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华东师大版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.13.1.3反证法第十三章勾股定理13.1.3反证法同步练习题一、核心知识点1.反证法的定义反证法是一种间接证明法，不直接证明原命题成立，而是先假设原命题不成立，经过正确推理，推出与已知条件、公理、定理、事实相矛盾的结论，从而证明假设错误，原命题成立。2.反证法三步核心步骤（必考模板）①反设：假设原命题的结论不成立，写出结论的反面；②归谬：从假设出发，结合已知条件、定理公理，进行正确推理，推出矛盾；③存真：否定假设，肯定原命题的结论正确。3.常用结论的反面改写（高频考点）①原结论：是/成立→反面：不是/不成立②原结论：相等→反面：不相等③原结论：平行→反面：不平行④原结论：垂直→反面：不垂直⑤原结论：唯一/只有一个→反面：至少两个⑥原结论：至少一个→反面：一个也没有4.反证法适用场景①命题结论含“至多、至少、唯一、存在”等词语；②直接证明难度大、思路受阻的几何命题；③证明否定性命题、唯一性命题、存在性命题。5.本章经典应用用反证法证明：直角三角形最多只有一个直角、三角形中不可能有两个钝角、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。二、选择题（每题4分，共20分）1.反证法的第一步是（）A.推导矛盾B.假设原命题结论不成立C.直接证明结论D.肯定原命题2.用反证法证明“三角形中最多有一个直角”，应先假设（）A.三角形没有直角B.三角形至少有两个直角C.三角形有一个直角D.三角形最多两个直角3.用反证法证明“a=b”，第一步假设正确的是（）A. a≠b B. a＞b C. a＜b D. a=b不成立4.下列适合用反证法证明的命题是（）A.对顶角相等B.直角三角形两锐角互余C.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行D.两直线平行同位角相等5.反证法的核心逻辑是（）A.直接推理证明结论B.假设错误，反推原命题正确C.举例子验证命题D.依据定义直接判定三、填空题（每题4分，共24分）1.反证法的三大步骤：反设、________、存真。2.用反证法证明命题时，首先需要假设原命题的________不成立。3.证明“三角形的三个内角中至少有一个不大于60°”，应假设________。4.证明“两条直线相交只有一个交点”，反设应为________。5.反证法属于________（直接/间接）证明方法。6.推理推出矛盾后，即可否定________，肯定原命题正确。四、解答题（每题9分，共36分）1.基础反设训练：写出下列命题的反设（结论反面）(1) a平行于b(2)三角形ABC是直角三角形(3)线段AB与CD相等2.基础证明：用反证法证明“一个三角形中不可能有两个钝角”。3.基础证明：用反证法证明“垂直于同一直线的两条直线互相平行”。4.概念简答：简述反证法的证明逻辑和适用题型特点。五、综合应用题（共20分）1.几何综合证明：用反证法证明“直角三角形的两个锐角互余，且不可能有直角和钝角并存”。（10分）2.定理证明：用反证法证明“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直”。（10分）---参考答案一、选择题1.B 2.B 3.A 4.C 5.B二、填空题1.归谬2.结论3.三角形三个内角都大于60°4.两条直线相交至少有两个交点5.间接6.假设三、解答题1.解：(1)反设：a不平行于b；(2)反设：△ABC不是直角三角形；(3)反设：线段AB与CD不相等。2.证明：反设：假设△ABC中有两个钝角，不妨设∠A＞90°，∠B＞90°。归谬：则∠A+∠B＞180°，又三角形内角和为180°，即∠A+∠B+∠C=180°，可推出∠C＜0°，与角度定义矛盾。存真：因此假设不成立，故一个三角形中不可能有两个钝角。3.证明：已知：直线a⊥l，直线b⊥l反设：假设a、b不平行，则a、b相交。归谬：a、b相交于一点，则过该点有两条直线都垂直于直线l，与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的定理矛盾。存真：假设不成立，故垂直于同一直线的两条直线互相平行。4.答：证明逻辑：先否定原命题结论，通过严谨推理推出矛盾，推翻假设，反向证明原命题正确。适用题型：含至多、至少、唯一、存在的命题，否定性命题，直接证明难度大的几何命题。四、综合应用题1.证明：反设：假设直角三角形中，除直角外，至少有一个锐角≥90°，或三角形存在直角与钝角并存。归谬：已知三角形有一个直角为90°，若另有一个角≥90°，则三角形内角和＞180°，与三角形内角和定理矛盾。存真：假设不成立，故直角三角形只有一个直角，剩余两角均为锐角且互余。2.证明：反设：假设过直线外一点P，有两条不同直线a、b都垂直于已知直线l。归谬：由垂直定义，a与l夹角90°，b与l夹角90°，则a∥b，与a、b相交于点P矛盾。存真：假设不成立，故过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。本节易错点总结1.反设错误：不会写结论的反面，尤其是“至少、至多、唯一”类词语的否定。2.步骤缺失：遗漏反设、归谬、存真任意一步，证明过程不完整扣分。3.矛盾找错：推理后无法精准指出矛盾点（内角和、公理定理、已知条件）。4.概念混淆：把反证法当成直接证明，推理逻辑颠倒。5.否定不彻底：结论有多类情况时，否定不全面，导致证明失效。6.结尾遗漏：推理出矛盾后，忘记否定假设、肯定原命题结论。课堂导入
从前有个聪明的孩子叫王戎，他7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李子树上结满了果子，小伙伴纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动，有人问王戎为什么，王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李。
思考：王戎是怎么知道李子是苦的呢？他运用了怎样的推理方法？
新知探究
我们已经知道，当一个三角形的三边长a、b、c（a≤b≤c）满足关系a2+b2=c2时，这个三角形一定是直角三角形，如果此时a2+b2≠c2，那么这个三角形是否一定不是直角三角呢？
解题思路：（1）假设它是直角三角形；
（2）根据勾股定理，一定有a2+b2=c2，与已知条件a2+b2≠c2矛盾；
（3）因此假设不成立，即它不是直角三角形
从已知条件a2+b2≠c2（a≤b≤c）出发进行证明有一定的难度，那么我们可以用以上方法进行证明，这种方法叫做”反证法“
新知探究
①反设：先假设结论的反面是正确的
②归谬：通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件等想矛盾；
③结论：从而说明假设不成立，进而得出原结论正确。
反证法步骤
回想一下，以前用过类似的方法吗？
新知探究
思考
“在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C=90°，那么a2+b2=c2”是一个真命题，对于一般的非直角三角形，情况又会如何呢？即“在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C≠90°，那么a2+b2≠c2”是真命题吗？
提示：先思考做什么假设，再用反证法推理过程
典例分析
例1 .用反证法证明：已知△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°．
证明：假设∠B≥90°
∵AB=AC，∴∠B=∠C
∵∠B≥90°，∴∠C≥90°，∴∠B+∠C≥180°
又因为：在一个三角形中，三角形内角和为180°
∴不可能有两个内角和大于或等于180°
∴假设矛盾，∴假设不成立 ∴∠B＞90°
变式训练
用反证法证明：如果a+b＞0，那么a，b中至少有一个大于零．
证明：假设a、b都不大于零
即a≤0，b≤0
因为两个非正数相加还是非正数
∴a+b≤0.
这个与已知条件a+b＞0矛盾
所以假设不成立
所以a、b中至少有一个大于零
典例分析
例2 .已知：m是正整数，且m2是偶数．求证：m是偶数．（注：利用反证法证明）
证明：假设m不是偶数，则m为奇数
设m=2n+1(n为整数)
则m2=（2n+1）2=4n2+4n+1=4(n2+n)+1
因为4（n2+n)为偶数
所以4(n2+n)+1为奇数，与m2为偶数矛盾，
所以假设不成立，故为偶数
变式训练
如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是底边BC上的高，请你利用反证法证明∠DAB是一个锐角．
证明：假设∠DAB是钝角或直角
∵AB=AC，AD是底边BC上的高
∴∠BAC=2∠DAB
∵∠DAB是钝角或直角
∴2∠DAB≥180°，不符合三角形内角和定理
∴假设不成立
∴∠DAB是一个锐角
新知探究
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.已知：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C.
若用反证法来证明这个结论，可以假设( ).
A. ∠A=∠B
B. AB=BC
C. ∠B=∠C
D. ∠A=∠C
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2.用反证法证明结论为“aA. a>b
B. a≥b
C. a=b
D. a≤b
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.用反证法证明“同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设( ) .
A. a、c不垂直
B. a、b都不与c垂直
C. a⊥b
D. a与b相交
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4.求证：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角不互补，那么这两条直线不平行.(用反证法)
已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2___180°.
求证：l1与l2_______.
证明：假设l1 ____l2，
则∠1+∠2_____180°( ).
这与_______相矛盾，故______不成立. 所以________________.
≠
不平行
∥
=
两直线平行，同旁内角互补
已知
假设
l1与l2不平行
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.小明在用反证法解答“已知△ABC中， AB=AC，求证：∠B<90°”这道题时，写出了下面的四个推理步骤:
①又因为∠A>0°，所以∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和定理相矛盾；
②所以∠B<90°；③假设∠B≥90° ;
④由AB =AC，得∠B=∠C，所以∠C ≥90°;
请写出这四个步骤正确的顺序：_______________.(填序号)
③④①②
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6.在一次游戏活动中，钟老师将三个颜色不同的小球分发给小雅、小点和小训三个同学，其中有一个小球颜色是红色.
小雅说：“红色球在我手上”；
小点说：“红色球不在我手上”；
小训说：“红色球肯定不在小雅手上”.
三个同学只有一个说对了，则红色球在______的手上.
小点
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7. 已知：如图，D是△ABC内一点.
求证：△ABD，△BDC，△ADC不可能都是锐角三角形(用反证法证明).
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7. 证明：假设△ABD，△BDC，△ADC都是锐角三角形，
则∠ADB，∠BDC，∠ADC都是锐角，
∴∠ADB+∠BDC +∠ADC < 360°，
这与 ∠ADB +∠BDC +∠ADC =360°矛盾，
∴假设不成立，
∴△ABD，△BDC，△ADC不可能都是锐角三角形.
1. 用反证法证明命题“四边形中至少有一个角
不是锐角”时，应先假设( )
A. 没有一个角是钝角或直角
B. 至多有一个钝角或直角
C. 没有一个角是锐角
D. 没有一个角是钝角
√
2. 如图，在中，，点 为
内一点，连结，， ，
，求证： ，用反证
法证明时，第一步应假设( )
A. B.
C. D.
√
返回
3. 命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相
平行”，用反证法证明时，最终推出与( )矛盾.
A. 两点确定一条直线
B. 在同一平面内，过一点与已知直线垂直的直线只有一条
C. 过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条
D. 垂直的定义
【点拨】命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线
互相平行”，用反证法证明时，最终推出与在同一平面内，过
一点与已知直线垂直的直线只有一条矛盾.
√
返回
4.用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补.
【解】已知:如图,,,都被 所截.
求证: .
证明:假设 .
,
.
,
,这和平角为 矛盾,
假设 不成立,即 .
返回
5. 下列对反证法的理解错误的是( )
A. 直接证明命题比较困难时可以考虑反证法
B. 命题的结论是否定形式时可以考虑反证法
C. 反证法的假设可以作为下面证明时的条件
D. 用反证法证得的结论有时不可靠
√
返回
课堂小结
基本概念
通过假设命题结论不成立，推导出矛盾
从而证明原命题必然成立
实施步骤
(1) 假设结论不成立 (2) 进行合理推理 (3) 得出与已知条件/公理/定理矛盾的结论 (4) 推翻假设，确认原命题成立

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