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北师大版 数学九年级上册 1.4 正方形的性质与判定 一阶训练
一、选择题
1．如图，在菱形ABCD中对角线AC，BD交于点O，要使该菱形成为正方形，则应添加的条件是（　　）
A．AC=BD B．AC⊥BD C．OA=OC D．∠AOB=60°
2．下列说法正确的是（　　）
A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
B．对角线相等的四边形是平行四边形
C．有一个角是直角的四边形是矩形
D．有三个角是直角的平行四边形是正方形
3．如图，以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，，，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在中，下列结论中错误的是（ ）
A．当时，它是菱形
B．当平分时，它是菱形
C．当时，它是矩形
D．当时，且，它是正方形
5．已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（　　）
A．当时，平行四边形是菱形
B．当时，平行四边形是菱形
C．当时，平行四边形是矩形
D．当时，平行四边形是正方形
6．如图，在正方形中，对角线交于点，若，则正方形的周长为（　　）
A． B．4 C． D．8
7． 将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转 90°，所得图形一定能与原图形重合的是(　　)
A．平行四边形 B．长方形 C．正六边形 D．正方形
8．数学活动课上，小明用四根长度相同的木条制作成能够活动的菱形学具．老师问小明：要让这个菱形学具成为正方形学具，需要添加的条件可以是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中间一个小正方形EFGH组成，连接DE.若AE=4，BE=3，则DE=（　　）
A．5 B． C． D．4
10．如图，四边形是正方形，点为原点，点的坐标是，点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，等边△AEF的顶点E， F分别在正方形ABCD的边BC， CD上，则∠AEB=　 　°.
12．如图，在正方形 中， 为对角线 上一点，连接 ，，若，则的度数为　 　．
13． 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌. 那么用若干个全等的正方形　 　镶嵌整个平面.（填“能”或“不能”）
14．如图，在正方形的外侧作等边，则的度数为　 　.
15．如图，在4×4的方格图中，阴影正方形的边长是　 　，这个长度介于两个相邻整数　 　之间。（每个小正方形的边长为1个单位）
三、解答题
16．满足下列条件的四边形是不是正方形 为什么
（1）对角线互相垂直且相等的平行四边形；
（2）对角线互相垂直的矩形；
（3）对角线相等的菱形；
（4）对角线互相垂直平分且相等的四边形.
17．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，O是AC 的中点，连接DO 并延长至点E，连接AE，且AE∥ BC，连接CE.
（1）求证：四边形ADCE 是矩形；
（2）若AB=2，BC=2 ，求证：四边形ADCE是正方形.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】正方形的判定；平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系
【解析】【解答】解：由菱形到正方形，需要添加条件为一个内角为直角，或者对角线相等
∴结合选项A答案符合题意。
故答案为：A。
【分析】由菱形到正方形，需要添加正方形相对于菱形特有的条件，即内角为90°，或者对角线相等，选项A， AC=BD ，对角线相等，所以符合题意。
B选项，菱形性质有 C⊥BD ，不能作为判定菱形成为正方形的条件。
C选项， OA=OC ，也是菱形的性质，不能作为判定菱形成为正方形的条件。
D选项， ∠AOB=60° ，没有条件可以得到这个结论，故不符合题意。
2．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：∵ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形（菱形的判定定理），∴ A正确；
∵ 对角线相等的四边形不一定是平行四边形（如等腰梯形），∴ B错误；
∵ 有一个角是直角的四边形不一定是矩形（如直角梯形），∴ C错误；
∵ 有三个角是直角的平行四边形是矩形，但矩形不一定是正方形，∴ D错误．
故选：A．
【分析】本题以特殊四边形的判定为背景，考查了菱形、平行四边形、矩形、正方形的判定定理。逐一分析各选项是否符合相应图形的判定条件，找出说法正确的一项。
3．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：由题意得：，，
∵，
∴
即：
∴
故选：D．
【分析】根据勾股定理，结合正方形面积即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、∵ 四边形是平行四边形，，∴是菱形，故本选项结论正确，不符合题意；
B、∵ 四边形是平行四边形，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴是菱形，故本选项结论正确，不符合题意；
C、∵ 四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∴是矩形，故本选项结论正确，不符合题意；
D、∵ 四边形是平行四边形，，∴是矩形，此时恒成立，无法判定它是正方形，故本选项结论错误，符合题意．
故答案为：D
【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形，由一个角是直角的平行四边形是矩形，则C项正确；邻边相等的平行四边形是菱形，则A项，B项正确，错误是D项．
5．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：如图，
A. 当时，平行四边形邻边相等，符合菱形的定义，即有一组邻边相等的平行四边形是菱形，此选项正确；
B. 当时，平行四边形的对角线互相垂直，符合菱形的判定，即对角线垂直的平行四边形是菱形，此选项正确；
C. 当时，平行四边形的对角线相等，符合矩形的判定，即对角线相等的平行四边形是矩形，此选项正确；
D. 当时，平行四边形有一个角为直角，仅能判定为矩形，判定为正方形需同时满足邻边相等且一个角为直角，或对角线相等且垂直，此处条件不足，此选项错误，但符合题意．
故选：D．
【分析】根据菱形，矩形，正方形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；利用开平方求未知数
【解析】【解答】解：设正方形边长为，即AB=BC=x，
，
解得（负值舍去），
故正方形的周长为1×4=．
故答案为：B。
【分析】本题结合正方形的性质得出AB=BC=x，而∠ABC=90°，此时可以利用勾股定理列式，求出取正数即可．
7．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；正方形的性质；旋转的性质；旋转对称图形
【解析】【解答】解：A： 平行四边形绕其对角线的交点逆时针旋转 180°，所得图形与才能与原图形重合，所以A不符合题意；
B： 长方形绕其对角线的交点逆时针旋转 180°，所得图形才能与与原图形重合，所以B不符合题意；
C： 正六边形绕其对角线的交点逆时针旋转 180°，所得图形才能与与原图形重合，所以C不符合题意；
D： 正方形绕其对角线的交点逆时针旋转 90°，所得图形能与原图形重合，所以D符合题意。
故答案为：D.
【分析】根据旋转对称的定义，逐项进行判断，即可得出答案。
8．【答案】A
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：A.有一个角为直角的菱形为正方形，该选项正确，符合题意；
B.该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意；
C. 该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意；
D. 该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意；
故选：A．
【分析】
有一个角为直角的菱形为正方形．
9．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵Rt△DAH≌Rt△ABE，
∴DH=AE=4，AH=BE=3
∴EH=AE-AH=4-3=1，
∵四边形形EFGH是正方形，
∴∠DHE=90°
∴
故选：C.
【分析】由全等三角形的性质得DH=AE=4，AH=BE=3，则EH=AE-AH=1， 而∠DHE=90°， 根据勾股定理即可求解.
10．【答案】A
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，点为原点，点的坐标是，
∴，
∵点在第二象限，
∴点的坐标为，
故选：A．
【分析】根据正方形性质可得，再根据点的坐标即可求出答案.
11．【答案】75
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形
∴AD=AB，∠D=∠B=90°
∵△AEF为等边三角形
∴AF=AE，∠FAE=60°
在Rt△ADF和Rt△ABE中，
∴Rt△ADF≌Rt△ABE
∴
∴∠AEB=180°-90°-15°=75°
故答案为：75
【分析】根据正方形性质可得AD=AB，∠D=∠B=90°，根据等边三角形性质可得AF=AE，∠FAE=60°，再根据全等三角形判定定理可得Rt△ADF≌Rt△ABE，则，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，是对角线，
∴，∠ACB=45°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=90°-35°=55°，
∴。
故答案为： ．
【分析】本题先根据正方形的性质得到，∠ACB=45°，然后计算出∠EBC=55°，最后根据三角形内角和定理计算即可求出。
13．【答案】能
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形每一个内角为90°，周角为360°，
∴360°÷90°=4
故答案为：能.
【分析】本题主要考查平面图形的镶嵌（密铺）条件.解题的关键是理解一种图形能否单独镶嵌整个平面，取决于其内角能否整除360°.正方形每个内角为90°，360°÷90°=4，即用4个正方形可以无缝隙、不重叠地拼成一个周角，从而可以无限延伸铺满整个平面.
14．【答案】45°
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形
∴AB=AD，∠BAD=90°
∵△ABE为等边三角形
∴AB=AE，∠BAE=∠AEB=60°
在△ADE中，AD=AE，∠DAE=∠BAD+∠BAE=150°
∴
∴∠BED=∠AEB-∠AED=45°
故答案为：45°
【分析】根据正方形性质可得AB=AD，∠BAD=90°，再根据等边三角形判定定理可得AB=AE，∠BAE=∠AEB=60°，根据等边对等角及三角形内角和定理可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
15．【答案】；3和4
【知识点】无理数的估值；正方形的性质；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：设阴影正方形的边长为a，
根据勾股定理可得：
a2=12+32=1+9=10，
所以a=。
∵9<10<16，
∴<<，
即3<<4 。
∴这个长度介于两个相邻整数3和4之间。
故答案为：；3和4
【分析】观察图形可知，阴影正方形的边长是一个直角边分别为1和3的直角三角形的斜边，利用勾股定理即可求阴影正方形的边长。然后通过寻找与10相邻的两个完全平方数9和16，对其开平方后确定10介于3和4这两个相邻整数之间。
16．【答案】（1）解：是正方形。理由：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
对角线相等的平行四边形是矩形
既是菱形又是矩形的四边形是正方形
（2）解：是正方形。理由：
矩形的对角线相等且互相平分
对角线互相垂直的矩形是菱形
既是矩形又是菱形的四边形是正方形
（3）解：是正方形。理由：
菱形的对角线互相垂直平分
对角线相等的菱形是矩形
既是菱形又是矩形的四边形是正方形
（4）解：是正方形。理由：
对角线互相平分的四边形是平行四边形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
对角线相等的平行四边形是矩形
既是菱形又是矩形的四边形是正方形
【知识点】正方形的判定
【解析】【分析】根据正方形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
17．【答案】（1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴D为BC的中点，
又∵O是AC的中点，
∴DO是△ABC的中位线，
∴DO∥AB，
∵DE∥AB，AE∥BD，
∴四边形AEDB是平行四边形，
∴AE=BD=CD，
∵AE=CD，AE∥CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠ADC=90°，
∴四边形 ADCE是矩形
（2）解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD=CD，
∴四边形 ADCE是正方形
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；正方形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的性质可得D为BC的中点，再根据三角形的中位线得出DO∥AB，从而判断四边形AEDB是平行四边形， 进而即可求解；
(2)根据等腰三角形的性质可得，再利用勾股定理求出，进而即可求解.
1 / 1北师大版 数学九年级上册 1.4 正方形的性质与判定 一阶训练
一、选择题
1．如图，在菱形ABCD中对角线AC，BD交于点O，要使该菱形成为正方形，则应添加的条件是（　　）
A．AC=BD B．AC⊥BD C．OA=OC D．∠AOB=60°
【答案】A
【知识点】正方形的判定；平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系
【解析】【解答】解：由菱形到正方形，需要添加条件为一个内角为直角，或者对角线相等
∴结合选项A答案符合题意。
故答案为：A。
【分析】由菱形到正方形，需要添加正方形相对于菱形特有的条件，即内角为90°，或者对角线相等，选项A， AC=BD ，对角线相等，所以符合题意。
B选项，菱形性质有 C⊥BD ，不能作为判定菱形成为正方形的条件。
C选项， OA=OC ，也是菱形的性质，不能作为判定菱形成为正方形的条件。
D选项， ∠AOB=60° ，没有条件可以得到这个结论，故不符合题意。
2．下列说法正确的是（　　）
A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
B．对角线相等的四边形是平行四边形
C．有一个角是直角的四边形是矩形
D．有三个角是直角的平行四边形是正方形
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：∵ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形（菱形的判定定理），∴ A正确；
∵ 对角线相等的四边形不一定是平行四边形（如等腰梯形），∴ B错误；
∵ 有一个角是直角的四边形不一定是矩形（如直角梯形），∴ C错误；
∵ 有三个角是直角的平行四边形是矩形，但矩形不一定是正方形，∴ D错误．
故选：A．
【分析】本题以特殊四边形的判定为背景，考查了菱形、平行四边形、矩形、正方形的判定定理。逐一分析各选项是否符合相应图形的判定条件，找出说法正确的一项。
3．如图，以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，，，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：由题意得：，，
∵，
∴
即：
∴
故选：D．
【分析】根据勾股定理，结合正方形面积即可求出答案.
4．如图，在中，下列结论中错误的是（ ）
A．当时，它是菱形
B．当平分时，它是菱形
C．当时，它是矩形
D．当时，且，它是正方形
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、∵ 四边形是平行四边形，，∴是菱形，故本选项结论正确，不符合题意；
B、∵ 四边形是平行四边形，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴是菱形，故本选项结论正确，不符合题意；
C、∵ 四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∴是矩形，故本选项结论正确，不符合题意；
D、∵ 四边形是平行四边形，，∴是矩形，此时恒成立，无法判定它是正方形，故本选项结论错误，符合题意．
故答案为：D
【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形，由一个角是直角的平行四边形是矩形，则C项正确；邻边相等的平行四边形是菱形，则A项，B项正确，错误是D项．
5．已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（　　）
A．当时，平行四边形是菱形
B．当时，平行四边形是菱形
C．当时，平行四边形是矩形
D．当时，平行四边形是正方形
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：如图，
A. 当时，平行四边形邻边相等，符合菱形的定义，即有一组邻边相等的平行四边形是菱形，此选项正确；
B. 当时，平行四边形的对角线互相垂直，符合菱形的判定，即对角线垂直的平行四边形是菱形，此选项正确；
C. 当时，平行四边形的对角线相等，符合矩形的判定，即对角线相等的平行四边形是矩形，此选项正确；
D. 当时，平行四边形有一个角为直角，仅能判定为矩形，判定为正方形需同时满足邻边相等且一个角为直角，或对角线相等且垂直，此处条件不足，此选项错误，但符合题意．
故选：D．
【分析】根据菱形，矩形，正方形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
6．如图，在正方形中，对角线交于点，若，则正方形的周长为（　　）
A． B．4 C． D．8
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；利用开平方求未知数
【解析】【解答】解：设正方形边长为，即AB=BC=x，
，
解得（负值舍去），
故正方形的周长为1×4=．
故答案为：B。
【分析】本题结合正方形的性质得出AB=BC=x，而∠ABC=90°，此时可以利用勾股定理列式，求出取正数即可．
7． 将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转 90°，所得图形一定能与原图形重合的是(　　)
A．平行四边形 B．长方形 C．正六边形 D．正方形
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；正方形的性质；旋转的性质；旋转对称图形
【解析】【解答】解：A： 平行四边形绕其对角线的交点逆时针旋转 180°，所得图形与才能与原图形重合，所以A不符合题意；
B： 长方形绕其对角线的交点逆时针旋转 180°，所得图形才能与与原图形重合，所以B不符合题意；
C： 正六边形绕其对角线的交点逆时针旋转 180°，所得图形才能与与原图形重合，所以C不符合题意；
D： 正方形绕其对角线的交点逆时针旋转 90°，所得图形能与原图形重合，所以D符合题意。
故答案为：D.
【分析】根据旋转对称的定义，逐项进行判断，即可得出答案。
8．数学活动课上，小明用四根长度相同的木条制作成能够活动的菱形学具．老师问小明：要让这个菱形学具成为正方形学具，需要添加的条件可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：A.有一个角为直角的菱形为正方形，该选项正确，符合题意；
B.该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意；
C. 该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意；
D. 该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意；
故选：A．
【分析】
有一个角为直角的菱形为正方形．
9．如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中间一个小正方形EFGH组成，连接DE.若AE=4，BE=3，则DE=（　　）
A．5 B． C． D．4
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵Rt△DAH≌Rt△ABE，
∴DH=AE=4，AH=BE=3
∴EH=AE-AH=4-3=1，
∵四边形形EFGH是正方形，
∴∠DHE=90°
∴
故选：C.
【分析】由全等三角形的性质得DH=AE=4，AH=BE=3，则EH=AE-AH=1， 而∠DHE=90°， 根据勾股定理即可求解.
10．如图，四边形是正方形，点为原点，点的坐标是，点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，点为原点，点的坐标是，
∴，
∵点在第二象限，
∴点的坐标为，
故选：A．
【分析】根据正方形性质可得，再根据点的坐标即可求出答案.
二、填空题
11．如图，等边△AEF的顶点E， F分别在正方形ABCD的边BC， CD上，则∠AEB=　 　°.
【答案】75
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形
∴AD=AB，∠D=∠B=90°
∵△AEF为等边三角形
∴AF=AE，∠FAE=60°
在Rt△ADF和Rt△ABE中，
∴Rt△ADF≌Rt△ABE
∴
∴∠AEB=180°-90°-15°=75°
故答案为：75
【分析】根据正方形性质可得AD=AB，∠D=∠B=90°，根据等边三角形性质可得AF=AE，∠FAE=60°，再根据全等三角形判定定理可得Rt△ADF≌Rt△ABE，则，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
12．如图，在正方形 中， 为对角线 上一点，连接 ，，若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，是对角线，
∴，∠ACB=45°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=90°-35°=55°，
∴。
故答案为： ．
【分析】本题先根据正方形的性质得到，∠ACB=45°，然后计算出∠EBC=55°，最后根据三角形内角和定理计算即可求出。
13． 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌. 那么用若干个全等的正方形　 　镶嵌整个平面.（填“能”或“不能”）
【答案】能
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形每一个内角为90°，周角为360°，
∴360°÷90°=4
故答案为：能.
【分析】本题主要考查平面图形的镶嵌（密铺）条件.解题的关键是理解一种图形能否单独镶嵌整个平面，取决于其内角能否整除360°.正方形每个内角为90°，360°÷90°=4，即用4个正方形可以无缝隙、不重叠地拼成一个周角，从而可以无限延伸铺满整个平面.
14．如图，在正方形的外侧作等边，则的度数为　 　.
【答案】45°
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形
∴AB=AD，∠BAD=90°
∵△ABE为等边三角形
∴AB=AE，∠BAE=∠AEB=60°
在△ADE中，AD=AE，∠DAE=∠BAD+∠BAE=150°
∴
∴∠BED=∠AEB-∠AED=45°
故答案为：45°
【分析】根据正方形性质可得AB=AD，∠BAD=90°，再根据等边三角形判定定理可得AB=AE，∠BAE=∠AEB=60°，根据等边对等角及三角形内角和定理可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
15．如图，在4×4的方格图中，阴影正方形的边长是　 　，这个长度介于两个相邻整数　 　之间。（每个小正方形的边长为1个单位）
【答案】；3和4
【知识点】无理数的估值；正方形的性质；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：设阴影正方形的边长为a，
根据勾股定理可得：
a2=12+32=1+9=10，
所以a=。
∵9<10<16，
∴<<，
即3<<4 。
∴这个长度介于两个相邻整数3和4之间。
故答案为：；3和4
【分析】观察图形可知，阴影正方形的边长是一个直角边分别为1和3的直角三角形的斜边，利用勾股定理即可求阴影正方形的边长。然后通过寻找与10相邻的两个完全平方数9和16，对其开平方后确定10介于3和4这两个相邻整数之间。
三、解答题
16．满足下列条件的四边形是不是正方形 为什么
（1）对角线互相垂直且相等的平行四边形；
（2）对角线互相垂直的矩形；
（3）对角线相等的菱形；
（4）对角线互相垂直平分且相等的四边形.
【答案】（1）解：是正方形。理由：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
对角线相等的平行四边形是矩形
既是菱形又是矩形的四边形是正方形
（2）解：是正方形。理由：
矩形的对角线相等且互相平分
对角线互相垂直的矩形是菱形
既是矩形又是菱形的四边形是正方形
（3）解：是正方形。理由：
菱形的对角线互相垂直平分
对角线相等的菱形是矩形
既是菱形又是矩形的四边形是正方形
（4）解：是正方形。理由：
对角线互相平分的四边形是平行四边形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
对角线相等的平行四边形是矩形
既是菱形又是矩形的四边形是正方形
【知识点】正方形的判定
【解析】【分析】根据正方形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
17．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，O是AC 的中点，连接DO 并延长至点E，连接AE，且AE∥ BC，连接CE.
（1）求证：四边形ADCE 是矩形；
（2）若AB=2，BC=2 ，求证：四边形ADCE是正方形.
【答案】（1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴D为BC的中点，
又∵O是AC的中点，
∴DO是△ABC的中位线，
∴DO∥AB，
∵DE∥AB，AE∥BD，
∴四边形AEDB是平行四边形，
∴AE=BD=CD，
∵AE=CD，AE∥CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠ADC=90°，
∴四边形 ADCE是矩形
（2）解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD=CD，
∴四边形 ADCE是正方形
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；正方形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的性质可得D为BC的中点，再根据三角形的中位线得出DO∥AB，从而判断四边形AEDB是平行四边形， 进而即可求解；
(2)根据等腰三角形的性质可得，再利用勾股定理求出，进而即可求解.
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