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北师大版数学九年级上册 1.4 正方形的性质与判定 二阶训练
一、选择题
1．下列条件不能判断四边形为正方形的是（　　）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形
B．对角线互相垂直的矩形
C．对角线互相垂直且相等的四边形
D．对角线相等的菱形
2．如图，四边形是平行四边形，下列结论错误的是（　　）
A．当时，是菱形
B．当时，是菱形
C．当时，是矩形
D．当时，是正方形
3．如图，一个正方形纸片，剪去一个角后得到一个五边形，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，面积分别是49和25的两个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则的长为（　　）
A．9 B．10 C．12 D．13
5．如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（　　）
A．4 B．5 C．8 D．10
6．如图，某兴趣小组需要在正方形ABCD上剪下机翼角(阴影部分)，点E在对角线BD上，若裁剪过程中满足DE=DA，则“机翼角”∠BAE的度数是(　　)．
A．30° B．23.5° C．22.5° D．22°
7．将边长为6的正方形纸片按图1所示的方式折叠，可将其分成图2所示的①，②，③三个区域，其中③号区域（阴影）的面积为（　　）
A． B． C．15 D．
8．如图，在正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，点F是CD的中点，连接EF并延长交AD于点G，连接BF， BG， AB=4CE=4，则 (　　)
A．2 B．5 C．4 D．10
9．我国清代数学家李善兰不仅创译了“代数”“函数”等科学名词，还利用出入相补的原理证明了勾股定理.如图所示，图中两个阴影正方形的面积分别记作 正方形ABCD的面积记作 则 与S3的关系是(　　)
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点A的坐标为，直线l的表达式为：，将直线l沿y轴向上平移m个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．正方形 ABCD中，点O为对称中心， EF过点O且点E在AD上，点F在BC上， BF=3， CF=1，则EF=　 　.
12．如图，在正方形中，是对角线上的一点，作于点，连接，若，，则　 　．
13．如图，在菱形中，连接，，，以为边作正方形，则正方形的周长为　 　．
14． 图（1）是一种利用了四边形不稳定性设计的千斤顶. 如图（2）所示，该千斤顶的基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A，C之间的距离）. 已知，，当千斤顶升高　 　cm时，四边形ABCD为正方形. （参考数据：，，结果保留整数）
15．如图，正方形ABCD的边长为4，G是对角线BD上一动点， GE⊥CD于点 E， GF⊥BC于点 F，连接EF，给出四种情况：①若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形；②若G为BD上任意一点，则AG=EF；③点G在运动过程中，GE+GF的值为定值4；④点 G在运动过程中，线段EF的最小值为 正确的有　 　.
三、解答题
16．如图，在正方形中，延长到点，使．连接，．
（1）求的度数；
（2）若，求的长．
17．如图1，四边形是一个边长为4的正方形，点和分别是边和上的动点（点与点不重合，点与点不重合），且，连接，，相交于点．
（1）请判断与的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，当点，运动到，的中点时，连接，请判断与之间的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】正方形的判定与性质
【解析】【解答】A. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确；
B.对角线互相垂直的矩形是正方形，正确；
C. 对角线互相垂直且相等的四边形，有可能是等腰梯形，错误；
D.对角线相等的菱形是正方形，正确；
故选C.
【分析】依据正方形的判定定理进行推导求解.
2．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、当时，可根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可判定是菱形，故不符合题意；
B、当时，可根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可判定是菱形，故不符合题意；
C、当时，可根据“有一个角为直角的平行四边形是矩形”可判定是矩形，故不符合题意；
D、当时，可根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可判定是矩形，不能得到是正方形，说法错误，故符合题意；
故选D．
【分析】
根据对应的判定定理逐一排除错误选项，得到最终结果.
3．【答案】C
【知识点】正方形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解∶如图，
∵四边形是正方形，
∴，
∵五边形的内角和为，
∴，
故答案为∶C．
【分析】 本题考查了多边形内角与外角，正方形的性质，由四边形是正方形可得，再进出五边形的内角和，用五边形的内角和减去三个直角即可．
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵正方形和正方形的面积分别是49和25，
∴，，，
∵M，A，B在同一条直线上，
∴，
在中，
由勾股定理得：．
故选：D．
【分析】本题考查正方形的性质与勾股定理的综合应用，先由正方形面积求出两个正方形的边长，得到直角三角形的两条直角边长度，再通过勾股定理计算斜边的长度。
5．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵点M是的中点，
∴；
如图所示，在延长线上截取，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，
∵，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值为5，
故选：B．
【分析】
首先证明，由此可得对应角相等，进一步可推导，即△DOF是直角三角形。根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得。如图所示，在AB的延长线上截取BH=BG，连接FH，易证，因此对应边相等。将代数式变形，根据两点之间线段最短，当D、F、H三点共线时，DF+FH取得最小值，此时也取得最小值，最小值等于DH长度的一半。计算可得AH=8，在中，由勾股定理得，因此的最小值为5.
6．【答案】C
【知识点】正方形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
∴， ，
在 中， ，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴。
故答案为：C.
【分析】根据正方形性质可得， ，根据等边对等角得到 ，进而根据三角形内角和定理求出，再根据角的和差求出∠BAE的度数即可.
7．【答案】C
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，设正方形，边长为6，N为中点，连接，P为与交点 ，过点分别作、，垂足分别为点、点，
四边形是正方形 ，
、、，
为中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由图可知，阴影部分面积为．
故选：C.
【分析】根据折叠过程确定折痕为正方形对角线及线段，得出N为中点，过点分别作、，垂足分别为点、点，先证出，利用相似三角形性质得出，从而求出点P到的距离，根据三角形的面积公式求出和利用阴影部分面积为，列式进行计算，即可得出答案．
8．【答案】D
【知识点】三角形的面积；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=4CE=4，
∴CE=1，
∵四边形 ABCD是正方形，
∴BC=CD=AB=4，AD//BC，CD⊥BC，
∴BE=BC+CE=5，
∴.
故答案为：D .
【分析】根据正方形的性质得到BC=CD=AB=4，AD//BC，CD⊥BC，求出BE的长，再根据三角形的面积公式可得答案.
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，
根据题意可知，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∵，，，
∴．
故答案为：B.
【分析】根据正方形的定义，利用AAS得到，根据对应边相等得到，然后根据勾股定理得到结论即可．
10．【答案】B
【知识点】正方形的性质；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：如图，
∵边长为3的正方形中，点的坐标为，
∴，，
将直线沿轴向上平移个单位后解析式为，，
当直线与正方形有唯一个交点时，即直线经过点B，D，
当经过点D时，有，解得，，
当经过点B时，有，解得，，
∵直线与正方形有交点，
∴的取值范围是．
故答案为：Ｂ.
【分析】根据正方形性质，结合已知得正方形各顶点的坐标，，，再求出将直线沿轴向上平移个单位后解析式，当经过点D时，代入坐标得，同理得当经过点B时，，再根据直线与正方形有交点，即可得的取值范围是．
11．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
过点O作BC的垂线，垂足为M，
∵四边形ABCD是正方形，
则
在 中，
∵正方形ABCD是中心对称图形且点O为其对称中心，
故答案为：
【分析】过点O作BC的垂线，垂足为M，根据正方形的性质得到BM和CM的长，即可求出MF的值，然后根据勾股定理求出OF长解答即可.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，延长FE交CD于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AB=BC=9，∠B=∠BAD=90°，∠BAC=45°，
∵BF=3，
∴AF=6，
∵EF⊥AB，
∴EF∥BC∥AD，∠AFE=90°，
∴四边形BCMF和ADMF是矩形，EF=AF=6，FM=BC=9，
∴DM=AF=6，EM=3，∠DME=90°，
∴DE=.
故填：.
【分析】延长FE交CD于点M，证出四边形BCMF和ADMF是矩形，得出DM=AF=6，EM=3，∠DME=90°，再根据勾股定理求出DE的长，即可得出答案.
13．【答案】16
【知识点】勾股定理；菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，设菱形的对角线交于点，
∴，，，
∴，
∴，
∴正方形的周长为，
故填：16．
【分析】根据菱形的性质得出，，OA=1，利用勾股定理求得，从而得到，再利用正方形的面积公式进行计算，即可得出答案．
14．【答案】17
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AB=40
∴AD=CD=AB=40
连接AC
∵∠ADC=60°
∴△ACD是等边三角形
∴AC=AD=40
如图，四边形ABCD是正方形，则∠ADC=90°
∴
∴56.56-40=16.56≈17
∴当千斤顶升高17cm时，四边形ABCD为正方形
故答案为：17
【分析】根据菱形性质可得AD=CD=AB=40，根据等边三角形判定定理可得△ACD是等边三角形，则AC=AD=40，当四边形ABCD是正方形时，∠ADC=90°，根据勾股定理可得AC，再作差求出升高的高度，即可求出答案.
15．【答案】①②③④
【知识点】三角形的面积；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形
∴∠C=90°，AD=DC，∠CBG=∠CDG=∠ADG=45°
∵GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，
∴∠GEC=∠GFC=90°
∴四边形GFCE是矩形，∠EGD=∠EDG=45°，∠FGB=∠CBG=45°
∴，，
∵G为BD的中点
∴DG=BG
∴GE=GF，
∴四边形GFCE是正方形，故①正确；
连接GC，
∵四边形GFCE是矩形
∴EF=GC，
在△ADG与△CDG中，
∴△ADG≌△CDG(SAS)
∴AG=GC
∴AG=EF，故②正确；
∵∠EGD=∠EDG=45°
∴GE=ED
∵四边形GFCE是矩形
∴GF=CE
∴GE+GF=ED+CE=CD=4
即GE+GF的值为定值4，故③正确；
∵EF=GC
∴当CG最小时，EF最小，
∴当CG⊥BD时，CG最小，
在Rt△BCD 中，，
∵，
∴，
∴
∴线段EF的最小值为，故④正确；
∴正确的有①②③④
故选：A.
【分析】先证明四边形GFCE是矩形，再证明GE=GF，则四边形CEGF是正方形，即可判定①正确；连接GC，由四边形GFCE是矩形，得EF=GC，再证明△ADG≌△CDG(SAS)， 得AG=GC， 则AG=EF，即可判定②正确；证明GE=ED，GF=CE，从而得GE+GF=ED+CE=CD=4，即可判定③正确；根据EF=GC，所以当CG最小时，EF最小，所以当CG⊥BD时，CG最小，利用求得，即得线段EF的最小值为，即可判定④正确.
16．【答案】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】（1）首先根据正方形的性质可得出，进而根据等腰三角形的性质，及三角形内角和定理可得出，进而得出；
（2）首先根据正方形的性质可得出，进而根据勾股定理可得出，进而，再根据勾股定理可得出．
17．【答案】（1），理由如下：
证明：四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴。
（2）解：，理由如下：
如图，延长，交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴
由题意可得点是的中点，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由①得，
∴，
∴是直角三角形，
∴，即．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）先根据正方形的性质以及，证明，从而根据全等三角形的性质得到，结合“直角三角形锐角互余”列式并推出，从而得到，此时即可证明；
（2）做辅助线，结合正方形的性质以及邻补角，计算并结合ASA证明，得到，则， 则由直角三角形斜边上的中线的性质即可得到．
（1）解：，理由如下：
证明：四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图，延长，交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴
由题意可得点是的中点，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由①得，
∴，
∴是直角三角形，
∴，即．
1 / 1北师大版数学九年级上册 1.4 正方形的性质与判定 二阶训练
一、选择题
1．下列条件不能判断四边形为正方形的是（　　）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形
B．对角线互相垂直的矩形
C．对角线互相垂直且相等的四边形
D．对角线相等的菱形
【答案】C
【知识点】正方形的判定与性质
【解析】【解答】A. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确；
B.对角线互相垂直的矩形是正方形，正确；
C. 对角线互相垂直且相等的四边形，有可能是等腰梯形，错误；
D.对角线相等的菱形是正方形，正确；
故选C.
【分析】依据正方形的判定定理进行推导求解.
2．如图，四边形是平行四边形，下列结论错误的是（　　）
A．当时，是菱形
B．当时，是菱形
C．当时，是矩形
D．当时，是正方形
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、当时，可根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可判定是菱形，故不符合题意；
B、当时，可根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可判定是菱形，故不符合题意；
C、当时，可根据“有一个角为直角的平行四边形是矩形”可判定是矩形，故不符合题意；
D、当时，可根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可判定是矩形，不能得到是正方形，说法错误，故符合题意；
故选D．
【分析】
根据对应的判定定理逐一排除错误选项，得到最终结果.
3．如图，一个正方形纸片，剪去一个角后得到一个五边形，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解∶如图，
∵四边形是正方形，
∴，
∵五边形的内角和为，
∴，
故答案为∶C．
【分析】 本题考查了多边形内角与外角，正方形的性质，由四边形是正方形可得，再进出五边形的内角和，用五边形的内角和减去三个直角即可．
4．如图，面积分别是49和25的两个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则的长为（　　）
A．9 B．10 C．12 D．13
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵正方形和正方形的面积分别是49和25，
∴，，，
∵M，A，B在同一条直线上，
∴，
在中，
由勾股定理得：．
故选：D．
【分析】本题考查正方形的性质与勾股定理的综合应用，先由正方形面积求出两个正方形的边长，得到直角三角形的两条直角边长度，再通过勾股定理计算斜边的长度。
5．如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（　　）
A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵点M是的中点，
∴；
如图所示，在延长线上截取，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，
∵，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值为5，
故选：B．
【分析】
首先证明，由此可得对应角相等，进一步可推导，即△DOF是直角三角形。根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得。如图所示，在AB的延长线上截取BH=BG，连接FH，易证，因此对应边相等。将代数式变形，根据两点之间线段最短，当D、F、H三点共线时，DF+FH取得最小值，此时也取得最小值，最小值等于DH长度的一半。计算可得AH=8，在中，由勾股定理得，因此的最小值为5.
6．如图，某兴趣小组需要在正方形ABCD上剪下机翼角(阴影部分)，点E在对角线BD上，若裁剪过程中满足DE=DA，则“机翼角”∠BAE的度数是(　　)．
A．30° B．23.5° C．22.5° D．22°
【答案】C
【知识点】正方形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
∴， ，
在 中， ，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴。
故答案为：C.
【分析】根据正方形性质可得， ，根据等边对等角得到 ，进而根据三角形内角和定理求出，再根据角的和差求出∠BAE的度数即可.
7．将边长为6的正方形纸片按图1所示的方式折叠，可将其分成图2所示的①，②，③三个区域，其中③号区域（阴影）的面积为（　　）
A． B． C．15 D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，设正方形，边长为6，N为中点，连接，P为与交点 ，过点分别作、，垂足分别为点、点，
四边形是正方形 ，
、、，
为中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由图可知，阴影部分面积为．
故选：C.
【分析】根据折叠过程确定折痕为正方形对角线及线段，得出N为中点，过点分别作、，垂足分别为点、点，先证出，利用相似三角形性质得出，从而求出点P到的距离，根据三角形的面积公式求出和利用阴影部分面积为，列式进行计算，即可得出答案．
8．如图，在正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，点F是CD的中点，连接EF并延长交AD于点G，连接BF， BG， AB=4CE=4，则 (　　)
A．2 B．5 C．4 D．10
【答案】D
【知识点】三角形的面积；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=4CE=4，
∴CE=1，
∵四边形 ABCD是正方形，
∴BC=CD=AB=4，AD//BC，CD⊥BC，
∴BE=BC+CE=5，
∴.
故答案为：D .
【分析】根据正方形的性质得到BC=CD=AB=4，AD//BC，CD⊥BC，求出BE的长，再根据三角形的面积公式可得答案.
9．我国清代数学家李善兰不仅创译了“代数”“函数”等科学名词，还利用出入相补的原理证明了勾股定理.如图所示，图中两个阴影正方形的面积分别记作 正方形ABCD的面积记作 则 与S3的关系是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，
根据题意可知，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∵，，，
∴．
故答案为：B.
【分析】根据正方形的定义，利用AAS得到，根据对应边相等得到，然后根据勾股定理得到结论即可．
10．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点A的坐标为，直线l的表达式为：，将直线l沿y轴向上平移m个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的性质；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：如图，
∵边长为3的正方形中，点的坐标为，
∴，，
将直线沿轴向上平移个单位后解析式为，，
当直线与正方形有唯一个交点时，即直线经过点B，D，
当经过点D时，有，解得，，
当经过点B时，有，解得，，
∵直线与正方形有交点，
∴的取值范围是．
故答案为：Ｂ.
【分析】根据正方形性质，结合已知得正方形各顶点的坐标，，，再求出将直线沿轴向上平移个单位后解析式，当经过点D时，代入坐标得，同理得当经过点B时，，再根据直线与正方形有交点，即可得的取值范围是．
二、填空题
11．正方形 ABCD中，点O为对称中心， EF过点O且点E在AD上，点F在BC上， BF=3， CF=1，则EF=　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
过点O作BC的垂线，垂足为M，
∵四边形ABCD是正方形，
则
在 中，
∵正方形ABCD是中心对称图形且点O为其对称中心，
故答案为：
【分析】过点O作BC的垂线，垂足为M，根据正方形的性质得到BM和CM的长，即可求出MF的值，然后根据勾股定理求出OF长解答即可.
12．如图，在正方形中，是对角线上的一点，作于点，连接，若，，则　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，延长FE交CD于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AB=BC=9，∠B=∠BAD=90°，∠BAC=45°，
∵BF=3，
∴AF=6，
∵EF⊥AB，
∴EF∥BC∥AD，∠AFE=90°，
∴四边形BCMF和ADMF是矩形，EF=AF=6，FM=BC=9，
∴DM=AF=6，EM=3，∠DME=90°，
∴DE=.
故填：.
【分析】延长FE交CD于点M，证出四边形BCMF和ADMF是矩形，得出DM=AF=6，EM=3，∠DME=90°，再根据勾股定理求出DE的长，即可得出答案.
13．如图，在菱形中，连接，，，以为边作正方形，则正方形的周长为　 　．
【答案】16
【知识点】勾股定理；菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，设菱形的对角线交于点，
∴，，，
∴，
∴，
∴正方形的周长为，
故填：16．
【分析】根据菱形的性质得出，，OA=1，利用勾股定理求得，从而得到，再利用正方形的面积公式进行计算，即可得出答案．
14． 图（1）是一种利用了四边形不稳定性设计的千斤顶. 如图（2）所示，该千斤顶的基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A，C之间的距离）. 已知，，当千斤顶升高　 　cm时，四边形ABCD为正方形. （参考数据：，，结果保留整数）
【答案】17
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AB=40
∴AD=CD=AB=40
连接AC
∵∠ADC=60°
∴△ACD是等边三角形
∴AC=AD=40
如图，四边形ABCD是正方形，则∠ADC=90°
∴
∴56.56-40=16.56≈17
∴当千斤顶升高17cm时，四边形ABCD为正方形
故答案为：17
【分析】根据菱形性质可得AD=CD=AB=40，根据等边三角形判定定理可得△ACD是等边三角形，则AC=AD=40，当四边形ABCD是正方形时，∠ADC=90°，根据勾股定理可得AC，再作差求出升高的高度，即可求出答案.
15．如图，正方形ABCD的边长为4，G是对角线BD上一动点， GE⊥CD于点 E， GF⊥BC于点 F，连接EF，给出四种情况：①若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形；②若G为BD上任意一点，则AG=EF；③点G在运动过程中，GE+GF的值为定值4；④点 G在运动过程中，线段EF的最小值为 正确的有　 　.
【答案】①②③④
【知识点】三角形的面积；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形
∴∠C=90°，AD=DC，∠CBG=∠CDG=∠ADG=45°
∵GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，
∴∠GEC=∠GFC=90°
∴四边形GFCE是矩形，∠EGD=∠EDG=45°，∠FGB=∠CBG=45°
∴，，
∵G为BD的中点
∴DG=BG
∴GE=GF，
∴四边形GFCE是正方形，故①正确；
连接GC，
∵四边形GFCE是矩形
∴EF=GC，
在△ADG与△CDG中，
∴△ADG≌△CDG(SAS)
∴AG=GC
∴AG=EF，故②正确；
∵∠EGD=∠EDG=45°
∴GE=ED
∵四边形GFCE是矩形
∴GF=CE
∴GE+GF=ED+CE=CD=4
即GE+GF的值为定值4，故③正确；
∵EF=GC
∴当CG最小时，EF最小，
∴当CG⊥BD时，CG最小，
在Rt△BCD 中，，
∵，
∴，
∴
∴线段EF的最小值为，故④正确；
∴正确的有①②③④
故选：A.
【分析】先证明四边形GFCE是矩形，再证明GE=GF，则四边形CEGF是正方形，即可判定①正确；连接GC，由四边形GFCE是矩形，得EF=GC，再证明△ADG≌△CDG(SAS)， 得AG=GC， 则AG=EF，即可判定②正确；证明GE=ED，GF=CE，从而得GE+GF=ED+CE=CD=4，即可判定③正确；根据EF=GC，所以当CG最小时，EF最小，所以当CG⊥BD时，CG最小，利用求得，即得线段EF的最小值为，即可判定④正确.
三、解答题
16．如图，在正方形中，延长到点，使．连接，．
（1）求的度数；
（2）若，求的长．
【答案】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】（1）首先根据正方形的性质可得出，进而根据等腰三角形的性质，及三角形内角和定理可得出，进而得出；
（2）首先根据正方形的性质可得出，进而根据勾股定理可得出，进而，再根据勾股定理可得出．
17．如图1，四边形是一个边长为4的正方形，点和分别是边和上的动点（点与点不重合，点与点不重合），且，连接，，相交于点．
（1）请判断与的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，当点，运动到，的中点时，连接，请判断与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1），理由如下：
证明：四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴。
（2）解：，理由如下：
如图，延长，交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴
由题意可得点是的中点，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由①得，
∴，
∴是直角三角形，
∴，即．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）先根据正方形的性质以及，证明，从而根据全等三角形的性质得到，结合“直角三角形锐角互余”列式并推出，从而得到，此时即可证明；
（2）做辅助线，结合正方形的性质以及邻补角，计算并结合ASA证明，得到，则， 则由直角三角形斜边上的中线的性质即可得到．
（1）解：，理由如下：
证明：四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图，延长，交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴
由题意可得点是的中点，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由①得，
∴，
∴是直角三角形，
∴，即．
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