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华东师大版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.12.3.1等腰三角形的性质第十二章全等三角形12.3.1等腰三角形的性质同步练习题（适配八上，统一题型格式）一、核心知识点1.等腰三角形基本概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。特别：三条边都相等的等边三角形，是特殊的等腰三角形。2.性质1：等边对等角（必考核心）文字：等腰三角形的两个底角相等。几何语言：在△ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C。作用：已知两边相等，可直接推导对应底角相等，无需全等证明。3.性质2：三线合一（超级重难点）文字：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。几何语言（以AB=AC为例）：①若AD平分∠BAC→AD⊥BC，BD=CD；②若BD=CD（中线）→AD⊥BC，AD平分∠BAC；③若AD⊥BC（高）→AD平分∠BAC，BD=CD。关键：三线仅限底边、顶角相关，腰上的三线不重合。4.等腰三角形对称性等腰三角形是轴对称图形，对称轴为：顶角平分线（底边上中线、底边上高）所在的直线。5.角度计算核心结论①内角和180°：顶角+2×底角=180°；②底角一定是锐角，等腰三角形最多一个钝角（只能是顶角）；③已知一个角，需分类讨论：该角是顶角或底角。二、选择题（每题4分，共20分）1.等腰三角形的两个底角相等的依据是（）A.等边对等角B.三线合一C.轴对称性质D.垂直定义2.已知等腰三角形的一个顶角为80°，则它的底角为（）A. 20°B. 50°C. 80°D. 100°3.等腰三角形不具备的性质是（）A.两底角相等B.轴对称图形C.底边上的高与中线重合D.所有角相等4.等腰三角形的一个角为100°，则另外两个角为（）A. 40°、40°B. 80°、80°C. 100°、20°D. 50°、50°5.在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，则下列结论错误的是（）A. ∠BAD=∠CAD B. BD=CD C. ∠B=∠C D. AD=BC三、填空题（每题4分，共24分）1.有两条边相等的三角形叫做________三角形，它的两个________相等。2.等腰三角形顶角平分线、________、________相互重合，简称三线合一。3.等腰三角形是________图形，对称轴是底边上的高所在直线。4.等腰三角形顶角为50°，则底角为________°。5.等腰三角形一个底角为70°，则顶角为________°。6.等腰三角形计算角度时，钝角只能是________角，不可能是________角。四、解答题（每题9分，共36分）1.基础角度计算：(1)等腰三角形顶角为70°，求底角度数；(2)等腰三角形底角为55°，求顶角度数。2.分类讨论计算：已知等腰三角形有一个内角为60°，求其余两个内角的度数。3.三线合一基础证明：已知：AB=AC，AD是△ABC的中线，求证：AD⊥BC。4.性质辨析简答：为什么等腰三角形的底角不能是钝角或直角？五、综合应用题（共20分）1.综合计算：如图，AB=AC，BD=BC，∠A=40°，求∠DBC的度数。（10分）2.综合证明：已知AB=AC，AD⊥BC，E为AC上一点，求证：∠BAD=∠CAE的余角（利用三线合一性质）。（10分）---参考答案一、选择题1.A 2.B 3.D 4.A 5.D二、填空题1.等腰；底角2.底边上的中线；底边上的高3.轴对称4. 655. 406.顶；底三、解答题1.解：(1)底角=(180° 70°)÷2=55°答：底角为55°；(2)顶角=180° 2×55°=70°答：顶角为70°。2.解：①若该角为顶角：底角=(180° 60°)÷2=60°，三内角均为60°；②若该角为底角：顶角=180° 2×60°=60°，三内角均为60°；综上，其余两个角均为60°，该三角形为等边三角形。3.证明：∵AB=AC，AD是△ABC的中线（已知）∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一性质）得证。4.答：等腰三角形两个底角相等，若底角为钝角或直角，两个底角之和≥180°，违背三角形内角和为180°的定理，因此底角只能是锐角。四、综合应用题1.解：∵AB=AC，∠A=40°∴∠ABC=∠C=(180° 40°)÷2=70°∵BD=BC∴∠BDC=∠C=70°∴∠DBC=180° 70° 70°=40°答：∠DBC=40°。2.证明：∵AB=AC，AD⊥BC∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一）∴∠BAD=∠CAD∵AD⊥BC∴∠ADC=90°∴∠CAD+∠C=90°，即∠CAD是∠C的余角又∵∠BAD=∠CAD∴∠BAD+∠C=90°，即∠BAD是∠C的余角，得证。本节易错点总结1.三线合一乱用：三线合一只针对底边和顶角，腰上的高、中线、角平分线不重合，是最高频易错点。2.角度不分类讨论：题干只说“一个内角”，默认需要分顶角、底角两种情况，直接默认底角会丢分。3.角度常识错误：等腰三角形底角一定是锐角，不可能为直角、钝角，做题可直接排除错误选项。4.性质与判定混淆：等边对等角是性质（边→角），后续等角对等边是判定（角→边），切勿颠倒。5.书写不规范：使用三线合一必须先写明“等腰三角形+对应条件”，不能直接跳步得出垂直、平分结论。6.特殊情况遗漏：60°的等腰三角形一定是等边三角形，无需额外证明。新知探究
等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，如图所示AC=BC，△ABC是等腰三角形。
指出等腰三角形中，腰、底边、顶角和底角
等腰三角形中相等的两边都叫做腰； 另一边叫做底边两腰的夹角叫做顶角；腰和底边的夹角叫做底角
合作探究
请同学们拿出剪刀、纸分别剪出三个不同的等腰三角形（如图所示）
将左边三个等腰三角形对折，使得两腰重合，你发现了什么？
新知探究
等腰三角形的性质1
由此得到以下等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，简写成
“等边对等角”如图所示，若△ABC为等腰三角形，则∠A=∠B
同学们交流一下，写出证明过程。
典例分析
例1 . 如图，在△ABC中，∠C=55°，将△ABC绕点A 顺时针旋转一定角度后，得到△A'B'C'， 且点C'在边BC上，则∠B'C'B的度数为（ ）
A. 50° B. 70° C. 75 ° D. 80°
B
典例分析
例2 . 已知：如图，在△ABC中，CD是中线，且CD=AB，试判断△ABC是什么形状，并说明理由．
解：△ABC是直角三角形
∵AD=DB，CD=AB，∴AD=BD=CD
∴∠A=∠2，∠1=∠B
又∵∠A+∠2+∠1+∠B=180°
∴∠2+∠1=90°，即∠ACB=90°
∴△ABC是直角三角形
1
2
新知探究
等腰三角形的性质2
等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合，简写成“等腰三角形的三线合一”
CD 是等腰△ABC的角平分线、中线、高
典例分析
例3 .如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC，工人师傅在焊接立柱时，只需找到BC的中点D，就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ）
A. 等边对等角 B. 等角对等边
C. 垂直平分线的性质 D. 等腰三角形的“三线合一”
D
典例分析
例4 .已知：如图AB=AC，∠EFH=∠B，BE=CF，M是EH的中点．求证：FM⊥EH．
证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C
∵∠EFH=∠B，∴∠CFE=∠B+∠BEF=∠EFH+∠BEF
∵∠CFE=∠EFH+∠CFH
∴∠BEF=∠CFH
在△BEF和△CFH中，
∴△BEF≌△CFH（ASA）
∴EF=FH
∵M是EH的中点，∴FM⊥EH
新知探究
等边三角形
定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，如图所示，若AB=AC=BC，则三角形ABC是等边三角形
等边三角形的各个角都相等， 并且每一个角都等于60°
60°
60°
60°
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.图①是我们生活中常见的晾衣架，其形状可以近似看成等腰三角形 ABC(如图②)，若AB = AC，∠B = 35°，则∠C的度数为( ).
A.70°
B.45°
C.35°
D.110°
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2.如图，在△ABC中， AB=AC，∠A=30°，以C为圆心，CB的长为半径画弧，交AB于点D，连结CD，则∠BDC的度数为( ).
A.55°
B.70°
C.72°
D.75°
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.如图，在△ABC中，AB= AC，AD⊥BC，若BD =2，则BC的长度为( ).
A.6
B.5
C.4
D.3
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4. 我国的桥梁建设在世界上处于领先地位，无论是桥梁数量、跨度还是技术创新，都取得了显著成就.图①为某斜拉索桥，该斜拉索桥的拉索和桥面构成等腰三角形.图②为其示意图，在△ABC中， AB =AC，若D是BC边上的一点，则下列条件不能说明 AD⊥BC的是( ).
A.BD =CD B.∠ADB = ∠ADC
C.∠BAD = ∠CAD D.BC= 2AD
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.如图，若△ABC是等边三角形，AB=6， BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使 CE =CD，则BE=( ).
A.7
B.8
C.9
D.10
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形顶角的度数为( ).
A.60°
B.120°
C.60°或150°
D.60°或120°
D
04
证明：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE -∠DAC=∠BAC-∠DAC，
即∠BAF = ∠CAE.
在△ABF与△ACE中，
∵AB=AC，∠BAF= ∠CAE，AF=AE，∴△ABF≌△ACE（SAS）
课堂练习
【综合拓展类作业】
7. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，延长BC至点E，连结AE，使得∠DAE= ∠BAC，延长AD至点F，使得AF =AE，连结BF.
(1)求证:△ABF≌△ACE；
04
解：∵AB =AC，AD⊥BC，
∴BD=16÷2=8.
∵△ABF≌△ACE，BF=17,
∴CE =BF=17，∴DE=CE +CD =17+8=25.
课堂练习
【综合拓展类作业】
7. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，延长BC至点E，连结AE，使得∠DAE= ∠BAC，延长AD至点F，使得AF =AE，连结BF.
(2)若AD ⊥BC，BF=17，BC=16，求DE的长.
1. 在中，已知 ，若 是等腰三角形，
则 的度数是( )
A. B.
C. 或 D. 或 或
（第2题）
2. 如图，在中， ，
， ，则
( )
A. B. C. D.
√
√
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3. ［2025长沙岳麓区期中］“一亭幽绝费平章，峡口清风赠
晚凉.前度桃花斗红紫，今来枫叶染丹黄.饶将春色输秋色，
迎过朝阳送夕阳.此地四时可乘兴，待谁招鹤共翱翔.”其中“一
亭”指的是具有一座悠久历史的古典园林建筑——“爱晚亭”.
如图，“爱晚亭”的顶部可看作等腰三角形，，
是边上的一点.下列条件不能说明是 的角平分线
的是( )
（第3题）
A.
B.
C.
D. 与 的周长相等
√
4. 定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值
称为这个等腰三角形的“优美比”.若等腰三角形 的两边
长分别是3和9，则它的“优美比” 为__.
5.如图， 的周长为20，且
，于点， 的周
长为16，那么 的长为___.
6
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6.［2025上海金山区期末］如图，在
中，为边 上一点，
.
（1）试说明 ；
【解】， ，
.
.
（2）过点作的平行线交 的延长
线于点，若，求证： 平分
.
【证明】， .
，， ，
，平分 .
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课堂小结
基本定义
定义：等腰三角形是指至少有两条边长度相等的三角形。相等的两条边称为腰，第三边称为底边。两腰所夹的角称为顶角，底边所对的两个角称为底角。
性质
①等边对等角性质
两腰所对的两个底角相等
数学表达：若AB=AC，则∠B=∠C
②三线合一性质
顶角平分线、底边中线、底边高线三线重合

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