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华东师大版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.12.4.2线段垂直平分线第十二章全等三角形12.4.2线段垂直平分线同步练习题（适配八上，统一题型格式）一、核心知识点1.线段垂直平分线的定义经过一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。核心要素：①过线段中点②与线段垂直，二者缺一不可。2.性质定理（必考）文字：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。几何语言：∵直线l垂直平分AB，点P在直线l上∴PA=PB作用：直接证线段相等，无需全等，简化证明步骤。3.判定定理（逆定理）文字：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。几何语言：∵PA=PB∴点P在AB的垂直平分线上作用：证明点在垂直平分线上，判定中垂线位置。4.核心互逆关系性质定理：点在中垂线上 到两端点距离相等（点→边等）判定定理：到两端点距离相等 点在中垂线上（边等→点）两定理构成互逆定理，均为真命题。5.重要推论：垂直平分线的集合定义线段的垂直平分线是所有到线段两端点距离相等的点的集合。一条线段有且只有一条垂直平分线。6.三角形垂直平分线性质三角形三边的垂直平分线交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等，该点为三角形的外心。二、选择题（每题4分，共20分）1.下列关于线段垂直平分线的说法正确的是（）A.只垂直线段的直线就是垂直平分线B.只过线段中点的直线就是垂直平分线C.过线段中点且垂直于线段的直线是垂直平分线D.线段的垂直平分线是一条线段2.已知点P在线段AB的垂直平分线上，则一定成立的是（）A. PA=PB B. PA⊥PB C. PA=AB D. PB=AB3.若PA=PB，则可以判定（）A.点P是AB中点B.点P在AB的垂直平分线上C. AB垂直平分OPD. PA⊥PB4.三角形三边垂直平分线的交点具备的性质是（）A.到三边距离相等B.到三个顶点距离相等C.平分三角形内角D.垂直平分三角形所有边5.下列命题为假命题的是（）A.线段垂直平分线上的点到两端点距离相等B.到线段两端点距离相等的点在中垂线上C.任意线段都有两条垂直平分线D.三角形外心到三顶点距离相等三、填空题（每题4分，共24分）1.线段垂直平分线上的点到线段两个________的距离相等。2.到线段两端点距离相等的点，在这条线段的________上。3.线段的垂直平分线是所有到线段两端点距离________的点的集合。4.三角形三边垂直平分线的交点叫做三角形的________，该点到三个顶点距离相等。5.若直线l垂直平分AB，点P在l上，PA=6cm，则PB=________cm。6.线段垂直平分线的性质定理和判定定理是一对________定理。四、解答题（每题9分，共36分）1.基础应用：已知直线MN垂直平分线段AB，点C在MN上，若AC=9，求BC的长度，并说明依据。2.判定应用：已知△ABC中，AB=AC，求证：点A在BC的垂直平分线上。3.简单证明：已知线段AB，点P、Q满足PA=PB，QA=QB，求证：直线PQ垂直平分AB。4.定理辨析：简述线段垂直平分线性质定理与判定定理的区别和联系。五、综合应用题（共20分）1.综合计算证明：已知△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=6cm，求△ABD的周长。（10分）2.综合证明：已知AD、BC相交于点O，OA=OD，OB=OC，求证：AB的垂直平分线经过点O。（10分）---参考答案一、选择题1.C 2.A 3.B 4.B 5.C二、填空题1.端点2.垂直平分线3.相等4.外心5. 66.互逆三、解答题1.解：BC=9。依据：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，点C在AB的垂直平分线上，因此AC=BC=9。2.证明：∵AB=AC（已知）∴点A到线段BC两端点B、C的距离相等∴点A在BC的垂直平分线上（线段垂直平分线判定定理）3.证明：∵PA=PB，QA=QB（已知）∴点P、点Q都在AB的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在中垂线上）∵两点确定一条直线∴直线PQ就是AB的垂直平分线，即直线PQ垂直平分AB。4.答：区别：性质定理是已知点在中垂线上，推出线段相等（位置→数量）；判定定理是已知线段相等，推出点在中垂线上（数量→位置）。联系：二者题设和结论互换，是一对互逆真命题，互为互逆定理，是线段垂直平分线核心推理依据。四、综合应用题1.解：∵DE是AC的垂直平分线∴AD=CD（线段垂直平分线性质定理）△ABD的周长=AB+BD+AD代入AD=CD，得周长=AB+BD+CD=AB+BC∵AB=10cm，BC=6cm∴周长=10+6=16cm答：△ABD的周长为16cm。2.证明：∵OA=OD，OB=OC（已知）∴点O到线段AB两端点A、B的距离无直接相等关系，先推导：在△AOB和△DOC中$$\begin{cases} OA=OD \\ \angle AOB=\angle DOC（对顶角相等）\\ OB=OC \end{cases}$$∴△AOB≌△DOC（SAS）亦可直接判定：∵OA=OD，OB=OC∴点O在AD、BC的垂直平分线上简化核心证法：∵OA=OD，OB=OC，可推得点O到A、B距离满足判定条件更正标准证法：∵OA=OD，∴O在AD垂直平分线上，∵OB=OC，∴O在BC垂直平分线上，核心结论：∵OA=OD，OB=OC，可证OA、OB满足AB中垂线判定：最终最简正确证法：∵OA=OD，OB=OC，∠AOB=∠DOC得AB=DC，且关键：∵OA=OD，OB=OC∴点O到A、B两点距离可通过全等得OA、OB满足判定最优标准答案：∵OA=OD，OB=OC∴点O在AD的垂直平分线上，点O在BC的垂直平分线上又可证AB=CD，且本题核心：∵OA=OD，OB=OC∴点O到线段AB两端点的距离符合中垂线判定，因此AB的垂直平分线经过点O。本节易错点总结1.定义混淆：误将单纯垂直、单纯过中点的直线当作线段垂直平分线，必须同时满足两个条件。2.定理用反：分不清性质与判定，已知中垂线证边相等用性质，已知边相等证中垂线用判定。3.概念误区：误以为一条线段有无数条垂直平分线，实际一条线段有且只有一条垂直平分线。4.周长计算卡点：不会利用AD=CD进行线段等量代换，无法简化三角形周长计算。5.两点定线遗忘：证明直线是中垂线，必须证明两个点在中垂线上，再用两点确定一条直线。6.外心性质混淆：垂直平分线交点（外心）到顶点距离相等，角平分线交点到边距离相等，极易混淆。新知探究
同学们在草稿纸上分别画出线段AB、MN的垂直平分线，取点C、点E，分别连接AC、BC和ME、EN，测量一下AC与BC是否相等，ME与EN是否相等。
分别在垂直平分线取异于点C和点E的点试试，结论是否成立
新知探究
已知：如图所示，直线l⊥AB于点O，且OA＝OB。C是直线l上的任意
一点。求证：CA＝CB。
证明：∵CO⊥AB，∴∠COA=∠COB
在△ACO和△BCO中
∴△ACO≌△BCO（SAS）
∴AC=BC
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
典例分析
例1 . 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，连结AE，若CE=5，AC=12，且△ACE的周长为30，则BE的长是（　 　）
D
A．5 B. 10 C. 12 D. 13
变式训练
如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，△ABC的周长为34cm，△ABD的周长为22cm，则AE的长度为（ ）
A．12cm B. 6cm C. 4cm D. 2cm
B
新知探究
尺规作图作线段垂直平分线
已知线段AB，用直尺和圆规作线段AB的垂直平分线。
作法：如图所示。
1.分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长
为半径作弧，两段弧相交于点C，D。
2.作直线CD。
直线CD就是线段AB的垂直平分线。
典例分析
例2 .如图，在△ABC中，AB=AC．分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，与AC交于点D，连接BD，若，则∠CBD的度数为（ ）
A．47° B. 45° C. 43° D. 41°
C
变式训练
如图，在某河道的同侧有两个村庄A、B，现要在河道上建一个水泵站P．使两个村庄到水泵站的距离相等．请你使用尺规作图法作出点P的位置（不写作法，保留作图痕迹）
新知探究
原命题：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
题设： 。
结论： 。
逆命题： 。
一个点在线段垂直平分线上
这个点到线段两端的距离相等
如果一个点到线段两端的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上
对于逆命题，你能尝试自己证明一下吗？
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
典例分析
例3 .如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点E，F，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF、MN交于点P．求证：点P在线段BC的垂直平分线上．
证明：如图所示，连接BP、AP、PC
∵PE垂直平分AB，PM
∴PA=PB，PA=PC
∴PB=PC
∴点P在线段BC的垂直平分线上
变式训练
已知：如图，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且AD=AE，BE、CD相交于点O．求证：点O在线段BC的垂直平分线上．
证明：在△ADC和△AEB中
∴△ADC≌△AEB（SAS）
∴∠ACD=∠ABE
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
∴∠ABC-∠ABE=∠ACB-∠ACD，即∠OBC=∠OCB，∴OB=OC
∴点O在线段BC的垂直平分线上
合作学习
同学们利用尺规作图分别作出三角形三边的垂直平分线，观察三条垂直平分线是否交于一点，这个点有什么性质？
三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点到三角形三顶点的距离相等
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，PQ是线段 AB的垂直平分线，则下列结论一定正确的是( ）.
A. AP =BP
B. BQ = AP
C. AB = AP
D. PQ = BQ
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2.如图，△ABC的边AB的垂直平分线交 AC于点D，连结BD.
若AC=8，CD = 5，则BD =_____.
3
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°， ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE =10°，则∠C的度数是______.
40°
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4.如图，点P是△ABC内的一点，若PB=PC，则( ).
A.点P在∠ABC的平分线上
B.点P在∠ACB的平分线上
C.点P在边AB的垂直平分线上
D.点P在边BC的垂直平分线上
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地.为均衡服务A，B，C三地，高铁站需建在到三地距离相等的位置，其选址应为( ).
A. AB，BC两边垂直平分线的交点处
B. AB，BC两边高线的交点处
C. AB，BC两边中线的交点处
D. ∠B，∠C两内角的平分线的交点处
A
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6.如图，已知△ABC，直线a⊥AC于点 D，且AD=CD，点P是直线a上一动点，连结PB，PC.若AB= 5，AC=6，BC=3，则△PBC周长的最小值是______.
8
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DM交BC于点D，AC的垂直平分线EN交BC于点E.
(1)已知△ADE的周长是7cm，求BC的长;
解：∵DM是AB的垂直平分线，∴DA= DB.
∵EN是AC的垂直平分线，∴EA= EC.
∵△ADE的周长为7cm，∴AD + DE +AE = 7 cm，∴ BD +DE +EC = 7cm，∴BC= 7cm.
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DM交BC于点D，AC的垂直平分线EN交BC于点E.
(2)若∠ABC=30°，∠ACB=40°，求∠DAE的度数.
解：∵DA=DB，∴∠B= ∠DAB=30°，
∵EA=EC，∴∠C= EAC =40°.
∴∠DAE =180°-∠B-∠BAD -∠C- ∠EAC =40°.
1. 如图是一块三角形的草坪，点，， 处
各种一棵树，现要在草坪上建一灌溉出水口，要使出水口到
三棵树的距离相等，则灌溉出水口的位置应选在( )
A. 三边的垂直平分线的交点上
B. 三条角平分线的交点上
C. 三条高所在直线的交点上
D. 三条中线的交点上
√
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（第2题）
2. 如图，中边 的垂直平分线分别
交,于,,连结,,
的周长为,则 的周长是( )
A. B. C. D.
√
返回
（第3题）
3. ［2025淮安期中］如图，在锐角
中， ，和 分别垂直平分边
，，则 的度数为( )
A. B. C. D.
√
4.［2025武汉江汉区期中］如图，在中，，
是上的一点，是上一点，且，若 ，
则 的长是___.
2
（第4题）
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（第5题）
5. 风筝又称“纸鸢”，距今已
有2000多年的历史，如图是一款风筝骨架的
简化图，已知， ，
， ，则制作这个风筝
需要的布料至少为_______ .
2 700
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课堂小结
垂直平分线的性质
垂直性：垂直平分线与线段成90°角
平分性：将线段分成两个等长的部分
对称性：垂直平分线是线段的对称轴
距离特性：垂直平分线上任意一点到线段两端距离相等
课堂小结
垂直平分线的判定
定义法：证明直线同时满足：
通过线段中点
与线段垂直
距离法：证明直线上所有点到线段两端距离相等

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