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3.3《探索与表达规律》暑假预习
一、单选题
1．我们规定一个新数“i”，使其满足 并进一步规定：一切有理数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有 则 值为（ ）
A．i B． C． D．1
2．已知有理数，我们把称为的“差倒数”，如：2的“差倒数”是，的“差倒数”是．若，是的“差倒数”，是的“差倒数”，是的“差倒数”，…，依此类推，则的值是( )
A． B． C．4 D．
3．下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值为（ ）．
A． B． C． D．
4．链状烷烃是一类由碳，氢元素组成的有机化合物，这类物质前四种化合物的分子结构模型如图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有1个碳原子和4个氢原子，化学式为；第2种如图②有2个碳原子和6个氢原子，化学式为；第3种如图③有3个碳原子和8个氢原子，化学式为…按照这一规律，第2026种化合物的化学式为（ ）
A． B． C． D．
5．观察下列等式：；
；
；
根据以上规律计算的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．按规律排列的一组数：，按此规律第n个数为________．
7．如图，填在各方格中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，n的值是____________．
8．中国结艺是中国特有的民间手工编结艺术，体现了中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，抽离出其平面图形，若其中第1个图形中共有9个小正方形，第2个图形中共有14个小正方形，第3个图形中共有19个小正方形，…；则第10个图形小正方形的个数为__________．
9．“数学好玩”兴趣小组做一个数字游戏．第一步：取一个自然数，计算得；第二步：算出的各位数字之和得，计算得；第三步，算出的各位数字之和得，计算得；…………以此类推，则______．
10．计算3的正整数次幂，，，，，，，，…观察归纳各计算结果中个位数字的规律，可得的个位数字是_______．
三、解答题
11．找规律
(1)观察：，，，，……
你发现其中的规律了吗？如何用代数式表示这一规律？
(2)利用（1）中的规律计算．
(3)你还能找到哪些类似的规律？试举两例．
12．观察下列各式：
①
②
③
……，
探索以上式子的规律：
(1)第5个等式是 ；
(2)试写出第n个等式，并用所学知识说明第n个等式成立．
13．在数学活动中，小明为了求的值，写出下列解题过程．
设：①
两边同乘以2得：
②
由得：
(1)应用结论：______；
(2)拓展探究：
①求：的值；
②求：的值．
14．第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：．
(1)探寻上述等式规律，写出第5个等式：_________；
(2)求的值．
15．将一个面积为1的三角形分成4个面积相等的小三角形如图①，再将图①中心的小三角形按同样的方式分成4个面积相等的小三角形如图②，再将图②中心的小三角形按同样的方式分成4个面积相等的小三角形如图③，以此类推．
(1)图①中阴影部分的面积为 ，图②中阴影部分的面积为 ，图③中阴影部分的面积为 ；
(2)计算：．
16．用长度相同的小棒按图所示的方式摆正方形，从上往下数，第2层起，每层比上一层多一个正方形，第1个图形需要4根小棒，第2个图形需要10根小棒，第3个图形需要18根小棒．
【特例感知】（1）第4个图形比第3个图形多_____根小棒；
【探索规律】（2）第个图形需要的小棒根数比第个图形多100根，求的值；
【拓展运用】（3）若第个图形竖放小棒根数是其序号的倍，请用含的代数式表示．
17．【观察思考】
如图，这是由正六边形组成的一系列图案，其中第1个图案有4个正六边形；第2个图案有7个正六边形；第3个图案有10个正六边形；第4个图案有13个正六边形……
【规律发现】
（1）第5个图案有__________个正六边形．
（2）第（是正整数）个图案有__________个正六边形．（用含的式子表示）
【规律应用】
（3）若小明在摆某一个图案时用到了2026个正六边形，请你通过计算判断小明摆的是第几个图案．
18．【规律探究】数形结合是一种重要的数学思想，观察下列图形，探究其中的数学规律并解决问题．
(1)探究一：点阵等式规律
观察下面的点阵（图）和相应的等式：
①；
②；
③；
④；…
①填空：（ ）2；
②猜想：（ ）2（是正整数）．
(2)探究二：平面密铺规律
如图，此图案由边长相等的正六边形、正方形、正三角形无重叠、无缝隙密铺而成．图案的几何中心为块正六边形，从内向外逐层环绕正方形与正三角形：第一层有块正方形、块正三角形；第二层有块正方形、块正三角形；以此类推．
①第层中分别含有________块正方形和________块正三角形；
②第层中分别含有________块正方形和________块正三角形（用含的代数式表示）．
(3)【应用拓展】
某市打算在一个新建广场中央，采用如图的样式铺设地面，现有块正六边形地砖和块正方形地砖，若正方形地砖全部用完，且恰好铺满完整的层数，按上述规律铺设，还需要多少块正三角形地砖？请写出计算过程．
参考答案
一、单选题
1．D
解：∵，，，，，
∴，，，，，
∴算式中的项以循环，
∵，，
∴
．
2．C
解：∵
∴
∴该数列以三个数为一个周期循环
∵，刚好整除
∴
故选：C．
3．A
如图，
∵左下角的数依次为，右上角的数依次为，
∴右上角的数左下角的数，即，解得：，
∵左上角的数依次为，左下角的数依次为，
∴左下角的数左上角的数，即，解得：，
∵根据()可得：，
根据()可得：，
根据()可得：，
∴推出第()个式子为：，
∴．
4．D
解：∵第1种如图①有1个碳原子和个氢原子，化学式为；
第2种如图②有2个碳原子和个氢原子，化学式为；
第3种如图③有3个碳原子和个氢原子，化学式为；
……；
∴第n种有n个碳原子和个氢原子，化学式为，
∴第2026种化合物的化学式为．
5．A
解：由已知等式可归纳出规律：
令，代入得：
．
二、填空题
6．
解：观察已知排列的数：
第个数：；
第个数：；
第个数：；
第个数：；
；
按此规律，可得第个数的分子为，分母为．
∴第个数为．
7．44
解：∵第1个图中，，，
第2个图中，，，
第3个图中，，，
∴第4个图中，，．
8．54
解：由图可知：第1个图形中共有个小正方形，第2个图形中共有个小正方形，第3个图形中共有个小正方形，…；
∴第个图形小正方形的个数为个，
∴第10个图形小正方形的个数为．
9．26
解：根据题意得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
……，
由此发现，以26，65，122三个数为一个循环，
∵，
∴．
10．9
解：由题意，可知的个位数字以四个一组循环，
，
的个位数字是循环组中的第2个数字，即为．
三、解答题
11．（1）解：，
，
，
，
，
根据规律可得：（为非负整数）；
（2）解：根据规律可得：
；
（3）解：，
（答案不唯一）．
12．（1）解：第5个等式是；
（2）解：由题意得，第n个等式为，
理由：左边
，
右边，
左边右边，
．
13．（1）解：由题干得：，
将代入得：；
（2）解：①设，
两边同乘得：，
由得：，
∴；
②设，
两边同乘2得：，
由得：．
14．（1）解：第5个等式为
（2）解：
15．（1）解：由题知：
图①中阴影部分的面积为：；
图②中阴影部分的面积为：；
图③中阴影部分的面积为：；
…，
所以图n中阴影部分的面积为．
（2）解：由题知，
图①中空白部分的面积为：；
图②中空白部分的面积为：；
图③中空白部分的面积为：；
…，
所以图n中空白部分的面积为：．
当时，
．
16．解：（1）由题意知，第2个图形比第1个图形多6根小棒，，
第3个图形比第2个图形多8根小棒，，
以此类推，第4个图形比第3个图形多：根小棒，
故答案为：10；
（2）由（1）知第个图形需要的小棒根数比第个图形多根小棒，
令，
解得；
（3）由题意得，第n个图形竖放小棒根数为，
解得．
17．解：（1）由所给图形可知，
第1个图案中正六边形的个数为：；
第2个图案中正六边形的个数为：；
第3个图案中正六边形的个数为：；
，
所以第个图案中正六边形的个数为．
当时，
，
即第5个图案中正六边形的个数为16．
故答案为：16；
（2）由（1）知，
第个图案中正六边形的个数为．
故答案为：；
（3）由得，
，
所以小明摆的是第675个图案．
18．（1）解：①；
②；
③；
④；
…，
∴；；
（2）解：观察可知，每一层均有6块正方形，后一层比前一层多12块正三角形，
∴①第层中分别含有6块正方形和块正三角形；
②第层中分别含有6块正方形和块正三角形；
（3）解：铺设这样的图案，还需要600块正三角形地板砖．理由如下：
（层），
块正方形地板砖可以铺设这样的图案10层；
∵铺设层需要正三角形地板砖的数量为：，
∴当时，．
故铺设这样的图案，还需要600块正三角形地板砖．

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