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华东师大版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.13.1.2直角三角形的判定第十三章勾股定理13.1.2直角三角形的判定（勾股逆定理）同步练习题一、核心知识点1.勾股定理的逆定理（判定核心）文字表述：如果三角形的三边长a、b、c满足$$a^2+b^2=c^2$$，那么这个三角形是直角三角形，且最长边c所对的角为直角。核心作用：已知三边长度，判定三角形是否为直角三角形（边→角）。对应关系：c必须是最长边，对应的角为90°。2.勾股定理与逆定理（互逆定理）①勾股定理（性质）：Rt△→三边满足$$a^2+b^2=c^2$$（已知直角，得边长关系）②逆定理（判定）：三边满足$$a^2+b^2=c^2$$→Rt△（已知边长关系，证直角）3.直角三角形判定三步法（做题万能步骤）①排序：把三边从小到大排列，找出最长边c；②计算：算出两条短边的平方和、最长边的平方；③对比：若$$\text{短边}^2+\text{短边}^2=\text{长边}^2$$，则为直角三角形，否则不是。4.勾股数定义满足$$a^2+b^2=c^2$$的三个正整数，叫做勾股数。常见：3、4、5；5、12、13；6、8、10；9、12、15；7、24、25。性质：勾股数的正整数倍仍然是勾股数。5.拓展判定：三角形角度比例判定若三角形三内角之比为1:2:3，则该三角形为直角三角形（最大角90°）。二、选择题（每题4分，共20分）1.下列各组数中，能构成直角三角形三边长的是（）A. 2、3、4 B. 3、4、5 C. 4、5、6 D. 5、6、72.判断三角形是否为直角三角形，关键看（）A.三边是否相等B.最大边的平方是否等于两短边平方和C.三个角是否相等D.两边平方和等于第三边平方3.一个三角形三边长为5、12、13，则该三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形4.下列不是勾股数的是（）A. 6、8、10 B. 9、12、15 C. 4、6、8 D. 5、12、135.若三角形三边长满足$$b^2+c^2=a^2$$，则直角为（）A. ∠A B. ∠B C. ∠C D.无法确定三、填空题（每题4分，共24分）1.勾股逆定理：三角形三边长a、b、c满足________，则这个三角形是直角三角形。2.判定直角三角形时，必须以________边作为平方对比的斜边。3.三边长为7、24、25的三角形________（填“是”或“不是”）直角三角形。4.勾股数是满足条件的三个________数。5.若$$m^2+n^2=p^2$$，则最长边________所对的角是直角。6. 3、4、5的2倍勾股数是________。四、解答题（每题9分，共36分）1.基础判定：判断下列各组边长能否构成直角三角形：(1) 6、8、10 (2) 4、5、6 (3) 5、12、132.规范证明判定：已知△ABC三边AB=15，BC=9，AC=12，求证：△ABC是直角三角形。3.勾股数辨析：判断0.3、0.4、0.5是否为勾股数，并说明理由。4.定理辨析：简述勾股定理与勾股逆定理的区别与用途。五、综合应用题（共20分）1.综合计算判定：已知三角形三边长为$$\sqrt{3}$$、3、$$2\sqrt{3}$$，判断是否为直角三角形。（10分）2.几何综合证明：在△ABC中，AB=10，BD=6，AD=8，D在BC上，求证：AD⊥BC。（10分）---参考答案一、选择题1.B 2.B 3.B 4.C 5.A二、填空题1. $$a^2+b^2=c^2$$2.最长3.是4.正整5. p6. 6、8、10三、解答题1.解：(1) $$6^2+8^2=36+64=100=10^2$$，是直角三角形；(2) $$4^2+5^2=16+25=41\neq36=6^2$$，不是直角三角形；(3) $$5^2+12^2=25+144=169=13^2$$，是直角三角形。2.证明：先排序：9、12、15$$BC^2+AC^2=9^2+12^2=81+144=225$$$$AB^2=15^2=225$$∴$$BC^2+AC^2=AB^2$$∴△ABC为直角三角形，∠C=90°。3.解：不是勾股数。理由：勾股数定义为三个正整数，0.3、0.4、0.5是小数，不满足定义，因此不是勾股数。（虽然满足平方关系，但不是勾股数）4.答：勾股定理（性质）：已知直角三角形，推出三边平方关系，用于求边长、计算长度；勾股逆定理（判定）：已知三边平方关系，推出直角三角形，用于判定三角形形状、证明垂直。四、综合应用题1.解：排序：$$\sqrt{3}$$、3、$$2\sqrt{3}$$，最长边为$$2\sqrt{3}$$$$(\sqrt{3})^2+3^2=3+9=12$$$$(2\sqrt{3})^2=4\times3=12$$∴$$(\sqrt{3})^2+3^2=(2\sqrt{3})^2$$∴该三角形是直角三角形。2.证明：在△ABD中，AB=10，BD=6，AD=8$$BD^2+AD^2=6^2+8^2=36+64=100$$$$AB^2=10^2=100$$∴$$BD^2+AD^2=AB^2$$∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°∴AD⊥BC，得证。本节易错点总结1.不找最长边直接计算：随便代入两边平方和，导致判定完全错误。2.勾股数概念混淆：满足平方关系的小数、分数不是勾股数，必须是正整数。3.直角找错位置：等式中最长边对应的角才是直角，容易找错直角顶点。4.定理混用：求边长用逆定理、判形状用勾股定理，逻辑颠倒扣分。5.计算粗心：平方计算错误、二次根式平方化简出错。6.证明步骤缺失：未排序、未对比直接下结论，步骤不完整。课堂导入
古埃及人曾经用下面的方法画直角：
将一根长绳打上等距离的13个结，然后如图所示，那样钉成一个三角形， 他们认为其中一个角便是直角。你知道这是什么道理吗？
新知探究
根据下表所给的数据画出三角形，你有什么发现？
a b c 结论 是否为直角三角形
3 4 5
6 8 10
4 6 8
5 12 13
a2+b2=c2
a2+b2=c2
a2+b2≠c2
a2+b2=c2
是
是
不是
是
通过上表的数据，你能得出什么结论？
新知探究
已知：如图所示，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a2+b2=c2
求证：∠C=90°
从上面表格中，我们能够猜想如果三角形a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形，如何证明猜想呢？
新知探究
证明：如图所示，作△A1B1C1，使∠C1=90°
A1C1=b，B1C1=a，则A1B12=a2+b2=c2，即A1B1=c，在△ABC和△A1B1C1中
∵BC=a=B1C1, AC=b=A1C1 ,AB=c=A1B1
∴△ABC≌△A1B1C1
∠C=∠C1=90°
验证猜想
通过以上的证明，我们能得到什么结论呢？
新知探究
所以对于直角三角形的判定，有一般结论：
勾股定理的逆定理 如果三角形的边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角
如图所示
在△ABC中，AC=b，BC=a，AB=c，且，满足a2+b2=c2
则△ABC是直角三角形
典例分析
例1 .在△ABC中，下列条件中，不能判△ABC是直角三角形的是（ ）
A. a：b：c=5:12:13 B . ∠A=∠B=∠C
C. a2=3，b2=4，c2=5 D .∠A+∠B=∠C
解：选项A，设a=5k，b=12k，c=13k，a2+b2=c2，是直角三角形
选项B，∠A=∠C，∠B=∠C，根据三角形内角和定理即可得到∠C=90°
选项C，a2+b2≠c2，故不能判定为直角三角形
选项D，根据三角形内角和定义，可得∠C=90°
典例分析
例2 .一个三角形的三边长分别是a、b、c，且a=n2-1，b=2n，c=n2+1，这个三角形是直角三角形吗？证明你的结论．
解：这个三角形是直角三角形
证明如下：
∵a=n2-1，b=2n，c=n2+1
∴a2+b2=(n2-1)2+4n2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1
c2=(n2+1)2=n4+2n2+1
∴a2+b2=c2，∴这个三角形是直角三角形。
新知探究
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。例如：3、4、5，6、8、10，n2-1、2n、n2+1（n为大于1的整数），等等，都是勾股数。
判断方法
（1）三个数必须是正整数;（2）必须满足a2+b2=c2
（3、4、5）（6，8，10），(5, 12, 13)，(7, 24, 25)，(8, 15, 17)，(9, 40, 41)，(11, 60, 61)等
常见的勾股数
典例分析
例3 下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B. 0.3，0.4，0.5
C. ，， D. 9，12，15
变式训练 下列各组数不是勾股数的是（ ）
A．a=3，b=4，c=5 B. a=30，b=40，c=50
C. a=8，b=15，c=17 D. a=7，b=14，c=15
典例分析
如图一块试验田，已知CD=3m，AD=4m，AB=13m，BC=12m，∠ADC=90°，求这块试验田的面积．
解：连接AC
∵CD=3m，AD=4m，∠ADC=90°
∴AC==5m
∴在△ABC中，∵AC=5m，AB=13m，BC=12m
∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC是直角三角形
∴这块试验田的面积=
新知探究
勾股定理与其逆定理的对比
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是（ ）.
A. 1.5，2，2.5
B. 7，24，25
C. 8，12，15
D. 6，8，10
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）.
A.三内角之比1：2：3
B.三边长的平方之比为1：2：3
C.三边长之比为3：4：5
D.三内角之比为3：4：5
D
证明：∵ CD是△ABC的高，∴∠ADC=∠BDC=90°,
∴AC2=AD2 +CD2 =42+22=20，
BC2=BD2 +CD2 =12+22=5，
AB2=(AD + BD)2 =(4 +1)2 = 25，
∴ AC2 +BC2=AB2， ∴ △ABC是直角三角形，且∠ACB=90°.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.如图，在△ABC中，CD是高，AD=4，CD =2，BD=1，
求证：∠ACB=90°.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4.如图是用三张正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片，面积分别是1，3，4，5，8，选取其中三种（可重复选取）按如图的方式组成图案，要使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则所选取的三种纸片的面积分别是( )
A.1，4，5 B.3，4，8 C.3，4，5 D.4，4，8
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.已知△ABC的三边长分别为5，13，12，则△ABC的面积为（　）
A．30
B．60
C．78
D．不能确定
A
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6.如图所示的网格是正方形网格，P，A，B均在格点上，则
∠PAB + ∠PBA = _______.
45°
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7. 如图，在△ABC中，AB=AC，E是AC上的一点，CE=5m，BC=13m，BE=12m.
(1)判断△ABE的形状，并说明理由；
解：△ABE是直角三角形.
理由：BC =13m，BE =12 m，CE =5 m，132=169，122=144，52=25，∴BE2 + CE2= BC2,
∴∠BEC=90°，∴∠AEB=90°，∴△ABE是直角三角形.
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7. 如图，在△ABC中，AB=AC，E是AC上的一点，CE=5m，BC=13m，BE=12m.
(2)求线段AB的长.
解：设AB =AC=xm，则AE =( x-5 )m，
由(1) 可知∠AEB=90°，∴BE2 + AE2 = AB2 ,
∴122 +(x- 5)2= x2，解得x=16.9，
∴线段AB的长为16.9 m.
（第1题）
1. 如图，长为 的梯子靠在墙上，梯子
的底端离墙脚线的距离为 ，则梯子顶
端距离地面的高度 是( )
B
A. B.
C. D.
2. 圆柱形玻璃杯的底面半径为，高为 ，有一只长为
的吸管任意斜放于杯中，则吸管露出杯口外的长度至
少为( )
C
A. B. C. D.
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（第3题）
3. 如图，学校有一块直角三角形菜
地， ， .
为方便劳作，准备在菜地中间修建
一条小路.测量发现，
， ，
，则 的长为( )
B
A. B. C. D.
4.如图，一扇卷闸门用一块宽，长 的长方形木板
撑住，用这块木板最多可将这扇卷闸门撑起____ 高.
39
（第4题）
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（第5题）
5.［2025重庆沙坪坝区期中］小宁购买了拳击反
应球作为居家健身器材.如图，若将球体支架最
底端到球体支架最顶端看成一条线段 ，当
反应球被击打时，可看作线段绕着点 旋转得
到线段 （在安全角度范围内旋转）.小宁击打
反应球后与支架的水平距离为 ，当
130
时，，则球体支架_____ .
课堂小结
勾股定理的逆定理
内容：
若一个三角形的三边长为a、b、c（c为最长边），且满足a2+b2=c2
则该三角形是直角三角形，且c为斜边
应用场景：
判断三角形是否为直角三角形。
验证已知三边能否构成直角三角形（如木工、建筑中的直角校验）。
课堂小结
勾股数
定义
满足a2+b2=c2的三个正整数（a、b、c），称为勾股数
常见勾股数
（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）（8,15,17）
（6，8，10），（9，12，15）等

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