资源简介

(共23张PPT)
华东师大版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.12.3.2等腰三角形的判定第十二章全等三角形12.3.2等腰三角形的判定同步练习题（适配八上，统一题型格式）一、核心知识点1.判定核心定理：等角对等边（必考）文字：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形是等腰三角形。几何语言：在△ABC中，若∠B=∠C，则AB=AC。核心区分：性质：边相等→角相等（等边对等角）；判定：角相等→边相等（等角对等边），二者互为逆定理，严禁混淆。2.判定常用辅助方法①角度推导：通过内角和、平行线、外角性质、余补角相等，证出三角形两个内角相等，进而判定等腰；②全等证明：通过三角形全等，证出两组边相等，判定等腰三角形；③特殊模型：角平分线+平行线，必出等腰三角形（高频考试模型）。3.经典秒杀模型：角平分线＋平行线＝等腰三角形已知：角平分线平分一角，且对应两边平行；推导：内错角相等+角等分，得到三角形两内角相等，直接证等腰；该模型是填空、选择、解答题高频考点，可直接快速判定。4.等腰三角形完整判定思路①优先找角：证明三角形内两个角相等，用“等角对等边”（最简方法）；②次优选全等：无法证等角时，通过全等三角形证对边相等；③排除误区：仅有边相等是定义判定，仅有角相等才可推边相等。5.性质与判定终极对比性质（已知等腰）：边→角，等边对等角、三线合一；判定（证等腰）：角→边，等角对等边，定义两边相等。二、选择题（每题4分，共20分）1.能判定一个三角形是等腰三角形的是（）A.有两个角互余B.有两个角相等C.有一个角为60°D.有一个角为90°2.在△ABC中，∠A=50°，∠B=65°，则△ABC是（）A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.无法判定3.下列关于等腰三角形性质与判定说法正确的是（）A.等边对等角是判定定理B.等角对等边是性质定理C.等角对等边是判定定理D.两角互补可证等腰4.若三角形的一个外角平分线平行于三角形的一边，则这个三角形是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形5.不能判定△ABC为等腰三角形的条件是（）A. ∠A=∠BB. AB=BCC. ∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶1D. ∠A+∠B=90°三、填空题（每题4分，共24分）1.等腰三角形的判定定理是：________，简称等角对等边。2.性质是边等推角等，判定是________推________。3.在△ABC中，∠A=70°，∠C=70°，则相等的边是________，△ABC是等腰三角形。4.经典模型：角平分线+________，一定可以构成等腰三角形。5.三角形三个内角度数比为2∶2∶3，这个三角形是________三角形。6.在△ABC中，∠B=∠C=55°，则AB________AC（填“=”“＞”“＜”）。四、解答题（每题9分，共36分）1.基础判定：已知在△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，求证：△ABC是等腰三角形。2.模型应用（角平分线+平行线）：已知：AD平分∠BAC，DE∥AB，求证：△ADE是等腰三角形。3.角度推导判定：已知：△ABC中，AB∥CD，AC平分∠BAD，求证：△ACD为等腰三角形。4.性质与判定辨析：简述“等边对等角”和“等角对等边”的区别与适用场景。五、综合应用题（共20分）1.综合证明1：已知△ABC中，AB=AC，DE∥BC，求证：△ADE是等腰三角形。（10分）2.综合证明2：已知BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，DE∥BC，求证：△BDE和△CDF均为等腰三角形。（10分）---参考答案一、选择题1.B 2.B 3.C 4.B 5.D二、填空题1.有两个角相等的三角形是等腰三角形2.角等；边等3. AB=BC4.平行线5.等腰6. =三、解答题1.证明：∵三角形内角和为180°∴∠C=180° ∠A ∠B=180° 40° 70°=70°∴∠B=∠C∴AB=AC（等角对等边）∴△ABC是等腰三角形。2.证明：∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠EAD∵DE∥AB∴∠BAD=∠EDA（两直线平行，内错角相等）∴∠EAD=∠EDA∴AE=DE（等角对等边）∴△ADE是等腰三角形。3.证明：∵AC平分∠BAD∴∠BAC=∠DAC∵AB∥CD∴∠BAC=∠DCA（两直线平行，内错角相等）∴∠DAC=∠DCA∴AD=CD（等角对等边）∴△ACD为等腰三角形。4.答：等边对等角：是等腰三角形的性质，已知三角形两边相等，推出对应底角相等；等角对等边：是等腰三角形的判定，已知三角形两角相等，推出对应边相等，证明三角形是等腰三角形；二者互为逆定理，做题时根据已知条件灵活选用。四、综合应用题1.证明：∵AB=AC∴∠B=∠C（等边对等角）∵DE∥BC∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）∴∠ADE=∠AED∴AD=AE（等角对等边）∴△ADE是等腰三角形。2.证明：∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠DBC∵DE∥BC∴∠EDB=∠DBC（两直线平行，内错角相等）∴∠ABD=∠EDB∴BE=DE（等角对等边），即△BDE为等腰三角形∵CD平分∠ACB∴∠ACD=∠FCB∵DF∥BC∴∠FDC=∠FCB（两直线平行，内错角相等）∴∠ACD=∠FDC∴CF=DF（等角对等边），即△CDF为等腰三角形得证。本节易错点总结1.性质、判定严重混淆：已知等腰用“等边对等角”，证明等腰用“等角对等边”，不可混用定理。2.不会套用经典模型：角平分线+平行线出等腰是必考模型，不会推导导致解题繁琐、丢分。3.找错对应边角：相等的角对应对边相等，不是邻边，对应关系出错。4.证明思路单一：只会用全等证边相等，不会优先用等角对等边简便判定。5.书写不规范：未写“两角相等”直接得出两边相等，缺少核心推理步骤。6.条件遗漏：忽略平行线、角平分线、内角和等隐含等角条件，无法凑齐判定条件。旧知复习
等腰三角形的性质
由此得到以下等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，简写成
“等边对等角”如图所示，若△ABC为等腰三角形，则∠A=∠B
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，求证：∠B=∠C
证明：作∠BAC的平分线AD，
在△ABD和△ACD中，∵AB=AC，∠1=∠2，AD=AD
∴△ABD≌△ACD（SAS）
∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）
新知探究
∠A ∠B AB AC BC
30° 30° 3cm
45° 45° 4cm
60° 60° 3cm
小组活动："如果我们知道一个三角形有两个角相等，能否反过来推出它是等腰三角形呢？"根据下面表格中的数据，借助量角器画出三角形ABC。
将你的结果填入上表，并观察线段AC、BC是否相等？
合作探究
我们可以发现: 如果一个三角形中有两个角相等, 那么它就是等腰三角形 即有两个角相等的三角形是等腰三角形,简写成 “等角对等边”
已知：△ABC中∠A=∠B，求证：AC=BC
证明：过点C作CD⊥AB,如图所示
∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠CDB
在△ACD和△BCD中
△ACD≌△BCD
∴AC=BC
典例分析
例1 . 已知，如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DE=DF，求证：△ABC是等腰三角形．
证明：∵D是BC的中点
∴BD=CD
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F
∴在Rt△BDE和Rt△CDF中
∴△BDE≌△CDF(HL)
∴∠B=∠C
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形
变式训练
如图所示，在△ABC中，BC⊥AB，∠BAC=45°，F是AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．求证：△ABE≌△CBF
证明：∵CB⊥AB
∴∠ABC=∠FBC=90°
∵∠BAC=45°
∴△ABC为等腰直角三角形，∴AB=CB
∴在Rt△ABE和Rt△CBF中
∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)
典例分析
例2 .如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F，若FG=4，ED=9，则BE+CD的值为（ ）
A．13 B. 14 C. 15 D. 16
A
提示：由角平分线与平行线易得∠EGB=∠ABG，从而得到BE=EG，同理可得DF=CD，再根据BE+DC=ED+FG即可得到答案。
新知探究
等边三角形的判定
等边三角形的两个判定定理：①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
已知：△ABC中∠A=∠B=∠C，求证：△ABC是等边三角形。
证明：∠A=∠B，根据等角对等边可得BC=AC
∠B=∠C，同理可得AC=AB
∴AB=AC=BC
∴△ABC是等边三角形
你能自己证明第二个判定定理吗？
典例分析
例3 .如图，在△ABC中，点D，E在BC边上，连接AD，AE，且AD=DE，线段DF,EH分别是△ADB和△AEC的高，且AF=AH，DF=EH．请判断△ADE是等边三角形吗？并加以证明．
证明：∵线段DF、EH分别是△ADB和△AEC的高，
∴∠AFD=∠AHE=90°
又AF=AH、DF=EH
∴△AFD≌△AHE（SAS）
∴AD=AE，又AD=DE，∴AD=DE=AE
∴△ADE是等边三角形
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.下列条件中，可以判定△ABC是等腰三角形的是( ).
A. ∠B= 40°，∠C=80°
B. ∠A：∠B：∠C= 1：2：3
C. 2∠A=∠B+∠C
D. ∠A：∠B：∠C = 2：2：1
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2.如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C = 72°，则图中等腰三角形有
( ).
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.如图，B，E，C，F是直线l上的四点，AC，DE相交于点 G，AB=DF，AC=DE，BE =CF. 求证：△GEC是等腰三角形.
证明：∵BE=CF，∴BE +EC=CF+EC，即BC=EF.
在△ABC和△DFE中， AB =DF，AC=DE，BC=FE，△ABC≌△DFE(SSS).
∴∠ACB =∠DEF，∴EG=CG,
即△GEC是等腰三角形.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4.如图，在△ABC中，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动(点D不与点B、C重合)，连结AD，作∠ADE= 40°，DE交线段AC于点E.在点D的运动过程中，当△ADE是等腰三角形时，
则∠BDA=_______________.
110°或80°
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点. △EAD为等腰三角形，∠AED=90°，则∠EBC等于( ).
A.60°
B.45°
C.30°
D.15°
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6.将一平板保护套展开放置在水平桌面上，其侧面示意图如图所示，若∠ABC=∠ACB，AB=10cm，则AC的长为( ).
A.9 cm
B.10 cm
C.11cm
D.12 cm
B
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7. 如图，在△ABC中，D为AB边上一点， DF⊥BC于点F，延长FD，CA交于点E. 若∠E=30°，AD =AE. 求证：△ABC为等边三角形.
证明：∵AD=AE，∴∠E =∠ADE =30°，
∴∠CAB=∠E +∠ADE =30°+30°=60°. ∵DF⊥BC，∴∠EFC=90°，
∴∠C=90°-∠E=60°，
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7. 如图，在△ABC中，D为AB边上一点， DF⊥BC于点F，延长FD，CA交于点E. 若∠E=30°，AD =AE. 求证：△ABC为等边三角形.
∴∠B=180° - ∠C - ∠CAB
=180° - 60° - 60°=60°，
∴∠C=∠B=∠CAB，
∴△ABC为等边三角形.
1. ［2024泰安］如图，直线，等边三角形 的两个顶
点，分别落在直线，上，若 ，则 的
度数是( )
A. B. C. D.
√
返回
（第2题）
2. 如图，是等边三角形 的边
上的高，以点为圆心， 长为半
径作弧交的延长线于点 ，则
( )
A. B. C. D.
√
返回
（第3题）
3. 如图，等边三角形中，是 上
的高， ，图中与
相等的线段有( )
A. 5条 B. 6条 C. 7条 D. 8条
√
【点拨】如图，连结.由题意可得,, ,
都是全等的等边三角形，
,即图中与
相等的线段有7条，故选C.
返回
4.［2025绍兴诸暨期中］如图，是等边三角形， 是
边上的中线，点在上，且，则 的度数
为______.
（第4题）
课堂小结
等角对等边
判定依据：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
几何语言：
在△ABC中，若∠B=∠C，则AB=AC，△ABC是等腰三角形。
等边三角形的判定
①判定依据：三个内角都相等的三角形是等边三角形（每个角为60°）。
几何语言：在△ABC中，若∠A=∠B=∠C=60°，则△ABC是等边三角形。
②判定依据：若一个三角形是等腰三角形，且有一个角为60°，则它是等边三角形。

展开更多......

收起↑