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(共18张PPT)
10.2事件的相互独立性
若事件A,B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)，
那么P(AB)=P(A)P(B)会成立吗？什么条件下能成立？
事件的关系或运算 含义 符号表示 概率表示
包含 A发生导致B发生 A B P(A)≤P(B)
并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A+B P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B)
交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B= P(A∪B)=P(A)+P(B) 可推广
互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B= A∪B=Ω P(A)+P(B)=1
P246探究：下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B，
问题1：你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗
试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，
A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.
试验2：一个袋子中装有标号分别是1, 2, 3, 4的4个球，除标号外没有其他差异，
采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.
A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”.
问题2：以上试验中P(AB)与P(A)和P(B)有何联系
试验1中，Ω={(1 , 1) , (1, 0), (0, 1), (0, 0)}
A={(1, 1), (1, 0)}，B={(1, 0), (0, 0)}，AB={(1, 0)}.
试验2中，Ω={(m , n)|m , n∈{1 , 2 , 3 , 4}}，包含16个样本点 .
A={(1 , 1) , (1 , 2) , (1 , 3) , (1 , 4) , (2 , 1) , (2 , 2) , (2 , 3) , (2 , 4)}，
B={(1 , 1) , (1 , 2) , (2 , 1) , (2 , 2) , (3 , 1) , (3 , 2) , (4 , 1) , (4 , 2)}，
AB={(1 , 1) , (1 , 2) , (2 , 1) , (2 , 2)}.
两个试验中，事件A发生与否并不影响事件B发生的概率.
新知：事件的相互独立性
定义法判断事件是否相互独立
对任意两个事件A与B，如果 P(AB)=P(A)P(B)成立，
则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.
若事件A发生与否不影响事件B发生的概率，
则事件A与B相互独立，从而有P(AB)=P(A)P(B)
直接法判断事件是否相互独立
计算积事件的概率(前提:A,B独立)
直接法：必然事件Ω总会发生，不会受任何事件是否发生的影响；
不可能事件 总不会发生，也不受任何事件是否发生的影响 .
注：①必然事件Ω、不可能事件 与任意事件A相互独立.
定义法：P(AΩ)=P(A)=P(A)P(Ω)、P(A )=P( )=P(A)P( )
新知：事件的相互独立性
②若事件A,B相互独立，则A与B、A与B、A与B也相互独立.
举例说明：甲、乙各自射靶，结果互不影响，A=“甲中靶”，B=“乙中靶”
③三个事件A、B、C两两互斥，则P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)成立，
但三个事件A、B、C两两独立时，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立.
推理证明：
判断事件是否相互独立的方法
3.转化法：事件A与事件B是否相互独立，与事件A与 , 与B, 与 是否具有独立性可互相转化.
1.直接法：直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率.
2.定义法：判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立.
方法小结
巩固：事件相互独立性的判断
P251-例1.一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异。
采用不放回方式从中任意摸球两次。
记事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B=“第二次摸出球的标号小于3”，
那么事件A与B是否相互独立？
解：样本空间Ω={(m, n)|m, n∈{1, 2, 3, 4}, 且m≠n}，共12个样本点.
A={(1 , 2) , (1 , 3) , (1 , 4) , (2 , 1) , (2 , 3) , (2 , 4)}，
B={(2 , 1) , (3 , 1) , (4 , 1) ,(1 , 2) , (3 , 2) , (4 , 2)}，
AB={(1 , 2) , (2 , 1)}，
定义法
巩固：事件相互独立性的判断
P252-练习1.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，
设事件A是“第一枚为正面”，事件B是“第二枚为正面”，事件C是“两枚结果相同”，则下列各组事件中相互独立的是________.
①A，B； ②A，C； ③B，C.
直接法
定义法
P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5
P(AC)＝P(“正正”)=0.25=P(A)P(C)
P(BC)＝P(“正正”)=0.25=P(B)P(C)
定义法
①②③
巩固：事件相互独立性的判断
【2021年·新高考Ⅰ卷】有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.
甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，
乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，
丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，
丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，
则下列正确的是( )
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
B
巩固：相互独立事件的概率计算
P251-例2.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，
乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率:
(1)两人都中靶； (2)恰好有一人中靶；
(3)两人都脱靶； (4)至少有一人中靶.
析：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，则A=“甲脱靶”，B=“乙脱靶”.
由于两个人射击的结果互不影响，∴A与B相互独立，
且A与B，A与B，A与B都相互独立.
(1) “两人都中靶”=AB，∴P(AB) =P(A)P(B) =0.8×0.9=0.72
(2)“恰有1人中靶”= AB∪AB，且AB与AB互斥，
∴P(AB∪AB) =P(AB)+P(AB) =P(A)P(B)+P(A)P(B)
=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26
(3) “两人都脱靶”=AB，∴P(AB) =P(A)P(B) =0.2 ×0.1=0.02
巩固：相互独立事件的概率计算
P251-例2.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，
乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率:
(1)两人都中靶； (2)恰好有一人中靶；
(3)两人都脱靶； (4)至少有一人中靶.
析：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，则A=“甲脱靶”，B=“乙脱靶”.
由于两个人射击的结果互不影响，∴A与B相互独立，
且A与B，A与B，A与B都相互独立.
巩固：相互独立事件的概率计算
[变式]P249-3.天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，
假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内:
(1)甲、乙两地都降雨的概率;
(2)甲、乙两地都不降雨的概率;
(3)至少一个地方降雨的概率.
=0.2×0.3=0.06
=0.8×0.7=0.56
(拆分事件)P(M)=________________________
(并事件)P(M)=P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)
=0.2+0.3－0.2×0.3=0.44
P(A)=0.2
P(B)=0.3
P(AB)=P(A)P(B)
P(AB)=P(A)P(B)
－
－
－
－
事件M
(对立事件)P(M)=1－P(AB)
－
－
=1－0.56=0.44
=0.2×0.7+0.8×0.3+0.2×0.3=0.44
[变式1]甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为________
巩固：相互独立事件的概率计算
巩固：相互独立事件的概率计算
即两轮活动中“甲对1个,乙对2个”或“甲对2个,乙对1个”
设A=“星队两轮活动猜对3个成语”，
J1=“甲两轮猜对1个成语”，
J2=“甲两轮猜对2个成语”，
Y1=“乙两轮猜对1个成语”，
Y2=“乙两轮猜对2个成语”，
则A=J1Y2∪J2Y1, 且J1Y2与J2Y1互斥, 且J1,Y2独立, J2,Y1独立,
∴P(A) =P(J1Y2∪J2Y1)= P(J1Y2)＋P(J2Y1)
= P(J1)P(Y2)＋P(J2)P(Y1)
巩固：互斥与相互独立的区分
判断下列各对事件哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件．
(1)掷一枚骰子一次，事件M: “出现的点数为奇数”；事件N: “出现的点数为偶数”
.
(2)掷一枚骰子一次，事件A：“出现偶数点”；事件B：“出现3点或6点”．
M＝{1,3,5}，N＝{2,4,6}，MN＝
P(MN)≠P(M)P(N)
M、N 互斥但不相互独立
A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}
P(AB)=P(A)P(B)
A、B相互独立但不互斥
注：若P(A)>0，P(B)>0，则事件A、B相互独立与事件A、B互斥不能同时成立

下 课
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