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专题2-2 圆的方程11类重难点题型汇
直线与圆的方程式是一个承上启下的章节，让即将经历圆锥曲线毒打的同学们有个铺垫
直线与圆的方程作为解析几何中的基础，不仅帮助同学们构建起图形与代数之间的桥梁，更是通往更复杂曲线——如椭圆、双曲线和抛物线等圆锥曲线研究的必经之路。掌握好这两类基本图形的性质及它们之间的位置关系，将为后续学习奠定坚实的基础，让同学们在面对更加抽象的概念时能够游刃有余。
【题型1】圆的方程 1
【题型2】点与圆的位置关系 3
【题型3】求圆的切线方程 5
【题型4】求弦长以及由弦长求直线方程 9
【题型5】圆与圆的位置关系，公切线及公共弦 12
【题型6】轨迹问题（阿氏圆，相关点法，定义法） 14
【题型7】圆的4类常考最值问题 17
【题型8】直线与半圆的交点个数问题 20
【题型9】双切线模型与切点弦方程 24
【题型10】直线与圆的联立：韦达定理计算 28
【题型11】直线与圆的综合：定点，定值，定线模型 31
【题型1】圆的方程
圆的标准方程：，其中圆心为半径为
圆的一般方程：（为常数），当
已知圆过点，则圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得圆心，半径，即可得圆的标准方程.
【详解】由在圆上，故圆心在直线上，
由在圆上，故圆心在直线上，即圆心，半径，
故方程为.
若圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】用待定系数法设出圆的标准方程，结合题意计算即可得.
【详解】设该圆方程为，则圆心为，有，
将点，代入，有，化简得，
两式相减得，即有，则，，
故该圆方程为.
若方程表示圆，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】运用圆的标准方程即可求解
【详解】方程表示圆，则，
解得，即的取值范围为.
【巩固练习1】已知，则外接圆的半径为（ ）
A． B．2 C． D．5
【答案】A
【分析】求和的垂直平分线方程，然后解方程组可得圆心，然后可解.
【详解】依题意可得，线段的垂直平分线方程为，
又的中点为，直线的斜率，
所以线段的垂直平分线斜率为，得方程为，即，
解方程组得，即圆心坐标为，所以半径．
故选：A
【巩固练习2】已知，，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出线段的中垂线，求得与轴的交点即为圆心坐标，进而求得圆的方程.
【详解】由题意，，中点为，
所以线段的中垂线为，令得，
所以，半径，所以圆M的标准方程为．
【巩固练习3】方程表示圆的充要条件是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】根据圆的一般式方程的充要条件为，代入运算求解即可.
【详解】由题意可得：，解得或，
所以方程表示圆的充要条件是或.
【巩固练习4】已知圆的方程为，若圆O的半径小于8，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将圆的一般方程转化为标准方程，从而得到关于的不等式，解之即可得解.
【详解】因为圆的方程为，
所以圆的标准方程为，故，解得或，
所以的取值范围为.
【题型2】点与圆的位置关系
1.在圆的标准方程中，判断点与圆的位置关系
判断点与：位置关系的方法:
（1）几何法（优先推荐）
设到圆心的距离为，则
①则点在外
②则点在上
③则点在内
（2）代数法
将点带入：方程内
①点在外
②点在上
③点在内
2.在圆的一般方程中，判断点与圆的位置关系
已知点和圆的一般式方程：（），
则点与圆的位置关系：
①点在外
②点在上
③点在内
已知圆的方程为，则点在（ ）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不确定
【答案】C
【分析】根据该点到圆心的距离与圆的半径进行比较即可.
【详解】圆心为，半径为，因为，所以在圆外
若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由点在圆外代入圆的方程可得，再由圆的一般方程中可得，最后求交集即可.
【详解】由题意知，故，
又由圆的一般方程，可得，即，
即或，所以实数的范围为.
【巩固练习1】若点在圆外，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆的方程可得圆心和半径，结合点与圆的位置关系分析求解.
【详解】由题意可知：圆的圆心，半径，
若点在圆外，则，
解得或，所以实数的取值范围是.
【巩固练习2】若点在圆的内部，则a的取值范围是（　　）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，将点的坐标代入圆的方程计算，即可得到结果.
【详解】由题可知，半径，所以，把点代入方程，
则，解得，所以故a的取值范围是.
【题型3】求圆的切线方程
直线与圆相切的问题
（1）圆的切线方程的求法
①点在圆上，
法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即．
法二：圆心到直线的距离等于半径．
②点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．
注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上
已知圆，直线经过点，且与圆相切，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】点斜式设出方程，利用相切可求答案.
【详解】显然斜率不存在时，不合题意；斜率存在时，设方程为，
圆心到直线的距离为，因为与圆相切，所以，
即，解得，即的方程为.
（23-24高二上·湖南长沙·期中）过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【分析】分2种情况讨论：①直线l的斜率不存在，则其方程为，易得其与圆相切；②直线l的斜率存在，设其方程为，根据直线l与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，求出k的值即可．
【详解】圆化为标准方程为，得圆心，半径为2，
当直线l的斜率不存在时，直线，此时直线l与圆相切，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，
圆心到直线l的距离为，由相切得，
所以，平方化简得，求得直线方程为，
综上，直线l的方程为或
过坐标原点作圆的两条切线，切点分别为，，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】
根据题意可得为等边三角形，可得结果.
【详解】圆化为标准方程为，其圆心为，半径为1，

由题意知，,,,,所以,所以.
所以,且,所以为等边三角形，所以.
（2024·广东韶关·二模）过点作斜率为的直线，若光线沿该直线传播经轴反射后与圆相切，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】如图，根据直线的点斜式方程求出直线PA，进而求出点A，利用反射光线的性质求出直线BA，结合点到直线的距离公式计算即可求解.
【详解】如图，设经过点的直线交x轴于点，反射直线与圆相切于点，
直线，即，令，解得，即，
又，所以，所以直线，即，
则点到直线直线的距离为，即.
【巩固练习1】过点作圆的一条切线，切点为B，则（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】先求得圆的圆心坐标和半径，再利用切线长定理即可求得的值.
【详解】因为圆，
所以圆的圆心为，半径为，
因为与圆相切，切点为B，所以，则，
因为，所以.
【巩固练习2】已知圆C：，直线l恒过点若直线l与圆C相切，求l的方程
【答案】或
【分析】分类讨论直线l的斜率存在与不存在，利用圆心到直线l的距离等于圆的半径计算即可；
(2)由题意知直线l的斜率一定存在，设直线方程，利用点到直线的距离公式和圆的垂径定理计算即可.
【详解】（1）由题意可知，圆C的圆心为，半径，
①当直线l的斜率不存在时，即l的方程为时，此时直线与圆相切，符合题意；
②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，直线l的方程为，
化为一般式：，若直线l与圆相切，
则，即，解得，：，即l：，
综上，当直线l与圆C相切时，直线l的方程为或
【巩固练习3】已知圆C：．若点，求过点的圆的切线方程；
【答案】或
【分析】求出圆的圆心与半径，分过点的直线的斜率不存在和存在两种情况，利用圆心到直线距离等于半径，即可求出切线方程；
【详解】解：由题意知圆心的坐标为，半径，
当过点的直线的斜率不存在时，方程为．
由圆心到直线的距离知，此时，直线与圆相切．
当过点的直线的斜率存在时，设方程为，
即．由题意知，
解得，∴方程为．
故过点的圆的切线方程为或．
【巩固练习4】从点射出的光线经轴反射后，与圆有公共点，则反射光线所在直线斜率的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据光学性质可得反射光线一定经过，然后根据点到直线的距离计算经过的直线和圆心的距离不超过半径即可.
【详解】根据光学性质可得，反射光线一定经过关于轴的对称点，
反射光所在直线斜率不存在时，反射光的直线方程为，由，易得该方程组无解，
于是反射光所在直线斜率存在，
设经过的直线为，若反射光和圆有公共点，则圆心到直线的距离不超过半径，
根据点到直线的距离公式，，整理得，即，解得，故斜率最小值是.
故选：A
【巩固练习5】（23-24高二上·山西朔州·期末）战国时期成书《墨经》有载曰：“景，日之光反烛人，则景在日与人之间.”这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧.在平面直角坐标系中，一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】A
【分析】先得到关于轴的对称点，然后根据反射光线经过，设出反射光线的方程，根据反射光线与圆相切列出关于的方程，则结果可求.
【详解】如图，设点与点关于轴对称，则点的坐标为，
反射光线所在直线经过点，且与圆相切，
设反射光线所在直线的斜率为，则反射光线所在直线的方程为，即，
圆的圆心为，半径，
则由圆心到反射光线所在直线的距离等于半径，可得，
即，解得或.故选：A.
【题型4】求弦长以及由弦长求直线方程
利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．
直线与圆交于A，B两点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用点到直线的距离公式，以及弦长公式即可求解.
【详解】圆的圆心为，半径为4，
由题意得圆心M到直线的距离，则，
所以的面积为．故选：A

已知直线与圆相交于两点，若，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】先计算直线到圆心的距离，然后根据勾股定理得到，从而代入条件即可解出，从而得到.
【详解】如图所示：

设坐标原点到直线的距离为，则.
设线段的中点为，则，根据勾股定理，有.
由，得，故，解得，故.
【巩固练习1】（河北石家庄·期末）圆 被直线截得的弦长等于 .
【答案】
【分析】求出给定圆的圆心和半径，再利用圆的弦长公式计算即得.
【详解】圆的圆心，半径，
则点到直线的距离，所以所求弦长为.
【巩固练习2】两平行直线与直线分别与圆M:相交于点，和，，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将圆转化为一般方程，根据知直线过圆心，进而求出，然后求出，最后求出面积.
【详解】可化为，故圆的圆心的坐标为，半径为，
因为，所以直线过圆心，即，所以，.
圆心到的距离，所以，所以的面积为.
【巩固练习3】已知圆C：，直线l恒过点当直线l与圆C相交于A，B两点，且时，求l的方程.
【答案】或
【详解】由题意可知，直线l的斜率一定存在，设斜率为k，
直线l的方程为，即，
设圆心到直线l的距离为d，则，
由垂径定理可得，，即，
整理得，，解得或，
则直线l的方程为或
【巩固练习4】已知圆关于直线对称，且过点．
(1)求证：圆与直线相切；
(2)若直线过点与圆交于两点，且，求此时直线的方程．
【答案】(1)证明见解析；(2)或．
【分析】（1）根据圆心在直线以及点在圆上，即可求解，，进而根据点到直线的距离公式求解圆心到直线的距离，与半径比较即可求解，
（2）利用圆的弦长公式可得，结合圆心到直线的距离即可求解斜率，进而可得直线方程.
【详解】（1）圆化为标准方程，即，
则因为圆关于直线对称，所以，所以，
因为圆C过点，所以，所以，
得，所以圆方程为，圆心坐标为，半径为，
故点C到直线的距离为，所以C与直线相切，
（2）设直线方程为，即，
设圆心到直线l的距离为，所以，得，所以，
所以直线l的方程为或．即或．
【题型5】圆与圆的位置关系，公切线及公共弦
1、圆和圆的五种位置关系：相离、外切、相交、内切、内含，并结合图像掌握它们的代数表示方式以及公切线条数
2、若两圆相交，则它们方程相减即为公共弦所在直线的方程
圆C：与圆的位置关系不可能（ ）
A．内含 B．内切 C．相交 D．外切
【答案】D
【分析】由题可得两圆半径与圆心，后由圆心距与两圆半径间关系可得答案.
【详解】由题可得圆C： ，则其圆心，半径为；
圆，则其圆心为，半径为. 则两圆圆心距为，
故两圆可能内含，内切，相交，不可能外切，外离.
已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据公切线的条数可知两圆外离得：。
【详解】根据题意可知，圆外离，，又．
圆与圆相交所得公共弦长为 ．
【答案】
【分析】两圆方程作差得公共弦所在直线方程，利用点到直线的距离公式可得到直线的距离，最后由即可得解.
【详解】记圆，圆，两个方程作差可得，，
所以两圆公共弦所在直线方程为，圆心到直线的距离为，
所以公共弦长为.
（多选）已知圆和圆的交点为，则下列说法正确的是（ ）
A．两圆的圆心距
B．直线的方程为
C．圆上存在两点和，使得
D．圆上的点到直线的最大距离为
【答案】AD
【分析】A选项，求出两圆的圆心，得到圆心距；B选项，两圆相减得到直线的方程；C选项，线段是圆的直径，故C错误；D选项，求出圆心到直线的距离，从而得到最大距离.
【详解】对于，因为圆的圆心坐标为，圆的圆心坐标，
因为两个圆相交，所以两圆的圆心距，故A正确；
对于，将两圆方程作差可得，
即得公共弦的方程为，故B错误；
对于，由B选项可知，直线的方程为，由于满足上，
故直线经过圆的圆心坐标，所以线段是圆的直径，
故圆中不存在比长的弦，故C错误；
对于，圆的圆心坐标为，半径为2，圆心到直线的距离为，
所以圆上的点到直线的最大距离为，故D正确
【巩固练习1】若圆：与圆：内切，则（ ）
A．29 B．9 C． D．19
【答案】C
【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，结合圆与圆的位置关系即可求解.
【详解】由圆：，可得圆心，半径；
圆：可化为，可得圆心，半径，
所以，由圆圆内切，所以，即，解得：.
【巩固练习2】设，若圆与圆有公共点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据两圆心距离与半径和与差的关系列不等式求解.
【详解】圆，圆心为，半径为，圆，圆心为，半径为，
若圆与圆有公共点，则，又，所以.
【巩固练习3】若两圆：与：外离，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】化圆方程为标准形式，方程表示圆以及圆心距满足的关系式即可列不等式求解.
【详解】由题意：即：，它的圆心半径分别为，
：即：，它的圆心半径分别为，
所以圆心距满足，解得，
所以.
【巩固练习4】已知圆与圆交于A，B两点，则（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】C
【分析】求出两圆的公共弦所在直线方程，再求出弦长即可.
【详解】圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，，圆与圆相交，
两圆方程相减得直线：，显然点在直线上，因此线段是圆的直径，所以.
【题型6】轨迹问题（阿氏圆，相关点法，定义法）
求与圆有关轨迹方程的常用方法
1．定义法
当题目条件符合圆的定义时，可直接利用定义确定其圆心和半径，写出圆的方程．
2．直译法
直接将题目条件翻译成代数方程，求解轨迹方程．
3．直接法
当题目条件中含有与该点有关的等式时，可设出该点的坐标，用坐标表示等式，直接求解轨迹方程．
4．几何法
利用图形的几何性质，确定等量关系，设点、列式，求解轨迹方程．
5．代入法(或相关点法)
当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关时，常找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求轨迹方程
动圆的圆心的轨迹方程是　　　　　　　　．
【解答】解：把圆的方程化为标准方程得
则圆心坐标为，因为，得到，所以消去可得即
故答案为：
已知圆：，若，点是圆上的动点，求线段中点的轨迹方程，并说明表示什么曲线．
【解答】设，，，则有，， 解得，，
代入圆方程得：， 化简得表示以为圆心，为半径的圆
已知点、，过、作两条互相垂直的直线和，则和的交点的轨迹方程为　 　　　　（化为标准形式）
【解答】解：设，则过、作两条互相垂直的直线和的交点，
，，，，
，化简整理可得．
故答案为：．
已知在平面直角坐标系中，点到两个定点，的距离之比等于．
（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
（2）已知点为所求轨迹上任意一点，求的最大值．
【解答】解：（1）由题意可知：，由点到直线的距离公式，可得：，
化简整理得：，即，
点的轨迹方程，轨迹是以为圆心，以2为半径的圆；
（2）由（1）可知，为圆上任意一点，，
由，，
当时，时，的最大值18．
【巩固练习1】已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为　　　　　　　　　．
【解答】解：设，，线段的中点为．则，，
端点在圆上运动，．
线段的中点的轨迹方程是：．
故答案为：．
【巩固练习2】已知曲线，设曲线上任意一点与定点连线的中点为，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设动点坐标，找到动点坐标与曲线上点坐标的关系，通过已知解析式得出动点的轨迹方程.
【详解】设，因为为的中点，所以，即，
又因为点在曲线上，所以，所以．
所以点的轨迹方程为即．
【巩固练习3】已知两定点、的坐标分别为：、，动点满足．
求动点的轨迹方程.
【解答】解：设动点坐标为，则，，
又知，则，得．
【巩固练习4】（23-24高二上·福建泉州·期中）已知圆C：，直线l：.
(1)设l与圆C交于不同的两点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程；
(2)若定点分弦AB为，求此时直线l的方程.
【答案】(1)； (2)或
【分析】（1）设，根据已知列式化简，即可得解；
（2）联立方程组应用韦达定理结合向量关系求出直线方程.
【详解】（1）∵直线l：过定点，斜率一定存在，而在圆C：内，
∴直线l与圆C总有两个不同的交点；
圆C：的圆心为，所以M与P不重合时，连接CM，CP，则，
∴.
设，则，化简得：；
（2）设，，由，得，
∴，化简得，①
又由，消去y得.∴，②
由①②解得，代入（*）解得.
∴直线l的方程为或.
【题型7】圆的4类常考最值问题
求解与圆有关的最值问题，其通法是数形结合和转化化归思想，与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化
若点是圆:上一点,则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】根据圆外一定点到圆上一点距离的平方的几何意义进行求解即可.
【详解】圆:可化为表示点到点的距离的平方,
因为，所以的最小值为.
当圆截直线所得的弦长最短时，实数（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】先判断直线经过定点，且定点在圆内，要使弦长最短，只需使，计算即得.
【详解】由得，圆心坐标是，半径是
直线：过定点，且在圆内，
当时，直线被圆截得的弦长最短，由解得.
若圆被直线平分，则的最小值为（ ）
A． B．9 C．4 D．
【答案】C
【分析】由题意得圆心在直线上，即得，再利用基本不等式“1”的妙用即可求解.
【详解】由圆被直线平分，
得圆心在直线上，则，即，
而，则，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为4.
设点，，直线，于点，则的最大值为 .
【答案】6
【分析】先求出直线过定点，再根据条件求出点的轨迹方程，再结合轨迹方程求出的最大值．
【详解】直线，则，
则，解得，，即直线恒过点，
设，，，，即，
故点的轨迹为，
该轨迹是以为圆心，半径为1的圆，．
【巩固练习1】若实数满足，则的最大值是 ．
【答案】/
【分析】利用两点间距离几何意义求解最值.
【详解】设点，由实数满足可得：点在以原点为圆心，以为半径的圆上，
设点，则的几何意义为动点到定点的距离，
由，则点在圆外，
结合图形可知，.的最大值是. 故答案为：.

【巩固练习2】若点在圆上，则的最小值为 .
【答案】
【分析】利用表示点与点的距离的平方，求出圆心与点的距离为，可求得最小距离，继而可求得所求.
【详解】因为，化为，圆心为，半径为，
又表示点与点的距离的平方，
圆心与点的距离为，所以点与点的距离的最小值为，
故的最小值为
【巩固练习3】已知直线与圆相交于A，B两点，则|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出直线恒过的定点，由几何法可知当时，最小，用勾股定理求出。
【详解】将l的方程转化为，
令解得，即过定点，
当时，圆心到直线的距离最大值为，
此时取得最小值,根据勾股定理：.
【巩固练习4】已知点为圆上一点，记为点到直线的距离.当变化时，的最大值为 .
【答案】3
【分析】根据直线方程，求得该直线的定点，利用点到过定点直线以及点到圆上点距离的性质，可得答案.
【详解】由直线方程，则该直线过定点，
易知圆上任意定点到该直线的最大距离就是该点到的距离，
由圆的方程，则其圆心为，半径为，
点到圆上点的最大距离为.
【巩固练习5】已知圆关于直线（a，b为大于0的数）对称，则的最小值为 ，此时直线方程为 ．
【答案】
【分析】空1：由题意得直线过圆心，从而得到，利用基本不等式“1”的妙用求解最小值；空2：由空1结果代入回直线方程即可.
【详解】圆，整理得，则其圆心为，
由题意得：直线过圆心，所以，又，，
所以．（当且仅当，时，取“＝”）．
此时直线方程为，即. 故答案为：；.
【巩固练习6】已知直线：，：，，若和交于点，则的最大值是 .
【答案】
【分析】根据直线的性质分析可知点M的轨迹为以为直径的圆，结合圆的性质分析求解.
【详解】对于直线：，当时，恒成立，即过定点，记为A，
对于直线：，当时，恒成立，则恒过定点，记为，
因为，无论m取何值，与都互相垂直，和交于点M，
所以，即点M的轨迹为以为直径的圆，
可知圆心为，半径为，所以的最大值是.
【题型8】直线与半圆的交点个数问题
一、半圆方程
例：化简曲线
移项后两边平方得，通过方程看曲线是整圆，但要满足的条件
所以曲线其实是右半圆. 这就提醒我们,比如：“两边平方”、“分式化整”、“实际问题情境”等，要留意是否恒等变形.
二、观察交点个数
观察动直线是斜率为定值还是直线过定点.当直线斜率为定值时，此直线在平移的过程中，利用图形，抓关键点，什么时候是有一个和两个公共点，相交相切位置要清楚，然后利用点到直线的距离与半径的不等关系得出参数的范围.当直线恒过定点时，直线在旋转，方法和平移类似，抓关键点和位置
直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】曲线表示的是一个以原点为圆心，3为半径的左半圆，直线的斜率为1，作出图形，由图形确定直线与曲线有两个公共点时的条件.
【详解】方程，即，表示的是一个以原点为圆心，3为半径的左半圆，
直线的斜率为1，连接和，

要使直线与该半圆有两个交点，直线必在以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切（不含相切），则可求出直线的两个临界位置对应的的值.
当直线与重合时，，
当直线与半圆相切时，圆心到的距离3，即，
解得或（舍去）.所以的取值范围是）.
若曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】作出曲线与直线的图象，考虑直线与曲线相切以及直线过点时实数的值，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】由可知，整理可得，
所以，曲线表示圆的上半圆，
作出曲线与直线的图象如下图所示：
当直线与圆相切，且切点在第二象限时，则有，解得，
当直线过点时，，.
由图可知，当时，直线与曲线有两个公共点.
综上所述，实数的取值范围是.
【巩固练习1】直线与半圆有两个交点，则的值是 ．
【答案】
【分析】根据题意作出图象，利用直线与圆的位置关系，结合图象，即可求解.
【详解】由半圆，即，
如图所示，当直线在第三象限与半圆相切时，圆心到直线的距离，即，解得：或(舍去)，
当直线过点时，直线与圆有两个交点和，
把代入中，可得 ，解得，则直线与圆有两个交点时，的范围是．
故答案为：
【巩固练习2】若曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是 .
【答案】
【分析】化简曲线 得：，求出直线过的定点，当直线与曲线相切时，直线斜率最小，斜率大于的斜率且小于或等于的斜率求解即可.
【详解】如图：
化简曲线 得：.曲线表示以为圆心，半径的圆的上半圆.
∵直线可化为，直线经过定点且斜率为.
又∵半圆与直线有两个交点，
设直线与半圆的切线为，半圆的左端点为，
当直线的斜率大于的斜率且小于或等于的斜率时，直线与半圆有两个相异的交点，
由点到直线的距离公式，当直线与半圆相切时满足.解之得，即
又因为直线的斜率，所以直线的斜率的范围为.
【巩固练习3】若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题可知曲线，表示圆心为，半径，在直线及右侧的半圆，作出直线与半圆，利用数形结合即得．
【详解】方程是恒过定点，斜率为的直线，
曲线，即，
表示圆心为，半径，在直线及右侧的半圆，半圆弧端点
在同一坐标系内作出直线与半圆)，如图，

当直线与半圆C相切时，得，且，解得，又，
所以或，所以或．
【题型9】双切线模型与切点弦方程
1、切点弦方程（二级结论）：圆外一点向圆作切线，两个切点A,B的连线方程为（类似的其余圆锥曲线都有此类方程）
2、双切线性质：OP⊥l时候
①切线长最小
②切点四边形面积最小
③切点弦AB最短
④切线夹角最大
⑤AB平行l
3、切点弦的方程的常规求法：如图，易知PAOB四点共圆，且PO为圆的直径，而AB为两圆的公共弦
已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 .
【答案】
【分析】由二级结论：若点在圆外，过点引圆的两条切线，切点为，则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方程为：（圆的方程为），代入即可的直线的方程
【详解】由题意，切点弦所在直线的方程为：，化简得：.
（23-24高二上·四川南充·阶段练习）已知圆，点为轴上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据题意由四边形的面积与的面积关系，设可得，利用单调性即可求出的最小值为.
【详解】易知圆的圆心为，半径为，如图所示：
易知，设，则
由图可得，又，可得，因为，
所以当时，的最小值为.
过点作圆的两条切线，圆心坐标为C，设切点分别为A，B，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两点距离公式可得，即可由勾股定理求解，由三角形面积公式即可求解.
【详解】由，得,则圆心，则，则，
则四边形的面积为.故选：A

（高二上·湖北黄石·期末）已知点是直线上的一点，过点作圆的切线，切点分别为、，则直线恒过定点 ，四边形面积的最小值 .
【答案】
【解析】设点的坐标为，求出以为圆心，为半径的圆的方程，将该圆的方程与圆的方程作差，可得出直线的方程，进而可求得直线所过定点的坐标；
【详解】如下图所示：
设点，连接、，则，，
由勾股定理可得，
以点为圆心，为半径的圆的方程为，即，
将圆的方程与圆的方程作差并化简得，
即直线的方程为，即，由，解得，
所以，直线恒过定点；
由切线长定理可得，又，，，
所以，四边形的面积为，
当时，取最小值，即，
因此，四边形的面积的最小值为.
【巩固练习1】若过点向圆C：作两条切线，切点分别为A，B，求直线AB的方程
【分析】求出以为直径的圆的方程，再与已知圆的方程相减即得公共弦所在直线的方程.
【详解】过点向圆作两条切线，切点分别为、，则，
于是点、在以为直径的圆上，而，则的中点为，，
因此以为直径的圆方程为，
圆与圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为，
所以直线AB的方程为.
【巩固练习2】已知圆M：和点，过点P作圆M的切线，切点分别为A，B，则三角形PAB外接圆的方程为 .
【答案】
【分析】根据题意可知点在圆外，可求出切点弦方程，再利两圆公共弦方程设出的外接圆方程，从而可求解.
【详解】由题意得，所以点在圆外，
由圆外一点引圆的两条切线，切点弦方程知识可得，即直线：，
的外接圆与圆的交线为，则可得外接圆方程为：，
将代入，得，解得，
即外接圆方程为，即.
【巩固练习3】设点P为直线上任意一点，过点P作圆的切线，切点分别为A，B，则直线必过定点
【答案】
【分析】根据题意，设为直线上的一点，由切线的性质得点、在以为直径的圆上，求出该圆的方程，与圆的方程联立可得直线的方程，将其变形分析可得直线恒过的定点.
【详解】如图，连接，，
根据题意，设为直线上的一点，则，
由于为圆的切线，则有，，则点A、在以为直径的圆上，
以为直径的圆的圆心为，半径，
则其方程为，变形可得，
联立可得直线AB：，
又由，则有AB：，变形可得，
则有，解可得，故直线恒过定点.
【巩固练习4】已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，当四边形的面积最小时，则直线的方程为 .
【答案】
【分析】根据题设条件得到时，最小，从而得到的方程为，进而得到，即可求出结果.
【详解】由，得到，所以圆心，半径，
如图，，所以四边形的面积，
所以当最小时，也最小，此时，，故的方程为，即，
联立解得：，，即，
所以直线的方程为，化简得：.
【题型10】直线与圆的联立：韦达定理计算
解决直线与圆相交问题，韦达定理题型常用步骤：
(1)得出直线方程，设交点为：
(2)联立直线与圆方程，得到关于x(或y)的一元二次方程；
(3)写出韦达定理：
(4)将所求问题或题中关系转化为形式；
(5)代入韦达定理求解
已知圆是圆上的两点，点，且，则的值为（ ）
A． B．7 C． D．8
【答案】B
【分析】根据给定条件，设出直线的方程，与圆的方程联立，借助韦达定理及向量数量积的坐标表示求解即得.
【详解】圆的圆心，半径，由，得点共线，

显然直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为，且，
由消去x得：，设，
则，又，所以.
（2024高二上·江苏·专题练习）已知直线与圆，设O为坐标原点，若直线l与圆C交于两点，且直线的斜率分别为，，则= ．
【答案】
【分析】先确定直线过定点，再设坐标及直线l方程并与圆方程联立，利用韦达定理计算即可.
【详解】由直线得，
令，解得，直线l恒过定点.
圆的圆心为，半径为，直线过点，
直线l与圆C交于M，N两点，则直线l的斜率存在，
设直线l方程为，联立，得，
设，，则，，
是定值，定值为
（23-24高三下·辽宁·阶段练习）已知直线与圆交于，两点，为坐标原点，则 ， .
【答案】
【分析】求出圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，利用垂径定理、勾股定理求出弦长，设，，联立直线与圆的方程，列出韦达定理，利用数量积的坐标表示计算可得.
【详解】圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离，所以，
设，，由，消去整理得，则，，
又，，
所以.
【巩固练习1】在平面直角坐标系中，过点的直线与圆交于，两点，其中点在第一象限，且，则直线的倾斜角为 .
【答案】
【分析】由题意，设直线与圆联立，利用韦达定理，结合向量知识，即可得出结论．
【详解】由题意，设直线与圆联立，可得，
设，，因为，即，
则，，，，所以，
联立解得，直线的方程为，则直线的斜率为，所以倾斜角为.
【巩固练习2】已知圆的半径为2，圆心在轴正半轴上，直线与圆相切．
(1)求圆的方程；
(2)若过点的直线与圆交于不同的两点，，且，为坐标原点，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出圆心坐标，根据圆心到直线距离等于半径得到方程，求出，得到圆的方程；
（2）设出直线，联立圆的方程，得到两根之和，两根之积，由得到，根据得到方程，求出，得到答案.
【详解】（1）设圆心坐标为，，所以，解得或（舍去），
所以圆的方程为．
（2）设，，直线，
联立得，，，解得，
所以，，，
因为，所以，解得或（舍去），
所以直线．
【巩固练习3】已知圆，过点的直线与交于点，，且.
(1)求的方程；
(2)设为坐标原点，求.
【答案】(1)
(2)16
【分析】（1）根据圆的弦长公式即可结合点到直线的距离公式求解，
（2）联立直线与圆的方程得韦达定理，即可根据向量数量积的坐标运算求解.
【详解】（1）将化为标准方程，得，则的圆心为，半径.
当直线的斜率不存在时，的方程为.此时圆心到的距离，不符合题意.
故直线的斜率存在，设的方程为，即.
圆心到的距离.
由垂径定理可得，即，解得.
故直线的方程为.
联立整理得.设，
则. .故.
【题型11】直线与圆的综合：定点，定值，定线模型
一、定点问题
1．证明直线过定点，一般情况下，通过题中条件，寻找直线中的函数关系，或者设参，求解出含参直线方程，再求解出含参直线所过的定点。
2．证明定点，可以通过特殊化法先确定定点坐标，再证明定点适合题意。
二、定值问题
探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：
①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关：
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值。
三、定直线问题
定直线问题往往是动点所在的定直线、动圆的定切线，含有多个参数，其几何特征不明显，解决时常常不知从何入手，此时，须紧扣等量关系恒成立，应用待定系数法来处理。
四、常考模型（1）：模型（极点极线背景）
形态1：如图，已知圆O：，M，N为圆O与x轴左右交点，直线AB交圆O于A,B两点直线AM与直线BN交于点P
结论一：若点P在直线上运动，连接PM得到点A,连接PN得到点B，则直线AB过定点
结论二：若直线过定点，则P点轨迹为
形态2：如图，已知圆O：，直线AB交圆O于A,B两点，交x轴于Q点，点K为圆外x轴上一点
结论三：①点；②点；③(即x轴平分∠AKB)，以上3个条件知二得一
形态3：如图，已知圆O：，直线AB交圆O于A,B两点，交x轴于点K，点Q为圆内x轴上一点
结论三：①点；②点；③(即∠1=∠2)，以上3个条件知二得一
五、常考模型（2）：手电筒模型（平移齐次化）
如图， P，A,B为圆上三点（P点也可以在圆外）
结论一：若直线AB过定点，则或为定值
结论二：若或为定值则直线AB过定点
点M是直线上的动点，O是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（ ）．
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】D
【分析】过点作垂直于直线，根据圆的性质可得以为直径的圆过定点和，得解.
【详解】如图，过点作垂直于直线，垂足为，
则以为直径的圆过定点和，易知直线的方程为，
联立，解得，即.所以以为直径的圆经过定点和.故选：D.

已知圆C的圆心坐标为，且该圆经过点.
(1)求圆C的标准方程；
(2)直线m交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之和为0，求证：直线m的斜率是定值，并求出该定值.
【答案】(1)；(2)证明见解析，.
【分析】（1）根据给定条件，求出圆C的半径即可作答.
（2）设出直线AM，AN的方程，与圆C的方程联立，求出点M，N的坐标，再用斜率坐标公式计算作答.
【详解】（1）依题意，圆C的半径，
所以圆C的标准方程是：.
（2）设直线方程为：，由消去y并整理得：，
则有点，而直线：，同理，
于是得直线的斜率，
所以直线m的斜率是定值，该定值为.
如图所示，已知圆与轴交于、两点，过点的直线与圆交于、两点，探究直线、交点是否在定直线上．若是，请求出该直线；若不是，请说明理由．
【答案】是，在定直线上．
【分析】根据题意设出，，，，构造出构曲线系方程，对比系数得出，再联立、直线方程即可得到定直线.
【详解】设，，，，
构造曲线系方程，
由于曲线系方程也可表示圆的方程，故上式应可化简为，
对比得的系数为；的系数为；由此两式解得
故将、直线方程进行联立可得，解得，故在定直线上．
已知圆C与直线相切于点，且圆心C在x轴的正半轴上.
(1)求圆C的方程；
(2)过点作直线交圆C于M，N两点，且M，N两点均不在x轴上，点，直线BN和直线OM交于点G.证明：点G在一条定直线上，并求此直线的方程.
【答案】(1)；(2)证明见解析，
【分析】（1）设圆心，利用垂直关系求出圆心坐标，从而利用距离公式求出半径，即可求出圆的方程；
（2）设直线MN方程，与圆方程联立，得到韦达定理式，求出直线OM和直线BN的方程，联立求得，即可证明.
【详解】（1）由圆心C在x轴的正半轴上设圆心，
又圆C与直线相切于点，则，解得，
所以，半径，所以圆C的方程为：.
（2）设，，直线MN方程为：，
联立得，
，，，
直线OM方程为：，直线BN方程为：，联立，
可得，所以点G在直线上.
在平面直角坐标系xOy中，已知圆和直线（其中和均为常数，且），为l上一动点，为圆与轴的两个交点，直线与圆的另一个交点分别为.
(1)若，M点的坐标为,求直线方程；
(2)求证：直线过定点，并求定点的坐标．
【答案】(1)．；(2)证明见解析，过定点．
【分析】（1）解法一：通过， ，求出．然后推出坐标，即可求直线方程； 解法二：通过， ，求出．直线与的方程，由在曲线，求出直线的方程．
（2）证明法一：设，设，求出直线的方程，直线的方程，通过直线与圆的方程联立，求出直线的方程，然后说明经过定点，求定点的坐标；法二：设得，设，求出直线的方程，与圆的交点,设为，求出直线的方程，与圆的交点设为．点，在曲线上，有，在圆上，求出公共弦方程，说明经过定点，求定点的坐标．
【详解】（1）解法一：当，，则，
则直线的方程：，即，解得．
同理可得直线的方程：，解得．
由两点式得直线方程为：，即．
解法二：通过， ，求出，
则直线的方程：，即，解得．
同理可得直线的方程：，解得．
由在曲线，则当时，求出直线方程为．
（2）证法一：由题设得．设，
直线的方程是：，直线的方程是：．
解得．
解得．
于是直线PQ的斜率，
直线PQ的方程为．
上式中令，得是一个与无关的常数．故直线PQ过定点．
证法二：由题设得，．设M(a，t)，
直线MA1的方程是：，与圆的交点,设为，
直线MA2的方程是：,与圆的交点设为,
则点，在曲线上，
化简得 ①
又有，在圆上，圆②
①－×②得
化简得： ．
所以直线的方程为, ③
在③中令，得是一个与无关的常数．故直线过定点．
（23-24高二上·山东淄博·期中）已知动点与两个定点的距离的比为.
(1)求动点的轨迹；
(2)过点作直线，交曲线于两点，不在轴上．
①过点作与直线垂直的直线，交曲线于两点，记四边形的面积为，求的取值范围：
②已知，设直线相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②是，直线方程；理由见解析
【分析】（1）设为所求轨迹上的任意一点，结合，列出方程，即可求解；
（2）①设直线的方程为，求得圆心到直线的距离，得到，分和，两种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解；
②联立方程组，求得，再由直线和方程，联立可得，代入求得的值，即可求解.
【详解】（1）设为所求轨迹上的任意一点，
则，可得，整理得，
所以曲线的方程.
（2）①设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，所以，
（i）若，则直线为轴，此时，则，
（i i）若，则直线为，，
所以，
令，由于，则，，
于是，
由于，所以，因此，即时， 取得最大值，最大值为7，
同时，由二次函数的性质可知，
所以，即面积的取值范围为，
综上所述：
②设，联立方程组，整理得，
易得，所以，
直线方程为，直线方程为，
联立可得，可知，
代入上式得，解得
所以点在定直线上.
.
【巩固练习1】在平面直角坐标系中，已知圆的方程：，点B，C是圆上关于轴对称的两点，点P是圆上任意一点，直线PB与轴交于点M，直线PC与轴交于点N，则的值为（ ）
A．4 B．2 C．6 D．3
【答案】A
【分析】设，，则C．根据两点坐标求直线斜率公式和直线的点斜式方程表示出直线PB、PC的方程，令可得点M、N的坐标，结合平面向量的模表示出，计算化简即可求解.
【详解】设，，
∵点B，C关于y轴对称，∴点C的坐标为．
∵点B，C，P均为圆上一点，∴，，
直线PB的方程：，
直线PC的方程：，
令，则M点的纵坐标为，N点的纵坐标为，∴，
．
【巩固练习2】已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．
(1)求圆C的方程．
(2)过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)x2＋y2＝4.
(2)存在，（4，0）
【详解】
解：（1） 设圆心C（a，0）（a＞－），则＝2，解得a＝0或a＝－5（舍去）.所以圆C的方程为x2＋y2＝4.
（2） 当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB，此时N可以为x轴上任意一点．当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k（x－1）（k≠0），点N（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2），由得（k2＋1）x2－2k2x＋k2－4＝0，经检验Δ＞0，所以x1＋x2＝，x1x2＝.若x轴平分∠ANB，则kAN＝－kBN，即＋＝0，则＋＝0，即2x1x2－（t＋1）（x1＋x2）＋2t＝0，即－＋2t＝0，解得t＝4，所以当点N坐标为（4，0）时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．
【巩固练习3】如图，已知的方程为，点，过点A作的切线AP，P为切点.
(1)求AP的长；
(2)在x轴上是否存在点B（异于A点），满足对上任一点C，都有为定值？若存在，求B点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)4；
(2)存在点B，为定值.
【分析】（1）利用勾股定理求出切线长.
（2）设出点、点坐标，根据题意列出等式化简，转化为恒成立问题求解即可.
【详解】（1）依题意，，且，而，
所以.
（2）设，则，
假设存在这样的点，使得为常数，且，则，
即，将代入消去,
得对恒成立，
，而，解得，
所以存在点B ，使得对于上任一点，都有为定值.
【巩固练习4】（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）圆经过点，圆心在直线上．
(1)求圆的标准方程；
(2)若圆与轴分别交于两点，为直线上的动点，直线与曲线圆的另一个交点分别为，求证直线经过定点，并求出定点的坐标．
【答案】(1)
(2)证明见详解，直线过定点
【分析】（1）设出圆心坐标，利用圆心到圆上各点的距离等于半径求解即可；
（2）设出直线的方程和直线的方程，分别与圆的方程联立写出的坐标，进而写出直线的方程，化简即可证明直线经过定点，并求出定点的坐标.
【详解】（1）因为圆心在直线上，设圆心为
又因为圆经过点则，解得，
所以圆心半径为，所以圆的标准方程为
（2）由圆与轴分别交于两点，不妨设，
又为直线上的动点，设，则
则方程为，方程为，
设，联立方程，解得，
所以，即，即.
联立方程，解得，
所以，即，即.
当时，，
所以直线的方程为
化简得所以直线过定点.
当时，，此时过定点. 综上，直线过定点.

【巩固练习5】（23-24高二上·福建三明·期中）已知圆C：与圆的相交弦长为
(1)求圆C的半径R的值；
(2)若对于的圆，已知点，点，在圆C上，直线不经过点，且直线，的斜率之和为2，求证：直线MN经过一定点，并求出该定点的坐标.
【答案】(1)或
(2)证明见解析，.
【分析】（1）根据题意，联立两圆的方程，结合勾股定理代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，分直线斜率存在与不存在讨论，联立直线与圆的方程，结合韦达定理代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）∵依题意可知两圆的相交弦与x轴垂直
联立方程组 得故有
化简得故得或 故圆的半径为或
（2）由（1）及可知，则圆的方程为，设，，
当直线的斜率存在，则可设直线的方程为，
代入圆方程可得：，则，得，
且，，
所以
.
又∵直线，斜率之和为2，∴；化简得
代入，得，∴直线恒过定点.
当直线的斜率不存在时，，，，
∵直线，斜率之和为2， ∴，解得，但，且，故不合题意，舍去.
综上，直线恒过定点.
【巩固练习6】（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）已知在平面直角坐标系xOy中，已知A、B是圆O：上的两个动点，P是弦AB的中点，且；
(1)求点P的轨迹方程；
(2)点P轨迹记为曲线τ，若C，D是曲线τ与x轴的交点，E为直线l：上的动点，直线CE，DE与曲线τ的另一个交点分别为M，N，判断直线MN是否过定点，若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)过定点．
【分析】（1）设点为曲线上任意一点，根据几何关系得到，得到轨迹方程.
（2）设，分别计算，的直线方程，联立圆方程得到交点坐标，考虑直线斜率存在和不存在两种情况，计算直线方程得到答案.
【详解】（1）设点为曲线上任意一点，P是弦AB的中点，且，
圆O：的半径，则，
故点P的轨迹方程为：．
（2）不妨取，，设，
则直线CE的方程为，直线的方程为，联立，得，
则，即，，所以．
联立，得，则，即，，
所以．
①当时，直线MN的斜率，
则直线MN的方程为，即，直线过定点，所以；
②当时，直线MN垂直于x轴，方程为，也过定点．
综上所述：直线MN恒过定点．
【巩固练习7】已知圆：，为圆心，动直线过点，且与圆交于，两点，记弦的中点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过作两条斜率分别为，的直线，交曲线于，两点，且，求证：直线过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意可得：，，即点的轨迹为以为直径的圆，从而得到曲线的方程；
（2）讨论当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，联立，结合韦达定理可得：，，化简，可得，从而得到，得到直线过定点，当直线斜率不存在时，设直线：，可得，可得，从而得到直线过定点，得证.
【详解】（1）因为是弦的中点，
所以，即，所以点的轨迹为以为直径的圆，所以曲线的方程为.
（2）当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，代入，得.
设，，则，是方程的两解，则，，，
根据根与系数的关系，得，即.
若，则直线过点，舍去；所以，即，
直线的方程为，故直线过定点.
当直线斜率不存在时，设直线：，
与曲线的方程联立，可得，，则，解得，
故直线的方程为，恒过点.
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专题2-2 圆的方程11类重难点题型汇总
直线与圆的方程式是一个承上启下的章节，让即将经历圆锥曲线毒打的同学们有个铺垫
直线与圆的方程作为解析几何中的基础，不仅帮助同学们构建起图形与代数之间的桥梁，更是通往更复杂曲线——如椭圆、双曲线和抛物线等圆锥曲线研究的必经之路。掌握好这两类基本图形的性质及它们之间的位置关系，将为后续学习奠定坚实的基础，让同学们在面对更加抽象的概念时能够游刃有余。
【题型1】圆的方程 1
【题型2】点与圆的位置关系 3
【题型3】求圆的切线方程 4
【题型4】求弦长以及由弦长求直线方程 6
【题型5】圆与圆的位置关系，公切线及公共弦 7
【题型6】轨迹问题（阿氏圆，相关点法，定义法） 8
【题型7】圆的4类常考最值问题 10
【题型8】直线与半圆的交点个数问题 11
【题型9】双切线模型与切点弦方程 12
【题型10】直线与圆的联立：韦达定理计算 14
【题型11】直线与圆的综合：定点，定值，定线模型 15
【题型1】圆的方程
圆的标准方程：，其中圆心为半径为
圆的一般方程：（为常数），当
已知圆过点，则圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
若圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
若方程表示圆，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】（23-24高二上·山西运城·期中）已知，则外接圆的半径为（ ）
A． B．2 C． D．5
【巩固练习2】已知，，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习3】方程表示圆的充要条件是（ ）
A． B． C． D．或
【巩固练习4】已知圆的方程为，若圆O的半径小于8，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【题型2】点与圆的位置关系
1.在圆的标准方程中，判断点与圆的位置关系
判断点与：位置关系的方法:
（1）几何法（优先推荐）
设到圆心的距离为，则
①则点在外
②则点在上
③则点在内
（2）代数法
将点带入：方程内
①点在外
②点在上
③点在内
2.在圆的一般方程中，判断点与圆的位置关系
已知点和圆的一般式方程：（），
则点与圆的位置关系：
①点在外
②点在上
③点在内
已知圆的方程为，则点在（ ）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不确定
若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】若点在圆外，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】若点在圆的内部，则a的取值范围是（　　）.
A． B． C． D．
【题型3】求圆的切线方程
直线与圆相切的问题
（1）圆的切线方程的求法
①点在圆上，
法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即．
法二：圆心到直线的距离等于半径．
②点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．
注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上
已知圆，直线经过点，且与圆相切，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
（23-24高二上·湖南长沙·期中）过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
过坐标原点作圆的两条切线，切点分别为，，则（ ）
A． B． C． D．2
（2024·广东韶关·二模）过点作斜率为的直线，若光线沿该直线传播经轴反射后与圆相切，则（ ）
A． B． C．2 D．
【巩固练习1】过点作圆的一条切线，切点为B，则（ ）
A．3 B． C． D．
【巩固练习2】已知圆C：，直线l恒过点若直线l与圆C相切，求l的方程
【巩固练习3】（23-24高二下·全国·随堂练习）已知圆C：．若点，求过点的圆的切线方程
【巩固练习4】从点射出的光线经轴反射后，与圆有公共点，则反射光线所在直线斜率的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【巩固练习5】（23-24高二上·山西朔州·期末）战国时期成书《墨经》有载曰：“景，日之光反烛人，则景在日与人之间.”这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧.在平面直角坐标系中，一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A．或 B．或 C． D．
【题型4】求弦长以及由弦长求直线方程
利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．
直线与圆交于A，B两点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
已知直线与圆相交于两点，若，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【巩固练习1】圆 被直线截得的弦长等于 .
【巩固练习2】两平行直线与直线分别与圆M:相交于点，和，，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习3】已知圆C：，直线l恒过点当直线l与圆C相交于A，B两点，且时，求l的方程.
【巩固练习4】已知圆关于直线对称，且过点．
(1)求证：圆与直线相切；
(2)若直线过点与圆交于两点，且，求此时直线的方程．
【题型5】圆与圆的位置关系，公切线及公共弦
1、圆和圆的五种位置关系：相离、外切、相交、内切、内含，并结合图像掌握它们的代数表示方式以及公切线条数
2、若两圆相交，则它们方程相减即为公共弦所在直线的方程
圆C：与圆的位置关系不可能（ ）
A．内含 B．内切 C．相交 D．外切
已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
圆与圆相交所得公共弦长为 ．
（多选）已知圆和圆的交点为，则下列说法正确的是（ ）
A．两圆的圆心距
B．直线的方程为
C．圆上存在两点和，使得
D．圆上的点到直线的最大距离为
【巩固练习1】若圆：与圆：内切，则（ ）
A．29 B．9 C． D．19
【巩固练习2】设，若圆与圆有公共点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习3】若两圆：与：外离，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习4】已知圆与圆交于A，B两点，则（ ）
A． B．5 C． D．
【题型6】轨迹问题（阿氏圆，相关点法，定义法）
求与圆有关轨迹方程的常用方法
1．定义法
当题目条件符合圆的定义时，可直接利用定义确定其圆心和半径，写出圆的方程．
2．直译法
直接将题目条件翻译成代数方程，求解轨迹方程．
3．直接法
当题目条件中含有与该点有关的等式时，可设出该点的坐标，用坐标表示等式，直接求解轨迹方程．
4．几何法
利用图形的几何性质，确定等量关系，设点、列式，求解轨迹方程．
5．代入法(或相关点法)
当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关时，常找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求轨迹方程
动圆的圆心的轨迹方程是　　　　　　　　．
已知圆：，若，点是圆上的动点，求线段中点的轨迹方程，并说明表示什么曲线．
已知点、，过、作两条互相垂直的直线和，则和的交点的轨迹方程为　 　　　　（化为标准形式）
已知在平面直角坐标系中，点到两个定点，的距离之比等于．
（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
（2）已知点为所求轨迹上任意一点，求的最大值．
【巩固练习1】已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为　　　　　　　　　．
【巩固练习2】（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）已知曲线，设曲线上任意一点与定点连线的中点为，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习3】已知两定点、的坐标分别为：、，动点满足．
求动点的轨迹方程.
【巩固练习4】（23-24高二上·福建泉州·期中）已知圆C：，直线l：.
(1)设l与圆C交于不同的两点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程；
(2)若定点分弦AB为，求此时直线l的方程.
【题型7】圆的4类常考最值问题
求解与圆有关的最值问题，其通法是数形结合和转化化归思想，与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化
（23-24高三上·河南驻马店·期末）若点是圆:上一点,则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
当圆截直线所得的弦长最短时，实数（ ）
A． B． C． D．1
（23-24高二上·江苏无锡·期中）若圆被直线平分，则的最小值为（ ）
A． B．9 C．4 D．
设点，，直线，于点，则的最大值为 .
【巩固练习1】若实数满足，则的最大值是 ．
【巩固练习2】若点在圆上，则的最小值为 .
【巩固练习3】已知直线与圆相交于A，B两点，则|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习4】已知点为圆上一点，记为点到直线的距离.当变化时，的最大值为 .
【巩固练习5】已知圆关于直线（a，b为大于0的数）对称，则的最小值为 ，此时直线方程为 ．
【巩固练习6】已知直线：，：，，若和交于点，则的最大值是 .
【题型8】直线与半圆的交点个数问题
一、半圆方程
例：化简曲线
移项后两边平方得，通过方程看曲线是整圆，但要满足的条件
所以曲线其实是右半圆. 这就提醒我们,比如：“两边平方”、“分式化整”、“实际问题情境”等，要留意是否恒等变形.
二、观察交点个数
观察动直线是斜率为定值还是直线过定点.当直线斜率为定值时，此直线在平移的过程中，利用图形，抓关键点，什么时候是有一个和两个公共点，相交相切位置要清楚，然后利用点到直线的距离与半径的不等关系得出参数的范围.当直线恒过定点时，直线在旋转，方法和平移类似，抓关键点和位置
直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
若曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是 .
【巩固练习1】直线与半圆有两个交点，则的值是 ．
【巩固练习2】若曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是 .
【巩固练习3】若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 .
【题型9】双切线模型与切点弦方程
1、切点弦方程（二级结论）：圆外一点向圆作切线，两个切点A,B的连线方程为（类似的其余圆锥曲线都有此类方程）
2、双切线性质：OP⊥l时候
①切线长最小；②切点四边形面积最小；③切点弦AB最短；④切线夹角最大；⑤AB平行l
3、切点弦的方程的常规求法：如图，易知PAOB四点共圆，且PO为圆的直径，而AB为两圆的公共弦
已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 .
已知圆，点为轴上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为 .
过点作圆的两条切线，圆心坐标为C，设切点分别为A，B，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
已知点是直线上的一点，过点作圆的切线，切点分别为、，则直线恒过定点 ，四边形面积的最小值 .
【巩固练习1】若过点向圆C：作两条切线，切点分别为A，B，求直线AB的方程
【巩固练习2】已知圆M：和点，过点P作圆M的切线，切点分别为A，B，则三角形PAB外接圆的方程为 .
【巩固练习3】设点P为直线上任意一点，过点P作圆的切线，切点分别为A，B，则直线必过定点
【巩固练习4】已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，当四边形的面积最小时，则直线的方程为 .
【题型10】直线与圆的联立：韦达定理计算
解决直线与圆相交问题，韦达定理题型常用步骤：
(1)得出直线方程，设交点为：
(2)联立直线与圆方程，得到关于x(或y)的一元二次方程；
(3)写出韦达定理：
(4)将所求问题或题中关系转化为形式；
(5)代入韦达定理求解
已知圆是圆上的两点，点，且，则的值为（ ）
A． B．7 C． D．8
已知直线与圆，设O为坐标原点，若直线l与圆C交于两点，且直线的斜率分别为，，则= ．
（23-24高三下·辽宁·阶段练习）已知直线与圆交于，两点，为坐标原点，则 ， .
【巩固练习1】在平面直角坐标系中，过点的直线与圆交于，两点，其中点在第一象限，且，则直线的倾斜角为 .
【巩固练习2】（23-24高二上·湖北·期中）已知圆的半径为2，圆心在轴正半轴上，直线与圆相切．
(1)求圆的方程；
(2)若过点的直线与圆交于不同的两点，，且，为坐标原点，求直线的方程．
【巩固练习3】（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知圆，过点的直线与交于点，，且.
(1)求的方程；(2)设为坐标原点，求.
【题型11】直线与圆的综合：定点，定值，定线模型
一、定点问题
1．证明直线过定点，一般情况下，通过题中条件，寻找直线中的函数关系，或者设参，求解出含参直线方程，再求解出含参直线所过的定点。
2．证明定点，可以通过特殊化法先确定定点坐标，再证明定点适合题意。
二、定值问题
探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：
①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关：
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值。
三、定直线问题
定直线问题往往是动点所在的定直线、动圆的定切线，含有多个参数，其几何特征不明显，解决时常常不知从何入手，此时，须紧扣等量关系恒成立，应用待定系数法来处理。
四、常考模型（1）：模型（极点极线背景）
形态1：如图，已知圆O：，M，N为圆O与x轴左右交点，
直线AB交圆O于A,B两点直线AM与直线BN交于点P
结论一：若点P在直线上运动，连接PM得到点A,连接PN得到点B，则直线AB过定点
结论二：若直线过定点，则P点轨迹为
形态2：如图，已知圆O：，直线AB交圆O于A,B两点，
交x轴于Q点，点K为圆外x轴上一点
结论：①点；②点；③(即x轴平分∠AKB)，
以上3个条件知二得一
形态3：如图，已知圆O：，直线AB交圆O于A,B两点，
交x轴于点K，点Q为圆内x轴上一点
结论：①点；②点；③(即∠1=∠2)，
以上3个条件知二得一
五、常考模型（2）：手电筒模型（平移齐次化）
如图， P，A,B为圆上三点（P点也可以在圆外）
结论一：若直线AB过定点，则或为定值
结论二：若或为定值则直线AB过定点
点M是直线上的动点，O是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（ ）．
A．和 B．和
C．和 D．和
已知圆C的圆心坐标为，且该圆经过点.
(1)求圆C的标准方程；
(2)直线m交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之和为0，求证：直线m的斜率是定值，并求出该定值.
如图所示，已知圆与轴交于、两点，过点的直线与圆交于、两点，探究直线、交点是否在定直线上．若是，请求出该直线；若不是，请说明理由．
已知圆C与直线相切于点，且圆心C在x轴的正半轴上.
(1)求圆C的方程；
(2)过点作直线交圆C于M，N两点，且M，N两点均不在x轴上，点，直线BN和直线OM交于点G.证明：点G在一条定直线上，并求此直线的方程.
在平面直角坐标系xOy中，已知圆和直线（其中和均为常数，且），为l上一动点，为圆与轴的两个交点，直线与圆的另一个交点分别为.
(1)若，M点的坐标为,求直线方程；(2)求证：直线过定点，并求定点的坐标．
已知动点与两个定点的距离的比为.
(1)求动点的轨迹；
(2)过点作直线，交曲线于两点，不在轴上．
①过点作与直线垂直的直线，交曲线于两点，记四边形的面积为，求的取值范围：
②已知，设直线相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．
【巩固练习1】在平面直角坐标系中，已知圆的方程：，点B，C是圆上关于轴对称的两点，点P是圆上任意一点，直线PB与轴交于点M，直线PC与轴交于点N，则的值为（ ）
A．4 B．2 C．6 D．3
【巩固练习2】已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．
(1)求圆C的方程．
(2)过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【巩固练习3】如图，已知的方程为，点，过点A作的切线AP，P为切点.
(1)求AP的长；
(2)在x轴上是否存在点B（异于A点），满足对上任一点C，都有为定值？若存在，求B点的坐标；若不存在，请说明理由.
【巩固练习4】圆经过点，圆心在直线上．
(1)求圆的标准方程；
(2)若圆与轴分别交于两点，为直线上的动点，直线与曲线圆的另一个交点分别为，求证直线经过定点，并求出定点的坐标．
【巩固练习5】已知圆C：与圆的相交弦长为
(1)求圆C的半径R的值；
(2)若对于的圆，已知点，点，在圆C上，直线不经过点，且直线，的斜率之和为2，求证：直线MN经过一定点，并求出该定点的坐标.
【巩固练习6】已知在平面直角坐标系xOy中，已知A、B是圆O：上的两个动点，P是弦AB的中点，且；
(1)求点P的轨迹方程；
(2)点P轨迹记为曲线τ，若C，D是曲线τ与x轴的交点，E为直线l：上的动点，直线CE，DE与曲线τ的另一个交点分别为M，N，判断直线MN是否过定点，若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由．
【巩固练习7】已知圆：，为圆心，动直线过点，且与圆交于，两点，记弦的中点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过作两条斜率分别为，的直线，交曲线于，两点，且，求证：直线过定点．
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