第1章集合简易逻辑和不等式（扫描版，含解析）高中数学人教A版

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§1.1 集合
1、元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系：属于或不属于，数学符号分别记为：∈和．
(3)集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图 (venn图)．
(4)常见数集和数学符号
数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集
符号 N N 或N+ Z Q R
说明：
①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在
这个集合中就确定了．给定集合A={1,2,3,4,5}，可知 1∈A，在该集合中，6 A，不在该集合中；
②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的．
集合A={a,b,c}应满足 a≠ b≠ c．
③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合A={1,2,3,4,5}和B={1,3,5,2,4}是同一个集合．
④列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫做列举法．
⑤描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．
具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值 (或变化)范围，再画一条竖线，
在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
2、集合间的基本关系
(1)子集 (subset)：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我
们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B(或B A)，读作“A包含于B”
(或“B包含A”)．
(2)真子集 (proper subset)：如果集合A B，但存在元素 x∈B，且 x A，我们称集合A是集合B的真
子集，记作A B(或B ≠A)．读作“A真包含于B ”或“B真包含A”．
(3)相等：如果集合A是集合B的子集 (A B，且集合B是集合A的子集 (B A)，此时，集合A与集
LaoFan 1
合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A=B．
(4)空集的性质：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合
的真子集．
3、集合的基本运算
(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩
B，即A∩B={x|x∈A，且 x∈B}．
(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪
B，即A∪B={x|x∈A，或 x∈B}．
(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集
U的补集，简称为集合A的补集，记作CUA，即CUA={x|x∈U，且 x A}．
4、集合的运算性质
(1)A∩A=A，A∩ = ，A∩B=B∩A．
(2)A∪A=A，A∪ =A，A∪B=B∪A．
(3)A∩ CUA = ，A∪ CUA =U，CU CUA =A．
【解题方法总结】
(1)若有限集A中有 n个元素，则A的子集有 2n个，真子集有 2n- 1个，非空子集有 2n- 1个，非空真子
集有 2n- 2个．
(2)空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．
(3)A B A∩B=A A∪B=B CUB CUA．
(4)CU(A∩B) = (CUA) ∪ (CUB)，CU(A∪B) = (CUA) ∩ (CUB)．
2 LaoFan
考点 1 : 集合的表示：列举法、描述法
1 (2024·广东江门·统考一模)已知集合A= -1,0,1 ，B= m|m2-1∈A,m-1 A ，则集合B
中所有元素之和为 ( )
A. 0 B. 1 C. - 1 D. 2
2 (2024·江苏·高三统考学业考试)对于两个非空实数集合A和B，我们把集合
x∣x=a+b,a∈A,b∈B 记作A B．若集合A= 0,1 ，B= 0,-1 ，则A B中元素的个数为
( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3 (2024·全国·高三专题练习)定义集合A+B= x+y x∈A 且 y∈B ．已知集合A=
2,4,6 ，B= -1,1 ，则A+B中元素的个数为 ( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 7
LaoFan 3
考点 2 : 集合元素的三大特征
4 (2024·北京海淀·校考模拟预测)设集合M= 2m-1,m-3 ，若-3∈M，则实数m= ( )
A. 0 B. - 1 C. 0或-1 D. 0或 1
5 (2024·江西·金溪一中校联考模拟预测)已知集合A= 1,a,b ，B= a2,a,ab ，若A=B，则
a2023+ b2022= ( )
A. - 1 B. 0 C. 1 D. 2
6 (2024·北京东城·统考一模)已知集合A= x x2-2<0 ，且 a∈A，则 a可以为 ( )
A. - 2 B. - 1 C. 32 D. 2
【解题方法总结】
1、研究集合问题，看元素是否满足集合的特征：确定性、互异性、无序性。
2、研究两个或者多个集合的关系时，最重要的技巧是将两集合的关系转化为元素间的关系。
4 LaoFan
考点 3 : 元素与集合间的关系
7 (2024·河南·开封高中校考模拟预测)已知A= x∣x2-ax+1<0 ，若 2∈A，且 3 A，则 a的
取值范围是 ( )
A. 52 ,+∞ B.
5
2 ,
10
3
5 10 10
C. 2 , 3 D. -∞, 3
8 (2024·吉林延边·统考二模)已知集合A= x ax2-3x+2=0 的元素只有一个，则实数 a的值
为 ( )
A. 98 B. 0 C.
9
8 或 0 D. 无解
2 y2
9 (2024·全国·高三专题练习) A= x,y x已知集合 4 + 2 ≤1,x∈Z,y∈Z ，则A中元素的个
数为 ( )
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
【解题方法总结】
1、一定要牢记五个大写字母所表示的数集，尤其是N与N *的区别．
2、当集合用描述法给出时，一定要注意描述的是点还是数，是还是．
LaoFan 5
考点 4 : 集合与集合之间的关系
10 (多选题) (2024·山东潍坊·统考一模)若非空集合M，N，P满足：M∩N=N，M∪P=P，则
( )
A. P M B. M∩P=M C. N∪P=P D. M∩ pN=
11 (2024·江苏·统考一模)设M= x x= k2 ,k∈Z ，N=
1
x x=k+ 2 ,k∈Z ，则 ( )
A. M N B. N M C. M=N D. M∩N=
12 (2024·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测)已知集合A= x|x2-x-12≤0 ，B=
x|x2-3mx+2m2+m-1<0}，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为
( )
A. -3,2 B. -1,3 C. -1,
5
2

D. 2,
5
2
13 (2024·广东茂名·统考二模)已知集合A= x x ≤1 ，B= x 2x-a<0 ，若A B，则实数
a的取值范围是 ( )
A. 2,+∞ B. 2,+∞ C. -∞,2 D. -∞,2
6 LaoFan
【解题方法总结】
1、注意子集和真子集的联系与区别．
2、判断集合之间关系的两大技巧：
(1)定义法进行判断
(2)数形结合法进行判断
LaoFan 7
考点 5 : 集合的交、并、补运算
14 (2024·广东广州·统考二模)已知集合A= x x=3n-2,n∈N ，B= 6,7,10,11 ，则集合A∩
B的元素个数为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
15 (2024·河北张家口·统考二模)已知集合A= x x-2 4-x >0 ，B= 1 x >0 3- ，则x
RA ∪ RB = ( )
A. 2,3 B. 3,4
C. -∞,2 ∪ 3,+∞ D. -∞,3 ∪ 4,+∞
16 (2024·广东·统考一模)已知集合M= x∣x x-2 <0 ，N={x ∣ x- 1< 0}，则下列Venn图
中阴影部分可以表示集合 {x ∣ 1≤ x< 2}的是 ( )
A. B.
C. D.
8 LaoFan
17 (2024·全国·高三专题练习) 2021年是中国共产党成立 100周年，电影频道推出“经典频传：看
电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召．现有《青
春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有 50人，观看了《青春之歌》的有 21人，
观看了《建党伟业》的有 23人，观看了《开国大典》的有 26人．其中，只观看了《青春之歌》和《建党
伟业》的有 4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有 7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》
的有 6人，三支短视频全观看了的有 3人，则没有观看任何一支短视频的人数为．
【解题方法总结】
1、注意交集与并集之间的关系
2、全集和补集是不可分离的两个概念
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考点 6 : 集合与排列组合的密切结合
18 (2024·全国·高三专题练习)设集合X= a1,a2,a3,a4 N ，定义：集合Y=
ai+aj a ,a ∈X,i,j∈N*i j ,i≠ j ，集合 S= x y x,y∈Y,x≠y T= x，集合 x,y∈Y,x≠yy ，分别用
|S|，|T|表示集合 S，T中元素的个数，则下列结论可能成立的是 ( )
A. |S| = 6 B. |S| = 16 C. |T| = 9 D. |T| = 16
19 (2024·全国·模拟预测)已知集合A，B满足A∪B= 1,2,3 ，若A≠B，且 A&B ， B&A 表
示两个不同的“AB互衬对”，则满足题意的“AB互衬对”个数为 ( )
A. 9 B. 4 C. 27 D. 8
20 (2024·北京·中央民族大学附属中学校考模拟预测)已知集合A满足：①A N，② x，y∈
A，x≠ y，必有 x-y ≥ 2，③集合A中所有元素之和为 100，则集合A中元素个数最多为 ( )
A. 11 B. 10 C. 9 D. 8
【解题方法总结】
利用排列与组合思想解决集合或者集合中元素个数的问题，需要运用分析与转化的思想方法
10 LaoFan
考点 7 : 集合的创新定义
21 (2024·全国·校联考模拟预测)对于集合A，B，定义A-B= x x∈A，且 x B ．若A=
{x|x= 2k+ 1,k∈N}，B={x|x= 3k+ 1,k∈N}，将集合A-B中的元素从小到大排列得到数列
an ，则 a7+ a30= ( )
A. 55 B. 76 C. 110 D. 113
22 (多选题) (2024·河南安阳·安阳一中校考模拟预测)由无理数引发的数学危机一直延续到 19世
纪．直到 1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数 (史称
戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也
结束了持续 2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为
两个非空的子集M与N，且满足M∪N=Q，M∩N= ，M中的每一个元素都小于N中的每一
个元素，则称 M,N 为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是 ( )
A. M= x x<0 ，N= x x>0 是一个戴德金分割
B. M没有最大元素，N有一个最小元素
C. M有一个最大元素，N有一个最小元素
D. M没有最大元素，N也没有最小元素
23 (2024·湖北·统考二模)已知X为包含 v个元素的集合 (v∈N*，v≥ 3)．设A为由X的一些
三元子集 (含有三个元素的子集)组成的集合，使得X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含
在唯一的一个三元子集中，则称 X,A 组成一个 v阶的 Steiner三元系．若 X,A 为一个 7阶的
Steiner三元系，则集合A中元素的个数为．
【解题方法总结】
LaoFan 11
1、集合的创新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方
法并不难，难在转化．
2、集合的创新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，要
根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解。
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§1.2 常用逻辑用语
一、充分条件、必要条件、充要条件
1、定义
如果命题“若 p，则 q”为真 (记作 p q)，则 p是 q的充分条件；同时 q是 p的必要条件．
2、从逻辑推理关系上看
(1)若 p q且 q p，则 p是 q的充分不必要条件；
(2)若 p q且 q p，则 p是 q的必要不充分条件；
(3)若 p q且 q p，则 p是 q的的充要条件 (也说 p和 q等价)；
(4)若 p q且 q p，则 p不是 q的充分条件，也不是 q的必要条件．
对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：p q，则 p是 q的充分条件，同时 q是 p的
必要条件．所谓“充分”是指只要 p成立，q就成立；所谓“必要”是指要使得 p成立，必须要 q成立 (即
如果 q不成立，则 p肯定不成立)．
二．全称量词与存在量词
(1)全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”
表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．全称量词命题“对M中的任意一个 x，有 p(x)成立”
可用符号简记为“ x∈M，p(x)”，读作“对任意 x属于M，有 p(x)成立”．
(2)存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号
“ ”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．存在量词命题“存在M中的一个 x0，使 p(x0)成
立”可用符号简记为“ x0∈M，P(x0)”，读作“存在M中元素 x0，使 p(x0)成立” (存在量词命题也叫存
在性命题)．
三．含有一个量词的命题的否定
(1)全称量词命题 p: x∈M，p(x)的否定 p为 x0∈M， p(x0)．
(2)存在量词命题 p: x0∈M，p(x0)的否定 p为 x∈M， p(x)．
注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一．
【解题方法总结】
1、从集合与集合之间的关系上看
设A= x|p(x) ，B= x|q(x) ．
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(1)若A B，则 p是 q的充分条件 (p q)，q是 p的必要条件；若A B，则 p是 q的充分不必要条
件，q是 p的必要不充分条件，即 p q且 q p；
注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”．
(2)若B A，则 p是 q的必要条件，q是 p的充分条件；
(3)若A=B，则 p与 q互为充要条件．
2、常见的一些词语和它的否定词如下表
原词语等于 (=) 大于 (>) 小于 (<) 是都是任意 (所有) 至多有一至多有一
个个
否定词语不等于 ( 小于等于大于等于不是不都某个至少有两一个都没
≠) (≤) (≥) 是个有
(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素 x证明其成立，要判断全
称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个 x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个
反例．
(2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个 x0使之成立即可，否则这个
存在量词命题就是假命题．
14 LaoFan
考点 1 : 充分条件与必要条件的判断
【解题总结】
1、要明确推出的含义，是 p成立 q一定成立才能叫推出而不是有可能成立．
2、充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合．
3、充分必要条件考察范围广，失分率高，一定要注意各个知识面的培养．

24 (2024·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测) 已知向量 a= m2,-9 ，b= 1,-1 ，则“m=-3”是
“a b”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
25 (2024·全国·高三专题练习)已知直线 a⊥平面 α，则“直线 a 平面 β”是“平面 α⊥平面 β”的
( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
26 (2024·天津和平·高三天津一中校考阶段练习)“cos2α=- 12 ”
1
是“cosα= 2 ”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
LaoFan 15
27 (2024·天津南开·南开中学校考模拟预测)已知 a，b∈R，则“a> b”是“a2> b2”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
16 LaoFan
考点 2 : 根据充分必要条件求参数的取值范围
【解题总结】
1、集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含关系．
2、在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点是否能取到问题，容易出错．
28 (2024·山东潍坊·统考二模)若“x= α”是“sinx+ cosx> 1”的一个充分条件，则 α的一个可能
值是．
29 (2024·上海长宁·统考二模)若“x= 1”是“x> a”的充分条件，则实数 a的取值范围为．
30 (2024·全国·高三专题练习)若“x< 2”是“x< a”的必要不充分条件，则 a的值可以是
． (写出满足条件 a的一个值即可)
LaoFan 17
考点 3 : 全称量词命题与存在量词命题的真假
【解题总结】
1、全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要通过汉字意思，又要通过数学结论．
2、全称量词命题和存在量词命题的真假性判断较为简单，注意细节即可．
31 (2024·河北·高三学业考试)设非空集合P，Q满足P∩Q=P，则下列选项正确的是 ( )
A. x∈Q，有 x∈P B. x Q，有 x P
C. x Q，使得 x∈P D. x∈P，使得 x Q
32 (2024·全国·高三专题练习)已知 0< b< a< 1，下列四个命题：① x∈ (0, +∞)，ax> bx，②
x∈ (0,1)，logax> logbx，③ x∈ (0,1)，xa> xb，④ x∈ (0,b)，ax> logax．
其中是真命题的有 ( )
A. ①③ B. ②④ C. ①② D. ③④
33 (2024·贵州毕节·统考模拟预测) 1直线 l1：x+ 1+a y= 1- a a∈R ，直线 l2：y=- 2 x，给出
下列命题：
① a∈R，使得 l1 l2；② a∈R，使得 l1⊥ l2；
③ a∈R，l1与 l2都相交；④ a∈R，使得原点到 l1的距离为 2．
其中正确的是 ( )
A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①④
18 LaoFan
考点 4 : 全称量词命题与存在量词命题的否定
【解题总结】
1、全称量词命题与存在量词命题的否定是将条件中的全称量词和存在量词互换，结论变否定．
2、全称量词命题和存在量词命题的否定要注意否定是全否，而不是半否．
34 (2024·四川成都·三模)命题“ x∈R，x2+ x- 1≤ 0”的否定是 ( )
A. x ∈R，x20 0+ x0- 1≤ 0 B. x0∈R，x20+ x0- 1> 0
C. x∈R，x2+ x- 1> 0 D. x0∈R，x20+ x0- 1≥ 0
35 (2024·贵州贵阳·统考模拟预测)已知命题 p: n∈N，2n- 2不是素数，则 p为 ( )
A. n N，2n- 2是素数 B. n∈N，2n- 2是素数
C. n N，2n- 2是素数 D. n∈N，2n- 2是素数
36 (2024·四川成都·成都七中统考模拟预测)命题“有一个偶数是素数”的否定是 ( )
A. 任意一个奇数是素数 B. 任意一个偶数都不是素数
C. 存在一个奇数不是素数 D. 存在一个偶数不是素数
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考点 5 : 根据命题的真假求参数的取值范围
【解题总结】
1、在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，如果哪个是假命题，去求真命题
的补级即可．
2、全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到．
37 (2024·全国·高三专题练习)若命题“ a∈ -1,3 ，ax2- 2a-1 x+ 3- a< 0”为假命题，则
实数 x的取值范围为 ( )
A. -1,4 B. 0, 5 C. 5 5 3 -1,0 ∪

3 ,4 D. -1,0 ∪ 3 ,4
38 (2024·全国·高三专题练习)已知命题 p： x∈R，x2+ 2x+ 2- a< 0，若 p为假命题，则实数
a的取值范围为 ( )
A. (1, +∞) B. [1, +∞) C. (-∞,1) D. (-∞,1]
39 (2024·全国·高三专题练习)若命题P：“ x∈R， k2-1 x2+ 4 1-k x+ 3≤ 0”是假命题，则
k的取值范围是 ( )
A. 1，7 B. 1,7 C. -7，1 D. -7,1
20 LaoFan
40 (2024·全国·高三专题练习)已知命题“ x∈ 1,2 ，2x+ x- a> 0”为假命题，则实数 a的取值
范围是 ( )
A. -∞,5 B. 6,+∞ C. -∞,3 D. 3,+∞
2.1 (2022·天津·统考高考真题) “x为整数”是“2x+ 1为整数”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.2 (2022·浙江·统考高考真题)设 x∈R，则“sinx= 1”是“cosx= 0”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.3 (2022·北京·统考高考真题)设 an 是公差不为 0的无穷等差数列，则“ an 为递增数
列”是“存在正整数N0，当 n>N0时，an> 0”的 ( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
LaoFan 21
§1.3 等式与不等式的性质
1、比较大小基本方法
关系方法
做差法做商法
与 0比较与 1比较
a> b a- b> 0 a > 1(a，b> 0)或 a < 1(a，b< 0)
b b
a= b a- b= 0 a = 1(b≠ 0)
b
a 0)或 a > 1(a，b< 0)
b b
2、不等式的性质
(1)基本性质
性质性质内容
对称性 a> b b< a；a a
传递性 a> b，b> c a> c；a< b，b< c a< c
可加性 a> b a+ c> b> c
可乘性 a> b，c> 0 ac> bc；a> b，c< 0 ac< bc
同向 a> c，c> d a+ c> b+ d
可加性
同向同正 a> b> 0，c> d> 0 ac> bd
可乘性
可乘方性 a> b> 0，n∈N* an> bn
【解题方法总结】
1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解
决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率．
2、比较数 (式)的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性．
比较法又分为作差比较法和作商比较法．
作差法比较大小的步骤是：
(1)作差；(2)变形；(3)判断差式与 0的大小；(4)下结论．
作商比较大小 (一般用来比较两个正数的大小)的步骤是：
22 LaoFan
(1)作商；(2)变形；(3)判断商式与 1的大小；(4)下结论．
其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于 0或 1比较大小．
作差法是比较两数 (式)大小最为常用的方法，如果要比较的两数 (式)均为正数，且是幂或者因式乘
积的形式，也可考虑使用作商法．
LaoFan 23
考点 1 : 不等式性质的应用
【解题方法总结】
1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．
2、充分利用基本初等函数性质进行判断．
3、小题可以用特殊值法做快速判断．
41 (多选题) (2024·重庆·统考模拟预测)已知 a> b> c，ac> 0，则下列关系式一定成立的是( )
A. c2> bc B. bc a-c > 0 C. a+ b> c D. c + b > 2b c
42 (多选题) (2024·山东·校联考二模)已知实数 a，b，c满足 a> b> c，且 a+ b+ c= 0，则下列说法
正确的是 ( )
A. 1- >
1
- B. a- c> 2b C. a
2> b2 D. ab+ bc> 0
a c b c
43 (多选题) (2024·全国·校联考模拟预测)若 a> 0> b> c，则下列结论正确的是 ( )
A. a > a B. b2a> c2a
c b
C. a-b > b D. a- c≥ 2 a-b b-c
a-c c
24 LaoFan
考点 2 : 比较数 (式)的大小与比较法证明不等式
【解题方法总结】
比较数 (式)的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性．
比较法又分为作差比较法和作商比较法．
作差法比较大小的步骤是：
(1)作差；(2)变形；(3)判断差式与 0的大小；(4)下结论．
作商比较大小 (一般用来比较两个正数的大小)的步骤是：
(1)作商；(2)变形；(3)判断商式与 1的大小；(4)下结论．
其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于 0或 1比较大小．
作差法是比较两数 (式)大小最为常用的方法，如果要比较的两数 (式)均为正数，且是幂或者因式乘
积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是：
a> 0 b> 0 b若，，则 > 1 b> a b； < 1 b< a b； = 1 b= a；
a a a
若 a< 0，b< 0 b，则 > 1 b< a b； < 1 b> a b； = 1 b= a．
a a a
44 (2024·全国·高三专题练习)若 0< a b，给出下列不等式：
1 1
① < ；② a3> b3；③ a2> b2；④ 2ac2> 2bc2 a；⑤ > 1；⑥ a2+ b2+ 1> ab+ a+ b．
a b b
其中一定成立的不等式的序号是．
LaoFan 25
46 (2024·高三课时练习) (1)已知 a> b> 0，c< d< 0 b，求证： - <
a
；
a c b-d
(2)设 x，y∈R，比较 x2-y2 2 与 xy(x- y)2的大小．
47 (2024·全国·高三专题练习) (1)试比较 x+1 x+5 与 x+3 2 的大小；
(2)已知 a> b 1， < 1 ，求证：ab> 0．
a b
26 LaoFan
考点 3 : 已知不等式的关系，求目标式的取值范围
【解题方法总结】
在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，
否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系．
48 (多选题) (2024·全国·高三专题练习)已知实数 x，y满足-3< x+ 2y< 2，-1< 2x- y< 4，则
( )
A. x的取值范围为 (-1,2) B. y的取值范围为 (-2,1)
C. x+ y的取值范围为 (-3,3) D. x- y的取值范围为 (-1,3)
49 (2024·广东·高三校联考期末)已知 1≤ a- b≤ 3，3≤ a+ b≤ 7，则 5a+ b的取值范围为
( )
A. 15,31 B. 14,35 C. 12,30 D. 11,27
50 (2024·全国·高三专题练习)已知 1≤ a≤ 2，-1≤ b≤ 4，则 a- 2b的取值范围是 ( )
A. - 7≤ a- 2b≤ 4 B. - 6≤ a- 2b≤ 9 C. 6≤ a- 2b≤ 9 D. - 2≤ a- 2b≤ 8
51 (2024·全国·高三专题练习)已知三个实数 a、b、c，当 c> 0时，b≤ 2a+ 3c且 bc= a2，则
a-2c
的取值范围是．
b
LaoFan 27
28 LaoFan
考点 4 : 不等式的综合问题
【解题方法总结】
综合利用等式与不等式的性质
52 (多选题) (2024· 4河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习)已知 a> 0，b> 0，且满足 a≥
a
+ 1 b≥ 5， + 1 ．则 a2+ b2的取值可以为 ( )
b b a
A. 10 B. 11 C. 12 D. 20
53 (多选题) (2024·全国·高三专题练习)已知 x2 y2+1 = 1，则 ( )
A. xy< 1 B. x2y≥- 12 C. x+ xy≤ 1 D. x
2+ xy≤ 54
54 (多选题) (2024·全国·模拟预测)已知实数 a，b 1 1满足 > ，则 ( )
a b
A. log 3 30.2023a< log0.2023b B. a b+1+1 D. ab+
1
+1 的最小值为 1a a ab
55 (2024·全国·高三专题练习)已知实数 a，b，c满足 a+ b+ c= 0，a2+ b2+ c2= 1，则 a的最大值
是．
LaoFan 29
30 LaoFan
考点 5 : 糖水不等式
【解题方法总结】
a> b> 0 m> 0 b+m > b a+m < a糖水不等式：若，，则一定有 + ，或者．a m a b+m b
56 (多选题) (2024·全国·高三专题练习)已知 bg糖水中含有 ag糖 (b> a> 0)，若再添加mg糖完全
溶解在其中，则糖水变得更甜了 (即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式中一定成立
的有 ( )
m
A. a < a+m a+m a+2
b b+ B. + C. a+2m 2 1 b+m < a+m b+2m D. <3b-1 3a-1
57 (2024·山西·统考一模)我们都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水会更甜．这句话用数学符
b b+m
号可表示为： < + ，其中 a> b，且 a，b，m∈R
+．据此可以判断两个分数的大小关系，比如
a a m
854366239 854366236
998763421 998763418 (填“>”“<”)．
58 (2024·福建·高三校联考阶段练习) a b b若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，
a
这个质量分数决定了糖水的甜度．如果在此糖水中再添加m克糖，生活经验告诉我们糖水会变
b+m b
甜，从而可抽象出不等式 + > (a> b> 0，m> 0)数学中常称其为糖水不等式．依据糖水a m a
不等式可得出 log32 log1510(用“<”或“>”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式
．
LaoFan 31
§1.4 基本不等式及其应用
1、基本不等式
a+b a+b
如果 a> 0，b> 0，那么 ab≤ 2 ，当且仅当 a= b时，等号成立．其中， 2 叫作 a，b的算术平均
数， ab叫作 a，b的几何平均数．即正数 a，b的算术平均数不小于它们的几何平均数．
基本不等式 1：若 a，b∈R，则 a2+ b2≥ 2ab，当且仅当 a= b时取等号；
a+b
基本不等式 2：若 a，b∈R+，则 2 ≥ ab (或 a+ b≥ 2 ab )，当且仅当 a= b时取等号．
注意 (1)基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为
定值，“三相等”指满足等号成立的条件． (2)连续使用不等式要注意取得一致．
【解题方法总结】
1、几个重要的不等式
(1)a2≥ 0 a∈R ， a≥ 0 a≥0 ， a ≥ 0 a∈R ．
(2) a+b基本不等式：如果 a，b∈R+，则 2 ≥ ab (当且仅当“a= b”时取“ ”)．
特例：a> 0，a+ 1 ≥ 2 a； + b ≥ 2(a，b同号)．
a b a
(3)其他变形：
a+b 2
① a2+ b2≥ 2 (沟通两和 a+ b与两平方和 a
2+ b2的不等关系式)
a2+b2
② ab≤ 2 (沟通两积 ab与两平方和 a
2+ b2的不等关系式)
2
③ ab≤ a+b2 (沟通两积 ab与两和 a+ b的不等关系式)
2 ≤ ab≤ a+b
2
④重要不等式串： ≤ a +b
2
1 1 2 2 a,b∈R
+ 即
a + b
调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值 (注意等号成立的条件)．
2、均值定理
已知 x，y∈R+．
2 2
(1)如果 x+ y= S(定值) x+y S，则 xy≤ 2 = 4 (当且仅当“x= y”时取“=”)．即“和为定值，积有最大
值”．
(2)如果 xy=P(定值)，则 x+ y≥ 2 xy= 2 P (当且仅当“x= y”时取“=”)．即积为定值，和有最小
值”．
32 LaoFan
3、常见求最值模型
mx+ n模型一： ≥ 2 mn (m> 0,n> 0)，当且仅当 x= nm 时等号成立；x
模型二：mx+ n- =m(x- a) +
n
- +ma≥ 2 mn+ma(m> 0,n> 0)，当且仅当 x- a=
n
x a x a m
时等号成立；
x 1 1
模型三： = ≤ (a> 0,c> 0)，当且仅当 x= c 时等号成立；
ax2+bx+c ax+b+ c 2 ac+b ax
( - mx(n-mx)
2 2
模型四：x n mx) = ≤ 1 mx+n-mx = n m>0,n>0,0m m 2 4m m
x= n2 时等号成立．m
LaoFan 33
考点 1 : 基本不等式及其应用
【解题方法总结】
熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验
证．
59 (2024·辽宁·校联考二模)数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现
有如图所示图形，在等腰直角三角形△ABC中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶
点的一个动点，设AD= a，BD= b，用该图形能证明的不等式为 ()．
A. a+b ≥ ab a>0,b>0 B. 2ab2 + ≤ ab a>0,b>0a b
C. a+b a
2
≤ +b
2
2 2 a>0,b>0 D. a
2+ b2≥ 2 ab a>0,b>0
60 (2024·全国·高三专题练习)已知 x，y都是正数，且 x≠ y，则下列选项不恒成立的是 ( )
x+y
A. 2 >
y 2xy
xy B. x + > 2 C. < xy D. xy+ 1 > 2
y x x+y xy
34 LaoFan
61 (2024·江苏·高三专题练习)下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是 ( )
a b a b
①已知 ab≠ 0，求 + 的最小值；解答过程： + ≥ 2 a × b
b a b a b a
= 2；
x2+5 1
②求函数 y= 的最小值；解答过程：可化得 y= x2+4+ ≥ 2；
x2+4 x2+4
③设 x> 1，求 y= x+ 2 2-1 的最小值；解答过程：y= x+ -1 ≥ 2
2x
x x x-1 ，
2
当且仅当 x= -1 即 x= 2时等号成立，把 x= 2代入 2
2x
x-1 得最小值为 4．x
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
LaoFan 35
考点 2 : 直接法求最值
【解题方法总结】
直接利用基本不等式求解，注意取等条件．
62 (2024·河北·高三学业考试)若 x，y∈R+，且 x+ 2y= 3，则 xy的最大值为．
63 (2024·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习)若 a，b> 0，且 ab= a+ b+ 3，则 ab的
最小值是．
64 (2024·天津南开·统考一模)已知实数 a> 0，b> 0，a+ b= 1，则 2a+ 2b的最小值为．
36 LaoFan
考点 3 : 常规凑配法求最值
【解题方法总结】
1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．
2、注意验证取得条件．
65 (2024·全国·高三专题练习)若 x>-2 1，则 f x = x+ 的最小值为．x+2
66 (2024·全国·高三专题练习)已知 x> 0 4，则 2x+ 2 +1 的最小值为．x
2
67 (2024·全国·高三专题练习) x> 1 x +2x+2若，则 -1 的最小值为x
68 (2024·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习)若关于 x的不等式 x2+ bx+ c≥ 0(b>
1) 1+2b+4c的解集为R，则
b-1 的最小值为．
LaoFan 37
考点 4 : 消参法求最值
【解题方法总结】
消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解．解
题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！
69 (2024·全国·高三专题练习)已知正实数 a，b满足 ab+ 2a- 2= 0，则 4a+ b的最小值是
( )
A. 2 B. 4 2- 2 C. 4 3- 2 D. 6
70 (2024·全国·高三专题练习)若 x，y∈R+，(x- y)2= (xy)3 1 + 1，则的最小值为．
x y
71 (2024·全国·高三专题练习)已知 x> 0，y> 0，满足 x2+ 2xy- 2= 0，则 2x+ y的最小值是
．
38 LaoFan
考点 5 : 双换元求最值
【解题方法总结】
若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的
分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系．
1、代换变量，统一变量再处理．
2、注意验证取得条件．
72 (2024·浙江省江山中学高三期中)设 a> 0，b> 0，若 a2+ b2- 3ab= 1，则 3a2- ab的最大值
为 ( )
A. 3+ 3 B. 2 3 C. 1+ 3 D. 2+ 3
73 (2024·天津南开·一模)若 a> 0，b> 0，c> 0，a+ b+ c= 2 4，则 + a+b 的最小值为
a+b c
．
74 (2024·全国·高三专题练习)已知 a> 0，b> 0，a+ 2b= 1 1 1，则 3a+4 + 取到最小值为b a+3b
．
LaoFan 39
考点 6 : “1”的代换求最值
【解题方法总结】
1的代换就是指凑出 1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程
中要特别注意等价变形．
1、根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法．
2、注意验证取得条件．
y
75 (2024·安徽蚌埠·统考二模) x若直线 + = 1(a> 0,b> 0)过点 2，3 ，则 2a+ b的最小值a b
为．
76 (2024·河北·高三校联考阶段练习)已知 a> 0，b> 0，a+ 2b= 3 4-2b 1，则 + 2 的最小值为a b
．
77 (2024·湖南衡阳·高三校考期中) x> 1 y> 2 1 1已知 3 ，，且 3x+ y= 7，则 3 + 的最小x-1 y-2
值为．
78 (2024·山东青岛·高三山东省青岛第五十八中学校考阶段练习)已知正实数 a b 4，满足
a+b
+ 1+1 = 1，则 a+ 2b的最小值为．b
40 LaoFan
LaoFan 41
考点 7 : 齐次化求最值
【解题方法总结】
齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进
行求解．
79 (2024·全国·高三专题练习)已知正实数 a，b，c，a+ b= 3 ac 3c 3，则 + + 的最小值为
b ab c+1
．
80 (2024·全国·高三专题练习) 2 a已知 a，b为正实数，且 2a+ b= 1，则 + 的最小值为
a 2b
．
2xy
81 (2024·天津红桥·高三天津市复兴中学校考阶段练习)已知 x> 0，y> 0，则
x2
+
+4y2
xy
x2
的最大值是．
+y2
42 LaoFan
考点 8 : 利用基本不等式证明不等式
【解题方法总结】
类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明．
82 (2024·全国·高三专题练习)利用基本不等式证明：已知 a，b，c都是正数，求证：
a+b b+c c+a ≥ 8abc
83 (2024·河南·高三校联考阶段练习)已知 x，y，z为正数，证明：
2 2 2
(1)若 xyz= x +y +z2 1 1 1，则 + + ≤ ；
x y z 2
(2)若 2x+ y+ 2z= 9，则 x2+ y2+ z2≥ 9．
84 (2024·四川广安·高三校考开学考试)已知函数 f x = 2x+1 + x+m ，若 f x ≤ 3的解集
为 n,1 ．
(1)求实数m，n的值；
(2)已知 a b 1 2，均为正数，且满足 2 + + 2m= 0，求证：16a
2+ b2≥ 8．
a b
LaoFan 43
考点 9 : 利用基本不等式解决实际问题
【解题方法总结】
1、理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题．
2、注意定义域，验证取得条件．
3、注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等．
85 (2024·全国·高三专题练习)首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色
生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为
一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为 400吨，最多为 600吨，月处理成本 y
( 1元)与月处理量 x (吨)之间的函数关系可近似的表示为 y= x22 - 200x+ 80000 ，且处理每吨二
氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100元．
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才
能使单位不亏损？
86 (2024·贵州安顺·高一统考期末)某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一
种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为 100吨，最多为 600吨，月处理成本 f(x)
( ) 1元与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为 f(x) = 2 x
2- 200x+ 80000．
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使月处理成本最低？月处理成本最低是多少元？
(2)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？每吨的平均处理成本最低
是多少元？
44 LaoFan
87 (2024·湖北孝感·高一统考开学考试)截至 2022年 12月 12日，全国新型冠状病毒的感染人数
突破 44200000人．疫情严峻，请同学们利用数学模型解决生活中的实际问题．
(1)我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已
知这种新药在注射停止后的血药含量 c t (单位：mg/L)随着时间 t(单位：h)．的变化用指数模型
c t = c e-kt0 描述，假定某药物的消除速率常数 k= 0.1(单位：h-1)，刚注射这种新药后的初始血药含
量 c0= 2000mg/L，且这种新药在病人体内的血药含量不低于 1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，
现给某新冠病人注射了这种新药，求该新药对病人有疗效的时长大约为多少小时？ (精确到 0.01，
参考数据：ln2≈ 0.693，ln3≈ 1.099)
(2)为了抗击新冠，需要建造隔离房间．如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底面积为 48a平
方米 (a> 0)，侧面长为 x米，且 x不超过 8，房高为 4米．房屋正面造价 400元 /平方米，侧面造价
150元 /平方米．如果不计房屋背面、屋顶和地面费用，则侧面长为多少时，总价最低？
LaoFan 45
考点 10 : 与 a+b、平方和、ab有关问题的最值
【解题方法总结】
利用基本不等式变形求解
88 (多选题) (2024·重庆·统考模拟预测)若实数 a，b满足 a2+ b2= ab+ 1，则 ( )
A. a- b≥-1 B. a- b≤ 2 33 C. ab≥-
1
3 D. ab≤
1
3
89 (多选题) (2024· 1全国·高三专题练习)已知 a> 0，b> 0，且 a+ = 1，则 ( )
b
A. 1 + b的最小值为 4 B. a2+ 1 1
a b2
的最小值为 4
C. a 1 1的最大值为
b 4 D. 2 b- a的最小值为 2- 1
90 (多选题) (2024·全国·高三专题练习)已知 x> 0，y> 0，且 x+ y- xy+ 3= 0，则下列说法正确
的是 ( )
A. 3< xy≤ 12 B. x+ y≥ 6 C. x2+ y2≥ 18 D. 0< 1 + 1 ≤ 1
x y 3
91 (多选题) (2024·全国·高三专题练习)设 a> 0，b> 0，a+ b= 1，则下列结论正确的是 ( )
A. ab 1的最大值为 B. a2+ b2 14 的最小值为 2
C. 4 + 1 的最小值为 9 D. a+ b的最小值为 3
a b
46 LaoFan
LaoFan 47
§1.5 一元二次不等式与其它不等式解法
1、一元二次不等式
一元二次不等式 ax2+ bx+ c> 0(a≠ 0)，其中Δ= b2- 4ac，x 21，x2是方程 ax + bx+ c> 0(a≠ 0)的两
个根，且 x1< x2
(1)当 a> 0时，二次函数图象开口向上．
(2)①若Δ> 0，解集为 x|x>x2或xΔ= 0 x x∈R x≠- b②若，解集为且 2 ．a
③若Δ< 0，解集为R．
(2)当 a< 0时，二次函数图象开口向下．
①若Δ> 0，解集为 x|x1②若Δ≤ 0，解集为
2、分式不等式
(1) f(x)( ) > 0 f(x) g(x)> 0g x
(2) f(x)( ) < 0 f(x) g(x)< 0g x
( ) f(x)3 ≥ 0 f(x) g(x)≥0
g(x) g(x)≠0
( f(x)4) ≤ 0 f(x) g(x)≤0
g(x) g(x)≠0
3、绝对值不等式
(1) f(x) > g(x) [f(x)]2>[g(x)]2
(2) f(x) > g(x) (g(x)> 0) f(x)> g(x)或 f(x)<-g(x)；
f(x) < g(x) (g(x)> 0) -g(x)< f(x)< g(x)；
(3)含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
【解题方法总结】
1、已知关于 x的不等式 ax2+ bx+ c> 0的解集为 (m，n) (其中mn> 0)，解关于 x的不等式 cx2+ bx
+ a> 0．
48 LaoFan
2
由 ax2+ bx+ c> 0 1的解集为 (m，n)，得：a + b 1 + c> 0 1 1的解集为，，即关于 x的不等式x x n m
cx2+ bx+ a> 0 1 1的解集为，．n m
已知关于 x的不等式 ax2+ bx+ c> 0的解集为 (m，n)，解关于 x的不等式 cx2+ bx+ a≤ 0．
2
由 ax2+ bx+ c> 0的解集为 (m，n) 1 1，得：a + b + c≤ 0的解集为 -∞ 1， ∪ 1 ，+∞x x n m 即关
于 x的不等式 cx2+ bx+ a≤ 0 -∞ 1 ∪ 1的解集为，n ，+∞ ．m
2、已知关于 x的不等式 ax2+ bx+ c> 0的解集为 (m，n) (其中 n>m> 0)，解关于 x的不等式 cx2-
bx+ a> 0．
2
由 ax2+ bx+ c> 0 1的解集为 (m，n)，得：a - b 1 + c> 0 1 1的解集为 - ，- 即关于 x的不等x x m n
式 cx2- bx+ a> 0 1 1的解集为 - ，-m n ．
3、已知关于 x的不等式 ax2+ bx+ c> 0的解集为 (m，n)，解关于 x的不等式 cx2- bx+ a≤ 0．
1 2 1 1 1
由 ax2+ bx+ c> 0的解集为 (m，n)，得：a - b + c≤ 0的解集为 -∞，- ∪ - ，+∞x x m n 即
关于 x的不等式 cx2- bx+ a≤ 0 1 1的解集为 -∞，- ∪ - ，+∞ ，以此类推．m n
4 2+ + > 0 R a>0、已知关于 x的一元二次不等式 ax bx c 的解集为，则一定满足 Δ<0；
5 a<0、已知关于 x的一元二次不等式 ax2+ bx+ c> 0的解集为 φ，则一定满足 Δ≤0；
6 a<0、已知关于 x的一元二次不等式 ax2+ bx+ c< 0的解集为R，则一定满足 Δ<0；
7、已知关于 x的一元二次不等式 ax2+ bx+ c< 0 a>0的解集为 φ，则一定满足 Δ≤0．
LaoFan 49
考点 1 : 不含参数一元二次不等式的解法
【解题总结】
解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在 x轴上，结合图象，写出其解集
92 (2024·上海金山·统考二模)若实数 x满足不等式 x2- 3x+ 2< 0，则 x的取值范围是．
93 (2024·高三课时练习) 1 2x不等式 x2+ 9 ≤ 3 的解集为．
94 (2024·高三课时练习)函数 f(x) = 2x2+x-3+ log 23 3+2x-x 的定义域为．
95 (2024·高三课时练习)不等式-2x2+ 3x- 12 ≥ 0的解集为．
50 LaoFan
考点 2 : 含参数一元二次不等式的解法
【解题总结】
1、数形结合处理．
2、含参时注意分类讨论．
96 (2024·全国·高三专题练习)已知集合A= x 3x-1 -2 ≤1x ，集合B=
x x2- a+2 x+2a<0 ，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数 a的取值范围 ( )
A. -∞,- 1 1 1 12 B. -∞,- 2 C. - 2 ,2 D. - 2 ,2
97 (2024·全国·高三专题练习)若关于 x的不等式 x2- m+2 x+ 2m< 0的解集中恰有 4个整
数，则实数m的取值范围为 ( )
A. 6,7 B. -3,-2 C. -3,-2 ∪ 6,7 D. -3,7
98 (2024·全国·高三专题练习)解下列关于 x的不等式 ax2+ a+2 x+ 1> 0 a≠0 ．
99 (2024·全国·高三专题练习)不等式 ax2- a+2 x+ 2≥ 0 a<0 的解集为 ( )
A. 2 ,1 B. 1,
1
a a
C. -∞, 2 ∪ [1, +∞) D. (-∞,1]∪ 2 ,+∞a a
LaoFan 51
52 LaoFan
考点 3 : 一元二次不等式与韦达定理及判别式
【解题总结】
1、一定要牢记二次函数的基本性质．
2、含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换．
100 (2024·全国·高三专题练习)已知关于 x的不等式 ax2+ bx+ c< 0的解集为 {x|x<-1或 x
> 4}，则下列说法正确的是 ( )
A. a> 0 B. 不等式 ax2+ cx+ b> 0的解集为 {x|2- 7< x< 2+ 7}
C. a+ b+ c< 0 D. 不等式 ax+ b> 0的解集为 x|x>3
101 (2024·全国·高三专题练习)已知实数 a< b，关于 x的不等式 x2- a+b x+ ab+ 1< 0的解
集为 x1,x2 ，则实数 a、b、x1、x2从小到大的排列是 ( )
A. a< x1< x2< b B. x1< a< b< x2 C. a< x1< b< x2 D. x1< a< x2 0(a> 0)的解
集是 x|x≠d ，，则下列四个结论中错误的是 ( )
A. a2= 4b
B. a2+ 1 ≥ 4
b
C. 若关于 x的不等式 x2+ ax- b< 0的解集为 (x1，x2)，则 x1x2> 0
D. 若关于 x的不等式 x2+ ax+ b< c的解集为 (x1，x2)，且 x1-x2 = 4，则 c= 4
104 (2024·全国·高三专题练习)已知关于 x的不等式 ax2+ 2bx+ 4< 0的解集为 m, 4 ，其中m
m< 0 b，则 4 +
4
的最小值为 ( )
a b
A. - 2 B. 1 C. 2 D. 8
54 LaoFan
考点 4 : 其他不等式解法
【解题总结】
1、分式不等式化为二次或高次不等式处理．
2、根式不等式绝对值不等式平方处理．
105 (2024·北京海淀·统考一模) x-1不等式 +2 > 0的解集为．x
2
106 (2024·全国·高三专题练习) x -9不等式的
x-2 > 0的解集是
107 (2024·上海·高三专题练习)若不等式 x-2 < 1，则 x的取值范围是．
108 (2024·上海浦东新·统考三模)不等式 x+2 + x-2 ≤ 4的解集是．
109 (2024·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习)已知集合A= x∣x2-6x+8≤0 ，B=
x x-3 <2,x∈Z ，则A∩B= ．
LaoFan 55
56 LaoFan
考点 5 : 二次函数根的分布问题
【解题总结】
解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二
次函数图象的开口方向．
110 (2024·全国·高三专题练习)方程mx2- m-1 x+ 1= 0在区间 0,1 内有两个不同的根，
则m的取值范围为．
111 (2024·全国·高三专题练习)已知方程 x2- 2a+1 x+ a a+1 = 0的两根分别在区间
0,1 ， 1,3 之内，则实数 a的取值范围为．
112 (2024·全国·高三专题练习)若方程 2x kx-4 - x2+ 6= 0有两个不相等的实根，则 k可取
的最大整数值是．
113 (2024·全国·高三专题练习)已知 a，b，c∈R，a+ b+ c= 1，a2+ b2+ c2= 1，则 c的取值范围
为．
LaoFan 57
考点 6 : 一元二次不等式恒成立问题
【解题总结】
恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别
式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．
114 (2024·全国·高三专题练习)若不等式 x2+ x- 1取值范围是．
115 (2024·全国·高三专题练习)若不等式 ax2> x2- x- 1对 x∈ -∞,0 恒成立，则 a的取值范
围是．
116 (2024·全国·高三专题练习)若关于 x的不等式 ax2- 2x+ a≤ 0在区间 0,4 上有解，则实
数 a的取值范围是．
117 (2024·全国·高三专题练习)若 x∈ 1,2 使关于 x的不等式 x2- ax+ 1≥ 0成立，则实数 a
的取值范围是．
58 LaoFan
118 (2024·全国·高三专题练习)若不等式 2x- 1>m x2-1 对任意m∈ -1,1 恒成立，实数 x
的取值范围是
LaoFan 59§1.1 集合 2
考点 1:集合的表示：列举法、描述法 3
考点 2:集合元素的三大特征 4
考点 3:元素与集合间的关系 5
考点 4:集合与集合之间的关系 6
考点 5:集合的交、并、补运算 7
考点 6:集合与排列组合的密切结合 9
考点 7:集合的创新定义 10
§1.2 常用逻辑用语 13
考点 1:充分条件与必要条件的判断 14
考点 2:根据充分必要条件求参数的取值范围 15
考点 3:全称量词命题与存在量词命题的真假 16
考点 4:全称量词命题与存在量词命题的否定 17
考点 5:根据命题的真假求参数的取值范围 18
§1.3 等式与不等式的性质 21
考点 1:不等式性质的应用 22
考点 2:比较数 (式)的大小与比较法证明不等式 23
考点 3:已知不等式的关系，求目标式的取值范围 24
考点 4:不等式的综合问题 26
考点 5:糖水不等式 27
§1.4 基本不等式及其应用 29
考点 1:基本不等式及其应用 30
考点 2:直接法求最值 31
考点 3:常规凑配法求最值 32
考点 4:消参法求最值 33
考点 5:双换元求最值 34
考点 6: “1”的代换求最值 35
考点 7:齐次化求最值 36
考点 8:利用基本不等式证明不等式 38
考点 9:利用基本不等式解决实际问题 39
考点 10:与 a+ b、平方和、ab有关问题的最值 40
§1.5 一元二次不等式与其它不等式解法 43
考点 1:不含参数一元二次不等式的解法 44
考点 2:含参数一元二次不等式的解法 45
考点 3:一元二次不等式与韦达定理及判别式 47
考点 4:其他不等式解法 48
考点 5:二次函数根的分布问题 49
考点 6:一元二次不等式恒成立问题 50
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§1.1 集合
1、元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系：属于或不属于，数学符号分别记为：∈和．
(3)集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图 (venn图)．
(4)常见数集和数学符号
数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集
符号 N N 或N+ Z Q R
说明：
①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在
这个集合中就确定了．给定集合A={1,2,3,4,5}，可知 1∈A，在该集合中，6 A，不在该集合中；
②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的．
集合A={a,b,c}应满足 a≠ b≠ c．
③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合A={1,2,3,4,5}和B={1,3,5,2,4}是同一个集合．
④列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫做列举法．
⑤描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．
具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值 (或变化)范围，再画一条竖线，
在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
2、集合间的基本关系
(1)子集 (subset)：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我
们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B(或B A)，读作“A包含于B”
(或“B包含A”)．
(2)真子集 (proper subset)：如果集合A B，但存在元素 x∈B，且 x A，我们称集合A是集合B的真
子集，记作A B(或B ≠A)．读作“A真包含于B ”或“B真包含A”．
(3)相等：如果集合A是集合B的子集 (A B，且集合B是集合A的子集 (B A)，此时，集合A与集
LaoFan 1
合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A=B．
(4)空集的性质：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合
的真子集．
3、集合的基本运算
(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩
B，即A∩B={x|x∈A，且 x∈B}．
(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪
B，即A∪B={x|x∈A，或 x∈B}．
(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集
U的补集，简称为集合A的补集，记作CUA，即CUA={x|x∈U，且 x A}．
4、集合的运算性质
(1)A∩A=A，A∩ = ，A∩B=B∩A．
(2)A∪A=A，A∪ =A，A∪B=B∪A．
(3)A∩ CUA = ，A∪ CUA =U，CU CUA =A．
【解题方法总结】
(1)若有限集A中有 n个元素，则A的子集有 2n个，真子集有 2n- 1个，非空子集有 2n- 1个，非空真子
集有 2n- 2个．
(2)空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．
(3)A B A∩B=A A∪B=B CUB CUA．
(4)CU(A∩B) = (CUA) ∪ (CUB)，CU(A∪B) = (CUA) ∩ (CUB)．
考点 1 : 集合的表示：列举法、描述法
1 (2024·广东江门·统考一模)已知集合A= -1,0,1 ，B= m|m2-1∈A,m-1 A ，则集合B
中所有元素之和为 ( )
A. 0 B. 1 C. - 1 D. 2
【答案】C
【解析】根据条件分别令m2- 1=-1，0，1，解得m= 0，±1，± 2，
又m- 1 A，所以m=-1，± 2，B= -1, 2,- 2 ，
所以集合B中所有元素之和是-1，
故选：C．
2 LaoFan
2 (2024·江苏·高三统考学业考试)对于两个非空实数集合A和B，我们把集合
x∣x=a+b,a∈A,b∈B 记作A B．若集合A= 0,1 ，B= 0,-1 ，则A B中元素的个数为
( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】A= 0,1 ，B= 0,-1 ，则A B= 0,-1,1 ，则A B中元素的个数为 3
故选：C
3 (2024·全国·高三专题练习)定义集合A+B= x+y x∈A 且 y∈B ．已知集合A=
2,4,6 ，B= -1,1 ，则A+B中元素的个数为 ( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 7
【答案】C
【解析】根据题意，因为A= 2,4,6 ，B= -1,1 ，
所以A+B= 1,3,5,7 ．
故选：C．
【解题总结】
1、列举法，注意元素互异性和无序性，列举法的特点是直观、一目了然．
2、描述法，注意代表元素．
考点 2 : 集合元素的三大特征
4 (2024·北京海淀·校考模拟预测)设集合M= 2m-1,m-3 ，若-3∈M，则实数m= ( )
A. 0 B. - 1 C. 0或-1 D. 0或 1
【答案】C
【解析】设集合M= 2m-1,m-3 ，若-3∈M，
∵-3∈M，∴ 2m- 1=-3或m- 3=-3，
当 2m- 1=-3时，m=-1，此时M= -3,-4 ；
当m- 3=-3时，m= 0，此时M= -3,-1 ；
所以m=-1或 0．
故选：C
5 (2024·江西·金溪一中校联考模拟预测)已知集合A= 1,a,b ，B= a2,a,ab ，若A=B，则
a2023+ b2022= ( )
A. - 1 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】A
a2=1 a2=b
【解析】由题意A=B可知，两集合元素全部相等，得到 = 或 =1，又根据集合互异性，可ab b ab
a=-1 a=1
知 a≠ 1，解得 a= 1(舍)， =0 和 =1 (舍)，所以 a=-1，b= 0，则 a
2023+ b2022= (-1)2023+ 02022=-1，
b b
故选：A
6 (2024·北京东城·统考一模)已知集合A= x x2-2<0 ，且 a∈A，则 a可以为 ( )
A. - 2 B. - 1 C. 32 D. 2
LaoFan 3
【答案】B
【解析】∵ x2- 2< 0，∴- 2< x< 2，∴A= x|- 2可知-2 A 3，2 A， 2 A，故A、C、D错误；-1∈A，故B正确．
故选：B
【解题方法总结】
1、研究集合问题，看元素是否满足集合的特征：确定性、互异性、无序性。
2、研究两个或者多个集合的关系时，最重要的技巧是将两集合的关系转化为元素间的关系。
考点 3 : 元素与集合间的关系
7 (2024·河南·开封高中校考模拟预测)已知A= x∣x2-ax+1<0 ，若 2∈A，且 3 A，则 a的
取值范围是 ( )
A. 52 ,+∞ B.
5 , 10 5 102 3 C. 2 , 3 D. -∞,
10
3

【答案】B
【解析】由题意，22- 2a+ 1< 0且 32- 3a+ 1≥ 0，
5
得 2 < a≤
10
3 ，
故选：B
8 (2024·吉林延边·统考二模)已知集合A= x ax2-3x+2=0 的元素只有一个，则实数 a的值
为 ( )
A. 98 B. 0 C.
9
8 或 0 D. 无解
【答案】C
【解析】集合A有一个元素，即方程 ax2- 3x+ 2= 0有一解，
当 a= 0时，A= x ax2-3x+2=0 = x -3x+2=0 = 2 3 ，符合题意，
当 a≠ 0时，ax2- 3x+ 2= 0有一解，
则Δ= 9- 8a= 0 9，解得：a= 8 ，
综上可得：a= 0或 a= 98 ，
故选：C．
2 y2
9 (2024·全国·高三专题练习) x已知集合A= x,y 4 + 2 ≤1,x∈Z,y∈Z ，则A中元素的个
数为 ( )
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
【答案】C
【解析】由椭圆的性质得-2≤ x≤ 2，- 2≤ y≤ 2，
又 x∈Z，y∈Z，
所以集合A= -2,0 , 2,0 , -1,0 , 1,0 , 0,1 , 0,-1 , 0,0 , -1,1 , -1,-1 , 1,1 , 1,-1
共有 11个元素．
故选：C
4 LaoFan
【解题方法总结】
1、一定要牢记五个大写字母所表示的数集，尤其是N与N *的区别．
2、当集合用描述法给出时，一定要注意描述的是点还是数，是还是．
考点 4 : 集合与集合之间的关系
10 (多选题) (2024·山东潍坊·统考一模)若非空集合M，N，P满足：M∩N=N，M∪P=P，则
( )
A. P M B. M∩P=M C. N∪P=P D. M∩ pN=
【答案】BC
【解析】由M∩N=N可得：N M，由M∪P=P，可得M P，则推不出P M，故选项A错
误；
由M P可得M∩P=M，故选项B正确；
因为N M且M P，所以N P，则N∪P=P，故选项C正确；
由N M可得：M∩ pN不一定为空集，故选项D错误；
故选：BC．
11 (2024·江苏·统考一模)设M= x x= k2 ,k∈Z
1
，N= x x=k+ 2 ,k∈Z ，则 ( )
A. M N B. N M C. M=N D. M∩N=
【答案】B
1 1
【解析】因为 x= k+ 2 = 2 2k+1 ，因为 k∈Z，
所以集合N是由所有奇数的一半组成，
而集合M是由所有整数的一半组成，故N M．
故选：B
12 (2024·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测)已知集合A= x|x2-x-12≤0 ，B=
x|x2-3mx+2m2+m-1<0}，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为
( )
A. -3,2 B. -1,3 C. -1,
5
2 D. 2,
5
2
【答案】C
【解析】由题意集合A= x|x2-x-12≤0 =[-3,4]，
B= x|x2-3mx+2m2+m-1<0 ={x|(x-m- 1) (x- 2m+ 1)< 0}，
若m> 2，则 2m- 1>m+ 1，此时B= (m+ 1,2m- 1)，
因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，故B A，
2m-1≤4故 m+1≥-3，∴ 25
2 ；
m>2
若m< 2，则 2m- 1因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，故B A，
LaoFan 5
m+1≤4故 2m-1≥-3，∴-1≤m< 2；m<2
若m= 2，则 2m- 1=m+ 1，此时B= ，满足B A，
5
综合以上可得m∈ -1, 2 ，
故选：C
13 (2024·广东茂名·统考二模)已知集合A= x x ≤1 ，B= x 2x-a<0 ，若A B，则实数
a的取值范围是 ( )
A. 2,+∞ B. 2,+∞ C. -∞,2 D. -∞,2
【答案】A
【解析】集合A= x x ≤1 = x -1≤x≤1 ，B= x x< a 2 ．
要使A B a，只需 1< 2 ，解得：a> 2．
故选：A
【解题方法总结】
1、注意子集和真子集的联系与区别．
2、判断集合之间关系的两大技巧：
(1)定义法进行判断
(2)数形结合法进行判断
考点 5 : 集合的交、并、补运算
14 (2024·广东广州·统考二模)已知集合A= x x=3n-2,n∈N ，B= 6,7,10,11 ，则集合A∩
B的元素个数为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】因为A= x x=3n-2,n∈N ，B= 6,7,10,11 ，则A∩B= 7,10 ，
故集合A∩B的元素个数为 2．
故选：B．
15 (2024·河北张家口·统考二模)已知集合A= x x-2 4-x 1 >0 ，B= x 3- >0 ，则x
RA ∪ RB = ( )
A. 2,3 B. 3,4
C. -∞,2 ∪ 3,+∞ D. -∞,3 ∪ 4,+∞
【答案】C
1
【解析】A= x x-2 4-x >0 = x|20 x = x|x<3 ，
即A= 2,4 ，B= -∞,3 ，
所以， RA= -∞,2 ∪ 4,+∞ ， RB= 3,+∞ ，
6 LaoFan
所以， RA ∪ RB = -∞,2 ∪ 3,+∞ ．
故选：C．
16 (2024·广东·统考一模)已知集合M= x∣x x-2 <0 ，N={x ∣ x- 1< 0}，则下列Venn图
中阴影部分可以表示集合 {x ∣ 1≤ x< 2}的是 ( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】x x-2 < 0 0< x< 2，x- 1< 0 x< 1，
选项A中Venn图中阴影部分表示M∩N= 0,1 ，不符合题意；
选项B中Venn图中阴影部分表示 M M∩N =[1,2)，符合题意；
选项C中Venn图中阴影部分表示 N M∩N = (-∞,0]，不符合题意；
选项D中Venn图中阴影部分表示M∪N= -∞,2 ，不符合题意，
故选：B
17 (2024·全国·高三专题练习) 2021年是中国共产党成立 100周年，电影频道推出“经典频传：看
电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召．现有《青
春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有 50人，观看了《青春之歌》的有 21人，
观看了《建党伟业》的有 23人，观看了《开国大典》的有 26人．其中，只观看了《青春之歌》和《建党
伟业》的有 4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有 7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》
的有 6人，三支短视频全观看了的有 3人，则没有观看任何一支短视频的人数为．
【答案】3
【解析】把大学社团 50人形成的集合记为全集U，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三
支短视频的人形成的集合分别记为A，B，C，依题意，作出韦恩图，如图，
观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有 21人，则只看了《青春之歌》的有 21- 4- 6- 3= 8(人)，
因观看了《建党伟业》的有 23人，则只看了《建党伟业》的有 23- 4- 7- 3= 9(人)，
因观看了《开国大典》的有 26人，则只看了《开国大典》的有 26- 6- 7- 3= 10(人)，
因此，至少看了一支短视频的有 3+ 4+ 6+ 7+ 8+ 9+ 10= 47(人)，
所以没有观看任何一支短视频的人数为 50- 47= 3．
故答案为：3
LaoFan 7
【解题方法总结】
1、注意交集与并集之间的关系
2、全集和补集是不可分离的两个概念
考点 6 : 集合与排列组合的密切结合
18 (2024·全国·高三专题练习)设集合X= a1,a2,a 3,a4 N ，定义：集合Y=
a +a a ,a ∈X,i,j∈N*,i≠ j xi j i j ，集合 S= x y x,y∈Y,x≠y ，集合T= x,y∈Y,x≠yy ，分别用
|S|，|T|表示集合 S，T中元素的个数，则下列结论可能成立的是 ( )
A. |S| = 6 B. |S| = 16 C. |T| = 9 D. |T| = 16
【答案】D
【解析】不妨设 1≤ a1< a2< a3< a4，则 ai+ aj的值为 a1+ a2，a1+ a3，a1+ a4，a2+ a3，a2+ a4，a3+
a4，
显然，a1+ a2< a1+ a3< a1+ a4< a2+ a4< a3+ a4，所以集合Y中至少有以上 5个元素，
不妨设 x1= a1+ a2，x2= a1+ a3，x3= a1+ a4，x4= a2+ a4，x5= a3+ a4，
则显然 x1x2< x1x3< x1x4< x1x5< x2x5< x3x5< x4x5，则集合 S中至少有 7个元素，
所以 |S| = 6不可能，故排除A选项；
其次，若 a1+ a4≠ a2+ a3，则集合Y中至多有 6个元素，则 |S| 2max=C6= 15< 16，故排除B项；
对于集合T，取X={1,3,5,7}，则Y={4,6,8,10,12}，此时T=
1 3 ,
2 1 2 3 3 4 4 5 5 5 5 6 3
5 , 2 , 3 , 5 , 4 , 5 , 3 ,2, 6 , 4 , 3 , 2 , 5 , 2 ,3 ，|T| = 16，故D项正确；
x x
对于C选项而言， i≠ x j x jj，xi≠ x i ij，则与一定成对出现， -1 -1 < 0，所以 |T|一xj xi xj xi
定是偶数，故C项错误．
故选：D．
19 (2024·全国·模拟预测)已知集合A，B满足A∪B= 1,2,3 ，若A≠B，且 A&B ， B&A 表
示两个不同的“AB互衬对”，则满足题意的“AB互衬对”个数为 ( )
A. 9 B. 4 C. 27 D. 8
【答案】C
【解析】当A= 时，集合B可以为 {1,2,3}；
当A={1}时，集合B可以为 {2,3}，{1,2,3}；
当A={2}时，集合B可以为 {1,3}，{1,2,3}；
当A={3}时，集合B可以为 {1,2}，{1,2,3}；
当A={1,2}时，集合B可以为 {3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}；
当A={1,3}时，集合B可以为 {2}，{1,2}，{2,3}，{1,2,3}；
当A={2,3}时，集合B可以为 {1}，{1,2}，{1,3}，{1,2,3}；
当A={1,2,3}时，集合B可以为，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．
故满足题意的“AB互衬对”个数为 27．
故选：C
8 LaoFan
20 (2024·北京·中央民族大学附属中学校考模拟预测)已知集合A满足：①A N，② x，y∈
A，x≠ y，必有 x-y ≥ 2，③集合A中所有元素之和为 100，则集合A中元素个数最多为 ( )
A. 11 B. 10 C. 9 D. 8
【答案】B
【解析】对于条件①A N，② x，y∈A，x≠ y，必有 x-y ≥ 2，
若集合中所有的元素是由公差为 2的等差数列构成，例如 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20 ，集合中
有 11个元素，
又 0+ 2+ 4+ 6+ 8+ 10+ 12+ 14+ 16+ 18+ 20= 110> 100，0+ 2+ 4+ 6+ 8+ 10+ 12+ 14+ 16
+ 18= 90< 100则该集合满足条件①②，不符合条件③，故符合条件③的集合A中元素个数最多不能
超过 10个，
故若要集合A满足：①A N，② x，y∈A，x≠ y，必有 x-y ≥ 2，③集合A中所有元素之和
为 100，最多有 10个元素，
例如A= 0,2,4,6,8,10,12,15,18,25 ．
故选：B．
【解题方法总结】
利用排列与组合思想解决集合或者集合中元素个数的问题，需要运用分析与转化的思想方法
考点 7 : 集合的创新定义
21 (2024·全国·校联考模拟预测)对于集合A，B，定义A-B= x x∈A，且 x B ．若A=
{x|x= 2k+ 1,k∈N}，B={x|x= 3k+ 1,k∈N}，将集合A-B中的元素从小到大排列得到数列
an ，则 a7+ a30= ( )
A. 55 B. 76 C. 110 D. 113
【答案】C
【解析】因为A= 1,3,5,7,9,11, ，B= 1,4,7,10,13,16,19,22,25, ，
所以A-B= 3,5,9,11,15, ，所以 a7= 21．A-B相当于集合A中除去 x= 6n- 5 n∈N* 形
式的数，其前 45项包含了 15个这样的数，所以 a30= 89．
则 a7+ a30= 110，
故选：C．
22 (多选题) (2024·河南安阳·安阳一中校考模拟预测)由无理数引发的数学危机一直延续到 19世
纪．直到 1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数 (史称
戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也
结束了持续 2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为
两个非空的子集M与N，且满足M∪N=Q，M∩N= ，M中的每一个元素都小于N中的每一
个元素，则称 M,N 为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是 ( )
A. M= x x<0 ，N= x x>0 是一个戴德金分割
B. M没有最大元素，N有一个最小元素
C. M有一个最大元素，N有一个最小元素
D. M没有最大元素，N也没有最小元素
【答案】BD
LaoFan 9
【解析】对于A，因为M= x x<0 ，N= x x>0 ，M∪N={x|x≠ 0}≠Q，故A错误；
对于B，若M= x∈Q|x<0 ，N={x∈Q|x≥ 0}，则满足戴德金分割，
此时M没有最大元素，N有一个最小元素 0，故B正确；
对于C，若M有一个最大元素，设为 a，N有一个最小元素，设为 b，则 a< b，
则M= x∈Q|x≤a ，N= x∈Q x≥b ，而 (a,b)内也有有理数，
则M∪N≠Q，故C错误；
对于D，若M= x∈Q|x< 2 ，N={x∈Q|x≥ 2 |，
则满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确，
故选：BD
23 (2024·湖北·统考二模)已知X为包含 v个元素的集合 (v∈N*，v≥ 3)．设A为由X的一些
三元子集 (含有三个元素的子集)组成的集合，使得X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含
在唯一的一个三元子集中，则称 X,A 组成一个 v阶的 Steiner三元系．若 X,A 为一个 7阶的
Steiner三元系，则集合A中元素的个数为．
【答案】7
【解析】由题设，令集合X={a,b,c,d,e,f,g}，共有 7个元素，
所以X的三元子集，如下共有 35个：
{a,b,c}、{a,b,d}、{a,b,e}、{a,b,f}、{a,b,g}、{a,c,d}、{a,c,e}、{a,c,f}、{a,c,g}、{a,d,e}、{a,d,
f}、{a,d,g}、{a,e,f}、{a,e,g}、{a,f,g}、{b,c,d}、{b,c,e}、{b,c,f}、{b,c,g}、{b,d,e}、{b,d,f}、{b,d,
g}、{b,e,f}、{b,e,g}、{b,f,g}、{c,d,e}、{c,d,f}、{c,d,g}、{c,e,f}、{c,e,g}、{c,f,g}、{d,e,f}、{d,e,
g}、{d,f,g}、{e,f,g}，
因为A中集合满足X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集，所以
A中元素满足要求的有：
{a,b,c}、{a,d,e}、{a,f,g}、{b,d,f}、{b,e,g}、{c,d,g}、{c,e,f}，共有 7个；
{a,b,c}、{a,d,f}、{a,e,g}、{b,d,e}、{b,f,g}、{c,d,g}、{c,e,f}，共有 7个；
{a,b,c}、{a,d,g}、{a,e,f}、{b,d,e}、{b,f,g}、{c,d,f}、{c,e,g}，共有 7个；
{a,b,d}、{a,c,e}、{a,f,g}、{b,c,f}、{b,e,g}、{c,d,g}、{d,e,f}，共有 7个；
{a,b,d}、{a,c,g}、{a,e,f}、{b,c,e}、{b,f,g}、{c,d,f}、{d,e,g}，共有 7个；
{a,b,d}、{a,c,f}、{a,e,g}、{b,c,e}、{b,f,g}、{c,d,g}、{d,e,f}，共有 7个；
{a,b,e}、{a,c,d}、{a,f,g}、{b,c,f}、{b,d,g}、{c,e,g}、{d,e,f}，共有 7个；
{a,b,e}、{a,c,f}、{a,d,g}、{b,c,d}、{b,f,g}、{c,e,g}、{d,e,f}，共有 7个；
{a,b,e}、{a,c,g}、{a,d,f}、{b,c,d}、{b,f,g}、{c,e,f}、{d,e,g}，共有 7个；
{a,b,f}、{a,c,d}、{a,e,g}、{b,c,e}、{b,d,g}、{c,f,g}、{d,e,f}，共有 7个；
{a,b,f}、{a,c,e}、{a,d,g}、{b,c,d}、{b,e,g}、{c,f,g}、{d,e,f}，共有 7个；
{a,b,f}、{a,c,g}、{a,d,e}、{b,c,d}、{b,e,g}、{c,e,f}、{d,f,g}，共有 7个；
{a,b,g}、{a,c,d}、{a,e,f}、{b,c,e}、{b,d,f}、{c,f,g}、{d,e,g}，共有 7个；
{a,b,g}、{a,c,e}、{a,d,f}、{b,c,d}、{b,e,f}、{c,f,g}、{d,e,g}，共有 7个；
{a,b,g}、{a,c,f}、{a,d,e}、{b,c,d}、{b,e,f}、{c,e,g}、{d,f,g}，共有 7个；
共有 15种满足要求的集合A，但都只有 7个元素．
故答案为：7
【解题方法总结】
1、集合的创新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方
10 LaoFan
法并不难，难在转化．
2、集合的创新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，要
根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解。
LaoFan 11
§1.2 常用逻辑用语
一、充分条件、必要条件、充要条件
1、定义
如果命题“若 p，则 q”为真 (记作 p q)，则 p是 q的充分条件；同时 q是 p的必要条件．
2、从逻辑推理关系上看
(1)若 p q且 q p，则 p是 q的充分不必要条件；
(2)若 p q且 q p，则 p是 q的必要不充分条件；
(3)若 p q且 q p，则 p是 q的的充要条件 (也说 p和 q等价)；
(4)若 p q且 q p，则 p不是 q的充分条件，也不是 q的必要条件．
对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：p q，则 p是 q的充分条件，同时 q是 p的
必要条件．所谓“充分”是指只要 p成立，q就成立；所谓“必要”是指要使得 p成立，必须要 q成立 (即
如果 q不成立，则 p肯定不成立)．
二．全称量词与存在量词
(1)全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”
表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．全称量词命题“对M中的任意一个 x，有 p(x)成立”
可用符号简记为“ x∈M，p(x)”，读作“对任意 x属于M，有 p(x)成立”．
(2)存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号
“ ”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．存在量词命题“存在M中的一个 x0，使 p(x0)成
立”可用符号简记为“ x0∈M，P(x0)”，读作“存在M中元素 x0，使 p(x0)成立” (存在量词命题也叫存
在性命题)．
三．含有一个量词的命题的否定
(1)全称量词命题 p: x∈M，p(x)的否定 p为 x0∈M， p(x0)．
(2)存在量词命题 p: x0∈M，p(x0)的否定 p为 x∈M， p(x)．
注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一．
【解题方法总结】
1、从集合与集合之间的关系上看
设A= x|p(x) ，B= x|q(x) ．
12 LaoFan
(1)若A B，则 p是 q的充分条件 (p q)，q是 p的必要条件；若A B，则 p是 q的充分不必要条
件，q是 p的必要不充分条件，即 p q且 q p；
注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”．
(2)若B A，则 p是 q的必要条件，q是 p的充分条件；
(3)若A=B，则 p与 q互为充要条件．
2、常见的一些词语和它的否定词如下表
原词语等于 (=) 大于 (>) 小于 (<) 是都是任意 (所有) 至多有一至多有一
个个
否定词语不等于 ( 小于等于大于等于不是不都某个至少有两一个都没
≠) (≤) (≥) 是个有
(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素 x证明其成立，要判断全
称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个 x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个
反例．
(2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个 x0使之成立即可，否则这个
存在量词命题就是假命题．
考点 1 : 充分条件与必要条件的判断
【解题总结】
1、要明确推出的含义，是 p成立 q一定成立才能叫推出而不是有可能成立．
2、充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合．
3、充分必要条件考察范围广，失分率高，一定要注意各个知识面的培养．

24 (2024·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测) 已知向量 a= m2,-9 ，b= 1,-1 ，则“m=-3”是
“a b”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A

【解析】若m=-3 ，则 a= 9,-9 = 9b，所以 a b；

若 a b，则m2× -1 - -9 × 1= 0，解得m=±3，得不出m=-3．

所以“m=-3”是“a b”的充分不必要条件．
故选：A．
LaoFan 13
25 (2024·全国·高三专题练习)已知直线 a⊥平面 α，则“直线 a 平面 β”是“平面 α⊥平面 β”的
( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若“直线 a 平面 β”成立，设 l β，且 l a，又 a⊥平面 α，所以 l⊥平面 α，又 l β，所以
“平面 α⊥平面 β”成立；
若“平面 α⊥平面 β”成立，且直线 a⊥平面 α，可推出 a 平面 β或 a 平面 β，
所以“直线 a 平面 β”不一定成立．
综上“，直线 a 平面 β”是“平面 α⊥平面 β”的充分不必要条件．
故选：A．
26 (2024·天津和平·高三天津一中校考阶段练习)“cos2α=- 12 ”是“cosα=
1
2 ”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
1 1
【解析】cos2α= 2cos2α- 1=- 2 ，cosα=± 2 ，
1 1
所以“cos2α=- 2 ”是“cosα= 2 ”的必要不充分条件．
故选：B
27 (2024·天津南开·南开中学校考模拟预测)已知 a，b∈R，则“a> b”是“a2> b2”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】若 a= 0> b，则 a2> b2不成立，若 a > b且 a< 0= b，此时 a2> b2推不出 a> b，所以“a>
b”是“a2> b2”的既不充分也不必要条件．
故选：D
考点 2 : 根据充分必要条件求参数的取值范围
【解题总结】
1、集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含关系．
2、在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点是否能取到问题，容易出错．
28 (2024·山东潍坊·统考二模)若“x= α”是“sinx+ cosx> 1”的一个充分条件，则 α的一个可能
值是．
π
【答案】4 (只需满足 α∈ 2kπ,2kπ+
π
2 k∈Z 即可)
【解析】由 sinx+ cosx> 1可得 2 sin x+ π π 24 > 1，则 sin x+ 4 > 2 ，
所以，2kπ+ π4 < x+
π 3π π
4 < 2kπ+ 4 k∈Z ，解得 2kπ< x< 2kπ+ 2 k∈Z ，
π
因为“x= α”是“sinx+ cosx> 1”的一个充分条件，故 α的一个可能取值为 4 ．
14 LaoFan
π
故答案为：4 (只需满足 α∈ 2kπ,2kπ+
π
2 k∈Z 即可)．
29 (2024·上海长宁·统考二模)若“x= 1”是“x> a”的充分条件，则实数 a的取值范围为．
【答案】 -∞,1
【解析】∵“x= 1”是“x> a”的充分条件，∴ x= 1 x> a，∴ a< 1，
即实数 a的取值范围为 -∞,1 ．
故答案为： -∞,1 ．
30 (2024·全国·高三专题练习)若“x< 2”是“x< a”的必要不充分条件，则 a的值可以是
． (写出满足条件 a的一个值即可)
【答案】0(答案不唯一，满足 a< 2即可)
【解析】由于“x< 2”是“x< a”的必要不充分条件，所以 a< 2，
所以 a的值只需小于 2即可．
故答案为：0(答案不唯一，满足 a< 2即可)
考点 3 : 全称量词命题与存在量词命题的真假
【解题总结】
1、全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要通过汉字意思，又要通过数学结论．
2、全称量词命题和存在量词命题的真假性判断较为简单，注意细节即可．
31 (2024·河北·高三学业考试)设非空集合P，Q满足P∩Q=P，则下列选项正确的是 ( )
A. x∈Q，有 x∈P B. x Q，有 x P
C. x Q，使得 x∈P D. x∈P，使得 x Q
【答案】B
【解析】∵P∩Q=P，∴P Q，
当P Q时， x0∈Q，使得 x0 P，故A错误；
∵P Q，∴ x∈P，必有 x∈Q，即 x Q，必有 x P，故B正确；
由B正确，得 x Q，必有 x P，∴ x Q，使得 x∈P错误，即C错误；
当P=Q时，不存在 x0∈P，使得 x0 Q，故D错误，
综上只有B是正确的．
故选：B．
32 (2024·全国·高三专题练习)已知 0< b< a< 1，下列四个命题：① x∈ (0, +∞)，ax> bx，②
x∈ (0,1)，log a bax> logbx，③ x∈ (0,1)，x > x ，④ x∈ (0,b)，ax> logax．
其中是真命题的有 ( )
A. ①③ B. ②④ C. ①② D. ③④
【答案】C
x x 0
【解析】对于①，由 0< b< a< 1 a得： > 1， x∈ (0, +∞) a a a， = > = 1，则 ax> bx，
b bx b b
①正确；
对于②， x∈ (0,1)，logxa- log b= log ax x < logx1= 0，即 0< logxa< logxb，则 logax> logbx，②b
正确；
LaoFan 15
对于③，函数 y=mx(01)，xa< xb，③错误；
对于④，当 x∈ (0,b)时，ax< 1，logax> logab> logaa= 1，即 ax< logax，④错误，
所以所给命题中，真命题的是①②．
故选：C
33 (2024·贵州毕节·统考模拟预测)直线 l1：x+ 1+a y= 1- a a∈R l y=- 1 ，直线 2： 2 x，给出
下列命题：
① a∈R，使得 l1 l2；② a∈R，使得 l1⊥ l2；
③ a∈R，l1与 l2都相交；④ a∈R，使得原点到 l1的距离为 2．
其中正确的是 ( )
A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①④
【答案】C
- 1 =- 1
【解析】对于①，若 l1 l2，则 a+1 2 ，该方程组无解，①错；1-a≠0
对于②，若 l1⊥ l2，则 - 11+a -
1
2 =-1
3
，解得 a=- 2 ，②对；
1
对于③，当 a= 1时，直线 l1的方程为 x+ 2y= 0，即 y=- 2 x，此时，l1、l2重合，③错；
对于④，直线 l1的方程为 x+ a+1 y+ a- 1= 0，
a-1
若 a∈R ，使得原点到 l1的距离为 2，则 = 2，整理可得 3a2- 10a+ 7= 0，
1+ a+1 2
Δ= 100- 4× 3× 7> 0，方程 3a2- 10a+ 7= 0有解，④对．
故选：C．
考点 4 : 全称量词命题与存在量词命题的否定
【解题总结】
1、全称量词命题与存在量词命题的否定是将条件中的全称量词和存在量词互换，结论变否定．
2、全称量词命题和存在量词命题的否定要注意否定是全否，而不是半否．
34 (2024·四川成都·三模)命题“ x∈R，x2+ x- 1≤ 0”的否定是 ( )
A. x0∈R，x20+ x0- 1≤ 0 B. x ∈R，x20 0+ x0- 1> 0
C. x∈R，x2+ x- 1> 0 D. x 20∈R，x0+ x0- 1≥ 0
【答案】B
【解析】由题意可得“， x∈R，x2+ x- 1≤ 0”的否定是 x ∈R，x20 0+ x0- 1> 0，
故选：B
35 (2024·贵州贵阳·统考模拟预测)已知命题 p: n∈N，2n- 2不是素数，则 p为 ( )
A. n N，2n- 2是素数 B. n∈N，2n- 2是素数
C. n N，2n- 2是素数 D. n∈N，2n- 2是素数
【答案】D
【解析】命题 p为全称量词命题，该命题的否定为 p: n∈N，2n- 2是素数．
16 LaoFan
故选：D．
36 (2024·四川成都·成都七中统考模拟预测)命题“有一个偶数是素数”的否定是 ( )
A. 任意一个奇数是素数 B. 任意一个偶数都不是素数
C. 存在一个奇数不是素数 D. 存在一个偶数不是素数
【答案】B
【解析】由于存在量词命题 p: x∈M，p(x)，否定为 p: x∈M， p(x)．所以命题“有一个偶
数是素数”的否定是“任意一个偶数都不是素数”．
故选：B
考点 5 : 根据命题的真假求参数的取值范围
【解题总结】
1、在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，如果哪个是假命题，去求真命题
的补级即可．
2、全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到．
37 (2024·全国·高三专题练习)若命题“ a∈ -1,3 ，ax2- 2a-1 x+ 3- a< 0”为假命题，则
实数 x的取值范围为 ( )
A. -1,4 B. 0,
5
3
5
C. -1,0 ∪ 3 ,4

D. -1,0
5
∪ 3 ,4
【答案】C
【解析】命题“ a∈ -1,3 ，ax2- 2a-1 x+ 3- a< 0”为假命题，其否定为真命题，
即“ a∈ -1,3 ，ax2- 2a-1 x+ 3- a≥ 0”为真命题．
令 g(a) = ax2- 2ax+ x+ 3- a= (x2- 2x- 1)a+ x+ 3≥ 0，
g(-1)≥0 -x2+3x+4≥0则 (3)≥0 ，即 3 2-5 ≥0 ，g x x
-1≤x≤4 5得 ≥ 5 ≤0，所以实数 x的取值范围为 -1,0 ∪ x 或x 3 ,4 ．3
故选：C
38 (2024·全国·高三专题练习)已知命题 p： x∈R，x2+ 2x+ 2- a< 0，若 p为假命题，则实数
a的取值范围为 ( )
A. (1, +∞) B. [1, +∞) C. (-∞,1) D. (-∞,1]
【答案】D
【解析】因为命题 p： x∈R，x2+ 2x+ 2- a< 0，
所以 p： x∈R，x2+ 2x+ 2- a≥ 0，
又因为 p为假命题，所以 p为真命题，
即 x∈R，x2+ 2x+ 2- a≥ 0恒成立，
所以Δ≤ 0，即 22- 4(2- a)≤ 0，
得 a≤ 1，
故选：D．
LaoFan 17
39 (2024·全国·高三专题练习)若命题P：“ x∈R， k2-1 x2+ 4 1-k x+ 3≤ 0”是假命题，则
k的取值范围是 ( )
A. 1，7 B. 1,7 C. -7，1 D. -7,1
【答案】B
【解析】因为命题“ x∈R， k2-1 x2+ 4(1- k)x+ 3≤ 0”是假命题，
所以命题“ x∈R， k2-1 x2+ 4 1-k x+ 3> 0”是真命题，
若 k2- 1= 0，即 k= 1或 k=-1，
当 k= 1时，不等式为 3> 0，恒成立，满足题意；
当 k=-1时，不等式为 8x+ 3> 0，不恒成立，不满足题意；
k2-1>0
当 k2- 1≠ 0时，则需要满足 Δ=16 1- 2-4× 2-1 ×3<0， k k
k-1 k+1 >0即 k-1 ，解得 1< k< 7， k-7 <0
综上所述，k的范围是 1,7 ，
故选：B．
40 (2024·全国·高三专题练习)已知命题“ x∈ 1,2 ，2x+ x- a> 0”为假命题，则实数 a的取值
范围是 ( )
A. -∞,5 B. 6,+∞ C. -∞,3 D. 3,+∞
【答案】D
【解析】因为命题“ x∈ 1,2 ，2x+ x- a> 0”为假命题，则命题的否定“ x x00∈ 1,2 ，2 + x0- a
≤ 0”为真命题，所以 a≥ 2x+x min，x∈ 1,2 ．
易知函数 y= 2x+ x在 1,2 上单调递增，所以当 x= 1时，y= 2x+ x取最小值，所以 a≥ 21+ 1=
3．所以实数 a的取值范围为 3,+∞ ．
故选：D．
2.1 (2022·天津·统考高考真题) “x为整数”是“2x+ 1为整数”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当 x为整数时，2x+ 1必为整数；
当 2x+ 1为整数时，x比一定为整数，
例如当 2x+ 1= 2 x= 1时， 2 ．
所以“x为整数”是“2x+ 1为整数”的充分不必要条件．
故选：A．
2.2 (2022·浙江·统考高考真题)设 x∈R，则“sinx= 1”是“cosx= 0”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为 sin2x+ cos2x= 1可得：
当 sinx= 1时，cosx= 0，充分性成立；
当 cosx= 0时，sinx=±1，必要性不成立；
18 LaoFan
所以当 x∈R，sinx= 1是 cosx= 0的充分不必要条件．
故选：A．
2.3 (2022·北京·统考高考真题)设 an 是公差不为 0的无穷等差数列，则“ an 为递增数
列”是“存在正整数N0，当 n>N0时，an> 0”的 ( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】设等差数列 an 的公差为 d，则 d≠ 0，记 x 为不超过 x的最大整数．
若 an 为单调递增数列，则 d> 0，
若 a1≥ 0，则当 n≥ 2时，an> a1≥ 0；若 a1< 0，则 an= a1+ n-1 d，
a1 a1
由 an= a1+ n-1 d> 0可得 n> 1- ，取N0=
1- + 1，则当 n>N
d d 0时，an> 0，
所以，“ an 是递增数列” “存在正整数N0，当 n>N0时，an> 0”；
若存在正整数N0，当 n>N0时，an> 0，取 k∈N 且 k>N0，ak> 0，
ak
假设 d< 0，令 an= ak+ n-k d< 0可得 n> k- ，且 k-
ak > k，
d d
ak
当 n>
k- + 1时，ad n< 0，与题设矛盾，假设不成立，则 d> 0，即数列 an 是递增数列．
所以，“ an 是递增数列” “存在正整数N0，当 n>N0时，an> 0”．
所以，“ an 是递增数列”是“存在正整数N0，当 n>N0时，an> 0”的充分必要条件．
故选：C．
LaoFan 19
§1.3 等式与不等式的性质
1、比较大小基本方法
关系方法
做差法做商法
与 0比较与 1比较
a> b a- b> 0 a > 1(a，b> 0)或 a < 1(a，b< 0)
b b
a= b a- b= 0 a = 1(b≠ 0)
b
a 0)或 a > 1(a，b< 0)
b b
2、不等式的性质
(1)基本性质
性质性质内容
对称性 a> b b< a；a a
传递性 a> b，b> c a> c；a< b，b< c a< c
可加性 a> b a+ c> b> c
可乘性 a> b，c> 0 ac> bc；a> b，c< 0 ac< bc
同向 a> c，c> d a+ c> b+ d
可加性
同向同正 a> b> 0，c> d> 0 ac> bd
可乘性
可乘方性 a> b> 0，n∈N* an> bn
【解题方法总结】
1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解
决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率．
2、比较数 (式)的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性．
比较法又分为作差比较法和作商比较法．
作差法比较大小的步骤是：
(1)作差；(2)变形；(3)判断差式与 0的大小；(4)下结论．
作商比较大小 (一般用来比较两个正数的大小)的步骤是：
20 LaoFan
(1)作商；(2)变形；(3)判断商式与 1的大小；(4)下结论．
其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于 0或 1比较大小．
作差法是比较两数 (式)大小最为常用的方法，如果要比较的两数 (式)均为正数，且是幂或者因式乘
积的形式，也可考虑使用作商法．
考点 1 : 不等式性质的应用
【解题方法总结】
1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．
2、充分利用基本初等函数性质进行判断．
3、小题可以用特殊值法做快速判断．
41 (多选题) (2024·重庆·统考模拟预测)已知 a> b> c，ac> 0，则下列关系式一定成立的是( )
A. c2> bc B. bc a-c > 0 C. a+ b> c D. c + b > 2b c
【答案】BD
【解析】因为 ac> 0，所以 a> b> c> 0或 0> a> b> c，
当 a> b> c> 0时，bc> c2，A不成立，bc a-c > 0，a+ b> c，
c > 0 b > 0 c b由，，故 + ≥ 2 c b c bb c = 2，当且仅当 = ，即 b= c时，等号成立，b c b c b c
c b
因为 b> c，故等号不成立，故 + > 2；
b c
当 0> a> b> c时，bc< c2，bc a-c > 0，
不妨设 0>-1>-2>-3，则 a+ b= c，故此时C不成立，
c
由 > 0 b c b， > 0，故 + ≥ 2 c bb c = 2
c
，当且仅当 = b ，即 b= c时，等号成立，
b c b c b c
因为 b> c c b，故等号不成立，故 + > 2；
b c
综上：BD一定成立．
故选：BD
42 (多选题) (2024·山东·校联考二模)已知实数 a，b，c满足 a> b> c，且 a+ b+ c= 0，则下列说法
正确的是 ( )
A. 1- >
1
- B. a- c> 2b C. a
2> b2 D. ab+ bc> 0
a c b c
【答案】BC
【解析】对于A，∵ a> b> c，∴ a- c> b- c> 0 ∴ 1 < 1， - ，A错误；a c b-c
对于B，∵ a> b> c，a+ b+ c= 0，∴ a> 0，c< 0，∴ b+ c=-a< 0，a- b> 0，
∴ a- b> b+ c，即 a- c> 2b，B正确；
对于C，∵ a- b> 0，a+ b=-c> 0，∴ a2- b2= a+b a-b > 0，即 a2> b2，C正确；
对于D，ab+ bc= b a+c =-b2≤ 0，D错误．
故选：BC．
LaoFan 21
43 (多选题) (2024·全国·校联考模拟预测)若 a> 0> b> c，则下列结论正确的是 ( )
A. a > a B. b2a> c2a
c b
C. a-b- >
b D. a- c≥ 2 a-b b-ca c c
【答案】ACD
a a a(b-c) a a
【解析】∵ a> 0> b> c，则 b- c> 0，bc> 0，∴ - = > 0，即 > ，A正确；
c b bc c b
例如 a= 1，b=-2，c=-3，b2a= (-2)2= 4，c2a= (-3)2= 9，显然 4< 9，B错误；
由 a> 0> b> c得 c- a(c-b)b< 0 a-b b a-b，a- c> 0，∴ - - = ( - ) > 0，即 - >
b
，C正确；
a c c c a c a c c
易知 a- c> 0，a- b> 0，b- c> 0，
a- c- 2 (a-b)(b-c) = (a- b) + (b- c) - 2 (a-b)(b-c) = ( a-b- b-c )2≥ 0，
∴ a- c≥ 2 a-b b-c ，D正确；
故选：ACD．
考点 2 : 比较数 (式)的大小与比较法证明不等式
【解题方法总结】
比较数 (式)的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性．
比较法又分为作差比较法和作商比较法．
作差法比较大小的步骤是：
(1)作差；(2)变形；(3)判断差式与 0的大小；(4)下结论．
作商比较大小 (一般用来比较两个正数的大小)的步骤是：
(1)作商；(2)变形；(3)判断商式与 1的大小；(4)下结论．
其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于 0或 1比较大小．
作差法是比较两数 (式)大小最为常用的方法，如果要比较的两数 (式)均为正数，且是幂或者因式乘
积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是：
b b
若 a> 0，b> 0，则 > 1 b> a； < 1 b< a b； = 1 b= a；
a a a
若 a< 0，b< 0 b，则 > 1 b< a b b； < 1 b> a； = 1 b= a．
a a a
44 (2024·全国·高三专题练习)若 0< a< b，a+ b= 1 1，则将 a，b， 2 22 ，2ab，a + b 从小到大排列
为．
【答案】a< 2ab< 12 < a
2+ b2 a2+ b2> 12 > 2ab> a，
即 a< 2ab< 1 2 22 < a + b < b．
故答案为：a< 2ab< 1 2 22 < a + b < b．
45 (2024·全国·高三专题练习)如果 a> b，给出下列不等式：
1 < 1① ；② a3> b3 a；③ a2> b2；④ 2ac2> 2bc2；⑤ > 1；⑥ a2+ b2+ 1> ab+ a+ b．
a b b
其中一定成立的不等式的序号是．
【答案】②⑥
1 1 a
【解析】令 a= 1，b=-1， > ，排除①， a2= b2，排除③选项， =-1< 1，排除⑤．当 c=
a b b
0时，排除④．由于幂函数 y= x3为R上的递增函数，故 a3> b3，②是一定成立的．由于 a2+ b2+ 1-
ab+a+b = 1 2 a-b
2 + a-1 2 + b-1 2 > 0，故 a2+ b2+ 1> ab+ a+ b．故⑥正确．所以一定成
立的是②⑥．
46 (2024·高三课时练习) (1)已知 a> b> 0，c< d< 0 b a，求证： - < ；a c b-d
(2)设 x，y∈R，比较 x2-y2 2 与 xy(x- y)2的大小．
【解析】(1)由 a> b> 0，c< d< 0 -c>-d> 0 1 1，得，a- c> b- d> 0，从而得 0< < ．
a-c b-d
又 a> b> 0 b a，所以
a- < ．c b-d
(2)因为 x2-y2 2 - xy(x- y)2= x4+ y4- x3y- xy3= x3(x- y) + y3(y- x) = (x- y) x3-y3 =
y 2(x- y)2 x2+xy+y2 = (x- y)2 x+ 3 2 2 + 4 y ≥ 0，当且仅当 x= y时等号成立，
所以当 x= y时， x2-y2 2 = xy(x- y)2；
当 x≠ y时， x2-y2 2 > xy(x- y)2．
47 (2024·全国·高三专题练习) (1)试比较 x+1 x+5 与 x+3 2 的大小；
(2) 1 1已知 a> b， < ，求证：ab> 0．
a b
【解析】(1)由题意， x+1 x+5 - x+3 2
= x2+ 6x+ 5- x2- 6x- 9=-4< 0，
所以 x+1 x+5 < x+3 2 ．
(2) 1 1 1 1 b-a证明：因为 < ，所以 - < 0，即 < 0，
a b a b ab
而 a> b，所以 b- a< 0，则 ab> 0．得证．
考点 3 : 已知不等式的关系，求目标式的取值范围
【解题方法总结】
在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，
否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系．
LaoFan 23
48 (多选题) (2024·全国·高三专题练习)已知实数 x，y满足-3< x+ 2y< 2，-1< 2x- y< 4，则
( )
A. x的取值范围为 (-1,2) B. y的取值范围为 (-2,1)
C. x+ y的取值范围为 (-3,3) D. x- y的取值范围为 (-1,3)
【答案】ABD
【解析】因为-1< 2x- y< 4，所以-2< 4x- 2y< 8．因为-3< x+ 2y< 2，所以-5< 5x< 10，
则-1< x< 2，故A正确；
因为-3< x+ 2y< 2，所以-6< 2x+ 4y< 4．因为-1< 2x- y< 4，所以-4<-2x+ y< 1，所
以-10< 5y< 5，所以-2< y< 1，故B正确；
因为-3< x+ 2y< 2 9，-1< 2x- y< 4，所以- 5 <
3
5 (x+ 2y)<
6 1 1 4
5 ，- 5 < 5 (2x- y)< 5 ，
则-2< x+ y< 2，故C错误；
因为-3< x+ 2y< 2 -1< 2x- y< 4 2 1 3 3 3，，所以- 5 <- 5 (x+ 2y)< 5 ，- 5 < 5 (2x- y)<
12
5 ，则-1< x- y< 3，故D正确．
故选：ABD．
49 (2024·广东·高三校联考期末)已知 1≤ a- b≤ 3，3≤ a+ b≤ 7，则 5a+ b的取值范围为
( )
A. 15,31 B. 14,35 C. 12,30 D. 11,27
【答案】D
5 m+n=5 m=2【解析】设 a+ b=m a-b + n a+b = m+n a+ n-m b，所以 n-m=1 n=3 ，
则 5a+ b= 2 a-b + 3 a+b ，又 1≤ a- b≤ 3，3≤ a+ b≤ 7
所以 2≤ 2 a-b ≤ 6，9≤ 3 a+b ≤ 21，由不等式的性质得：11≤ 2 a-b + 3 a+b ≤ 27，
则 5a+ b的取值范围为 11,27 ．
故选：D．
50 (2024·全国·高三专题练习)已知 1≤ a≤ 2，-1≤ b≤ 4，则 a- 2b的取值范围是 ( )
A. - 7≤ a- 2b≤ 4 B. - 6≤ a- 2b≤ 9 C. 6≤ a- 2b≤ 9 D. - 2≤ a- 2b≤ 8
【答案】A
【解析】因为-1≤ b≤ 4，所以-8≤-2b≤ 2，
由 1≤ a≤ 2，得-7≤ a- 2b≤ 4．
故选：A．
51 (2024·全国·高三专题练习)已知三个实数 a、b、c，当 c> 0时，b≤ 2a+ 3c且 bc= a2，则
a-2c
的取值范围是．
b
【答案】 -∞, 1 9
【解析】当 c> 0时满足：b≤ 2a+ 3c且 bc= a2，
a2 2∴ ≤ 2a+ 3c，即 a2- 2ac- 3c2≤ 0 a a a，进而 - 2 - 3≤ 0，解得-1≤ ≤ 3．c c c c
c 1 c
所以 ≥ 3 或 ≤-1，a a
24 LaoFan
a-2c = ac-2c
2
= c
2
2 - 2
c = f c ，
b a a a a
c
令 = t，t∈ 1 3 ,+∞ ∪ -∞-1 ，a
2
∴ f t =-2t2+ t=-2 t- 14 +
1
8 ，
1
由于 t∈ 3 ,+∞ ∪ -∞-1
1
所以 f t 在 t∈ -∞，-1 单调递增，在 t∈ 3 ,+∞ 单调递减，
t= 1 f 1当 3 时， 3 =
1
9 ，当 t=-1时，f -1 =-3，
1
所以 f t ≤ 9
-∞ 1故答案为：， 9 ．
考点 4 : 不等式的综合问题
【解题方法总结】
综合利用等式与不等式的性质
52 (多选题) (2024·河北衡水· 4高三河北衡水中学校考阶段练习)已知 a> 0，b> 0，且满足 a≥
a
+ 1 ，b≥ 5 + 1 ．则 a2+ b2的取值可以为 ( )
b b a
A. 10 B. 11 C. 12 D. 20
【答案】CD
4 1 5 1
【解析】因为 a≥ + ，b≥ + ，
a b b a
a2≥ 4+ a所以，b2≥ 5+ b ，
b a
故 a2+ b2≥ 4+ a + 5+ b ≥ 9+ 2 a bb a = 11，b a
a2= 4+ a当，b2= 5+ b a且 = b ，而 a= b时 a2≠ b2，即等号不能同时成立，
b a b a
所以 a2+ b2> 11，故AB错误，CD正确．
故选：CD．
53 (多选题) (2024·全国·高三专题练习)已知 x2 y2+1 = 1，则 ( )
A. xy< 1 B. x2y≥- 12 C. x+ xy≤ 1 D. x
2+ xy≤ 54
【答案】ABD
1
【解析】由 x2 y2+1 = 1得 x2= ，x22 = 1- x
2y2，由于 y2≥ 0，所以 0< x2≤ 1，
y +1
所以 x2y2= 1- x2∈ 0,1 ，因此-1< xy< 1且 xy≠ 0，故A正确，
2 = y yx y 1 12 ，当 y< 0时，x
2y= 2 = 1 ，由于 y+ ≤-2，当且仅当 y=-1时，等号成y +1 y +1 y+ yy
1
立，故 0> 1 ≥-
1 1
2 ，当 y≥ 0时，x
2y≥ 0，所以 x2y≥- 2 ，故B正确，y+ y
x2 1+y 2 = x2 1+2y+y2 = x2 y2+1 + 2x2y= 1+ 2x2y≤ 1+ x2 1+y2 = 2，当且仅当 2y= 1+ y2
LaoFan 25
y= 1 x2= 1， 2 时取等号，故- 2≤ x 1+y = x+ xy≤ 2，所以C错误，
2
x2+ xy= 1- x2y2+ xy=- xy- 1 5 5 12 + 4 ≤ 4 ，当且仅当 xy= 2 取等号，又 x
2 y2+1 = 1，所
x= 3以 2 ，y=
3 3 3
3 或者 x=- 2 ，y=- 3 等号成立，
故选：ABD
54 (多选题) (2024·全国· 1 1模拟预测)已知实数 a，b满足 > ，则 ( )
a b
A. log 3 30.2023a< log0.2023b B. a b+1+1 D. ab+
1
的最小值为 1
a a ab+1
【答案】BC
1 > 1【解析】由可知 a> 0，b> 0 1 1，由不等式的性质可知 > ，则 0< a< b．
a b a b
选项A：因为对数函数 y= log0.2023x为减函数，0< a< b，所以 log0.2023a> log0.2023b，故A错误；
选项B：由函数 y= x3的单调性可知 a3< b3，故B正确；
C b - b+1
b a+1 -a b+1= = b-a b b+1选项：因为 +1 > 0，所以 > ，故C正确；a a a a+1 a a+1 a a+1
选项D：ab+ 1+1 = ab+1 +
1
+1 - 1≥ 2 ab+1 ×
1
ab ab ab+1 - 1= 1，
1
当且仅当 ab+ 1= +1 ，即 ab= 0时取得等号，显然等号不成立，故D错误．ab
故选：BC．
55 (2024·全国·高三专题练习)已知实数 a，b，c满足 a+ b+ c= 0，a2+ b2+ c2= 1，则 a的最大值
是．
6
【答案】 3
【解析】∵ a+ b+ c= 0，a2+ b2+ c2= 1，
∴ b+ c=-a，b2+ c2= 1- a2，
∴ bc= 12 (2bc) =
1
2 [(b+ c)
2- (b2+ c2)]= a2- 12
∴ b、c是方程：x2+ ax+ a2- 12 = 0的两个实数根，
∴Δ≥ 0
∴ a2- 4 a2- 12 ≥ 0
即 a2≤ 23
∴- 63 ≤ a≤
6
3
a 6即的最大值为 3
6
故答案为： 3 ．
考点 5 : 糖水不等式
【解题方法总结】
26 LaoFan
b+m b a+m a
糖水不等式：若 a> b> 0，m> 0，则一定有
a+ > ，或者 < ．m a b+m b
56 (多选题) (2024·全国·高三专题练习)已知 bg糖水中含有 ag糖 (b> a> 0)，若再添加mg糖完全
溶解在其中，则糖水变得更甜了 (即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式中一定成立
的有 ( )
m
A. a < a+m a+m a+2
b b+ B. C. a+2m b+m < a+m b+2m D. 2 < 1 3b-1 3a-1
【答案】ABD
a a+m
【解析】对于A，由题意可知 <
b b+ ，正确；m
m m
对于B，因为m< 2m a+m a+m+2 -m a+2，所以
b+ < = ，正确；m b+m+2m-m b+2m
C a+m < a+m+m = a+2m对于， + + + +2 即 a+m b+2m < a+2m b+m ，错误；b m b m m b m
2 2+1 3 1 1
对于D， < = = < ，正确．
3b-1 3b-1+1 3b 3b-1 3a-1
故选：ABD
57 (2024·山西·统考一模)我们都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水会更甜．这句话用数学符
b < b+m号可表示为： + ，其中 a> b，且 a，b，m∈R
+．据此可以判断两个分数的大小关系，比如
a a m
854366239 854366236
998763421 998763418 (填“>”“<”)．
【答案】>
【解析】令 a= 854366236，则 a+ 3= 854366239，
令 b= 998763418，则 b+ 3= 998763421，
854366239 a+3 854366236 a
所以 998763421 = +3 ，b 998763418 = ，b
854366236 a a+3
根据题设知：998763418 = < +3 =
854366239
b b 998763421 ．
故答案为：>
58 (2024·福建·高三校联考阶段练习)若 a b克不饱和糖水中含有 b克糖，则糖的质量分数为，
a
这个质量分数决定了糖水的甜度．如果在此糖水中再添加m克糖，生活经验告诉我们糖水会变
b+m b
甜，从而可抽象出不等式 + > (a> b> 0，m> 0)数学中常称其为糖水不等式．依据糖水a m a
不等式可得出 log32 log1510(用“<”或“>”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式
．
ln2+ ln5 ln2
【答案】<；ln3+ ln5 > ln3
【解析】空 1：因为 0< log32< 1，所以可得：
= log52 < log52+1 log52 log 10log 2 53 log53 log53+1 log 3
< log = log1510；5 515
2 1 log 2< log 10 ln2 < ln10 = ln2+ ln5 ln2+ ln5 ln2空：由空可得： 3 15 ln3 ln15 ln3+ ln5 ，即 ln3+ ln5 > ln3 ．
故答案为：< ln2+ ln5 ln2；ln3+ ln5 > ln3
LaoFan 27
§1.4 基本不等式及其应用
1、基本不等式
a+b a+b
如果 a> 0，b> 0，那么 ab≤ 2 ，当且仅当 a= b时，等号成立．其中， 2 叫作 a，b的算术平均
数， ab叫作 a，b的几何平均数．即正数 a，b的算术平均数不小于它们的几何平均数．
基本不等式 1：若 a，b∈R，则 a2+ b2≥ 2ab，当且仅当 a= b时取等号；
a+b
基本不等式 2：若 a，b∈R+，则 2 ≥ ab (或 a+ b≥ 2 ab )，当且仅当 a= b时取等号．
注意 (1)基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为
定值，“三相等”指满足等号成立的条件． (2)连续使用不等式要注意取得一致．
【解题方法总结】
1、几个重要的不等式
(1)a2≥ 0 a∈R ， a≥ 0 a≥0 ， a ≥ 0 a∈R ．
(2) a+b基本不等式：如果 a，b∈R+，则 2 ≥ ab (当且仅当“a= b”时取“ ”)．
特例：a> 0，a+ 1 ≥ 2 a； + b ≥ 2(a，b同号)．
a b a
(3)其他变形：
a+b 2
① a2+ b2≥ 2 (沟通两和 a+ b与两平方和 a
2+ b2的不等关系式)
a2+b2
② ab≤ 2 (沟通两积 ab与两平方和 a
2+ b2的不等关系式)
2
③ ab≤ a+b2 (沟通两积 ab与两和 a+ b的不等关系式)
2 ≤ ab≤ a+b
2
④重要不等式串： ≤ a +b
2
1 1 2 2 a,b∈R
+ 即
a + b
调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值 (注意等号成立的条件)．
2、均值定理
已知 x，y∈R+．
2 2
(1)如果 x+ y= S(定值) x+y S，则 xy≤ 2 = 4 (当且仅当“x= y”时取“=”)．即“和为定值，积有最大
值”．
(2)如果 xy=P(定值)，则 x+ y≥ 2 xy= 2 P (当且仅当“x= y”时取“=”)．即积为定值，和有最小
值”．
28 LaoFan
3、常见求最值模型
n
模型一：mx+ ≥ 2 mn (m> 0,n> 0)，当且仅当 x= nm 时等号成立；x
n n
模型二：mx+ - =m(x- a) + - +ma≥ 2 mn+ma(m> 0,n> 0)，当且仅当 x- a=
n
x a x a m
时等号成立；
x 1 1
模型三： c
ax2
= ≤ (a> 0,c> 0)，当且仅当 x= 时等号成立；
+bx+c ax+b+ c 2 ac+b ax
2 2
模型四：x(n-mx) = mx(n-mx) ≤ 1 mx+n-mx = n2 4 m>0,n>0,0n ，当且仅当m m m m
x= n2 时等号成立．m
考点 1 : 基本不等式及其应用
【解题方法总结】
熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验
证．
59 (2024·辽宁·校联考二模)数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现
有如图所示图形，在等腰直角三角形△ABC中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶
点的一个动点，设AD= a，BD= b，用该图形能证明的不等式为 ()．
A. a+b2 ≥ ab a>0,b>0 B.
2ab
+ ≤ ab a>0,b>0a b
2 2
C. a+b a +b2 ≤ 2 a>0,b>0 D. a
2+ b2≥ 2 ab a>0,b>0
【答案】C
1 a+b
【解析】由图知：OC= 2 AB= 2 ，OD= OB-BD =
a+b -b = a-b2 2 ，
2 2
在Rt△OCD中，CD= OC2+OD2= a +b2 ，
2 2
所以OC≤OD a+b，即 a +b2 ≤ 2 a>0,b>0 ，
故选：C
60 (2024·全国·高三专题练习)已知 x，y都是正数，且 x≠ y，则下列选项不恒成立的是 ( )
x+y
A. > xy B. x + y > 2xy2 2 C. < xy D. xy+
1 > 2
y x x+y xy
【答案】D
【解析】x，y都是正数，
LaoFan 29
x+y y
由基本不等式， 2 ≥ xy， +
x ≥ 2xy ≤ 2xy2， = xy，这三个不等式都是当且仅
x y x+y 2 xy
当 x= y时等号成立，而题中 x≠ y，因此等号都取不到，所以ABC三个不等式恒成立；
xy+ 1 ≥ 2 1中当且仅当 xy= 1时取等号，如 x= 2 ，y= 2即可取等号，D中不等式不恒成立．xy
故选：D．
61 (2024·江苏·高三专题练习)下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是 ( )
①已知 ab≠ 0 a，求 + b a b的最小值；解答过程： + ≥ 2 a bb × a = 2；b a b a
x2+5 1
②求函数 y= 的最小值；解答过程：可化得 y= x2+4+ ≥ 2；
x2+4 x2+4
③设 x> 1 2 2，求 y= x+ -1 的最小值；解答过程：y= x+ ≥ 2
2x
-1 x-1 ，x x
2
当且仅当 x= 即 x= 2时等号成立，把 x= 2代入 2 2x
x-1 x-1 得最小值为 4．
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】A
a b
【解析】对①：基本不等式适用于两个正数，当 ab< 0，与均为负值，
b a
a
此时 + b =- - a + - b b a b a ≤-2 -
a b
b - a =-2，
a
当且仅当 = b ，即 a= b< 0时等号成立，故①的用法有误，故①错误；
b a
对②：y= x2+4+ 1 ≥ 2，
x2+4
当且仅当 x2+4= 1 ，即 x2+4= 1时取等号，
x2+4
但 x2+4≥ 2，则等号取不到，故②的用法有误；
对③：x> 1，x- 1> 0，y= x+ 2 2
x-1 = x- 1+ -1 + 1≥ 2 2+ 1，x
当且仅当 x- 1= 2，即 x= 2+ 1时取等号，故③的用法有误；
故使用正确的个数是 0个，
故选：A．
考点 2 : 直接法求最值
【解题方法总结】
直接利用基本不等式求解，注意取等条件．
62 (2024·河北·高三学业考试)若 x，y∈R+，且 x+ 2y= 3，则 xy的最大值为．
9
【答案】8
【解析】由题知，x，y∈R+，且 x+ 2y= 3
因为 x+ 2y≥ 2 x 2y，
所以 3≥ 2 x 2y，
所以 9≥ 8xy 9，即 xy≤ 8 ，
当且仅当 x= 2y，即 x= 3 32 ，y= 4 时，取等号，
30 LaoFan
9
故答案为：8
63 (2024·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习)若 a，b> 0，且 ab= a+ b+ 3，则 ab的
最小值是．
【答案】9
【解析】因为 a+ b= ab- 3≥ 2 ab (当且仅当 a= b时，等号成立)，
所以 ( ab )2- 2 ab- 3≥ 0，
所以 ( ab- 3) ( ab+ 1)≥ 0，所以 ab≥ 3，所以 ab≥ 9，
所以 ab的最小值为 9．
故答案为：9
64 (2024·天津南开·统考一模)已知实数 a> 0，b> 0，a+ b= 1，则 2a+ 2b的最小值为．
【答案】2 2
【解析】∵ a> 0，b> 0，a+ b= 1，
∴ 2a+ 2b≥ 2 2a×2b= 2 2a+b= 2 2 1，当且仅当 2a= 2b即 a= b= 2 时取等号．
故答案为：2 2．
考点 3 : 常规凑配法求最值
【解题方法总结】
1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．
2、注意验证取得条件．
65 (2024·全国·高三专题练习)若 x>-2，则 f x = x+ 1+2 的最小值为．x
【答案】0
1
【解析】由 x>-2，得 x+ 2> 0， +2 > 0，x
所以 f(x) = x+ 1+2 = x+ 2+
1 - 2≥ 2 (x+2)× 1 - 2= 0，
x x+2 x+1
x+ 2= 1当且仅当 +2 即 x=-1时等号成立．x
故答案为：0
66 (2024·全国·高三专题练习) 4已知 x> 0，则 2x+ 2 的最小值为．x+1
【答案】3
4 4
【解析】2x+ 2 +1 = 2x+ 1+ 2 +1 - 1≥ 2 2x+1
4
2x+1 - 1= 3，当且仅当 2x+ 1= 2，即x x
x= 12 时，等号成立．
故答案为：3．
2
67 (2024·全国·高三专题练习) x> 1 x +2x+2若，则
x-1 的最小值为
【答案】2 5+ 4/4+ 2 5
【解析】由 x> 1，则 x- 1> 0．
因为 x2+ 2x+ 2= x-1 2 + 4 x-1 + 5，
LaoFan 31
x2+2x+2 5
所以 5
x-1 = x-1 + + 4≥ 2 x-1 x-1 x-1 + 4= 2 5+ 4，
5
当且仅当 x- 1= ，即 x= 5+ 1时等号成立，
x-1
x2+2x+2
故 -1 的最小值为 2 5+ 4．x
故答案为：2 5+ 4．
68 (2024·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习)若关于 x的不等式 x2+ bx+ c≥ 0(b>
1)的解集为R 1+2b+4c，则
b-1 的最小值为．
【答案】8
2
【解析】因为不等式 x2+ bx+ c≥ 0(b> 1)的解集为R，则Δ= b2- 4c≤ 0 c≥ b4 ，
因为 b> 1，所以 b- 1> 0，
∴ 1+2b+4c ≥ b
2+2 2b+1 = (b-1) +4(b-1)+4-1 -1 -1 = (b- 1) +
4 4
b b b b-1 + 4≥ 2 (b-1)× b-1 + 4
= 8．
当且仅当 b- 1= 4 ，即 b= 3时，取到等号．
b-1
故答案为：8
考点 4 : 消参法求最值
【解题方法总结】
消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解．解
题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！
69 (2024·全国·高三专题练习)已知正实数 a，b满足 ab+ 2a- 2= 0，则 4a+ b的最小值是
( )
A. 2 B. 4 2- 2 C. 4 3- 2 D. 6
【答案】B
2
【解析】由 ab+ 2a- 2= 0，得 a=
b+2 ，
所以 4a+ b= 8+ + b=
8
+ + (b+ 2) - 2≥ 2
8
b+2 (b+2) - 2= 4 2- 2，b 2 b 2
2 8 2
当且仅当 a= + ， + = b+ 2，即 a= ，b= 2 2- 2取等号．b 2 b 2 2
故选：B．
70 (2024·全国·高三专题练习)若 x，y∈R+，(x- y)2= (xy)3 1 + 1，则的最小值为．
x y
【答案】2
2
【解析】因为 (x- y)2= (xy)3且 x，y∈R+，则两边同除以 (xy)2 1 - 1，得 = xy，y x
1 + 1
2 1 1 2
又因为 = - + 4 1 = xy+ 4 1 ≥ 2 xy 4 1 1xy = 4，当且仅当 xy= 4 ，即 xx y y x xy xy xy
= 2+ 2，y= 2- 2 1 1时等号成立，所以 + ≥ 4= 2．
x y
故答案为：2
32 LaoFan
71 (2024·全国·高三专题练习)已知 x> 0，y> 0，满足 x2+ 2xy- 2= 0，则 2x+ y的最小值是
．
【答案】 6．
2
【解析】由 x2+ 2xy- 2= 0，得 y= 2-x = 1 - x2 2 ，x∈ 0, 2x x
1 x 3x 1
所以 2x+ y= 2x+ - = 3x 1 3
x 2 2 + ≥ 2 2 x = 2 2 = 6．x
3x 1 6
当且仅当 2 = 即 x=x 3 时等号成立，
所以 2x+ y的最小值是 6．
故答案为： 6．
考点 5 : 双换元求最值
【解题方法总结】
若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的
分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系．
1、代换变量，统一变量再处理．
2、注意验证取得条件．
72 (2024·浙江省江山中学高三期中)设 a> 0，b> 0，若 a2+ b2- 3ab= 1，则 3a2- ab的最大值
为 ( )
A. 3+ 3 B. 2 3 C. 1+ 3 D. 2+ 3
【答案】D
【解析】解：法一：(基本不等式)
设 c= 3a- b，则 3a2- ab= a( 3a- b) = ac，
条件 a2+ b2- 3ab= 1 a2+ c2- 3ac= 1，
所以 3ac+ 1= a2+ c2≥ 2ac，即 ac≤ 2+ 3．
故选：D．
3 2
法二：(三角换元)由条件 a- 2 b +
1 b24 = 1，
a- 32 b=cosθ a=cosθ+ 3sinθ故可设，即 =2sin ，， b b θ 2 =sinθ
> 0 > 0 cosθ+ 3sinθ>0a 5π由于，b ，故 2sinθ>0 ，解得 0< θ< 6
a=cosθ+ 3sinθ
所以， =2sin ， 0<θ<
5π
6 ，b θ
所以 3a2- ab= 3+ 2sin2θ≤ 2+ 3 π，当且仅当 θ= 4 时取等号．
故选：D．
73 (2024·天津南开·一模)若 a> 0，b> 0，c> 0，a+ b+ c= 2 4 + a+b，则的最小值为
a+b c
．
LaoFan 33
【答案】2+ 2 2
【解析】由题意，a> 0，b> 0，c> 0，a+ b+ c= 2得：a+ b= 2- c，
设 2- c=m，c= n，(m> 0,n> 0) ，则m+ n= 2 ，
4 + a+b 4 2-c故 + = 2- + =
4
2- +
2 - 1= 4 + 2 - 1
a b c c c c c m n
= m+n2 ×
4 + 2 - 1= 3+ 2n + m - 1≥ 2+ 2 2n m = 2+ 2 2 ，m n m n m n
当且仅当m2= 2n2 ，即m= 4- 2 2，n= c= 2 2- 2时取得等号，
4 a+b
故 + + 的最小值为 2+ 2 2，a b c
故答案为：2+ 2 2
74 (2024·全国·高三专题练习) 1 1已知 a> 0，b> 0，a+ 2b= 1，则 3a+4 + 取到最小值为b a+3b
．
3+2 2
【答案】 5 ．
1
3λ+μ=1 λ=
【解析】令 a+ 2b= λ(3a+ 4b) + μ(a+ 3b) = (3λ+ μ)a+ (4λ+ 3μ)b 5，∴{ ，
4λ+3μ=2 2
μ= 5
∴ 1 + 1 1 1 1 2 33a+4b a+3 = 3 +4 + +3 5 (3a+4b)+b a b a b 5 (a+3b) = 5 +
1 2(a+3b) 3a+4b
5 3 +4 +a b a+3 b
a+2b=1
≥ 3 + 2 2(a+3b) 3a+4b 3+2 25 5 3a+4b a+3b = 5 ，当且仅当 { 2(a+3b) 时，等号成立，
3 +4
3a+4b
a b a+3b
1 1 3+2 2
即 3 +4 + +3 的最小值是．a b a b 5
考点 6 : “1”的代换求最值
【解题方法总结】
1的代换就是指凑出 1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程
中要特别注意等价变形．
1、根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法．
2、注意验证取得条件．
y
75 (2024·安徽蚌埠·统考二模) x若直线 + = 1(a> 0,b> 0)过点 2，3 ，则 2a+ b的最小值a b
为．
【答案】7+ 4 3 /4 3+ 7
x y
【解析】∵直线 + = 1(a> 0,b> 0)过点 2，3 ，a b
∴ 2 + 3 = 1．
a b
∴ 2a+ b= 2a+b 2 + 3 = 7+ 2b + 6a ≥ 7+ 4 b 3a = 7+ 4 3，当且仅当 b= 3a，即 aa b a b a b
= 2+ 3，b= 2 3+ 3时取等号．
34 LaoFan
∴ 2a+ b的最小值为 7+ 4 3．
故答案为：7+ 4 3．
76 (2024·河北·高三校联考阶段练习)已知 a> 0，b> 0，a+ 2b= 3 4-2b 1，则 +
a 2 的最小值为b
．
7
【答案】3
【解析】∵ a> 0，b> 0，a+ 2b= 3，
∴ 4-2b + 12 =
a+1 + 1 = 1+ 1 12 3 +
1
2 a+2b = 1+
1
3 2+
2b + a ≥ 1+ 4 = 7 ，
a b a b a b a 2b 3 3
3 4-2b 1 7
当且仅当 a= 2b= 2 时取等号，则 +a 2 的最小值为．b 3
7
故答案为：3
77 (2024·湖南衡阳·高三校考期中)已知 x> 1 1 13 ，y> 2，且 3x+ y= 7，则 3x-1 + 的最小y-2
值为．
【答案】1
【解析】因为 3x+ y= 7，所以 3x- 1+ y- 2= 4，
3x-1 y-2
即 4 + 4 = 1，
> 1 y-2因为 x 3 ，y> 2
3x-1
，所以 4 > 0， 4 > 0，
1
3 -1 +
1
-2 =
1
3 -1 +
1 3x-1-2 4 +
y-2
x y x y 4
= 1 + y-2 3x-1 1 1 y-2 3x-14 4(3x- +1) 4( + ≥y-2) 4 2 + 2 4(3 ×x-1) 4(y-2) = 1，
y-2 = 3x-1当且仅当 ( - ) ( - ) ，即 x= 1，y= 4时取等号．4 3x 1 4 y 2
1 1
所以 3x-1 + 的最小值为 1．y-2
故答案为：1
78 (2024·山东青岛·高三山东省青岛第五十八中学校考阶段练习) 4已知正实数 a，b满足
a+b
+ 1
b+1 = 1，则 a+ 2b的最小值为．
【答案】8
4 1
【解析】因为 +
a+b b+1 = 1，
所以 a+ 2b= 4+ +
1
a b b+1 a+b + b+1 -1
4 b+1
= 4+ 1- 1+ + a+b 4 b+1 a+b
a+b b+1 ≥ 4+ 2 a+b b+1 = 8，
4 b+1 a+b
当且仅当 + = +1 ，即 a= 4，b= 2时，取等号，a b b
所以 a+ 2b的最小值为 8．
故答案为：8．
LaoFan 35
考点 7 : 齐次化求最值
【解题方法总结】
齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进
行求解．
79 (2024·全国·高三专题练习)已知正实数 a，b，c，a+ b= 3 ac 3c 3，则 + + 的最小值为
b ab c+1
．
【答案】2 6- 2/ -2+ 2 6
(a+b)2
【解析】由正实数 a，b，a+ b= 3，可得 3= 3 ，
2+ (a+b)
2
ac 3c a
所以 + + 3 = c× a + 3 + 3 = c× 3 + 3
b ab c+1 b ab c+1 ab c+1
2
= c× 4a +2ab+b
2 3 4a +b 2 3
3 + = c× + + +ab c+1 3b 3a 3 c+1
4a + b ≥ 2 4a b 4 4a b 2 4而 3b 3a 3b 3a = 3 ，当且仅当 = 即 a= 3 ，b= 3 时取等号，b a
ac + 3c + 3故 ≥ c 4 + 2 + 3 = 2(c+ 1) + 3 - 2
b ab c+1 3 3 c+1 c+1
≥ 2 6- 2 ，
当且仅当 2(c+ 1) = 3 c= 6+1 时，即 2 - 1时取等号，c
故答案为：2 6- 2
80 (2024·全国·高三专题练习)已知 a，b为正实数，且 2a+ b= 1 2 + a，则 2 的最小值为a b
．
【答案】6
2 a 4a+2b a 2b a
【解析】由已知条件得， + 2 = + 2 = + 2 + 4≥ 2
2b
a
a
2b + 4= 6，a b a b a b
2b a 2 1
当且仅当 =
a 2 ，即 a= ，b= 时取等号．b 5 5
故答案为：6．
2xy
81 (2024·天津红桥·高三天津市复兴中学校考阶段练习)已知 x> 0，y> 0，则 2 2 +x +4y
xy
x2+y2
的最大值是．
2 2
【答案】 3
2xy xy 2 1 x
【解析】 + = + ，设 t= (t> 0)，
x2+4y2 x2+y2 x + 4y xy x y +
y y
x
2
3
= 2 + 1 = 2t + t = 3(t +2t)
3 t+ t
所以原式 4 1 t2+4 t2 4 2
= ，
t+ t+ +1 t +5t +4 2t t t +5+
4
t2
2
令 u= t+ (t> 0)，∴ u≥ 2 2．
t
36 LaoFan
3u 3 3 3 2 2
所以原式=
u2
=
+1 u+ 1
≤ 1 = = ．
u 2 2+
9 3
2 2 4 2
(函数 y= u+ 1 在 [2 2，+∞)上单调递增)
u
2 2
故答案为： 3
考点 8 : 利用基本不等式证明不等式
【解题方法总结】
类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明．
82 (2024·全国·高三专题练习)利用基本不等式证明：已知 a，b，c都是正数，求证：
a+b b+c c+a ≥ 8abc
【解析】∵ a，b，c都是正数，∴ a+ b≥ 2 ab> 0(当且仅当 a= b时取等号)；b+ c≥ 2 bc> 0(当
且仅当 b= c时取等号)；c+ a≥ 2 ca> 0(当且仅当 c= a时取等号)；
∴ a+b b+c c+a ≥ 2 ab 2 bc 2 ca= 8abc(当且仅当 a= b= c时取等号)，
即 a+b b+c c+a ≥ 8abc．
83 (2024·河南·高三校联考阶段练习)已知 x，y，z为正数，证明：
2 2 2
(1) x +y +z若 xyz= 2 1 1 1，则 + + ≤ ；
x y z 2
(2)若 2x+ y+ 2z= 9，则 x2+ y2+ z2≥ 9．
y2+z2
【解析】(1)因为 xyz= 2 2，所以 = yz≤
x 2 ，
2 x2+z2 2 x2+y2
同理可得 ≤ ， ≤ ，
y 2 z 2
2 + 2 2 y
2+z2 x2 2 2 2 2 2 2
所以 + ≤ 2 +
+z x +y 1 1 1 x +y +z
x y z 2 + 2 ，故 + + ≤ ，x y z 2
当且仅当 x= y= z时等号成立．
(2)x2+ y2+ z2= 19 2
2+12+22 1 x2+y2+z2 ≥ 29 2x+y+2z ，
因为 2x+ y+ 2z= 9，所以 x2+ y2+ z2≥ 9，当且仅当 x= 2y= z时等号成立．
84 (2024·四川广安·高三校考开学考试)已知函数 f x = 2x+1 + x+m ，若 f x ≤ 3的解集
为 n,1 ．
(1)求实数m，n的值；
(2) 1 2已知 a，b均为正数，且满足 2 + + 2m= 0，求证：16a
2+ b2≥ 8．
a b
【解析】(1)因为 f x ≤ 3的解集为 n,1 ，所以 f(1)≤ 3，即 3+ |1+m| ≤ 3，所以 |1+m| ≤ 0，
又 |1+m| ≥ 0，所以 1+m= 0，即m=-1．
所以 f(x) = |2x+ 1| +|x- 1|，
当 x<- 1 12 时，f(x) =-2x- 1- x+ 1=-3x≤ 3，得 x≥-1，则-1≤ x<- 2 ，
当- 12 ≤ x≤ 1时，f(x) = 2x+ 1- x+ 1= x+ 2≤ 3
1
，得- 2 ≤ x≤ 1，
当 x> 1时，f(x) = 2x+ 1+ x- 1= 3x≤ 3，得 x≤ 1，不成立，
综上所述：f x ≤ 3的解集为 [-1,1]，
LaoFan 37
因为 f x ≤ 3的解集为 n,1 ．所以 n=-1．
(2)由 (1) 1 2知，m=-1，所以 2 + = 2(a> 0,b> 0)，a b
1 2
所以 2= + ≥ 2 1 22 2a b =
2 1
，当且仅当 a= 2 ，b= 2时，等号成立，a b ab
所以 ab≥ 1，
所以 16a2+ b2≥ 2 16a2b2= 8ab≥ 8，当且仅当 a= 12 ，b= 2时，等号成立．
考点 9 : 利用基本不等式解决实际问题
【解题方法总结】
1、理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题．
2、注意定义域，验证取得条件．
3、注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等．
85 (2024·全国·高三专题练习)首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色
生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为
一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为 400吨，最多为 600吨，月处理成本 y
(元) 1与月处理量 x (吨)之间的函数关系可近似的表示为 y= x22 - 200x+ 80000 ，且处理每吨二
氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100元．
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才
能使单位不亏损？
y 1 80000
【解析】(1)由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为 = 2 x+ - 200≥x x
2 1 x 800002 x - 200= 200；
1
当且仅当 2 x=
80000
，即 x= 400时等号成立，
x
故该当每月处理量为 400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为 200元．
(2)不获利，设该单位每个月获利为 S元，则 S= 100x- y= 100x- 1 22 x -200x+80000 =-
1 x22
+ 300x- 80000 =- 12 x-300
2 - 35000，
因为 x∈ 400,600 ，则 S∈ -80000,-40000 ，
故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴 40000元才能不亏损．
86 (2024·贵州安顺·高一统考期末)某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一
种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为 100吨，最多为 600吨，月处理成本 f(x)
(元)与月处理量 x(吨) 1之间的函数关系可近似地表示为 f(x) = x22 - 200x+ 80000．
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使月处理成本最低？月处理成本最低是多少元？
(2)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？每吨的平均处理成本最低
是多少元？
【解析】(1)该单位每月的月处理成本：
38 LaoFan
f(x) = 1 2 1 22 x - 200x+ 80000= 2 (x- 200) + 60000，
因 100≤ x≤ 600，函数 f(x)在区间 [100,200]上单调递减，在区间 (200,600]上单调递增，
从而得当 x= 200时，函数 f(x)取得最小值，即 f(x)min= f(200) = 60000．
所以该单位每月处理量为 200吨时，才能使月处理成本最低，月处理成本最低是 60000元．
(2) 1由题意可知：f(x) = 2 x
2- 200x+ 80000(100≤ x≤ 600)，
f x x 80000
每吨二氧化碳的平均处理成本为： = + - 200≥ 2 x × 80000 - 200= 200
x 2 x 2 x
x = 80000当且仅当 2 ，即 x= 400时，等号成立．x
所以该单位每月处理量为 400吨时，每吨的平均处理成本最低，为 200元．
87 (2024·湖北孝感·高一统考开学考试)截至 2022年 12月 12日，全国新型冠状病毒的感染人数
突破 44200000人．疫情严峻，请同学们利用数学模型解决生活中的实际问题．
(1)我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已
知这种新药在注射停止后的血药含量 c t (单位：mg/L)随着时间 t(单位：h)．的变化用指数模型
c t = c e-kt0 描述，假定某药物的消除速率常数 k= 0.1(单位：h-1)，刚注射这种新药后的初始血药含
量 c0= 2000mg/L，且这种新药在病人体内的血药含量不低于 1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，
现给某新冠病人注射了这种新药，求该新药对病人有疗效的时长大约为多少小时？ (精确到 0.01，
参考数据：ln2≈ 0.693，ln3≈ 1.099)
(2)为了抗击新冠，需要建造隔离房间．如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底面积为 48a平
方米 (a> 0)，侧面长为 x米，且 x不超过 8，房高为 4米．房屋正面造价 400元 /平方米，侧面造价
150元 /平方米．如果不计房屋背面、屋顶和地面费用，则侧面长为多少时，总价最低？
【解析】(1)由题意得，c(t) = c e-kt= 2000e-0.1t0 ，
设该药在病人体内的血药含量变为 1000mg/L时需要是时间为 t1，
1
由 c(t -0.1t1 -0.1t11) = 2000e ≥ 1000，得 e ≥ 2 ，
故-0.1t≥-ln2 ∴ t≤ ln2， 0.1 ≈ 6.93h．
∴该新药对病人有疗效的时长大约为 6.93h．
(2) 48a 48a由题意，正面长为米，故总造价 y= 400× 4× + 2× 150× 4x，即 y= 76800a +
x x x
1200x， 076800a 76800a
由基本不等式有 y= + 1200x≥ 2 76800ax ×1200x，当且仅当 = 1200x，即 x=x x
8 a时取等号．
故当 8 a≤ 8，即 a≤ 1，x= 8 a时总价最低；
当 8 a> 8，即 a> 1时，由对勾函数的性质可得，x= 8时总价最低；
综上，当 0< a≤ 1时，x= 8 a时总价最低；当 a> 1时，x= 8时总价最低．
LaoFan 39
考点 10 : 与 a+b、平方和、ab有关问题的最值
【解题方法总结】
利用基本不等式变形求解
88 (多选题) (2024·重庆·统考模拟预测)若实数 a，b满足 a2+ b2= ab+ 1，则 ( )
A. a- b≥-1 B. a- b≤ 2 3 1 13 C. ab≥- 3 D. ab≤ 3
【答案】BC
【解析】∵ a2+ b2= ab+ 1，
当 ab> 0时，a2+ b2≥ 2ab ab+ 1≥ 2ab ab≤ 1，当且仅当 a= b= 1或 a= b=-1时等号成立，
得 0< ab≤ 1，
ab< 0 a2+ b2≥-2ab ab+ 1≥-2ab ab≥- 1 3 3当时， 3 ，当且仅当 a= 3 ，b=- 3 或 a=
- 33 ，b=
3 1
3 时等号成立，得- 3 ≤ ab< 0，
当 ab= 0时，由 a2+ b2= ab+ 1可得 a= 0，b=±1或 b= 0，a=±1
1
综合可得- 3 ≤ ab≤ 1，故C正确，D错误；
∵ a2+ b2- 2ab= 1- ab (a- b)2= 1- ab 1- (a- b)2= ab，
当 ab≥- 1 13 时，1- (a- b)
2≥- 3 (a- b)
2≤ 43 -
2 3
3 ≤ a- b≤
2 3
3 ，故A错误，B正确；
故选：BC．
89 (多选题) (2024·全国·高三专题练习)已知 a> 0，b> 0 a+ 1，且 = 1，则 ( )
b
A. 1 + b的最小值为 4 B. a2+ 1 12 的最小值为a b 4
C. a 1 1的最大值为 4 D.b 2 b- a的最小值为 2- 1
【答案】ACD
1 1 1
【解析】 + b= +b a+ = 1+ 1+ ab+ 1 ≥ 2+ 2 ab 1 = 4，当且仅当 ab= 1，即a a b ab ab
a= 1 ,
2 时取等号，则A正确；b=2
a2+ 1
b2 a+
1 2 2 1
2 ≥
b
2 ≥
1
2 =
1 a= ,
4 ，即 a
2+ 12 ≥
1
2 ，当且仅当 ab= 1，即b 2 时取等号，则Bb=2
错误；
b-1
a b b-1 2= = 2 =- 1 - 1 + 1 1 = 1 a 1，当b b b b 2 4 b 2 ，即 b= 2时， = ，则C正确；b max 4
1 - = 1 a=1-
2
2 b a 2 b-
b-1 = b 1 b 12 + - 1≥ 2 2 b - 1= 2- 1，当且仅当b b 2 时取等号，b= 2
则D正确．
故选：ACD
40 LaoFan
90 (多选题) (2024·全国·高三专题练习)已知 x> 0，y> 0，且 x+ y- xy+ 3= 0，则下列说法正确
的是 ( )
A. 3< xy≤ 12 B. x+ y≥ 6 C. x2+ y2≥ 18 D. 0< 1 + 1 ≤ 1
x y 3
【答案】BC
【解析】对于A：由 xy- 3= x+ y≥ 2 xy，得 xy- 3≥ 2 xy，当且仅当 x= y时，等号成立
xy 2 - 2 xy- 3≥ 0，解得 xy≥ 3，即 xy≥ 9，故A不正确；
x+y 2 x+y 2
对于B：由 x+ y+ 3= xy≤ 2 ，得 x+ y+ 3≤ 2 ，当且仅当 x= y时，等号成立即
x+y 2 - 4 x+y - 12≥ 0，解得 x+ y≥ 6，或 x+ y≤-2(舍去)，故B正确；
对于C：x2+ y2= x+y 2 - 2xy= x+y 2 - 2 x+y+3 = x+y 2 - 2 x+y - 6，
令 t= x+ y≥ 6，x2+ y2= t2- 2t- 6= t-1 2 - 7≥ 6-1 2 - 7= 18，即 x2+ y2≥ 18，故C正确；
x+y xy-3
对于D 1， + 1 = = = 1- 3 ，令 t= xy≥ 9 1， + 1 = 1- 3 ≥ 1- 3 = 2 ，即
x y xy xy xy x y t 9 3
1 + 1 ≥ 23 ，故D不正确，x y
故选：BC．
91 (多选题) (2024·全国·高三专题练习)设 a> 0，b> 0，a+ b= 1，则下列结论正确的是 ( )
A. ab 1 1的最大值为 24 B. a + b
2的最小值为 2
C. 4 + 1 的最小值为 9 D. a+ b的最小值为 3
a b
【答案】ABC
【解析】对于A，因为 a> 0，b> 0，a+ b= 1，
2
则 ab≤ a+b2 =

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第1章 集合简易逻辑和不等式（扫描版，含解析）高中数学人教A版

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