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专题3-2 椭圆7大最值问题总结
【题型1】椭圆上的点到坐标轴上一点的距离最值
【题型2】椭圆上的点到直线距离最值问题
【题型3】与焦半径有关的线段和差最值问题
【题型4】焦半径的最小值问题
【题型5】与数量积有关的最值问题
【题型6】结合不等式求最值
【题型7 】弦长公式与面积最值问题
【题型1】椭圆上的点到坐标轴上一点的距离最值
例：点A为椭圆上的动点，点，求最大值
法一：构造二次函数模型求最值（最优）
步骤一：设点：
步骤二：写出两点距离公式：
步骤三：把点坐标代入椭圆方程得出x 与y 的关系，再代入消元
，代入得，此时根号内是一个关于的二次函数，且
步骤四：通过二次函数单调性和定义域求最值 （注意定义域）
法二：利用椭圆的参数方程构造三角函数模型
对于椭圆，它的参数方程为
大致步骤：利用两点距离公式表示
（23-24高二上·江苏常州·期中）设是椭圆的上顶点，点在上，则的最大值为（ ）
A．16 B．4 C．3 D．5
【答案】B
【分析】设得，利用，配方后利用的范围可得答案.
【详解】，设，则，所以，
，
因为，所以当时，有最大值为.
故选：B.

已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小为　　
A．2 B． C． D．
【解答】解：设圆的圆心为，则，
设，则，
椭圆，，，，，
令，在，单调递减，单调递增，在时最小，即最小值为，
，．
已知点在椭圆：上运动，，动点满足，则的最大值为 .
【答案】
【分析】设，先根据两点距离公式结合二次函数求解，然后利用圆的性质求得最值.
【详解】依题设，则，，
因为，
所以，当且仅当取等号，即，
由，可得点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，故.

【巩固练习1】已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】设出点坐标，利用坐标表示出并进行化简，再根据椭圆的有界性结合二次函数的性质求解出的最大值.
【详解】设，，且，
所以，
又因为，所以当时取最大值，所以
【巩固练习2】（多选）已知P是椭圆上的动点，Q是圆上的动点，则（ ）
A．椭圆C的焦距为 B．椭圆C的离心率为
C．的最大值为3 D．的最小值为
【答案】BC
【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质，可判定A不正确，B正确，设椭圆上一点，求得，求得和，进而可判定C正确，D不正确.
【详解】由椭圆，可得，所以，
所以椭圆的焦距为，离心率为，所以A不正确，B正确；
又由圆，可得圆心，半径为，
设椭圆上任意一点，则，
令，可得图象是开口向上的抛物线，且对称轴为，
当时，可得，所以；当时，可得，所以，
则的最小值为，所以C正确，D不正确.
【巩固练习3】点在圆上移动，点在椭圆上移动，则线段的最大值为 ．
【答案】
【分析】，要求的最大值，需先求的最大值，设出，代两点间的距离公式即可求出的最大值，进而求解.
【详解】如图，设点在圆上，设，而,
则，故, 此时，
又因为，所以的最大值是.

故答案为：.
【题型2】椭圆上的点到直线距离最值问题
人教版选择性必修一P114页例题7的思考题：
当直线与椭圆没有公共点时，椭圆上是否存在点P，使点P到直线有是大距离和最少距离？
人教 A 版选必一第 116 页拓展探究第 13 题：
已知椭圆直线．椭圆上是否存在一点，使得：
(1)它到直线l的距离最小 最小距离是多少
(2)它到直线l的距离最大 最大距离是多少
【思路分析】考虑将直线平移到和椭圆相切，两条切线，，则两条切线和l的距离就是椭圆上点到直线的最小距离和最大距离．
长为3的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，点为线段靠近点的三等分点，则点的轨迹方程为 .若直线的方程为，则点到直线的距离的最小值为 .
【答案】
【分析】首先分别设三点的坐标，即，，，再根据坐标间的关系，，即可求解；利用数形结合，转化为平行线间的距离，即可求解.
【详解】设，，，由题意可知，，即，
又由，得，化简为；
如图，向椭圆平移直线，设平移直线为，
当直线与椭圆相切时，此时切点到直线的距离最近；
联立，得，
此时，得，由图可知，正的舍去，
直线与之间的距离，即点到直线的距离的最小值为.
曲线上点到直线距离的最小值为 ．
【答案】
【分析】求曲线的切线方程，利用平行线的距离公式求所得直线与已知直线的距离，即可知最小距离.
【详解】令与相切，联立整理可得，
所以，可得，
当，此时与的距离，
当，此时与的距离，所以曲线到直线距离的最小值为.
点M是椭圆上任意点，则点M到直线的距离的最大值为 .
【答案】
【分析】设与直线平行的直线与椭圆相切，根据切线的意义可知切点到直线的距离最大或最小，求出切线方程，计算两平行线间的距离，即可得到最大值.
【详解】设与直线平行的直线与椭圆相切，
联立得，,则，解得或，
由椭圆和的位置关系，取离直线远的切线，
此时切点M是椭圆上到直线的距离最大的点，
等于两平行直线的距离
在直角坐标系中，椭圆C方程为，P为椭圆C上的动点，直线的方程为：，则点P到直线的距离d的最小值为 .
【答案】
【分析】设椭圆切线，联立椭圆方程求出切线方程，利用平行线的距离判断椭圆上点到已知直线距离的最值.
【详解】令与椭圆相切，消去x整理得：，
所以，可得，显然与椭圆无交点，
当，切线为，与距离为；
当，切线为，与距离为；
所以点P到直线的距离d的最小值为.
【巩固练习1】若P为椭圆上任意一点，则点P到直线的距离的最大值是 ；此时点P坐标是 .
【答案】
【分析】设与直线平行的直线与椭圆相切，联立方程组得，利用判别式求，从而利用平行线的距离公式得到答案.
【详解】设与直线平行的直线与椭圆相切，
联立直线与椭圆方程得，消去，整理得，
由，即，解得.
当时，直线与直线的距离；
当时，直线与直线的距离.
由可知符合题意.
将代入，即，可解得，
将代入可得，则点的坐标为，此时距离的最大值为.
【巩固练习2】已知P是椭圆上动点，则P点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据椭圆的参数方程，结合点到直线的距离公式及三角函数的性质可求得结果.
【详解】将椭圆化为参数方程为（为参数），
设，则P点到直线的距离为
，
当时，取得最小值
【巩固练习3】已知椭圆，则椭圆上的点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设椭圆上的点为，结合点到直线的距离公式与辅助角公式计算即可得解.
【详解】设椭圆上的点为，
则点到直线的距离为，其中，
由，故椭圆上的点到直线的距离的最大值为．
【巩固练习4】（23-24高二下·浙江·开学考试）已知点是直线上一点，点是椭圆上一点，设点为线段的中点，为坐标原点，若的最小值为，则椭圆的离心率为 .
【答案】
【分析】根据题意先求出直线关于原点的对称直线，然后利用几何知识得，设，在利用点到直线的距离公式，从而可求解.
【详解】直线关于原点的对称直线为，记直线与直线的交点为，连结，，如图，
为的中位线，则，
设，，或，
当时，与椭圆相交，最小值为0，与矛盾，舍去.
当时，符合要求，此时，，椭圆离心率.
故答案为：.
【题型3】与焦半径有关的线段和差最值问题
在椭圆中，处理焦半径有关的线段和差最值问题时，可以利用两条焦半径的和为常数，可将一条焦半径转换成另一条焦半径
已知椭圆的左、右焦点分别为，，M为C上任意一点，N为圆上任意一点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】首先根据椭圆的定义将的最小值转化为，再根据（当且仅当 M、 N、 E共线时取等号），结合，求得的最小值．
【详解】如图，
由M为椭圆C上任意一点，则，又N为圆E：上任意一点，
则（当且仅当M、N、E共线且N在M、E之间时取等号），
，，
当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立．
由题意知，，，则，的最小值为
动点分别与两定点，连线的斜率的乘积为，设点的轨迹为曲线，已知，，则的最小值为（ ）
A．4 B．8 C． D．12
【答案】B
【分析】求出轨迹方程，根据椭圆的定义，可得，当经过点时，最短.
【详解】设动点 的坐标为 ，则
整理后得： ，动点 的轨迹为椭圆，左焦点为，右焦点为 ，
，如下图所示，当经过点时，最短，此时
设椭圆的右焦点为，动点在椭圆上，点是直线上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据椭圆的定义，结合两点间线段最短、点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】根据题意知椭圆的右焦点坐标为，左焦点坐标为，
根据椭圆的定义可知，所以，
则，
所以最小时，即最小，
定点到直线最短距离是过定点直线的垂线段，
根据点到直线的距离公式可得，所以.
故选：C
【巩固练习1】已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点坐标为，则的最大值为（ ）
A． B．13 C．3 D．5
【答案】B
【分析】利用椭圆的定义求解.
【详解】如图所示：
，
故选：B
【巩固练习2】已知椭圆：，的右焦点为F，P为椭圆上任意一点，点A的坐标为，则的最大值为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义，将转化为，当三点共线时，取最大值即，再利用两点距离公式就可求解.
【详解】如图，

设椭圆C的左焦点为，由由椭圆定义可得，，
所以.
【巩固练习3】已知为椭圆的右焦点，是椭圆上一动点，点为圆上一动点，则的最大值是 .
【答案】10
【分析】利用点与圆的位置关系，结合椭圆的定义，转化，利用数形结合，即可求的最大值.
【详解】设点为椭圆的左焦点，点为圆的圆心，
点为圆外的点，的最大值为,,即，
的最大值为，
如图，当四点共线时,“=”成立，，,,
所以的最大值为.
【巩固练习4】已知椭圆：内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求：
(1)的最大值与最小值；
(2)的最大值与最小值．
【答案】(1)最大值为，最小值为
(2)最大值为，最小值为
【分析】(1)由题意可知：根据三角形的性质，即可求得然后得到的最大值与最小值；
(2)利用椭圆的定义表示出，根据椭圆的定义及三角形三边的关系，即可求得答案．
【详解】(1)由椭圆可知，，，
则，，
则，当且仅当、、三点共线时成立，所以，
所以的最大值与最小值分别为和；
(2)，，，
设是椭圆上任一点，由，，
，
等号仅当时成立，此时、、共线，
由，，
等号仅当时成立，此时、、共线，
故的最大值与最小值为．
【题型4】焦半径的最小值问题
椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c，最小值为a－c ．
若椭圆上的点到焦点距离的最大值是最小值的2倍，则该椭圆的离心率为 ．
【答案】
【详解】依题意，由图象的性质可知，
点到焦点距离的最大值为，最小值为，所以，化简得，即离心率
平面内有一长度为4的线段，动点P满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可得动点在以为焦点，长轴长为6的椭圆上，，
则可得的最小值为，最大值为，的取值范围是.
【巩固练习1】已知，是椭圆C的两个焦点，点M在C上，且的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆的离心率为 ．
【答案】
【分析】先结合椭圆的定义表示出，化简后结合的范围可求出的最值，然后列方程可表示出的关系，从而可求出椭圆的离心率.
【详解】因为，所以，
所以当时，取得最大值，
因为，所以的最小值为，
因为的最大值是它的最小值的2倍，所以，所以，所以，
所以椭圆的离心率为
【巩固练习2】在椭圆中，，分别是其左右焦点，是椭圆上一点，若，则该椭圆离心率的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：根据椭圆定义，将设代入得，
根据椭圆的几何性质，，故，即
，故，即，又，故该椭圆离心率的取值范围是．
【巩固练习3】已知为椭圆的左焦点，P为椭圆上一点，则的取值范围为_________．
【答案】[1,3]
【分析】设出点P的坐标，由两点间的距离公式求出，进而根据点在椭圆上将式子化简，最后求出范围.
【详解】由题意，，设，则，
所以，因为，所以的范围是.
故答案为：.
【题型5】与数量积有关的最值问题
类型一：通过极化恒等式转换成单线段最值问题
极化恒等式：在三角形ABC中（M为BC的中点），则
证明（基底法）：因为，所以
类型二：设点，利用坐标表示数量积
已知P为椭圆上任意一点，EF为圆任意一条直径，则的取值范围为（ ）
A．[8，12] B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可得圆心恰好是椭圆的右焦点，将化简得，由椭圆的性质可知，从而可求出的取值范围
【详解】由，得，则，
圆的圆心恰好是椭圆的右焦点，圆的半径为2，
因为，
因为P为椭圆上任意一点，为椭圆的右焦点，
所以，即，
所以，所以，
所以的取值范围为
已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解法一 ：由题意可得，，，设.表示出，然后根据椭圆的范围即可求出范围；解法二：由题意可得，，，设，取线段AF的中点，可推得，然后根据椭圆的范围即可求出范围.
【详解】解法一：
由题意知，，设.
则.
因为，所以，所以，
所以．
解法二：
由题意知，．
设，取线段AF的中点N，则，连接MN.
则.
因为，所以，所以，所以．
【巩固练习1】已知是椭圆的两个焦点，分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点在线段上，则的最小值为__________.
【答案】
【分析】由题可设，则，然后利用数量积坐标表示及二次函数的性质即得.
【详解】由题可得，，
设，因为点P在线段AB上，所以，
∴，∴当时，的最小值为.
【巩固练习2】已知点满足，点A，B关于点对称且，则的最大值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．2
【答案】C
【分析】利用向量的加法运算求出，根据向量数量积基底模式求出，
再用两点间的距离公式及点在椭圆上即可求解.
【详解】由椭圆定义可得点在椭圆上，因为点A，B关于点对称，
所以，
而，因为，
所以当时取得最大值3，所以的最大值为.
【巩固练习3】在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上且在第一象限内，，在轴上任取一点，直线与直线相交于点，则的最大值为 .
【答案】
【分析】设，根据得到，联立方程组解出点坐标，再设点坐标为，将直线与直线联立解得点坐标，由结合二次函数得性质即可求解.
【详解】由椭圆得左，右焦点分别为，，

设，因为，所以，整理得，
又因为，联立方程组，解得，，所以点A点坐标为，
设点坐标为，因为直线斜率不为，设直线方程为，
将，代入解得直线方程为，
再将直线与直线联立解得点坐标为，
所以，
当时，取最大值，最大值为
【题型6】结合不等式求最值
基本不等式：如果，那么，当且仅当时，等号成立．（仅限和与积）
常用不等式：若，则，当且仅当时取等号；（从左至右为积，和，平方和）
已知，是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为（ ）．
A．13 B．12 C．25 D．16
【答案】C
【分析】根据椭圆定义可得，利用基本不等式可得结果.
【详解】由椭圆方程知：；根据椭圆定义知：，
（当且仅当时取等号），的最大值为.
《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”.如图为一直角三角形，以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，若以，为焦点，且过点C的椭圆方程为则直角三角形的“勾”“股”之积的最大值为 .
【答案】
【分析】先根据已知条件结合椭圆定义求出，再利用基本不等式即可求解.
【详解】设，，根据椭圆定义得 ，
所以 ，当且仅当时取等号，所以直角三角形的“勾”“股”之积的最大值为.
已知函数，且的图象恒过定点，若点在椭圆上，则的最小值为　　
A．12 B．10 C．9 D．8
【答案】C
【解答】解：对于函数，且的图象，令，求得，，
可得它的图象恒过定点．
因为点在椭圆，，上，则，
则，当且仅当时，等号成立，
故的最小值为9
【巩固练习1】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆上的动点，，，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由椭圆的定义可得；利用基本不等式，若 ，则，当且仅当时取等号.
【详解】根据椭圆的定义可知，，即，
因为，，
所以
【巩固练习2】已知 P ( m ， n) 是椭圆上的一个动点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意求得的范围，及，从而可得，从而可得出答案.
【详解】解：因为P ( m ， n) 是椭圆上的一个动点，
所以，
且，则，
则，
因为，所以，
所以，
即.
【巩固练习3】设是椭圆上一点，、是椭圆的两个焦点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用椭圆的定义以及基本不等式可求得的最小值.
【详解】在椭圆中，，，，
由椭圆定义可得，，
由余弦定理可得
，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
【巩固练习5】已知，分别为椭圆的左右焦点，过的一条直线与交于A，B两点，且，，则椭圆长轴长的最小值是（ ）
A．12 B． C．6 D．
【答案】D
【分析】利用椭圆的定义，结合勾股定理，利用基本不等式转化求解即可．
【详解】设，则，，，

由，得，则，有，
所以，当且仅当，即时取等号．
所以椭圆长轴长的最小值是.
【题型7 】弦长公式与面积最值问题
弦长公式
一、设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
（1）若此时AB直线方程为：
则AB＝
（2）若AB直线方程为：
则AB＝
面积处理策略
(1)底：高(通常选弦长做底，点到直线的距离为高)
(2)水平宽·铅锤高或
若过原点的直线与椭圆交于A、B两点，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】先讨论直线的斜率不存在的情况，算出，再讨论直线的斜率存在，设出直线的方程，联立椭圆后利用韦达定理和弦长公式得到，即可得到结果
【详解】解：若过原点的直线斜率不存在时，则直线为，
将代入椭圆得，此时；
若过原点的直线斜率存在时，设直线的斜率为，方程可设为，
联立直线与椭圆方程：化简得：，
设，则
，
因为，所以，所以，所以，
综上所述，的最大值为
在平面直角坐标系中，焦点在x轴上的椭圆过点，离心率.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆相交于两点，求的面积最大值.
【答案】(1)，(2)1
【分析】（1）根据椭圆的离心率及椭圆过一点，列方程求解，即可得椭圆的方程；
（2）设，联立直线与椭圆求解交点坐标关系，即可得相交弦长，再利用点到直线的距离求得点到直线的距离，即可得的表达式，利用函数性质求最值即可.
【详解】（1）设椭圆方程为，
由椭圆过点，离心率；所以，解得，
所以椭圆的方程为：
（2）设，则，得，
，得，所以，
所以，点到直线的距离
所以的面积
当时，的面积取到最大值1.
【巩固练习1】（2024·湖南长沙·三模）已知椭圆的离心率为，过的左焦点且斜率为1的直线与交于两点.若，则的焦距为 .
【答案】
【分析】根据题意，得到椭圆的方程为，由的方程为，联立方程组，求得，结合弦长公式，列出方程求得的值，即可求解.
【详解】由椭圆的离心率为，可得，则，
所以椭圆的方程为，即，
由直线过椭圆的右焦点且斜率为，可得的方程为，
联立方程组，整理得，则，
设，则，
所以，解得，所以椭圆的焦距为.
【巩固练习2】是原点，椭圆，直线过且与椭圆交于A，两点，则面积的最大值为 .
【答案】
【分析】设直线，联立方程，利用韦达定理可得，换元，利用对勾函数性质分析求解.
【详解】由题意可知：直线与椭圆必相交，且斜率不为0，
设直线，
联立方程，消去x得，因为直线所过定点在椭圆内部，则直线与椭圆必有两交点，
则，
可得，
则面积，
令，则，可得，
因为在内单调递增，则，
可得，当且仅当，即时，等号成立，
所以面积的最大值为.
【巩固练习3】平面中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为.设点为，过原点的直线交椭圆于、两点，则面积的最大值为 .
【答案】
【分析】由题意求椭圆方程，分类讨论直线斜率，利用三角形面积公式结合最值的求法即可得解.
【详解】因为左焦点为，右顶点为，
所以，可得所以椭圆的标准方程为
当直线垂直于轴时，，因此，的面积
当直线不垂直于轴时，设直线方程为.
由 解得
所以，又点到直线的距离，
所以的面积,
要求的最大值，故，
当时，，当且仅当，
即等号成立，所以，可得，当等号成立.
所以的最大值是.
【巩固练习4】已知椭圆C：的离心率为，且椭圆长轴长为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点的直线l（不过原点O）与C交于AB，两点，求面积的最大值．
【答案】(1),(2)
【分析】（1）根据题意可得出，，再利用的关系求出，进而求解；
（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线，,，,，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得，，由弦长公式可得，点到直线的距离公式可得点到直线的距离，再计算的面积，利用基本不等式，即可得出答案．
【详解】（1）因为椭圆的离心率为，且椭圆长轴长为，所以，，则，所以椭圆的标准方程为：.
（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线，,，,，
联立，得，，
所以，即或，则，
故，
点到直线的距离，所以的面积，
设，则，
故，当且仅当时，等号成立，
所以面积的最大值为
【巩固练习5】（23-24高二下·安徽宣城·期末）已知椭圆的离心率，且过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两点，是坐标原点，求面积的最大值.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）把点代入方程得，结合离心率公式可得，可得椭圆方程.
（2）应用韦达定理结合弦长公式，点到直线的距离，基本不等式即可求解.
【详解】（1）椭圆过点，得①，
，，即②，
由①②联立解得，则椭圆方程为
（2）当直线垂直于轴时，三点共线，不能构成三角形，
故直线的斜率存在，则设直线为：，
设，联立，得
则，即或，，
则，
点到直线的距离为，
则，
令，则，则，
当且仅当，即，即时等号成立，故面积的最大值为.
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专题3-2 椭圆7大最值问题总结
【题型1】椭圆上的点到坐标轴上一点的距离最值
【题型2】椭圆上的点到直线距离最值问题
【题型3】与焦半径有关的线段和差最值问题
【题型4】焦半径的最小值问题
【题型5】与数量积有关的最值问题
【题型6】结合不等式求最值
【题型7 】弦长公式与面积最值问题
【题型1】椭圆上的点到坐标轴上一点的距离最值
例：点A为椭圆上的动点，点，求最大值
法一：构造二次函数模型求最值（最优）
步骤一：设点：
步骤二：写出两点距离公式：
步骤三：把点坐标代入椭圆方程得出x 与y 的关系，再代入消元
，代入得，此时根号内是一个关于的二次函数，且
步骤四：通过二次函数单调性和定义域求最值 （注意定义域）
法二：利用椭圆的参数方程构造三角函数模型
对于椭圆，它的参数方程为
大致步骤：利用两点距离公式表示
设是椭圆的上顶点，点在上，则的最大值为（ ）
A．16 B．4 C．3 D．5
已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小为　　
A．2 B． C． D．
已知点在椭圆：上运动，，动点满足，则的最大值为 .
【巩固练习1】已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为
A．2 B． C． D．
【巩固练习2】（多选）已知P是椭圆上的动点，Q是圆上的动点，则（ ）
A．椭圆C的焦距为 B．椭圆C的离心率为
C．的最大值为3 D．的最小值为
【巩固练习3】点在圆上移动，点在椭圆上移动，则线段的最大值为 ．
【题型2】椭圆上的点到直线距离最值问题
人教版选择性必修一P114页例题7的思考题：
当直线与椭圆没有公共点时，椭圆上是否存在点P，使点P到直线有是大距离和最少距离？
人教 A 版选必一第 116 页拓展探究第 13 题：
已知椭圆直线．椭圆上是否存在一点，使得：
(1)它到直线l的距离最小 最小距离是多少
(2)它到直线l的距离最大 最大距离是多少
【思路分析】考虑将直线平移到和椭圆相切，两条切线，，则两条切线和l的距离就是椭圆上点到直线的最小距离和最大距离．
长为3的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，点为线段靠近点的三等分点，则点的轨迹方程为 .若直线的方程为，则点到直线的距离的最小值为 .
曲线上点到直线距离的最小值为 ．
点M是椭圆上任意点，则点M到直线的距离的最大值为 .
在直角坐标系中，椭圆C方程为，P为椭圆C上的动点，直线的方程为：，则点P到直线的距离d的最小值为 .
【巩固练习1】若P为椭圆上任意一点，则点P到直线的距离的最大值是 ；此时点P坐标是 .
【巩固练习2】已知P是椭圆上动点，则P点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习3】已知椭圆，则椭圆上的点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习4】已知点是直线上一点，点是椭圆上一点，设点为线段的中点，为坐标原点，若的最小值为，则椭圆的离心率为 .
【题型3】与焦半径有关的线段和差最值问题
在椭圆中，处理焦半径有关的线段和差最值问题时，可以利用两条焦半径的和为常数，可将一条焦半径转换成另一条焦半径
已知椭圆的左、右焦点分别为，，M为C上任意一点，N为圆上任意一点，则的最小值为 ．
动点分别与两定点，连线的斜率的乘积为，设点的轨迹为曲线，已知，，则的最小值为（ ）
A．4 B．8 C． D．12
设椭圆的右焦点为，动点在椭圆上，点是直线上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点坐标为，则的最大值为（ ）
A． B．13 C．3 D．5
【巩固练习2】已知椭圆：，的右焦点为F，P为椭圆上任意一点，点A的坐标为，则的最大值为（ ）
A． B．5 C． D．
【巩固练习3】已知为椭圆的右焦点，是椭圆上一动点，点为圆上一动点，则的最大值是 .
【巩固练习4】已知椭圆：内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求：
(1)的最大值与最小值；(2)的最大值与最小值．
【题型4】焦半径的最小值问题
椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c，最小值为a－c ．
若椭圆上的点到焦点距离的最大值是最小值的2倍，则该椭圆的离心率为 ．
平面内有一长度为4的线段，动点P满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】已知，是椭圆C的两个焦点，点M在C上，且的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆的离心率为 ．
【巩固练习2】在椭圆中，，分别是其左右焦点，是椭圆上一点，若，则该椭圆离心率的取值范围是　　
A． B． C． D．
【巩固练习3】已知为椭圆的左焦点，P为椭圆上一点，则的取值范围为_________．
【题型5】与数量积有关的最值问题
类型一：通过极化恒等式转换成单线段最值问题
极化恒等式：在三角形ABC中（M为BC的中点），则
证明（基底法）：因为，所以
类型二：设点，利用坐标表示数量积
已知P为椭圆上任意一点，EF为圆任意一条直径，则的取值范围为（ ）
A．[8，12] B． C． D．
已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习1】已知是椭圆的两个焦点，分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点在线段上，则的最小值为__________.
【巩固练习2】已知点满足，点A，B关于点对称且，则的最大值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．2
【巩固练习3】在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上且在第一象限内，，在轴上任取一点，直线与直线相交于点，则的最大值为 .
【题型6】结合不等式求最值
基本不等式：如果，那么，当且仅当时，等号成立．（仅限和与积）
常用不等式：若，则，当且仅当时取等号；（从左至右为积，和，平方和）
已知，是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为（ ）．
A．13 B．12 C．25 D．16
《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”.如图为一直角三角形，以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，若以，为焦点，且过点C的椭圆方程为则直角三角形的“勾”“股”之积的最大值为 .
已知函数，且的图象恒过定点，若点在椭圆上，则的最小值为　　
A．12 B．10 C．9 D．8
【巩固练习1】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆上的动点，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】已知 P ( m ， n) 是椭圆上的一个动点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习3】设是椭圆上一点，、是椭圆的两个焦点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习5】已知，分别为椭圆的左右焦点，过的一条直线与交于A，B两点，且，，则椭圆长轴长的最小值是（ ）
A．12 B． C．6 D．
【题型7 】弦长公式与面积最值问题
弦长公式
一、设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
（1）若此时AB直线方程为：
则AB＝
（2）若AB直线方程为：
则AB＝
面积处理策略
(1)底：高(通常选弦长做底，点到直线的距离为高)
(2)水平宽·铅锤高或
若过原点的直线与椭圆交于A、B两点，则的最大值为 ．
在平面直角坐标系中，焦点在x轴上的椭圆过点，离心率.
(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆相交于两点，求的面积最大值.
【巩固练习1】已知椭圆的离心率为，过的左焦点且斜率为1的直线与交于两点.若，则的焦距为 .
【巩固练习2】是原点，椭圆，直线过且与椭圆交于A，两点，则面积的最大值为 .
【巩固练习3】平面中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为.设点为，过原点的直线交椭圆于、两点，则面积的最大值为 .
【巩固练习4】已知椭圆C：的离心率为，且椭圆长轴长为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点的直线l（不过原点O）与C交于AB，两点，求面积的最大值．
【巩固练习5】已知椭圆的离心率，且过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两点，是坐标原点，求面积的最大值.
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