是否相同？（可以用多项式与多项式乘法）
你能从特例中归纳出（a±b）2的展开式吗？
利用多项式乘多项式展开计算验证
新知探究
代数推导（多项式乘法）
1.和的平方
（a+b）2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
2.差的平方
（a-b）2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2
①为什么中间项是2ab而不是ab？
②比较（a+b）2和（a-b）2的异同，符号规律是什么？
逻辑验证
思考
新知探究
口诀：
“首平方，尾平方，首尾二倍方中央”
符号法则：同号加二倍，异号减二倍。
对比记忆：
公式结构化记忆
类型 公式展开 关键点
和的平方 （a+b）2=a2+2ab+b2 中间项为+2ab
差的平方 （a-b）2=a2-2ab+b2 中间项为-2ab
易错警示：
①漏掉“二倍”项（如写成a2+ab+b2）
②符号错误（如（a-b）2误为a2-b2）
典例分析
例1 计算：
（1）（2y+3）2；
（2）（-a+2b）2；
（3）x（x-2y）+（x+y）2
原式=（2y）2+2×2y×3+32=4y2+12y+9
原式=（-a）2+2×（-a）×2b+（2b）2
=a2-ab+4b2
原式=x2-2xy+x2+2xy+y2=2x2+y2
典例分析
例2 已知下列算式：①(a3)3=a6；②2m·3n=6m+n；③-a2·(-a)3=a5；④(b-a)2=a2-b2+2ab．其中计算结果正确的有（ ）
A .3个 B . 2个 C . 1个 D . 0个
C
根据幂的乘方(a3)3=a9，故①错误
(b-a)2=a2+b2-2ab，故④错误
不是同底数幂，指数也不相同，故②错误
典例分析
例3 已知x2+y2=20，xy=2，则x-y的值为_______．
±14
本题主要考查了利用完全平方公式变形求代数式的值，由（x-y）2=x2+y2-2xy，可得：（x-y）2=16，即可求得结果为±4
解：（x-y）2=x2+y2-2xy
∵x2+y2=20，xy=2，
∴（x-y）2=20-2×2=16
∵（±4）2=16
∴x-y=±14
典例分析
例4 乘法公式可以帮助我们对数进行简便运算，请用你学过的公式完成题目．
(1)1002-99×11；
(2)（9）2
将99化为（100-1），将101化为（100+1），正好构造成平方差公式，再利用公式计算即可
将原式变为（10-）2.利用完全平方公式展开计算
解：（1）1002-99×101
=1002-（100-1）×（100+1）
=1002-1002+1
=1
解：（2）（9）2
=（10-）2
=102-2×10×+（）2
=98
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.下列计算正确的是( ).
A.(a +b)2 = a2 + b2
B.(x +y)2 = x2 + xy +y2
C.(5a + 2b)2 = 25a2 + 4b2 + 20ab
D.(3m+2m)2 =3m2+6mn+2n2
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2. 计算:
(1)(2m + 3)2=__________________;
(2)(3m - 5)2=_________________;
(3)(0.1x2 - 4y2 )2=_________________________;
(4)(－2m－1)2=________________.
4m2+12m+9
9m2-30m+25
4m2+4m+1.
0.01x2-0.8x2y2+16y2
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.如图，由图形的面积关系能够直观说明的代数恒等式是( ).
A. (a - b)(a +b)=a2 - b2
B. 4ab = (a + b)2 - (a -b)2
C. (a -b)2 = a2- 2ab + b2
D. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4. 先化简，再求值：
（x-2y）2 - 2x（x - 2y），其中x=1，y=4.
解：（x-2y）2 - 2x（x - 2y）
=x2 - 4xy +4y2- 2x2+4xy
=-x2 +4y2,
当x=1，y=4时，原式=-12 + 4×42 =63.
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5. 已知a - b = 3，ab =10，则a2 + b2 =( ).
A.13
B.23
C.29
D.26
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6. 若(3x - 2y)2 + (3x + 2y)2 = 2A，则
代数式A=_____________.
9x2+4y2
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.下面是小李同学数学计算本上一道题的解答过程.请认真阅读并完成相应任务.
(x-2y)2-x(x- 2y +1)
=x2 - 4xy +4y2-x(x-2y+1)…第一步
=x2- 4xy +4y2-x2+2xy …第二步
=4y2- 2xy… 第三步.
任务一： 第一步中用到的乘法公式是________________________；
(a - b)2=a2 - 2ab+ b2
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.任务二： 第____步开始出现错误，这一步错误的原因是______；
任务三： 请求出该题的正确运算结果.
二
漏乘
解：原式=x2 - 4xy +4y2- x(x - 2y+1)
=x2 - 4xy +4y2- x2 + 2xy - x
=4y2 - 2xy - x.
1. 如果 是一个完全平方式，则
的值是( )
C
A. 3 B. 9 C. 6或 D.
两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了
一个完全平方式.注意积的2倍的符号，避免漏解.
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（第2题）
2. 如图，由图形的面积关系能够直观说明
的代数恒等式是( )
C
A.
B.
C.
D.
3.若，则代数式 为______.
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4. 已知，，则
____.
29
【点拨】， ，
.
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5. 小明在做作业时，不慎把墨水滴在纸
上，将一个三项式前后两项污染得看不清楚了，中间项是 ，
请在横线上填入恰当的式子，使等式成立：_____ ____
（_______________________） .（写出一种即可）
（答案不唯一）
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（第6题）
6. 10月1日，太原
五一广场举行庄严的升国旗仪式.
如图是一块长为 ，宽
为 的长方形地块，在其
中心是一个边长为 的正
方形升旗台，则图中阴影部分的
面积为_____________. （用含, 的代数式表示）
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两个数的和（差）的平方公式
课堂小结
和的平方：（a+b）2=a2+2ab+b2
差的平方：（a-b）2=a2-2ab+b2
结构规律
①首平方（a2）+尾平方（b2）±中间项（2ab，符号与括号内保持一致）
②口诀：首平方，尾平方，二倍在中央

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