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华东师大版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.13.1.1直角三角形三边的关系第十三章勾股定理13.1.1直角三角形三边的关系（勾股定理）同步练习题一、核心知识点1.勾股定理（必考核心）文字表述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。几何公式：在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b为直角边，c为斜边$$a^2+b^2=c^2$$关键区分：斜边最长，公式永远是「直角边 +直角边 =斜边 」。2.公式变形（计算必备）已知斜边求直角边：$$a^2=c^2-b^2$$、$$b^2=c^2-a^2$$开方求边长：$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$、$$b=\sqrt{c^2-a^2}$$、$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$3.核心性质1.直角三角形中，斜边长度大于任意一条直角边；2.勾股定理只适用于直角三角形，锐角、钝角三角形不适用；3.公式必须找准对应边，最长边一定对应斜边。4.常用勾股数（秒杀口诀）基础必考勾股数（正整数边长）：①3、4、5②5、12、13③6、8、10④9、12、15规律：勾股数的倍数依然是勾股数，可直接快速计算。5.解题通用步骤①先找直角，确定斜边和直角边；②代入勾股定理公式；③代入数值计算、开方化简；④舍去负数解（边长为正）。二、选择题（每题4分，共20分）1.在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b为直角边，c为斜边，下列公式正确的是（）A.$$a^2-b^2=c^2$$ B. $$a^2+b^2=c^2$$C. $$b^2+c^2=a^2$$ D. $$a^2+c^2=b^2$$2.直角三角形两直角边为3和4，则斜边为（）A. 5 B. 6 C. 7 D. 83.下列说法正确的是（）A.任意三角形三边都满足勾股定理B.直角三角形斜边最短C.勾股定理仅适用于直角三角形D.直角三角形任意两边平方和等于第三边平方4.已知Rt△ABC中，斜边c=13，一条直角边a=5，则另一条直角边b=（）A. 10 B. 11 C. 12 D. 145.若直角三角形两边长为6和8，则斜边长为（）A. 8 B. 10 C. 8或10 D. 6三、填空题（每题4分，共24分）1.直角三角形两直角边的平方和等于________的平方，这就是勾股定理。2. Rt△ABC中，∠C=90°，a=6，b=8，则c=________。3.勾股定理只适用于________三角形。4.直角三角形中，________是最长的边。5.已知Rt△中，斜边c=25，直角边a=15，则直角边b=________。6.边长为5、12、13的三角形________（填“是”或“不是”）直角三角形。四、解答题（每题9分，共36分）1.基础计算：在Rt△ABC中，∠C=90°，(1)已知a=9，b=12，求斜边c；(2)已知c=20，a=12，求直角边b。2.边长辨析计算：已知直角三角形两边长为5和10，求第三边长。（分类讨论）3.图形应用计算：已知等腰直角三角形的直角边长为4，求斜边长。4.概念简答：勾股定理的适用条件是什么？公式使用时需要注意什么？五、综合应用题（共20分）1.几何综合计算：已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=6，BC=8，求AB的长。（10分）2.实际应用计算：一架梯子长13米，斜靠在墙上，梯子底端离墙5米，求梯子顶端到地面的高度。（10分）---参考答案一、选择题1.B 2.A 3.C 4.C 5.B二、填空题1.斜边2. 103.直角4.斜边5. 206.是三、解答题1.解：(1) ∵∠C=90°，由勾股定理得：$$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$$答：斜边c=15。(2)由勾股定理变形得：$$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{400-144}=\sqrt{256}=16$$答：直角边b=16。2.解：分类讨论①当5、10均为直角边时：第三边（斜边）$$=\sqrt{5^2+10^2}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}$$②当10为斜边，5为直角边时：第三边（直角边）$$=\sqrt{10^2-5^2}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}$$综上：第三边长为$$5\sqrt{5}$$或$$5\sqrt{3}$$。3.解：等腰直角三角形两直角边相等，即a=b=4由勾股定理：$$c=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$$答：斜边长为$$4\sqrt{2}$$。4.答：适用条件：仅直角三角形可用，锐角、钝角三角形不满足。注意事项：1.必须区分直角边和斜边，斜边为最长边；2.公式固定为两直角边平方和等于斜边平方，不可颠倒；3.边长为正数，计算结果舍去负值。四、综合应用题1.解：∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8由勾股定理得：$$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$答：AB的长为10。2.解：由题意得：梯子长为斜边c=13米，底端离墙距离为直角边a=5米，设顶端高度为b，由勾股定理得：$$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$$答：梯子顶端到地面的高度为12米。本节易错点总结1.公式颠倒（最高频错误）：乱用公式，用斜边平方减直角边平方时找错边，或随意调换三边关系。2.忽略分类讨论：题干只给两条边长，未说明是直角边还是斜边，漏解、少解。3.适用范围误区：在非直角三角形中强行套用勾股定理，概念性错误。4.边长常识错误：算出直角边长度大于斜边，未检查边长大小关系。5.计算不化简：二次根式不化简、结果保留负数，不符合边长定义。6.勾股数死记不会用：不会利用倍数勾股数快速解题，计算繁琐易出错。课堂导入
如图是在北京召开的第24届国际数学家大会（ICM-2002）的会标。它的设计思路可追溯到3世纪中国数学家赵爽使用的弦图。用弦图证明勾股定理在数学史上有着重要的地位。
新知探究
如图所示，在下面表格中，每个方格的边长都是1，分别表示出正方形S1、S2、S3的面积，探索S1、S2、S3之间的关系。
正方形S1的面积为： 。
正方形S2的面积为： 。
正方形S3的面积为： 。
S1、S2、S3之间的关系： 。
新知探究
由上面的研究知：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，直接利用上面的结论写出下图M1、M2、M3之间的关系
这个结论是否适用于所有的直角三角形？同学们请尝试证明一下这个结论
新知探究
由上面的探索与验证， 可以发现：对于任意的直角三角形， 如果它的两条直角边分别为 a、b， 斜边为 c ，那么一定有
a2+b2=c2
这种关系，我们称之为勾股定理
勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
新知探究
如图，已知四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．试说明：a2+b2=c2．
解：①整体看→大正方形的面积：c2
②拆开看→大正方形的面积=中间小正方形的面积+四个直角三角形的面积
=（a-b）2+4×ab=a2+b2
∴a2+b2=c2
典例分析
例1 .下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（ ）．
典例分析
例2 .如图，在△ABC中，∠C=90°，a、b、c是△ABC的三边长．
(1)已知a=8，b=15，求c；
(2)若c=25，a:b=3:4，求a、b
解：由勾股定理得
c2=a2+b2=82+152=289
∴c=17
解：设a=3x，b=4x
则（3x）2+（4x）2=252
解得：x=5或x=-5(不符合题意，舍去)
∴a=15，b=20
典例分析
例3（教材母题）如图所示，为了求出位于湖两岸的点A、B之间的距离，一名观测者在点C处设桩，使△ABC恰好为直角三角形，通过测量，得到AC的长为160m，BC的长为128m。问：从点A穿过湖到点B有多远？
提示：直接利用勾股定理即可求解
读一读
中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开章，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话： 周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地的高度呢？” 商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的。
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=2，则 AC2+ AB2+ BC2的值为( ).
A.4 B.6
C.8 D.12
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2.如图，公园内一块长方形草坪ABCD，已知 AB =20m，BC=15m，公园管理处为方便群众，沿AC修了一条近道.
一个人从A到C走 A-B-C比直接走AC多走( )
A.5 m B.10 m
C.15m D.20m
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，若CD =12，AD =16，
BC=15，求AC，BD的长.
解：∵CD ⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90°.
在Rt△ACD中，∵CD = 12，AD=16，
在Rt△BCD中，∵ CD = 12，BC=15，
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4.如图，在水塔O的东北方向32 m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B，在A，B间建一条直水管AB，则水管的长为_______m.
40
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸，计算两圆孔圆心A和B间的距离为_______mm.
150
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6.如图①是我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成.若图①中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图②，则图②中大正方形的面积为( ).
A.24 B.36
C.40 D.44
D
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7. 一架长为10m的梯子AB斜靠在墙上.
(1)如图①，若梯子的顶端A与地面的距离AC为8m，求梯子的底端B与墙脚C的距离BC;
解：在Rt△ACB中，
∴.梯子的底端B与墙脚C的距离BC为6m.
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7. 如图②，在(1)的条件下，如果梯子的顶端A下滑1m到A’,那么它的底端B到B'滑动的距离是否也为1m？
解：由题意，得A'C =8-1= 7(m)，
A'B' = AB =10m，
∴B'B =B'C-BC=( -6)m.
∵ -6>1，
∴它的底端B到B'滑动的距离不是1m.
1. 下列说法中正确的是( )
C
A. 已知,,是三角形的三边长，则
B. 在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方
C. 在中， ，,,是,, 的对边，所
以
D. 在中， ,,,是,, 的对边，所
以
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（第2题）
2. 象棋是中
国的传统棋种，如图所示的象棋棋盘
中，各个小正方形的边长均为1.“马”
从图中的位置出发，按照“马走日”的
规则，走一步之后的落点与“帅”的最
大距离是( )
A
A. 5 B. C. D.
3. 若在直角三角形中，有两边长分别是3和4，
则第三边长为_______.
5或
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（第4题）
4.如图，点，分别在， 上，
，垂足为， .若
，，则点到直线 的距离
为___.
课堂小结
勾股定理（核心关系）
公式：a + b = c （c为斜边，a、b为直角边）
适用条件：仅适用于直角三角形
注意：在使用勾股定理是必须明确直角边和斜边，不能乱用和混淆

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