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角的平分线的判定
基础题训练
知识点一角的平分线的判定
1.两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点M，则点M一定在( )
A.∠A 的平分线上 B. AC边的高上
C. BC 边的垂直平分线上 D. AB 边的中线上
2.在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD 平分∠BAC 的是( )
A.图2 B.图1与图2 C.图1与图3 D.图2与图3
3.如图,点P 在∠AOB 的内部,PC⊥OA 于C,PD⊥OB 于D,PC=3cm,当PD= 时,P 点在∠AOB 的平分线上.
知识点二 角的平分线的性质与判定综合应用
4.如图，l ，l ，l 是三条两两相交的笔直公路，现欲修建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，这个加油站的位置共有( )
A.1处 B.2处 C.3处 D.4 处
5.如图,若AB∥CD,AP,CP 分别平分∠BAC和∠ACD,PE⊥AC于点E,且PE=4cm,则AB 与CD 之间的距离为( )
A.4 cm B.6 cm C.7 cm D.8cm
6.如图,BF⊥AC于F,CE⊥AB 于E. CE 交BF 于D,BD=CD.求证:点 D 在∠BAC 的平分线上.
7.如图,△ABC的∠B,∠C 的外角平分线交于点 P.
(1)求证:PA 平分∠BAC;
(2)若∠BPC=50°,求∠BAP 的度数.
中档题训练
8.如图,AP 平分∠BAC,AC=9,AB=5,PB=3,则PC的长可能是( )
A.6 B.8 C.9 D.10
9.如图,点G在AB 的延长线上,∠GBC,∠BAC 的平分线相交于点F,连接CF.若∠AFB=40°,则∠BCF 的度数为 .
10.(教材P50T1变式)用圆规与直尺作图：如图，在MN 上找一点P，使 P 到直线AB 和射线OC 的距离相等，其中点O在AB 上.(不写作法，保留作图痕迹)
11.(教材P53T8变式)如图,四边形 ABDC 中,∠D=∠ABD=90°,点O为BD 的中点,且OA 平分∠BAC.
(1)求证:OC 平分∠ACD; (2)求证:AB+CD=AC.
综合题训练
12.模型:(1)如图1,四边形 APBC 中,∠ACB=∠APB=90°,PA=PB,求证:PC 平分∠ACB;
运用:(2)如图2,在(1)条件下,求证:PC平分∠ACB 的外角;
拓展:(3)如图3,CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=α,AD,BE 交于点H,连CH.求证:CH 平分∠AHE.
角的平分线的判定
1. A 2. C 3.3cm 4. D 5. D
6.证明:△BDE≌△CDF,DE=DF.
7.证明:(1)过 P 作PM⊥BC 于M,
PN⊥AC 于N,
PH⊥AB 于H,则PM=PN=PH,
∴AP 平分∠BAC;
(2)∠BAP=40°.
8. A
解:在AC上取一点E使AE=AB,△AEP≌△ABP,PE=PB=3,
∴19.50°
解：易知点 F 在∠BCE 的平分线上，
设∠BAF=∠C∥00°—2α,
10.如图所示.
提示：作∠AOC 或∠BOC 的角平分线，与 MN 的交点即为所求.
11.证明:(1)作OE⊥AC 于E,
可得△AOB≌△AOE,
则有OB=OE=OD,∴OC平分∠ACD;
(2)由(1)结论可△OCD≌△OCE，
AB=AE,CD=CE,∴AB+CD=AE+CE=AC.
12.证明:(1)作PE⊥AC,PF⊥BC,垂足分别为E,F,△PAE≌△PBF(AAS),
∴PE=PF,∴PC 平分∠ACB;
(2)方法同上；
(3)作CM⊥AD 于M,CN⊥BE 于N,
△ACD≌△BCE(SAS),∠CAD=∠CBE,
再证△ACM≌△BCN,
(或证△ECN≌△DCM),CM=CN,
∴CH 平分∠AHE.

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