资源简介

北师大版数学九年级上册 1.3 矩形的性质与判定 一阶训练
一、选择题
1．如图，要使 ABCD成为矩形，给出下列条件：①AB=BC；②∠DAB=∠ABC；③AC=BD，其中正确的是(　　)
A．①②③ B．②③ C．①② D．①③
2．工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理是（　　）
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点 O，则下列说法正确的是(　　)
A．若AB∥CD且AC=BD， 则四边形ABCD是矩形
B．若AB=AD且CB=CD， 则四边形ABCD是菱形
C．若OA=OC且OB=OD， 则四边形ABCD是平行四边形
D．若AC⊥BD且AC=BD， 则四边形 ABCD是正方形
4．矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角相等
5．串场河曾是盐城盐运要道，河畔有两条沿河步道、互相垂直，步道的中点与观景亭被河道隔开．若测得的长为，则、两点间的距离为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，矩形的对角线，交于点，，，则＝（　　）
A．6 B．8 C． D．
7．如图，点O是△ABC边AC的中点，连接BO并延长至点D，使OD=BO，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　）
A．AB=BC B．∠ABC=90° C．∠ABD=∠ACD D．OB=OC
8．如图，已知平行四边形的对角线与相交于点O，下列结论中，不正确的是（　　）
A．当时，四边形是矩形
B．当时，四边形是菱形
C．当时，四边形是矩形
D．当时，四边形是菱形
9．如图，在矩形中，对角线与相交于点，若，则的长是（　　）
A．6 B．3 C． D．4
10．如图，过矩形对角线的交点，且分别交，于、，若，，那么图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．在矩形ABCD中，若AC＝7，则BD＝　 　.
12．四边形具有不稳定性．如图，矩形按箭头方向变形成平行四边形，变形后，若矩形的面积是12，则平行四边形的面积是 　 　．
13．如图，是矩形的对角线，平分交于点．若，则　 　．
14．如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，3），则AC＝　 　．
15．如下图，在平行四边形中，增加一个条件后，平行四边形就成为矩形，这个条件可以是　 　
三、解答题
16．如图，一个木匠要制作一块矩形的木板.他在一块对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形木板.为什么
17．如图，某草莓园购买了39m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏靠墙(墙长15m)围建一个中间带有铁栅栏的自由采摘区即矩形ABCD，且EF⊥墙面CD。
（1）若矩形自由采摘区面积为　 　120m2，请你求出AB和BC分别是多少
（2）为了项目扩建发展，矩形自由采摘区的面积需改为130m2，这一想法能实现吗 请说明理由。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：①，邻边相等的平行四边形为菱形，故①不符合题意；
②，
在中，，
（两直线平行，同旁内角互补），
，有一个内角为直角的平行四边形为矩形，故②符合题意；
③，对角线相等的平行四边形为矩形，故③符合题意；
综上，其中正确的是②③．
故答案为：B.
【分析】根据矩形的判定定理逐一判断即可．
2．【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：由题意，其中的道理是对角线相等的平行四边形为矩形．
故答案为：D．
【分析】依据"对角线相等的平行四边形是矩形"这一判定定理来进行判断即可．
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
4．【答案】A
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A、矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等，故本选项符合题意；
B、矩形和菱形对角线都互相平分，故本选项不符合题意；
C、菱形的对角线垂直，矩形的对角线不一定垂直，故本选项不符合题意；
D、矩形和菱形都是对角相等，故本选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】矩形对角线相等且互相平分，四个内角都是直角；菱形对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角，对角相等，邻角互补，据此逐一判断得出答案.
5．【答案】C
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵河畔有两条沿河步道、互相垂直，点为步道的中点，的长为，
∴．
故答案为：C
【分析】本题考查直角三角形的重要性质——斜边上的中线等于斜边的一半。首先由 可判定 是直角三角形，斜边为 ，而 是 的中点，即 是直角三角形斜边上的中线，因此直接用斜边 的长度除以2，就能得到 的长度。
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：矩形对角线相等且互相平分，
∴OA=OB.
已知∠AOB=60 ，
有一组邻边相等且夹角为60 ，△AOB是等边三角形.
∴OA=OB=AB=4，
对角线AC=2OA=8.
矩形∠ABC=90 ，
在Rt△ABC中：BC== =.
故答案为：C .
【分析】由矩形对角线平分相等推出OA=OB，结合∠AOB=60 判定等边三角形，得到对角线长度；再在矩形自带的直角三角形内，用勾股定理求出另一条直角边BC.
7．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵点O是△ABC边AC的中点
∴AO=OC
∵OD=BO
∴四边形ABCD是平行四边形
A、当AB=BC时，是菱形，不符合题意；
B、当∠ABC=90°时，是矩形，符合题意；
C、由四边形ABCD是平行四边形，所以，所以，添加条件，可得，所以OD=OC，所以AC=BD，可证是矩形，符合题意；
D、由OB=OC，得AC=BD，可证是矩形，符合题意；
故答案为：A.
【分析】本题考查矩形的判定.由已知条件可先判定四边形ABCD是平行四边形；选项A可根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”判定是菱形；选项B可由“有一个角是直角的平行四边形是矩形”直接判定；选项C结合平行线的性质与“等角对等边”推出对角线AC=BD，根据“对角线相等的四边形是平行四边形”判定矩形；选项D与选项C判定方法相同.
8．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A．，
，
是矩形，
故结论正确，但不符合题意；
B．，
是菱形，
故结论正确，但不符合题意；
C．四边形是平行四边形，
，，
又，
，
是矩形，
故结论正确，但不符合题意；
D．当时，四边形不一定是菱形，
故结论错误，符合题意，
故选：D．
【分析】根据平行四边形性质，结合矩形，菱形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵在矩形中，
∴，，且，
∵
∴是等边三角形，
∴，
∴．
故答案为：C。
【分析】先根据矩形的性质得出，，，然后根据等边三角形的判定及性质得到，最后根据勾股定理列式计算即可求出AD。
10．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵矩形中，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分，对边相等可得，进而可得，利用全等三角形的面积相等得出，从而进一步求解即可.
11．【答案】7
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AC、BD是矩形的两条对角线，
∴。
故答案为：7
【分析】本题考查矩形的对角线性质。解题时依据矩形对角线相等的基本性质，已知其中一条对角线的长度，即可直接得到另一条对角线的长度，完成填空。
12．【答案】6
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：过点作于点E，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：6．
【分析】过点作于点E，根据含30°角的直角三角形性质可得B'E，再根据平行四边形面积即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】矩形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵是矩形的对角线，
∴，
∵平分交于点．
∴
∴
∵
∴，
故答案为：
【分析】
先根据矩形的性质和角平分线求出，结合已知条件=10°，利用角的和差关系求出，最后根据平行线的性质进行解答即可．
14．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】如图，连接BO，
∵B的坐标为（2，3），
∴OB=
∵四边形OABC是矩形
∴AC=OB=
故答案为：．
【分析】连接BO，根据两点间距离可得OB，再根据矩形性质即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
当时， 平行四边形就成为矩形。
故答案为：．
【分析】矩形的判定定理，如“有一个角是直角的平行四边形是矩形”、“对角线相等的平行四边形是矩形”。因此本题依据条件并结合矩形的判定定理，可以增加的条件有或AC=BD等均可。
16．【答案】解：因为长木板的对边平行，由已知，得此四边形的四个内角都为直角，所以他能得到矩形木板.
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】根据矩形判定定理即可求出答案.
17．【答案】（1）解：设BC= xm， 则AB= (39-3x)由题意可得：x(39-3x)=120整理得：解得： x1=5， x2=8，当x=5时， 39-3x=24>15， 不符合题意；当x=8时， 39-3x=15， 符合题意；答： AB和BC分别为15m与8m
（2）解：设BC= xm， 则AB= (39-3x)m，
由题意得：x(39-3x) =130，
整理得：
方程无实数解；所以想法不能实现
【知识点】矩形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设BC= xm， 则AB= (39-3x)，根据矩形面积建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设BC= xm， 则AB= (39-3x)m，根据矩形面积建立方程，根据二次方程判别式，可得方程无解.
1 / 1北师大版数学九年级上册 1.3 矩形的性质与判定 一阶训练
一、选择题
1．如图，要使 ABCD成为矩形，给出下列条件：①AB=BC；②∠DAB=∠ABC；③AC=BD，其中正确的是(　　)
A．①②③ B．②③ C．①② D．①③
【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：①，邻边相等的平行四边形为菱形，故①不符合题意；
②，
在中，，
（两直线平行，同旁内角互补），
，有一个内角为直角的平行四边形为矩形，故②符合题意；
③，对角线相等的平行四边形为矩形，故③符合题意；
综上，其中正确的是②③．
故答案为：B.
【分析】根据矩形的判定定理逐一判断即可．
2．工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理是（　　）
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：由题意，其中的道理是对角线相等的平行四边形为矩形．
故答案为：D．
【分析】依据"对角线相等的平行四边形是矩形"这一判定定理来进行判断即可．
3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点 O，则下列说法正确的是(　　)
A．若AB∥CD且AC=BD， 则四边形ABCD是矩形
B．若AB=AD且CB=CD， 则四边形ABCD是菱形
C．若OA=OC且OB=OD， 则四边形ABCD是平行四边形
D．若AC⊥BD且AC=BD， 则四边形 ABCD是正方形
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
4．矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角相等
【答案】A
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A、矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等，故本选项符合题意；
B、矩形和菱形对角线都互相平分，故本选项不符合题意；
C、菱形的对角线垂直，矩形的对角线不一定垂直，故本选项不符合题意；
D、矩形和菱形都是对角相等，故本选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】矩形对角线相等且互相平分，四个内角都是直角；菱形对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角，对角相等，邻角互补，据此逐一判断得出答案.
5．串场河曾是盐城盐运要道，河畔有两条沿河步道、互相垂直，步道的中点与观景亭被河道隔开．若测得的长为，则、两点间的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵河畔有两条沿河步道、互相垂直，点为步道的中点，的长为，
∴．
故答案为：C
【分析】本题考查直角三角形的重要性质——斜边上的中线等于斜边的一半。首先由 可判定 是直角三角形，斜边为 ，而 是 的中点，即 是直角三角形斜边上的中线，因此直接用斜边 的长度除以2，就能得到 的长度。
6．如图，矩形的对角线，交于点，，，则＝（　　）
A．6 B．8 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：矩形对角线相等且互相平分，
∴OA=OB.
已知∠AOB=60 ，
有一组邻边相等且夹角为60 ，△AOB是等边三角形.
∴OA=OB=AB=4，
对角线AC=2OA=8.
矩形∠ABC=90 ，
在Rt△ABC中：BC== =.
故答案为：C .
【分析】由矩形对角线平分相等推出OA=OB，结合∠AOB=60 判定等边三角形，得到对角线长度；再在矩形自带的直角三角形内，用勾股定理求出另一条直角边BC.
7．如图，点O是△ABC边AC的中点，连接BO并延长至点D，使OD=BO，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　）
A．AB=BC B．∠ABC=90° C．∠ABD=∠ACD D．OB=OC
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵点O是△ABC边AC的中点
∴AO=OC
∵OD=BO
∴四边形ABCD是平行四边形
A、当AB=BC时，是菱形，不符合题意；
B、当∠ABC=90°时，是矩形，符合题意；
C、由四边形ABCD是平行四边形，所以，所以，添加条件，可得，所以OD=OC，所以AC=BD，可证是矩形，符合题意；
D、由OB=OC，得AC=BD，可证是矩形，符合题意；
故答案为：A.
【分析】本题考查矩形的判定.由已知条件可先判定四边形ABCD是平行四边形；选项A可根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”判定是菱形；选项B可由“有一个角是直角的平行四边形是矩形”直接判定；选项C结合平行线的性质与“等角对等边”推出对角线AC=BD，根据“对角线相等的四边形是平行四边形”判定矩形；选项D与选项C判定方法相同.
8．如图，已知平行四边形的对角线与相交于点O，下列结论中，不正确的是（　　）
A．当时，四边形是矩形
B．当时，四边形是菱形
C．当时，四边形是矩形
D．当时，四边形是菱形
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A．，
，
是矩形，
故结论正确，但不符合题意；
B．，
是菱形，
故结论正确，但不符合题意；
C．四边形是平行四边形，
，，
又，
，
是矩形，
故结论正确，但不符合题意；
D．当时，四边形不一定是菱形，
故结论错误，符合题意，
故选：D．
【分析】根据平行四边形性质，结合矩形，菱形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
9．如图，在矩形中，对角线与相交于点，若，则的长是（　　）
A．6 B．3 C． D．4
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵在矩形中，
∴，，且，
∵
∴是等边三角形，
∴，
∴．
故答案为：C。
【分析】先根据矩形的性质得出，，，然后根据等边三角形的判定及性质得到，最后根据勾股定理列式计算即可求出AD。
10．如图，过矩形对角线的交点，且分别交，于、，若，，那么图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵矩形中，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分，对边相等可得，进而可得，利用全等三角形的面积相等得出，从而进一步求解即可.
二、填空题
11．在矩形ABCD中，若AC＝7，则BD＝　 　.
【答案】7
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AC、BD是矩形的两条对角线，
∴。
故答案为：7
【分析】本题考查矩形的对角线性质。解题时依据矩形对角线相等的基本性质，已知其中一条对角线的长度，即可直接得到另一条对角线的长度，完成填空。
12．四边形具有不稳定性．如图，矩形按箭头方向变形成平行四边形，变形后，若矩形的面积是12，则平行四边形的面积是 　 　．
【答案】6
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：过点作于点E，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：6．
【分析】过点作于点E，根据含30°角的直角三角形性质可得B'E，再根据平行四边形面积即可求出答案.
13．如图，是矩形的对角线，平分交于点．若，则　 　．
【答案】
【知识点】矩形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵是矩形的对角线，
∴，
∵平分交于点．
∴
∴
∵
∴，
故答案为：
【分析】
先根据矩形的性质和角平分线求出，结合已知条件=10°，利用角的和差关系求出，最后根据平行线的性质进行解答即可．
14．如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，3），则AC＝　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】如图，连接BO，
∵B的坐标为（2，3），
∴OB=
∵四边形OABC是矩形
∴AC=OB=
故答案为：．
【分析】连接BO，根据两点间距离可得OB，再根据矩形性质即可求出答案.
15．如下图，在平行四边形中，增加一个条件后，平行四边形就成为矩形，这个条件可以是　 　
【答案】
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
当时， 平行四边形就成为矩形。
故答案为：．
【分析】矩形的判定定理，如“有一个角是直角的平行四边形是矩形”、“对角线相等的平行四边形是矩形”。因此本题依据条件并结合矩形的判定定理，可以增加的条件有或AC=BD等均可。
三、解答题
16．如图，一个木匠要制作一块矩形的木板.他在一块对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形木板.为什么
【答案】解：因为长木板的对边平行，由已知，得此四边形的四个内角都为直角，所以他能得到矩形木板.
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】根据矩形判定定理即可求出答案.
17．如图，某草莓园购买了39m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏靠墙(墙长15m)围建一个中间带有铁栅栏的自由采摘区即矩形ABCD，且EF⊥墙面CD。
（1）若矩形自由采摘区面积为　 　120m2，请你求出AB和BC分别是多少
（2）为了项目扩建发展，矩形自由采摘区的面积需改为130m2，这一想法能实现吗 请说明理由。
【答案】（1）解：设BC= xm， 则AB= (39-3x)由题意可得：x(39-3x)=120整理得：解得： x1=5， x2=8，当x=5时， 39-3x=24>15， 不符合题意；当x=8时， 39-3x=15， 符合题意；答： AB和BC分别为15m与8m
（2）解：设BC= xm， 则AB= (39-3x)m，
由题意得：x(39-3x) =130，
整理得：
方程无实数解；所以想法不能实现
【知识点】矩形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设BC= xm， 则AB= (39-3x)，根据矩形面积建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设BC= xm， 则AB= (39-3x)m，根据矩形面积建立方程，根据二次方程判别式，可得方程无解.
1 / 1

展开更多......

收起↑