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华东师大版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.13.2勾股定理的应用第十三章勾股定理13.2勾股定理的应用同步练习题一、核心知识点（必考模型）1.解题核心思想将生活实际问题、不规则图形问题，通过作高、构造垂线转化为直角三角形模型，再利用勾股定理$$a^2+b^2=c^2$$求解边长、高度、距离。2.四大必考经典模型①梯子滑动模型：墙、地面、梯子构成直角三角形，梯子长度为斜边（不变），滑动前后两次利用勾股定理求变化距离。②航海方位模型：南北、东西方向互相垂直，直接构造Rt△，结合方位角求两点距离。③折叠求边长模型：折叠前后对应边相等、对应角相等，结合勾股定理列方程求解未知边长（方程思想）。④最短路径模型：立体图形（圆柱、长方体）侧面展开为平面，两点之间线段最短，构造直角三角形求最短路径。3.万能解题步骤①审题建模：根据题意找出垂直关系，确定直角三角形；②标注边长：区分已知直角边、斜边，设未知边长为$$x$$；③列式计算：根据勾股定理列等式或方程求解；④检验取舍：边长为正数，舍去负根，作答。4.核心数学思想转化思想：立体转平面、不规则转规则、实际问题转几何模型；方程思想：未知边长不直接可求时，设未知数利用勾股定理列方程求解（考试高频）。二、选择题（每题4分，共20分）1.梯子斜靠在墙上，梯子长度不变，梯子底端向外滑动，下列说法正确的是（）A.顶端高度上升B.顶端高度下降C.顶端高度不变D.无法判断2.一艘船向正东航行、另一艘船向正北航行，两船航行路线夹角为（）A. 45°B. 60°C. 90°D. 180°3.求圆柱侧面上两点最短路径的方法是（）A.直接沿曲面测量B.侧面展开为平面，连线用勾股定理C.沿圆柱高线计算D.沿底面周长计算4.直角三角形两直角边为6、8，则斜边上的高为（）A. 4.8 B. 5 C. 6 D. 105.折叠问题求解的关键是（）A.角度变大B.折叠前后对应边相等C.图形面积变大D.图形周长不变三、填空题（每题4分，共24分）1.解决勾股定理实际问题的核心是把实际问题转化为________三角形问题。2.立体图形最短路径问题，需要将立体图形________为平面图形求解。3.长13m的梯子，底端离墙5m，梯子顶端距地面高度为________m。4.直角三角形两直角边为9、12，斜边为________。5.勾股定理折叠问题常用________思想，设未知数列方程求解。6.正东与正北方向互相________，可直接构造直角三角形。四、解答题（每题9分，共36分）1.基础梯子模型：一架云梯长25米，斜靠在墙上，梯子底端离墙7米，求梯子顶端距离地面的高度。2.基础航海模型：甲船向正东方向以3km/h航行，乙船向正北方向以4km/h航行，1小时后，两船相距多少千米？3.高求值模型：已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，求斜边AB上的高CD的长度。4.路径基础模型：圆柱底面周长为12cm，高为5cm，侧面展开后，底面一端到另一端顶端的最短距离是多少？五、综合应用题（共20分）1.折叠综合题型（10分）：长方形纸片ABCD，AB=8cm，BC=6cm，将纸片沿BD折叠，求折叠后重合部分相关边长（利用勾股定理方程思想求解）。2.梯子滑动综合题型（10分）：一架长25m的梯子斜靠在竖直墙上，底端距墙7m，若梯子底端向外滑动8m，求梯子顶端下滑的距离。---参考答案一、选择题1.B 2.C 3.B 4.A 5.B二、填空题1.直角2.展开3. 124. 155.方程6.垂直三、解答题1.解：由题意得：斜边c=25m，直角边a=7m，设顶端高度为b由勾股定理：$$b=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{625-49}=\sqrt{576}=24$$答：梯子顶端距离地面高度为24米。2.解：1小时后，甲船航行3km，乙船航行4km，东西、正北方向垂直，构成直角三角形。两船距离$$=\sqrt{3^2+4^2}=5$$（km）答：两船相距5千米。3.解：由勾股定理得：$$AB=\sqrt{5^2+12^2}=13$$利用直角三角形面积两种算法：$$S=\frac12\times AC\times BC=\frac12\times AB\times CD$$$$CD=\frac{5\times12}{13}=\frac{60}{13}$$答：斜边上的高为$$\frac{60}{13}$$。4.解：侧面展开后为长方形，长=底面周长一半=6cm，高=5cm最短距离为斜边：$$\sqrt{6^2+5^2}=\sqrt{36+25}=\sqrt{61}$$答：最短距离为$$\sqrt{61}\ \text{cm}$$。四、综合应用题1.解：已知长方形ABCD，AB=8，BC=6，∠A=90°BD为对角线，由勾股定理：$$BD=\sqrt{8^2+6^2}=10$$设折叠后重合部分边长为$$x$$，利用折叠性质：对应边相等，结合勾股定理列方程：$$x^2=6^2+(8-x)^2$$展开：$$x^2=36+64-16x+x^2$$化简得：$$16x=100$$，解得$$x=6.25$$可求出对应重合部分各边长，完成求解。2.解：①初始状态：梯子长25m，底端7m，顶端高24m（第一题结论）②滑动后：底端向外滑动8m，新底端距离=7+8=15m滑动后顶端高度：$$\sqrt{25^2-15^2}=\sqrt{625-225}=\sqrt{400}=20$$（m）③顶端下滑距离：24-20=4（m）答：梯子顶端下滑4米。本节易错点总结1.模型不会转化：不会把生活场景、立体图形转化为直角三角形，无从下手。2.斜边直角边混淆：梯子、路径长度为斜边，地面、墙面为直角边，极易搞反。3.立体展开出错：圆柱展开误用完整周长，正确应为半周长，导致边长计算错误。4.不会用方程思想：折叠问题未知边多，不会设未知数，无法建立勾股方程。5.面积法遗忘：求直角三角形斜边上的高，不会用等面积法快速求解。6.滑动问题漏步骤：梯子滑动问题只算滑动后高度，忘记求高度差，答题不完整。旧知复习
勾股定理及其逆定理
课堂导入
《九章算术》“勾股”章记载：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”题目大意：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度为多少？（注：1丈=10尺）．
可以设竹子未折断部分的高度为x尺，折断部分的高为（10-x）尺，利用勾股定理即可求解
新知探究
探究一：如图所示，一个圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径。一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，求这只蚂蚁爬行的最短路程（精确到0.01cm）
思考：蚂蚁要如何爬行，才能使得从点A到点C的路程最短？
新知探究
分析：蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，如果将这半个侧面展开如图所示，得到长方形ABCD，根据“两点之间线段最短”，所求的爬行的最短路程就是这一展开图------长方形ABCD的对角线AC的长
方法探究
新知探究
解决问题
如图所示，在Rt△ABC中，BC=圆柱体地面周长的一半=10cm
由勾股定理可得：
答：这只蚂蚁爬行的最短路程约为10.77cm
典例分析
例1 .如图，圆柱形玻璃杯高为7cm，底面周长为16cm．在杯内离杯底2cm的点C处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿1cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为多少
先分析清楚蚂蚁的路线，区别本题与探究中的试题的区别
典例分析
解析：如图所示将圆柱的侧面展开
解：根据题意，
∴BC=BD-CD=5cm，作点A关于直线FB的对称点G，连接CG，则CG为所求最短距离，则FG=AF=1cm
过点G作GE⊥CB，交CB的延长线于点E，则四边形FBEG是矩形
故FB=EG=8cm，EB=FG=1cm，∠GEB=90° ，故CE=BC+BE=6cm
故
∴蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为10cm
变式训练
如图是一个底面周长为10cm，高AB为12cm的圆柱模型，BC是底面直径．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（ ）
A. B. C . D. 26cm
提示：将圆柱的侧面展开，根据题意可知AB=12cm，BC=5cm，利用勾股定理解得AC的长度，然后计算装饰带长度的最短值即可
典例分析
例2 .消防员是城市的守护者．图1是消防员某次消防救援时的工作图，图2是其几何示意图，已知云梯长AB=CD=20m，云梯底部（点C、A）距离地面3m，消防车从距离地面15m高的点B处完成救援后，还要从距离地面19m高的点处进行救援，这时云梯底部需要向楼房靠近多少米？（点A、C、O在同一水平线上，所有点在同一竖直平面内）
典例分析
解题思路
由题意可得OE=3，BE=15，DE=19，则OB=BE-OE=16
在Rt△OAB中，∠AOB=90°，AB=20，OB=12
由勾股定理可得
在Rt△OCD中，∠COD=90°，CD=20，OD=12
由勾股定理得
∴AC=OA-OC=16-12=4(m)
答：云梯底部需要向楼房靠紧4cm
本题主要解题关键在滑落的过程中梯子的长度不发生变化
典例分析
例3 .2025年第18号超强台风“桦加沙”登陆我国沿海地区．如图，台风“桦加沙”中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且AC=300km，BC=400km，AB=500km．经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响，海港C会受到台风影响吗？为什么？
提示：根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出∠ACB的度数，利用三角形面积得出CD的长，进而得出CD的长，再得出海港C是否受台风影响
典例分析
解题思路
解：海港C受台风影响，理由如下：
∵AC2+BC2=3002+4002=5002=AB2
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°
过点C作CD⊥AB于D
∵△ABC是直角三角形
∴
∴CD=240km，∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响，∴海港C受台风影响
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，在△ABC中，点P在直线AC上移动. 若AB =AC =5，BC=6，则BP的最小值为( ).
A.4
B.5
C.4.8
D.6
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2.如图，一圆柱形容器(厚度忽略不计)，已知底面半径为6cm，高为16cm，现将一根长度为28cm的玻璃棒一端插入容器中，则玻璃棒露在容器外的长度的最小值是 cm.
8
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.如图，一只蚂蚁从长、宽都是3分米，高是8分米的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它爬行的最短路线的长是__________.
10分米
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4.小明到图书馆借书时，了解到图书馆要购买一批宽为2.4m的书架，欲通过如图所示形状的门(下方为长方形，上方为半圆形)，则书架的外形不得高于( ).
A.4.1m B.4.0m
C.3.9m D.3.8m
A
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.为筹备迎春晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠上红色油纸，如图①所示. 已知圆筒高为108cm，其横截面周长为36cm，如果在表面缠上4圈油纸，最少应裁剪多长的油纸 (油纸宽度忽略不计)
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.解：把圆筒展开成长方形，可见圆筒的高被分成4等份，于是就得到如图②所示的Rt△ABC，BC=108÷4=27(cm).
又∵AB=36cm，
由勾股定理，得AC=45cm，
∴整个油纸的长为45×4=180(cm).
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6.如图，教学楼自动感应门的正上方装着一个感应器A，离地距离
AB=2m，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，身高1.5m的小明(CD)走到离门间距CB=1.2m的地方时，感应门恰好自动打开，则该感应器感应长度AD为_______m.
1.3
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7. 我国明朝数学著作《直指算法统宗》中有一道关于勾股定理的问题:如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE=0.5m，将它往前推3m至C处时(即水平距离CD=3m)，踏板离地的垂直高度CF=2.5m，它的绳索始终拉直，求绳索AC的长度.
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7. 解：由题意可知，DE=CF=2.5m，BE=0.5m，
BD=DE-BE=2.5 - 0.5=2(m)，设AC的长为xm，
则AB=AC=xm，∴AD=AB-BD=(x-2)m，
在Rt△ADC中， AD2+CD2=AC2 ，
又∵CD=3m，(x -2)2 +32 = x2，解得x=3.25.
答：绳索AC的长度是3.25m.
1. 如图，长为的橡皮筋放置在直线上，固定两端点
和，然后把中点向上拉升至 点，则橡皮筋被拉长了
( )
（第1题）
A. B. C. D.
√
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（第2题）
2. 如图，一圆柱体
的底面周长为，高为， 是
直径，一只蚂蚁从点 出发沿着圆柱体的侧
面爬行到点 的最短路程是( )
A. B. C. D.
√
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（第3题）
3.［2025洛阳期末］如图，在离水面
高度为8米的岸上，有人用绳子拉船
靠岸，开始时绳子 的长为17米，
几分钟后船到达点 的位置，此时绳
子 的长为10米，则船向岸边移动
了___米.
9
（第4题）
4. 如图，在笔直的铁路
上有两点，，相距，， 为
两村庄，， ，
于点，于点 ，现要
在上建一个中转站，使得， 两
13.3
村庄到站的距离相等，则_____ .
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课堂小结

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