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25.2.1《配方法》暑假预习
一、单选题
1．方程的根为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．用配方法解方程时，经过配方后正确的是（ ）．
A． B． C． D．
4．已知为实数，，，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与就是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最大值是（ ）
A．2025 B．2026 C．2027 D．2028
二、填空题
6．用配方法解方程，将方程变为的形式，则的值___________．
7．对于实数a，b，定义运算“※”如下：，例如，．若，则x的值为_____________．
8．若，则关于x的二次方程的解是___．
9．某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图．老师看后，发现有一名同学所负责的步骤是错误的，则这名同学是________．
10．新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是______．
三、解答题
11．用直接开平方法解下列方程．
(1)； (2)．
12．解方程：
(1)； (2)．
13．解下列方程：
(1)； (2)．
14．下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：二次项系数化为1，得，……第一步
移项，得，……第二步
配方，得，……第三步
，……第四步
由此可得，……第五步
解得……第六步
(1)任务一：
①上述小明同学解此一元二次方程的方法是什么？依据的数学公式是什么？
②哪一步首先出现错误，错误的原因是什么？
(2)任务二：请你写出该方程的正确求解过程．
15．“配方法”在数学中非常有用，有时我们可以将代数式配成完全平方式如：，，，；有时我们也可以用配方法解一元二次方程．请解决下列问题：
(1)填空：代数式有最_______（填“大”或“小”）值：这个最值为________；
(2)证明：代数式的值恒为正数．
(3)如图，在 ABC中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E，连接．设，．
①则图中线段________（空格中填写图中的线段）的长是方程的一个根，你是如何得到这个结论的？请写出你的发现过程．
②若，则的值为________．
参考答案
一、单选题
1．C
解：
，．
2．D
解：∵任意实数的平方为非负数
∴
∵方程可以用直接开平方法求解
∴等式右边需满足非负，即
解得．
3．D
解： ，
移项，得 ，
给方程两边同时加上一次项系数一半的平方 ，得，
整理左侧为完全平方式，得．
4．B
解：∵，，
∴，
去括号整理得：，
即：，
∵为实数，任意实数的平方非负，可得，
∴，即，
∴．
5．D
解：∵关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，
∴一元二次方程的 “同族二次方程”为，即，
∴，，解得，
∴，
∵，
∴，即，
∴能取到最大值．
二、填空题
6．
解：，
方程两边同除以3，得，
移项，得，
配方，得，，
∴．
7．
解：根据定义的运算规则，将转化为方程：
，
解得．
8．
解：∵，
∴或，
∴或，
又∵关于x的二次方程，
∴二次项系数，即，
∴，
将代入方程得，即，
∴，即 ，
解得：．
故答案为： ．
9．丁
10．
解：∵关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，
∴应为，
∴，
∴，
∴，
∴，
代数式
，
∴代数式的最小值是．
故答案为：．
三、解答题
11．（1）解：
∴；
（2）解：
∴．
12．（1）解：，
，
，
，
解得；
（2）解：，
，
，
，
，
解得．
13．（1）解：
解得，；
（2）解：
解得，．
14．（1）解：①根据题干信息，解此一元二次方程的方法是配方法，
配方法依据的数学公式是完全平方公式，
②第三步首先出现错误，配方时仅在方程左边加上一次项系数一半的平方，右边未同时加上该数，等式不成立．
（2）解：二次项系数化为1，得，
移项，得，
配方，得，
即，
由此可得，
解得，．
15．（1）解：
∵，
∴，
∴，
∴代数式有最小值：这个最值为1；
（2）证明：，
∵，
∴，
∴代数式的值恒为正数；
（3）解：①∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，或（舍去），
∵以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；
∴，
∴；
②∵以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E，
∴，
∵，，
∴，，
∴
∴．

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