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黑龙江哈尔滨师范大学附属中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．2
2．有位老师和名学生排成一队照相，老师要求相邻且不排在两端，则不同的排法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
3．已知是两条直线，是三个平面，则正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．某小组有3名男生和2名女生，从中选取2名学生参加演讲比赛，下列事件中互斥而不对立的事件为（ ）
A．至少有1名男生和至少有1名女生 B．恰有1名男生和恰有2名女生
C．至少有1名男生和全是男生 D．至少有1名男生和全是女生
5．已知样本数据，，，，，的平均数为，方差为，若样本数据，，…，的平均数为，方差为，则（ ）
A．-2 B．2 C．或1 D．1或2
6．在正四棱锥中，，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
7．抛掷枚质地均匀的硬币，恰有枚正面朝上的概率为（其中），则（ ）
A． B． C． D．
8．已知O为的外心，且．若向量在向量上的投影向量为，其中，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知复数，若，则（ ）
A． B．z在复平面内对应的点在第四象限
C． D．的虚部为3
10．某校为了解高一学生的体能达标情况，抽调了200名学生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如下的频率分布直方图（同一组的数据用该组区间的中点值代表），则（ ）
A． B．众数是
C．中位数是 D．第百分位数是
11．如图，在三棱台中，侧面是等腰梯形，，，侧面平面，，，为的中点，点在上，且，则（ ）
A．平面
B．直线与平面所成角小于
C．平面将该三棱台分成两个几何体，则体积较小几何体的体积为
D．四点，，，在同一球面上，则该球的表面积为
三、填空题
12．已知圆台上下底面半径分别为和，母线与下底面所成角为，则圆台侧面积为________．
13．某校6名同学打算去山西旅游，现有平遥古城、五台山、省博物馆三个景区可供选择.若每个景区中至少有1名同学前往打卡，每人仅去一个景点，则不同方案的种数为______.
14．在中，，的平分线交于点，为的中点．若，，则__________．
四、解答题
15．为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作．某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试．假设两题作答相互独立，现有甲、乙、丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，，，答对第二题的概率分别是，，．
(1)求甲考生通过某校强基招生面试的概率；
(2)求甲、乙、丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率．
16．2023年9月，第19届亚洲运动会将在中国杭州市举行，某调研机构为了了解人们对“亚运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“亚运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.

(1)根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和上四分位数；
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“亚运会”宣传使者：
（i）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲 乙两人至少有一人被选上的概率；
（ii）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差.
17．如图，在四棱锥中，四边形 为矩形，平面 ，， ，分别是，， 的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)若，作交于点．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
18．在中，角，，的对边分别为，，．已知．
(1)求角的大小；
(2)若为锐角三角形，当时，求面积的取值范围．
19．如图，在三棱锥中，和都是等腰三角形，且，，．

(1)若．
（ⅰ）求证：平面平面；
（ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值．
(2)求三棱锥外接球的半径的最小值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A C B D A D D ACD ABD
题号 11
答案 ACD
12．
13．540
14．
15．(1)
(2)
【详解】（1）甲通过考核进入面试环节，
答对第一题的概率是，答对第二题的概率是，
则甲考生通过某校强基招生面试的概率为．
（2）乙考生通过某校强基招生面试的概率为，
丙考生通过某校强基招生面试的概率为，
甲、乙、丙三人中没有一人通过强基招生面试的概率为：
，
则甲、乙、丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率.
16．(1)31.75岁；36.25
(2)（i）；（ii）10
【详解】（1）设这人的平均年龄为，则
（岁）
设上四分位数（第75百分位数）为，
，，
位于第四组：内；
方法一：由，解得.
方法二：由，解得.
（2）（i）由题意得，第四组应抽取4人，记为，，，甲，第五组抽取2人，记为，乙，对应的样本空间为：
，
共15个样本点.
设事件“甲 乙两人至少一人被选上”，则
，
共有9个样本点.所以，.
（ii）设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为.
设第四组的宣传使者的年龄分别为，平均数为，方差为，
设第五组的宣传使者的年龄分别为，，平均数为，方差为，
则，，，
，
可得，，，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为．
则，
即第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，
法一：
.
法二：
.
即第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为；
据此估计这人中年龄在岁的所有人的年龄的平均数为，方差约为．
17．(1)证明：因为 ，分别为， 的中点，所以，
而平面，平面，
则平面．
连接 ，因为四边形 为矩形，所以为 中点，
因为是的中点，则，
而平面平面，
所以平面，
又，平面，且，
所以平面平面．
(2)（i）证明：以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示．
，，，，
则，，
因为，所以．
由已知得，因为，平面，且，
所以平面，
因为平面，故．
（ii）
【详解】（1）略
（2）（ⅰ）略
（ⅱ）因为，所以，
由（ⅰ）得是平面的法向量．
设直线与平面所成角的大小为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
18．(1)
(2)
【详解】（1）和正弦定理，得，
因，
代入化简得，
因，，则得，
又因，所以；
（2）因为锐角三角形，则有，解得.
因面积，
由正弦定理，，可得，
所以，
因为，则，，，
故的取值范围为.
19．(1)（ⅰ），，，平面，平面，
平面，平面，平面平面；
（ⅱ）；
(2)4.
【详解】（1）（ⅰ）略
（ⅱ）平面平面，过作交于，平面，
平面，过作，以为原点，分别为轴建系，如图所示.
是等腰三角形，，，，
是等腰三角形，，，，
，，，
，，，，
，，，
设平面的法向量为，
，，取，解得，
，
平面的法向量为，
设平面与平面的夹角为，
，
平面与平面的夹角的余弦值为；
（2）设的中点为，，为的外心，过作平面，

设的外接圆的外心为，过作平面的垂线，
则球心在直线上，球心在直线上，
三棱锥外接球的球心为直线和直线的交点，
的外接圆的半径为，
在中，设的外接圆的半径为，，，，
，，
设的中点为，则，
则为二面角的平面角，设，
，，，
，，
，
，
，四点共圆，
为四边形的外接圆的半径，
，
设，则，，
，
当且仅当时，即时取等号，，
三棱锥外接球的半径为，，
，.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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