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华东师大版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.12.1.2定义、定理与证明第十二章全等三角形12.1.2定义、定理与证明同步练习题（适配八上，统一题型格式）一、核心知识点1.定义对名称或术语的含义进行描述或作出规定，就是给出它们的定义。特点：定义是双向真命题，可逆用；可以作为推理依据。例：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。2.定理经过推理证实的真命题叫做定理。特点：一定是真命题；可以作为继续推理、证明的依据；定理都有逆命题，但逆命题不一定是逆定理，只有逆命题为真命题时，才是逆定理。3.公理（基本事实）人们在长期实践中总结出来的公认正确的真命题，无需证明。公理是所有推理的原始依据，是证明定理的基础。常用公理：两点确定一条直线、两点之间线段最短、垂线段最短等。4.证明的概念与规范根据已知的真命题（定义、公理、定理），一步步推出某个命题成立的过程叫做证明。证明规范：每一步推理必有依据，依据写在每一步后面括号内。5.命题、定理、公理关系总结①所有公理、定理都是真命题；②真命题不一定是定理、公理（未经证明的真命题不是定理）；③假命题一定不是定理、公理。二、选择题（每题4分，共20分）1.下列说法属于定义的是（）A.两点之间线段最短B.对顶角相等C.从一点引出两条射线所组成的图形叫做角D.两直线平行，同位角相等2.下列关于定理的说法正确的是（）A.定理可以是假命题B.定理不需要推理证明C.定理一定是真命题D.所有真命题都是定理3.下列属于公理（基本事实）的是（）A.同角的余角相等B.两点确定一条直线C.对顶角相等D.两直线平行，内错角相等4.判断下列说法错误的是（）A.定义是真命题B.公理无需证明C.证明过程每一步都要有依据D.逆命题一定是逆定理5.可以作为推理证明依据的是（）①定义②公理③定理④假命题A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④三、填空题（每题4分，共24分）1.对名称和术语的含义作出描述和规定，叫做________。2.经过推理证实的真命题叫做________，公认正确无需证明的真命题叫做________。3.证明的每一步推理都必须有________，依据可以是定义、公理、定理。4. “垂线段最短”属于________（填“公理”或“定理”）。5.定理一定是真命题，但真命题________（填“一定”或“不一定”）是定理。6.命题的逆命题为真，才能称为原定理的________。四、解答题（每题9分，共36分）1.区分下列语句是定义、公理还是定理：(1)含有未知数的等式叫做方程(2)两点之间，线段最短(3)同角的补角相等2.判断正误，并说明理由：(1)公理一定是真命题(2)定理的逆命题一定是真命题(3)可以举反例证明一个命题是假命题3.写出推理依据（填定义、公理或定理）：(1)因为a、b两点之间，线段ab最短，依据：________(2)因为两个角是对顶角，所以两角相等，依据：________(3)有一个角是直角的三角形是直角三角形，依据：________4.简单证明：求证“同角的余角相等”。五、综合应用题（共20分）1.完整证明：对顶角相等。（写出已知、求证、证明过程及依据）（10分）2.辨析说明：为什么“真命题不一定是定理”？举例说明。（10分）---参考答案一、选择题1.C 2.C 3.B 4.D 5.A二、填空题1.定义2.定理；公理3.依据4.公理5.不一定6.逆定理三、解答题1.解：(1)定义(2)公理(3)定理2.解：(1)正确。公理是长期实践总结、公认正确的真命题。(2)错误。定理的逆命题不一定为真，只有逆命题为真时才是逆定理。(3)正确。判断假命题只需举出一组反例即可推翻原命题。3.解：(1)公理（两点之间线段最短）(2)定理（对顶角相等）(3)定义（直角三角形定义）4.证明：已知：$$\angle1+\angle2=90^\circ$$，$$\angle1+\angle3=90^\circ$$求证：$$\angle2=\angle3$$证明：$$\because \angle1+\angle2=90^\circ$$（余角定义）$$\therefore \angle2=90^\circ-\angle1$$（等式性质）$$\because \angle1+\angle3=90^\circ$$（余角定义）$$\therefore \angle3=90^\circ-\angle1$$（等式性质）$$\therefore \angle2=\angle3$$（等量代换）四、综合应用题1.解：已知：直线AB、CD相交于点O，$$\angle AOC$$与$$\angle BOD$$是对顶角。求证：$$\angle AOC=\angle BOD$$证明：$$\because$$直线AB、CD相交于O（已知）$$\therefore \angle AOC+\angle AOD=180^\circ$$（平角定义）$$\angle BOD+\angle AOD=180^\circ$$（平角定义）$$\therefore \angle AOC=180^\circ-\angle AOD$$（等式性质）$$\angle BOD=180^\circ-\angle AOD$$（等式性质）$$\therefore \angle AOC=\angle BOD$$（等量代换）2.解：定理的前提是经过推理证实的真命题，并非所有真命题都经过严格推理证明。举例：“直角都相等”是真命题，但课本未将其列为定理，只能作为普通真命题使用，不能作为标准定理进行推理依据；因此真命题范围更大，定理是特殊的真命题，故真命题不一定是定理。本节易错点总结1.概念混淆：公理不用证、定理必须证、定义是双向判定依据，三者不能混用。2.逆定理误区：定理有逆命题，但逆命题为假时无逆定理，逆命题≠逆定理。3.依据乱写：证明每一步必须精准对应定义、公理、定理，不能主观臆造依据。4.真假范围误区：公理、定理 真命题，真命题不一定是定理、公理。5.定义判定错误：定义是对概念的解释，句式为“……叫做……”，区别于定理结论。6.证明格式不规范：缺少已知、求证、推理步骤、依据，步骤跳步扣分严重。旧知复习
观察下面几个命题，哪些是真命题，哪些是假命题
(1)两点之间线段最短；
(2)两点确定一条直线；
(3)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
(4)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；
(5)三角形的任意两边之和大于第三边；
一般地，能明确说明某一名称或术语的意
义的句子，叫作该名称或术语的定义
新知探究
基础定义
在数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据， 这样的真命题叫做定理。
定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据。
注意：定理是命题，命题不一定是定理，而且定理是真命题。
典例分析
例1 . 下列语句中，属于定理的是（ ）
A．在直线AB上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
C．内错角相等 D．同角的补角相等
D
解析：A、在直线AB上取一点E，不是命题，故不是定理
B、如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，命题是假命题，故不是定理
C、“内错角相等”缺少“两直线平行”，是假命题，故不是定理
D、同角的补角相等，是定理。
合作学习
通过观察，先猜想结论，再验证：
1. 如图所示，一组直线 a、b、c、d 是否互
相平行？
2.当n=0、1、2、3、4、5时，代数式n2-3n+7的值分别是 7，5，5，7，11，17，它们都是质数，那么，命题“对于自然数 n，代数式 n2-3n+7的值都是质数”是真命题吗？
同学们可以讨论一下
新知探究
通过实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确。因此，要判断一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理等，一步一步推得结论成立。这样的推理过程叫作证明
基础定义
思考
“证明三角形的内角和为180”．要求：已知和求证，并尝试证明．
新知探究
例2 . 证明三角形的内角和为180°．要求：根据题意画出图形，结合画出的图形写出已知和求证，并尝试证明．
已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°
证明：过点A作EF∥BC，如图，
∵EF∥BC
∴∠B=∠1，∠C=∠2
∵∠1+∠BAC+∠2=180°
∴∠A+∠B+∠C=180°
1
2
E
F
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.下列属于定义的是( ).
A. 两点确定一条直线
B. 两直线平行，同位角相等
C. 等角的补角相等
D. 线段是直线上的两点和它们之间的部分
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2.下列命题：①对顶角相等；②两点确定一条直线；③两直线平行，内错角相等；④锐角都相等；⑤同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.其中，是基本事实的是______，是定理的是______.（填序号）
②⑤
①③
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.有下列描述：①过点A作直线AF∥ BC；
②两直线平行，同旁内角互补;
③垂直于同一直线的两条直线互相垂直.
其中是定理的有（ ）.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4. 如图，下列推理错误的是( ).
A. ∵ ∠1 = ∠3，∴ a ∥ b
B. ∵ a ∥ b，∴ ∠2 +∠3=180°
C. ∵ ∠2 = ∠4，∴ a ∥ b
D.∵ a ∥ b，∴∠2 +∠4=180°
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.如图，若AO⊥CO，BO⊥DO，则∠AOB = ∠COD，推理的依据是( ).
A. 同角的补角相等
B. 同角的余角相等
C. 对顶角相等
D. 垂直的定义
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6.下列说法中，错误的是____.(填序号)
①所有的定义都是命题；
②所有的基本事实都是命题；
③所有的定理都是命题；
④所有的命题都是定理.
④
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.如图，有如下四个论断：
①AC∥DE，②DC∥EF，③CD平分∠BCA，④EF平分∠BED.
（1）将其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，构成一个命题，正确的命题有哪些？
解：如果①②③，那么④；如果①②④，那么③；如果①③④，那么②；如果②③④，那么①.
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.如图，有如下四个论断：
①AC∥DE，②DC∥EF，③CD平分∠BCA，④EF平分∠BED.
（2）请你从上述命题中选择一个写出已知、求证并进行证明.
解：已知：AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA，
求证：EF平分∠BED.
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
证明：如图，∵AC∥ DE，
∴ ∠BCA =∠BED,
即∠1 +∠2 =∠4+∠5，
∵DC∥ EF，∴∠2 = ∠5，∴∠1=∠4.
∵CD平分∠BCA，
∴∠1 = ∠2，∴ ∠4 =∠5，
∴EF平分∠BED.
1. 下列属于定义的是( )
D
A. 两点确定一条直线
B. 两直线平行，同位角相等
C. 等角的补角相等
D. 线段是直线上的两点和它们之间的部分
2. 有下列描述：①过点作直线 ；②两直线平行，同
旁内角互补；③垂直于同一直线的两条直线互相垂直.其中是
定理的有( )
B
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
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3.试说明“若 ， ，
，则 ”是真命题.以下是排乱的推理过程：
①因为（已知）；②因为 ,
（已知）；③所以 ，
（等式的性质）；④所以
（等量代换）；⑤所以 （等量代换）.正确的
顺序是____________.
②③①⑤④
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4. 下面是投影屏上出示的抢答题，
需要回答横线上符号代表的内容，则回答正确的是( )
已知：如图， .
求证： .
___________________________
证明：延长交于点 ，
则 .
又 ，
，
（ 相等，两直线平行）.
A. 代表 B. 代表同位角
C. 代表 D. 代表
续表
√
. .
. .
. .
. .
返回
课堂小结
基本概念
定义：对数学概念本质属性的确切描述（如"平行线：同一平面内永不相交的两条直线"）。
公理：公认的真命题，无需证明（如"两点确定一条直线"）。
定理：经过逻辑推理证明为真的命题。

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