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北师大版数学九年级上册 1.3 矩形的性质与判定 三阶训练
一、选择题
1．如图，在矩形ABCD中，点E为BC中点，点F为AE中点，，则BC的长为（　　）.
A． B．4 C．2 D．
2．如图，△ABC中，E，F分别是，的中点，点D在上，延长交于N，，，，则（　　）
A．2 B． C．1 D．
3．如图，在矩形ABCD中， AC为对角线， AF平分∠CAB交BC于点F，点E是CD上一点，连接AE、EF，的值为（　　)若∠EAF=45°， AB=4， BC=3，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
4． 如图， 在△ABC中，点D在AC上， CE⊥AB， BD与CE交于点O， 且BE=CD.小明思考后得出以下结论： ①若D是AC的中点， 则∠BDC=3∠ABD；②当E为AB中点时，△ABC是等边三角形；则下列说法正确的是(　　)
A．①②都正确 B．①②都错误
C．①正确②错误 D．①错误②正确
5．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，若∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是（　　)。
A． B． C． D．
6．如图，已知四边形纸片，E，F，G，H是四条边上的中点，连结，分别过点H，F作于点I，于点J，沿，，将四边形纸片剪成四个小四边形纸片，记为①，②，③，④，将这四张纸片恰好可以无重叠、无缝隙地拼成一个新的四边形纸片 (①沿方向平移，④和②分别绕点H和点G旋转)．若，，，则四边形的周长是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，矩形中，点与轴正半轴的夹角为．若矩形绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第2026秒时，矩形的对角线交点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，的对角线交于点，，分别是边，的中点，连接，．下列结论：①四边形是平行四边形；②若，则四边形是矩形；③若，则四边形是菱形；④若，，，则．其中正确的是（　　）
A．①② B．①②③ C．①④ D．①②③④
二、填空题
9．如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC的垂直平分线 EF 分别交 BC，AD于点E， F， AE=6， ∠AEB=60°，则EF的值为　 　.
10．如图，在矩形中，点E，F，M分别在，，边上，分别交对角线、线段于点G，H，且是的中点．若，则的长为　 　．
11．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接．若将绕点B顺时针旋转90°，得到，则点的坐标为　 　．
12．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，将△ABC沿射线BC方向平移至△A'B'C'，将点B绕点A 逆时针旋转90°得到点 D，连接DA'，DC'，在平移过程中，|A'D-C'D|的最大值为　 　。
三、解答题
13．【问题呈现】
小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值．
【问题分析】
小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．
【问题解决】
如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：
（1）证明：；
（2）的大小为 度，线段长度的最小值为________．
【方法应用】
某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米．
14．如图，直线分别与x轴，y轴交于A、B两点，与直线交于点．
（1）点坐标为(________，________)．
（2）在直线上有一点E，过点E作y轴的平行线交直线于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，以、、、为顶点四边形是平行四边形；
（3）若点P为直线上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得、、、四个点能构成一个矩形．若存在，直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：延长DF交CB的延长线于点G，设CE=x，则BC=2x，
∵ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC=2x，
∴∠ADG=∠G，∠DAF=∠GEA，
又∵点F是AE的中点，
∴AF=FE，
∴△ADF≌△EGF，
∴GE=AD=BC=2x，DG=2DF=，
∴CG=3x，
在Rt△GDC和Rt△DEC中，DC2=DG2-GC2=DE2-CE2，即DC2=2-(3x)2=42-x2，
解得x=，
∴BC=2x=，
故答案为：D.
【分析】延长DF交CB的延长线于点G，设CE=x，则BC=2x，根据矩形的性质，利用AAS得到△ADF≌△EGF，即可得到GE=AD=BC=2x，DG=2DF=，再在Rt△GDC和Rt△DEC中，根据勾股定理得到DC2=DG2-GC2=DE2-CE2，求出x的值解答即可.
2．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：
∵E是AB的中点，
∴ED是斜边AB上的中线，
∵E， F分别是AB， AC的中点，
∴EF是 的中位线.
故选： C.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线求得ED的长度，由三角形中位线定理求得EF的长度，根据线段的和差解答即可.
3．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图
∵四边形ABCD是矩形
∴∠D=∠DAB=90°
∵AB=4，BC=3
∴
∵∠EAF=45°
∴∠2+∠3=45°，∠1+∠4=45°
∵AF平分∠CAB
∴∠3=∠4
∴∠1=∠2
作EG⊥AC于点G
设DE=x，则CE=4-x
∴ED=EG=x
∵∠D=∠EGA=90°，AE=AE
∴Rt△AED≌Rt△AEG
∴AG=AD=3
∴CG=5-3=2
在Rt△CEG中，EG2+CG2=CE2
∴x2+22=(4-x)2
解得：
∴
∴
故答案为：A
【分析】根据矩形性质可得∠D=∠DAB=90°，根据勾股定理可得AC，根据角之间的关系，结合角平分线定义可得∠1=∠2，作EG⊥AC于点G，设DE=x，则CE=4-x，ED=EG=x，根据全等三角形判定定理可得Rt△AED≌Rt△AEG，则AG=AD=3，根据边之间的关系可得CG，再根据勾股定理建立方程，解方程可得x，再根据勾股定理可得AE，再根据边之间的关系即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：①如图，连接，
∵，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故①正确；
②∵E为中点时，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴是等腰三角形，
由题意，无法证明是等边三角形，故②错误；
综上，①正确②错误；
故选：C．
【分析】连接，根据斜边中线定理得到，得到，由得到，得到，再利用三角形外角的性质即可判断①；根据垂直平分线的性质得到，则是等腰三角形，可判断②，即可得出结论．
5．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵AF = BF， 即F为AB的中点， 又DE垂直平分AC，即D为AC的中点，
∴DF为三角形ABC的中位线，
又∠ADF =90°，
∴∠C=∠ADF=90°，
又BE⊥DE， DE⊥AC，
∴∠CDE=∠E=90°，
∴四边形BCDE为矩形，
在Rt△ADF中， ∠A =30°， AF=BF=BC=2，
∴
则矩形BCDE的面积，
故答案为： A.
【分析】根据三角形的中位线定理得到DF∥CB，，然后根据平行线得到∠C=90°，根据垂直得到∠CDE=∠E=90°，即可得到四边形BCDE为矩形，在直角三角形ADF中，根据30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出AD的长，根据矩形BCED的面积公式计算即可.
6．【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；平移的性质；旋转的性质；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【解答】解：如图，
由题可知，，，
设，则，
，
矩形周长为．
故选：B．
【分析】
由旋转和平移的性质可得，，，，则四边形ILMN是矩形，此时可设，则，，再利用整式的加减运算求出周长即可．
7．【答案】D
【知识点】矩形的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵每秒旋转，8次一个循环，，
∴此时点D与第2次的点D的坐标相同，如图所示：
过点作轴于点E，由旋转的性质可知：，
∴，
∴点D的坐标为．
【分析】
首先先确定矩形对角线交点D到原点O的距离，结合题目条件，矩形每秒绕原点旋转，旋转一周为，因此每旋转 8 次，图形会回到初始位置，形成一个循环。计算可得，说明经过2026秒后，点D的位置和旋转2秒后点D的位置一致，且此时点D位于第二象限的对角线上，据此即可求出对应坐标.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，AD∥BC
∴AM∥NC
∵，分别是边，的中点
∴
∴AM=NC
∴四边形ANCM是平行四边形，①正确
②∵AB=AC，N为BC的中点
∴AN为等腰三角形ABC底边上的中线
∴AN⊥BC
∴∠ANC=90°
由①可得，四边形ANCM是平行四边形
∴四边形ANCM为矩形，②正确
③∵，N为BC的中点
∴
∴四边形ANCM为菱形，③正确
④过点A作BC的垂线，垂足为E
∵，，
∴∠ACB=30°
∴BC=2AB=8
∴
∵
∴
∵N为BC的中点
∴
∴
故答案为： B
【分析】根据平行四边形判定定理及性质可判断①；根据等腰三角形三线合一性质可得∠ANC=90°，再根据矩形判定定理可判断②；根据直线角三角形斜边上的中线性质可得，再根据菱形判定定理可判断③；过点A作BC的垂线，垂足为E，根据直角三角形两锐角互余可得∠ACB，根据含30°角的直角三角形性质可得BC，根据勾股定理可得AC，再根据三角形面积可得AE，再根据线段中点可得CN，再根据平行四边形面积可判断④.
9．【答案】6
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：设交于点，
矩形，
，
，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
．
故答案为：6 .
【分析】设交于点，根据矩形的性质，利用ASA得到，即可得到OE=OF，得到四边形是菱形，进而可得是等边三角形，即可得到EF长解答即可．
10．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】已知CF=2，BE=2CF，
∴BE=4.
过H作HN∥AB，交AD于N.
∵H为DE中点，
∴HN是△ADE的中位线，
∴HN=AE，DN=AN.
∵HN∥DC，
可证△HNM≌△FDM(AAS)，
∴HN=DF.
设矩形AD=y，在Rt△ABD中，∠ABD=30 ，
∴BD=2y，AB=y.
AE=AB BE=y 4，DF=DC CF=AB CF=y 2.
∵HN=AE=DF，列方程：
(y 4)=y 2；
y 2 =y 2；
y=.
∴AD=，AB=×=6.
AE=6 4=2，
DF=6 2=4.
以D为原点，DC为x轴，DA为y轴：
D(0，0)，A(0，)，B(6，)，C(6，0)，
E在AB上：E(2，)，F在DC上：F(4，0).
H是DE中点，由中点坐标公式：
，即H(1，).
① 直线FM经过H(1，)、F(4，0)，设解析式y=k1x+b1，
代入两点：，
解得：k1= ，b1=，
∴直线FM：y= x+，
② 直线BD经过D(0，0)、B(6，)，
斜率k2=，
解析式：y=x.
联立，
解得：x=2，y=，
得G（2，）.
两点距离公式：d=，
H(1，)，G（2，），
∴HG==.
故答案为：
【分析】先根据CF的长度，求出BE，再利用 “H是DE中点、M、H、F三点共线”，构造全等三角形，结合矩形性质，解含30 的直角三角形，求出矩形AB、AD边长；建立平面直角坐标系，写出D、E、F、H的坐标，求出直线FM、直线BD的函数解析式；联立两个一次函数解析式，求得交点G的坐标；利用两点间距离公式，计算HG的长度.
11．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；矩形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点作于点，
∴
由旋转的性质可知：，，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴
∴
∵点A的坐标为，点B的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【分析】本题考查图形旋转后的坐标变换，图形旋转后对应线段长度不变，可通过“作垂线构造直角三角形"，利用原坐标的线段长度求旋转后的坐标.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；平移的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图， 作AG⊥BC于G，作. 于H，作DE⊥AG于E，交A'H于F，在A'H延长线上取点K， 使得FK=A'F， 连接DK、C'K，
由旋转的性质得，
∴∠ADE+∠DAE=90°， ∠DEA=∠AGB=90°，
∴∠ADE=∠BAG，
∴△ADE≌△BAG(AAS)，
∴AE=BG=3，
∴EG=AG-AE=1，
∵A'H⊥B'C"，
∴∠A'HB'=90°，
∴∠A'HB'=∠AGC=∠DEG=90°，
∴四边形EFHG是矩形，
∴FH=EG=1，
由平移的性质可得， △A'B'C"≌△ABC，
又∵A'H、AG分别为△A'B'C'、△ABC对应边的高，
∴A'H=AG=4， C"H=CG=3，
∴A'F=A'H-FH=3，
∵FK=A'F=3，
∴DF是A'K的垂直平分线，
∴当D、K、C"共线时， |的最大值为
故答案为：
【分析】作AG⊥BC于G，作AH⊥B'C'于H， 作DE⊥AG于E，交A'H于F，在A'H延长线上取点K， 使得FK=A'F，连接DK、C'K，利用三线合一性质和勾股定理求出AG=4，通过证明△ADE≌△BAG得到AE=BG=3，利用矩形的判定推出四边形EFHG是矩形，得到FH=EG=1， 再利用平移的性质得到A'H=AG=4，C'H=CG=3，进而求出C'K的长，利用垂直平分线的性质得出A'D=DK，最后利用线段的性质即可求解.
13．【答案】解：问题解决：（1）证明：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，
四边形是平行四边形，
；
（2）30；
方法应用：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
当时，最小，此时最小，
作于点R，
在中，
，
在中，
，
线段长度的最小值为米．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】（2）在等边中，，
；
当时，最小，此时最小，
在中，
，
线段长度的最小值为；
【分析】（1）过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，先证出四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质及等量代换求出即可；
（2）先证出当时，最小，此时最小，再结合求出即可；
（3）过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接，先证出当时，最小，此时最小，作于点R，求出，最后求出即可.
14．【答案】（1）
（2）解：将代入直线得：，
∴，
∴，
将点代入直线得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵点的横坐标为，且点在直线上，
∴，，
∴，
∵，
∴要使以、、、为顶点四边形是平行四边形，则，
∴，
解得：或，
∴当为或时，以、、、为顶点四边形是平行四边形；
（3）解：存在，点坐标为或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；平行四边形的判定；矩形的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）将点代入直线得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
将代入一次函数得：，
解得：，
∴；
故答案为：．
（3）∵，，
∴，
∴，
∵点为直线上一点，且在中，，，
∴分以下两种情况：
①如图，以、、、四个点构成的是矩形，过点作轴于点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设点的坐标为，
∵矩形的对角线互相平分，，
∴，
解得，
∴此时点的坐标为；
②如图，以、、、四个点构成的是矩形，此时点与点重合，则，
∴，
∴此时点的坐标为；
综上所述，存在一点，使得、、、四个点能构成一个矩形，此时点的坐标为或．
【分析】（1）先利用待定系数法求出直线的解析式，再求出时，的值，由此即可得点坐标；
（2）先根据直线的解析式求出，再利用待定系数法求出直线的解析式，从而可得点的坐标，则可得的长，然后根据平行四边形的判定可得，据此建立方程，解方程即可得；
（3）分两种情况：①以、、、四个点构成的是矩形，先利用三角形的面积公式和勾股定理可得的长，从而可得点的坐标，再根据矩形的对角线互相平分、点坐标的中点公式即可得；②以、、、四个点构成的是矩形，此时点与点重合，则，根据矩形的性质可得，，由此即可得．
（1）解：将点代入直线得：，
解得，
∴直线的解析式为，
将代入一次函数得：，解得，
∴点坐标为；
故答案为：．
（2）解：将代入直线得：，即，
将点代入直线得：，解得，
∴直线的解析式为，
由题意得：点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∵，
∴要使以、、、为顶点四边形是平行四边形，则，
∴，
解得或，
所以当为或时，以、、、为顶点四边形是平行四边形．
（3）解：由上已得：，，
∴，
∴，
∵点为直线上一点，且在中，，
∴分以下两种情况：
①如图，以、、、四个点构成的是矩形，
过点作轴于点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设点的坐标为，
∵矩形的对角线互相平分，，
∴，解得，
∴此时点的坐标为；
②如图，以、、、四个点构成的是矩形，此时点与点重合，则，
∴，
∴此时点的坐标为；
综上，存在一点，使得、、、四个点能构成一个矩形，此时点的坐标为或．
1 / 1北师大版数学九年级上册 1.3 矩形的性质与判定 三阶训练
一、选择题
1．如图，在矩形ABCD中，点E为BC中点，点F为AE中点，，则BC的长为（　　）.
A． B．4 C．2 D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：延长DF交CB的延长线于点G，设CE=x，则BC=2x，
∵ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC=2x，
∴∠ADG=∠G，∠DAF=∠GEA，
又∵点F是AE的中点，
∴AF=FE，
∴△ADF≌△EGF，
∴GE=AD=BC=2x，DG=2DF=，
∴CG=3x，
在Rt△GDC和Rt△DEC中，DC2=DG2-GC2=DE2-CE2，即DC2=2-(3x)2=42-x2，
解得x=，
∴BC=2x=，
故答案为：D.
【分析】延长DF交CB的延长线于点G，设CE=x，则BC=2x，根据矩形的性质，利用AAS得到△ADF≌△EGF，即可得到GE=AD=BC=2x，DG=2DF=，再在Rt△GDC和Rt△DEC中，根据勾股定理得到DC2=DG2-GC2=DE2-CE2，求出x的值解答即可.
2．如图，△ABC中，E，F分别是，的中点，点D在上，延长交于N，，，，则（　　）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：
∵E是AB的中点，
∴ED是斜边AB上的中线，
∵E， F分别是AB， AC的中点，
∴EF是 的中位线.
故选： C.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线求得ED的长度，由三角形中位线定理求得EF的长度，根据线段的和差解答即可.
3．如图，在矩形ABCD中， AC为对角线， AF平分∠CAB交BC于点F，点E是CD上一点，连接AE、EF，的值为（　　)若∠EAF=45°， AB=4， BC=3，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图
∵四边形ABCD是矩形
∴∠D=∠DAB=90°
∵AB=4，BC=3
∴
∵∠EAF=45°
∴∠2+∠3=45°，∠1+∠4=45°
∵AF平分∠CAB
∴∠3=∠4
∴∠1=∠2
作EG⊥AC于点G
设DE=x，则CE=4-x
∴ED=EG=x
∵∠D=∠EGA=90°，AE=AE
∴Rt△AED≌Rt△AEG
∴AG=AD=3
∴CG=5-3=2
在Rt△CEG中，EG2+CG2=CE2
∴x2+22=(4-x)2
解得：
∴
∴
故答案为：A
【分析】根据矩形性质可得∠D=∠DAB=90°，根据勾股定理可得AC，根据角之间的关系，结合角平分线定义可得∠1=∠2，作EG⊥AC于点G，设DE=x，则CE=4-x，ED=EG=x，根据全等三角形判定定理可得Rt△AED≌Rt△AEG，则AG=AD=3，根据边之间的关系可得CG，再根据勾股定理建立方程，解方程可得x，再根据勾股定理可得AE，再根据边之间的关系即可求出答案.
4． 如图， 在△ABC中，点D在AC上， CE⊥AB， BD与CE交于点O， 且BE=CD.小明思考后得出以下结论： ①若D是AC的中点， 则∠BDC=3∠ABD；②当E为AB中点时，△ABC是等边三角形；则下列说法正确的是(　　)
A．①②都正确 B．①②都错误
C．①正确②错误 D．①错误②正确
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：①如图，连接，
∵，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故①正确；
②∵E为中点时，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴是等腰三角形，
由题意，无法证明是等边三角形，故②错误；
综上，①正确②错误；
故选：C．
【分析】连接，根据斜边中线定理得到，得到，由得到，得到，再利用三角形外角的性质即可判断①；根据垂直平分线的性质得到，则是等腰三角形，可判断②，即可得出结论．
5．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，若∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是（　　)。
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵AF = BF， 即F为AB的中点， 又DE垂直平分AC，即D为AC的中点，
∴DF为三角形ABC的中位线，
又∠ADF =90°，
∴∠C=∠ADF=90°，
又BE⊥DE， DE⊥AC，
∴∠CDE=∠E=90°，
∴四边形BCDE为矩形，
在Rt△ADF中， ∠A =30°， AF=BF=BC=2，
∴
则矩形BCDE的面积，
故答案为： A.
【分析】根据三角形的中位线定理得到DF∥CB，，然后根据平行线得到∠C=90°，根据垂直得到∠CDE=∠E=90°，即可得到四边形BCDE为矩形，在直角三角形ADF中，根据30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出AD的长，根据矩形BCED的面积公式计算即可.
6．如图，已知四边形纸片，E，F，G，H是四条边上的中点，连结，分别过点H，F作于点I，于点J，沿，，将四边形纸片剪成四个小四边形纸片，记为①，②，③，④，将这四张纸片恰好可以无重叠、无缝隙地拼成一个新的四边形纸片 (①沿方向平移，④和②分别绕点H和点G旋转)．若，，，则四边形的周长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；平移的性质；旋转的性质；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【解答】解：如图，
由题可知，，，
设，则，
，
矩形周长为．
故选：B．
【分析】
由旋转和平移的性质可得，，，，则四边形ILMN是矩形，此时可设，则，，再利用整式的加减运算求出周长即可．
7．如图，矩形中，点与轴正半轴的夹角为．若矩形绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第2026秒时，矩形的对角线交点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵每秒旋转，8次一个循环，，
∴此时点D与第2次的点D的坐标相同，如图所示：
过点作轴于点E，由旋转的性质可知：，
∴，
∴点D的坐标为．
【分析】
首先先确定矩形对角线交点D到原点O的距离，结合题目条件，矩形每秒绕原点旋转，旋转一周为，因此每旋转 8 次，图形会回到初始位置，形成一个循环。计算可得，说明经过2026秒后，点D的位置和旋转2秒后点D的位置一致，且此时点D位于第二象限的对角线上，据此即可求出对应坐标.
8．如图，的对角线交于点，，分别是边，的中点，连接，．下列结论：①四边形是平行四边形；②若，则四边形是矩形；③若，则四边形是菱形；④若，，，则．其中正确的是（　　）
A．①② B．①②③ C．①④ D．①②③④
【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，AD∥BC
∴AM∥NC
∵，分别是边，的中点
∴
∴AM=NC
∴四边形ANCM是平行四边形，①正确
②∵AB=AC，N为BC的中点
∴AN为等腰三角形ABC底边上的中线
∴AN⊥BC
∴∠ANC=90°
由①可得，四边形ANCM是平行四边形
∴四边形ANCM为矩形，②正确
③∵，N为BC的中点
∴
∴四边形ANCM为菱形，③正确
④过点A作BC的垂线，垂足为E
∵，，
∴∠ACB=30°
∴BC=2AB=8
∴
∵
∴
∵N为BC的中点
∴
∴
故答案为： B
【分析】根据平行四边形判定定理及性质可判断①；根据等腰三角形三线合一性质可得∠ANC=90°，再根据矩形判定定理可判断②；根据直线角三角形斜边上的中线性质可得，再根据菱形判定定理可判断③；过点A作BC的垂线，垂足为E，根据直角三角形两锐角互余可得∠ACB，根据含30°角的直角三角形性质可得BC，根据勾股定理可得AC，再根据三角形面积可得AE，再根据线段中点可得CN，再根据平行四边形面积可判断④.
二、填空题
9．如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC的垂直平分线 EF 分别交 BC，AD于点E， F， AE=6， ∠AEB=60°，则EF的值为　 　.
【答案】6
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：设交于点，
矩形，
，
，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
．
故答案为：6 .
【分析】设交于点，根据矩形的性质，利用ASA得到，即可得到OE=OF，得到四边形是菱形，进而可得是等边三角形，即可得到EF长解答即可．
10．如图，在矩形中，点E，F，M分别在，，边上，分别交对角线、线段于点G，H，且是的中点．若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】已知CF=2，BE=2CF，
∴BE=4.
过H作HN∥AB，交AD于N.
∵H为DE中点，
∴HN是△ADE的中位线，
∴HN=AE，DN=AN.
∵HN∥DC，
可证△HNM≌△FDM(AAS)，
∴HN=DF.
设矩形AD=y，在Rt△ABD中，∠ABD=30 ，
∴BD=2y，AB=y.
AE=AB BE=y 4，DF=DC CF=AB CF=y 2.
∵HN=AE=DF，列方程：
(y 4)=y 2；
y 2 =y 2；
y=.
∴AD=，AB=×=6.
AE=6 4=2，
DF=6 2=4.
以D为原点，DC为x轴，DA为y轴：
D(0，0)，A(0，)，B(6，)，C(6，0)，
E在AB上：E(2，)，F在DC上：F(4，0).
H是DE中点，由中点坐标公式：
，即H(1，).
① 直线FM经过H(1，)、F(4，0)，设解析式y=k1x+b1，
代入两点：，
解得：k1= ，b1=，
∴直线FM：y= x+，
② 直线BD经过D(0，0)、B(6，)，
斜率k2=，
解析式：y=x.
联立，
解得：x=2，y=，
得G（2，）.
两点距离公式：d=，
H(1，)，G（2，），
∴HG==.
故答案为：
【分析】先根据CF的长度，求出BE，再利用 “H是DE中点、M、H、F三点共线”，构造全等三角形，结合矩形性质，解含30 的直角三角形，求出矩形AB、AD边长；建立平面直角坐标系，写出D、E、F、H的坐标，求出直线FM、直线BD的函数解析式；联立两个一次函数解析式，求得交点G的坐标；利用两点间距离公式，计算HG的长度.
11．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接．若将绕点B顺时针旋转90°，得到，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；矩形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点作于点，
∴
由旋转的性质可知：，，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴
∴
∵点A的坐标为，点B的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【分析】本题考查图形旋转后的坐标变换，图形旋转后对应线段长度不变，可通过“作垂线构造直角三角形"，利用原坐标的线段长度求旋转后的坐标.
12．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，将△ABC沿射线BC方向平移至△A'B'C'，将点B绕点A 逆时针旋转90°得到点 D，连接DA'，DC'，在平移过程中，|A'D-C'D|的最大值为　 　。
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；平移的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图， 作AG⊥BC于G，作. 于H，作DE⊥AG于E，交A'H于F，在A'H延长线上取点K， 使得FK=A'F， 连接DK、C'K，
由旋转的性质得，
∴∠ADE+∠DAE=90°， ∠DEA=∠AGB=90°，
∴∠ADE=∠BAG，
∴△ADE≌△BAG(AAS)，
∴AE=BG=3，
∴EG=AG-AE=1，
∵A'H⊥B'C"，
∴∠A'HB'=90°，
∴∠A'HB'=∠AGC=∠DEG=90°，
∴四边形EFHG是矩形，
∴FH=EG=1，
由平移的性质可得， △A'B'C"≌△ABC，
又∵A'H、AG分别为△A'B'C'、△ABC对应边的高，
∴A'H=AG=4， C"H=CG=3，
∴A'F=A'H-FH=3，
∵FK=A'F=3，
∴DF是A'K的垂直平分线，
∴当D、K、C"共线时， |的最大值为
故答案为：
【分析】作AG⊥BC于G，作AH⊥B'C'于H， 作DE⊥AG于E，交A'H于F，在A'H延长线上取点K， 使得FK=A'F，连接DK、C'K，利用三线合一性质和勾股定理求出AG=4，通过证明△ADE≌△BAG得到AE=BG=3，利用矩形的判定推出四边形EFHG是矩形，得到FH=EG=1， 再利用平移的性质得到A'H=AG=4，C'H=CG=3，进而求出C'K的长，利用垂直平分线的性质得出A'D=DK，最后利用线段的性质即可求解.
三、解答题
13．【问题呈现】
小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值．
【问题分析】
小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．
【问题解决】
如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：
（1）证明：；
（2）的大小为 度，线段长度的最小值为________．
【方法应用】
某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米．
【答案】解：问题解决：（1）证明：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，
四边形是平行四边形，
；
（2）30；
方法应用：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
当时，最小，此时最小，
作于点R，
在中，
，
在中，
，
线段长度的最小值为米．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】（2）在等边中，，
；
当时，最小，此时最小，
在中，
，
线段长度的最小值为；
【分析】（1）过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，先证出四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质及等量代换求出即可；
（2）先证出当时，最小，此时最小，再结合求出即可；
（3）过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接，先证出当时，最小，此时最小，作于点R，求出，最后求出即可.
14．如图，直线分别与x轴，y轴交于A、B两点，与直线交于点．
（1）点坐标为(________，________)．
（2）在直线上有一点E，过点E作y轴的平行线交直线于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，以、、、为顶点四边形是平行四边形；
（3）若点P为直线上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得、、、四个点能构成一个矩形．若存在，直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：将代入直线得：，
∴，
∴，
将点代入直线得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵点的横坐标为，且点在直线上，
∴，，
∴，
∵，
∴要使以、、、为顶点四边形是平行四边形，则，
∴，
解得：或，
∴当为或时，以、、、为顶点四边形是平行四边形；
（3）解：存在，点坐标为或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；平行四边形的判定；矩形的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）将点代入直线得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
将代入一次函数得：，
解得：，
∴；
故答案为：．
（3）∵，，
∴，
∴，
∵点为直线上一点，且在中，，，
∴分以下两种情况：
①如图，以、、、四个点构成的是矩形，过点作轴于点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设点的坐标为，
∵矩形的对角线互相平分，，
∴，
解得，
∴此时点的坐标为；
②如图，以、、、四个点构成的是矩形，此时点与点重合，则，
∴，
∴此时点的坐标为；
综上所述，存在一点，使得、、、四个点能构成一个矩形，此时点的坐标为或．
【分析】（1）先利用待定系数法求出直线的解析式，再求出时，的值，由此即可得点坐标；
（2）先根据直线的解析式求出，再利用待定系数法求出直线的解析式，从而可得点的坐标，则可得的长，然后根据平行四边形的判定可得，据此建立方程，解方程即可得；
（3）分两种情况：①以、、、四个点构成的是矩形，先利用三角形的面积公式和勾股定理可得的长，从而可得点的坐标，再根据矩形的对角线互相平分、点坐标的中点公式即可得；②以、、、四个点构成的是矩形，此时点与点重合，则，根据矩形的性质可得，，由此即可得．
（1）解：将点代入直线得：，
解得，
∴直线的解析式为，
将代入一次函数得：，解得，
∴点坐标为；
故答案为：．
（2）解：将代入直线得：，即，
将点代入直线得：，解得，
∴直线的解析式为，
由题意得：点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∵，
∴要使以、、、为顶点四边形是平行四边形，则，
∴，
解得或，
所以当为或时，以、、、为顶点四边形是平行四边形．
（3）解：由上已得：，，
∴，
∴，
∵点为直线上一点，且在中，，
∴分以下两种情况：
①如图，以、、、四个点构成的是矩形，
过点作轴于点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设点的坐标为，
∵矩形的对角线互相平分，，
∴，解得，
∴此时点的坐标为；
②如图，以、、、四个点构成的是矩形，此时点与点重合，则，
∴，
∴此时点的坐标为；
综上，存在一点，使得、、、四个点能构成一个矩形，此时点的坐标为或．
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