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华东师大版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.12.4.3角平分线第十二章全等三角形12.4.3角平分线的性质与判定同步练习题（适配八上，统一题型格式）一、核心知识点1.角平分线的定义从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。几何语言：若OC平分∠AOB，则∠AOC=∠BOC= ∠AOB。2.角平分线性质定理（必考）文字：角平分线上的点到角两边的距离相等。关键：必须是垂线段距离，不是斜边长！几何语言：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE作用：直接证垂线段相等，无需全等，简化步骤。4.互逆定理关系性质：点在角平分线上 到角两边距离相等（位置→数量）判定：到角两边距离相等 点在角平分线上（数量→位置）二者为标准互逆定理，均为真命题。5.三角形角平分线交点性质（内心）三角形三条内角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心。核心性质：内心到三角形三边的距离相等。6.高频对比记忆（超级易错）①垂直平分线交点（外心）：到三个顶点距离相等；②角平分线交点（内心）：到三条边距离相等。7.做题必备条件使用角平分线性质/判定，题干必须出现垂直（高、距离），无垂直不能直接用定理！二、选择题（每题4分，共20分）1.角平分线上的点到角两边的什么相等（）A.斜线段长度B.垂线段距离C.任意线段D.边长3.在∠AOB内部，点P到OA、OB的距离相等，则可判定（）A. OP=OA B. OP=OB C. P在∠AOB平分线上D. P是角顶点4.三角形内心的性质是（）A.到三顶点距离相等B.到三边距离相等C.三边垂直平分线交点D.平分三角形边长5.下列说法正确的是（）A.只要有角平分线，就有边长相等B.无垂直条件，不能直接用角平分线性质证距离相等C.内心在三角形外部D.角平分线是直线6.下列不属于角平分线定理必备条件的是（）A.点在角平分线上B.垂直角的两边C.顶点重合D.斜线段相等三、填空题（每题4分，共24分）1.角平分线上的点到角两边的________相等。3.角内部到角两边距离相等的点在这个角的________上。4.三角形三条角平分线的交点叫做________，它到三角形________距离相等。5.使用角平分线性质定理，必须具备________条件，保证是垂线段距离。6.若OC平分∠AOB，点P在OC上，PM⊥OA，PN⊥OB，PM=5，则PN=________。7.角平分线性质与判定是一对________定理。四、解答题（每题9分，共36分）1.基础计算：已知OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，PD=8cm，求PE的长，并写出依据。3.判定应用证明：已知点P在∠AOB内部，PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN，求证：OP平分∠AOB。4.简单几何证明：已知△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，求证：DE=DF。5.概念辨析简答：三角形内心和外心的区别是什么？五、综合应用题（共20分）1.综合证明1：已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：AD垂直平分EF。（10分）3.综合证明2：已知△ABC的外角平分线交于点P，求证：点P到直线AB、BC、AC的距离相等。（10分）---参考答案一、选择题1.B 2.C 3.B 4.B 5.D二、填空题1.垂线段距离2.平分线3.内心；三边4.垂直5. 56.互逆三、解答题1.解：PE=8cm。依据：角平分线上的点到角两边的垂线段距离相等。∵OC平分∠AOB，P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB∴PE=PD=8cm。2.证明：∵PM⊥OA，PN⊥OB（已知），PM=PN（已知）∴点P在∠AOB的平分线上（角平分线判定定理）∴OP平分∠AOB。3.证明：∵BD平分∠ABC（已知）DE⊥AB，DF⊥BC（已知）∴DE=DF（角平分线性质定理）。4.答：内心：三角形三条角平分线交点，到三边距离相等，永远在三角形内部。外心：三角形三边垂直平分线交点，到三顶点距离相等，位置可内、可外、可在边上。四、综合应用题1.证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC∴DE=DF（角平分线性质）在Rt△ADE和Rt△ADF中$$\begin{cases} AD=AD\\ DE=DF \end{cases}$$∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）∴AE=AF又∵DE=DF∴A、D都在EF的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在中垂线上）∴AD垂直平分EF。3.证明：设△ABC的外角平分线BP、CP交于点P，分别作PM⊥AB、PN⊥BC、PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q。∵BP平分外角，PM⊥AB，PN⊥BC∴PM=PN（角平分线性质）∵CP平分外角，PN⊥BC，PQ⊥AC∴PN=PQ（角平分线性质）∴PM=PN=PQ即：点P到直线AB、BC、AC的距离相等。本节易错点总结1.最大易错点：乱用角平分线定理！无垂直，无距离，不能用定理，只能用全等。3.距离概念错误：定理中的“距离”是垂线段长度，不是任意斜线段。4.内心外心混淆：角平分线交内心（到边等距），中垂线交外心（到顶点等距），考试高频混淆。5.判定条件缺失：证明点在角平分线上，必须写清“两边垂直+距离相等”，缺一不可。7.图形认知错误：角平分线是射线，不是直线、不是线段。10.跳步扣分：使用定理不写垂直条件，直接得出线段相等，步骤不完整。新知探究
同学们在草稿纸上利用量角器画出∠AOB的角平分线OP，在角平分线OP上取P1、P2，分别过P1、P2作OA、OB两边的垂线，利用直尺测量P1N1、P1M1、P2N2、P2M2之间的数量关系
新知探究
已知：P 是∠BAC 的平分线上的一点，PD⊥AB 于点 D，PE⊥AC 于点 E。
比较PD和PE的大小，
解：∵AP是∠CAB的平分线，∴∠CAP=∠BAP
∵PD⊥AB、PE⊥AC，∴∠PEA=∠PDA
在△APE和△APD中
∴△APE≌△APD（ASA）
∴PE=PD
角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等
典例分析
例1 .如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，若CD=3,AB=10，则△ABD的面积是（ ）
A．15 B. 30 C. 20 D. 10
提示：过点D作DE⊥AB，根据角平分线的性质可得CD=ED，根据三角形的面积计算即可
变式训练
如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，若AB=6，AD=4，△ABC=6，则△ACD的面积为（ ）
A．8 B. 6 C. 5 D. 4
提示：作CF⊥AD，垂足为F，根据角平分线的性质，得到CE=CF，根据三角形的面积公式进行计算即可
新知探究
尺规作图作角平分线
已知∠BAC，用直尺和圆规作∠BAC的平分线AD。
1.以点A为圆心，适当长为半径作弧，与角的两边分别交于E，F两点。
2. 分别以点 E，F 为圆心，大于EF 长为半径作弧，两条弧交于∠BAC
内一点D。
3.作射线AD。
射线AD就是∠BAC的平分线。
典例分析
例2 .如图，在△ABC中，AB=4，AC=5，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点D和E，再分别以点D、E为圆心，大于DE长为半径画弧，两弧交于点F，连接AF并延长交BC于点M，作MN⊥AC于点N．若MN=2，则△ABM的面积为（ ）
A．4 B. 5 C. 8 D. 10
变式训练
“西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路l1、l2和两个城镇A、B（如图），准备建一个燃气控制中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇的距离也相等，请你利用直尺和圆规作出中心站P的位置．（作出满足题意的一处位置即可）
新知探究
原命题：角平分线上的点到角两边的距离相等
题设： 。
结论： 。
逆命题： 。
一个点在角的角平分线上
这个点到角两边的距离相等
如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在角的角平分线上
对于逆命题，你能尝试自己证明一下吗？
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
典例分析
例3 .如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点E，∠B+∠AFD=180°，点F在AC上，DB=DF，求证：AD平分∠BAC．
证明：∵∠B+∠AFD=180°，∠CFD+∠AFE=180°
∴∠B=∠CFD，∵∠C=90° ，DE⊥AB
∴∠C=∠BED=90°
在△BDE和△FDC中，,
△BDE≌△FDC(AAS)
∴CD=DE,∵∠C=90°，DE⊥AB
∴AD平分∠BAC
变式训练
已知：如图，在△ABC中，D是BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE=CF，求证：AD是△ABC的角平分线．
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠BED=∠CFD=90°
∵D是BC中点，∴BD=CD，∵BE=CF
∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL）∴DE=DF
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴点D在∠BAC的平分线上
∴AD平分∠BAC，即AD是△ABC的角平分线
合作学习
同学们利用尺规作图分别作出三角形三个内角的角平分线，观察三条角平分线是否交于一点，这个点有什么性质？
三角形三内角的角平分线交于一点，这个点到三角形三边的距离相等
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，OP是∠AOB的平分线，且PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B，则下列结论中不一定成立的是( ）.
A. PA =PB
B. PO平分∠APB
C. AB垂直于OP
D. AB垂直平分OP
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长度是 ( ) .
A.4
B.3
C.6
D.5
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.已知：如图，△ABC中， AB= AC，D是BC的中点， DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F. 求证：DE=DF.
证明：∵D是BC的中点，∴BD=CD，
∵ AB= AC，AD=AD，∴△ABD≌△ACD(SSS)
∴∠BAD=∠CAD，
又∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F，∴DE=DF.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4.如图，将两个完全相同的直角三角板按如图所示方式放置，使得顶点C重合，∠OEC= ∠OFC=90°，若∠AOC= 25°，则∠OCF的度数是_______.
65°
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.如图，∠CBJ的平分线BD与∠BCI的平分线CE相交于点P.若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为( ).
A.1
B.2
C.3
D.4
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6.如图，已知∠B =∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，
∠CMD = 35°，则∠MAB的度数是______.
35°
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7. 如图，在△ABC中，∠B= 60°，∠BAC与∠BCA的平分线AD，CE分别交BC和AB于点D，E，AD与CE相交于点F，求证：FE = FD.
证明：∵∠B=60°，∴∠BAC+∠BCA = 180°-60°=120°，
∵AD，CE分别平分∠BAC与∠BCA，
∴∠FAC+∠FCA=60°，
∴∠CFD=∠AFE =60°，∠AFC=120°.
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7. 如图，在△ABC中，∠B= 60°，∠BAC与∠BCA的平分线AD，CE分别交BC和AB于点D，E，AD与CE相交于点F，求证：FE = FD.
在AC上截取AG =AE，连结GF.
在△AEF和△AGF中，AE=AG，∠EAF = ∠CAF，
AF = AF，∴△AEF≌△AGF(SAS)，
∴∠AFG= ∠AFE =60°，FE=FG，∴∠CFG=∠CFD =60°.
又∵CF =CF，∴△CDF≌△CGF(ASA)，∴FD =FG，FE =FD.
G
（第1题）
1. 如图，是 的角平分线，且
，则与 的面
积之比为( )
A. B. C.
D.
√
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（第2题）
2. ［2024常州］如图，在纸上画有 ，
将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点
在 的平分线上，则( )
A. 与一定相等 B. 与 一定不相等
C. 与一定相等 D. 与 一定不相等
√
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（第3题）
3. 如图，是等腰三角形 底边上的
中线，平分,交于点 ,
，，则 的面积是
( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
√
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4.如图，在中，，平分交于点 ，
，垂足为，的面积为5，则 的长为___.
2
（第4题）
【点拨】过作于 ，如图.
（第4题）
平分，， ，
.
的面积为5， .
又，， .
返回
课堂小结
角平分线的性质
角平分线定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
对称性：角平分线是角的对称轴，角两边关于角平分线对称。
角平分线的判定
若一点到角两边的距离相等，则该点在角平分线上。

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