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河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区）2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设是不重合的两个平面，的法向量分别为，和是不重合的两条直线，的方向向量分别为，那么的一个充分条件是（ ）
A．，，且， B．，，且
C．，，且 D．，，且
2．计算1+i+i2+i3+…+i89的值为（ ）
A．1 B．i C．﹣i D．1+i
3．如图，为水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，为的中点，为轴上一点，且平行于轴，平行于轴，，则为（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰非等边三角形
4．如图，在空间四边形中，，，若，则（ ）

A． B． C． D．
5．设样本数据，，…，的平均数为，标准差为s，若样本数据，，…，的平均数比标准差少3，则的最大值为（ ）
A．1 B． C．4 D．
6．先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次出现的点数记为，第二次出现的点数记为，则下列事件发生的可能性最小的是（ ）
A． B．
C． D．方程有实数解
7．如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩余部分，则该几何体的表面积为（ ）

A．24－3π B．24－π C．24＋π D．24＋5π
8．已知面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，，角A的平分线交于点O，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若 为两个随机事件，且，则（ ）
A．当 时， B．当A和互斥时，
C．当A和独立时， D．当A和独立时，
10．若平面向量，满足，则（ ）
A．
B．向量与的夹角为
C．向量在上的投影向量为
D．若平面向量满足，则的最大值为
11．已知正方体棱长为2，，分别为边，的中点，且存在点，满足，，，则下列选项中正确的是（ ）
A．若直线平面，点P的轨迹长度为
B．若，则直线与所成角的取值范围是
C．若，则平面平面
D．若，则的最小值为
三、填空题
12．已知是关于的实系数方程的一个根，则______.
13．如图，，，三点位于同一水平面，位于的北偏西方向，位于的北偏东方向，在的正西方向，且，之间的距离为50米，处正上方建有一栋楼房，处正上方建有一座塔，从处观察塔尖，测得仰角为，从楼房顶处观察塔尖，测得仰角为，则楼房的高度为__________米．
14．已知菱形的边长为2，.将沿折起，使得点至点的位置，得到四面体.当二面角的大小为120°时，四面体的体积为___________；当四面体的体积为1时，以为球心，的长为半径的球面被平面所截得的曲线在内部的长为_______________.
四、解答题
15．已知，，与的夹角为.
(1)若与共线，求实数的值；
(2)求的值；
(3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
16．读书启智，书香润心．坚持课外阅读不仅能积累知识、开阔眼界，更能涵养品格、丰盈内心，青少年应当主动培养每日阅读的良好习惯．为营造书香校园氛围，了解学生日常阅读情况，某校随机抽取100名高一学生，调查他们一周课外阅读时长（单位：小时），根据统计结果作得下面频率分布直方图．
(1)求的值，并估计该校高一学生平均每周课外阅读时长（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)用分层抽样的方法，样本按比例分配，从课外阅读时长在的学生中抽取5人，请问课外阅读时长在有多少人；
(3)定义“阅读爱好者”为一周课外阅读时长不低于第80百分位数的学生，请估计该校高一学生“阅读爱好者”一周课外阅读时长的最小值．
17．如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，.
(1)求证：平面；
(2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；
(3)线段上一动点满足，判断是否存在，使平面与平面夹角正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
18．甲、乙两支篮球队进入某次决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过加时赛决出冠军.现假定甲队在主场获胜的概率为，平局的概率为，其中；甲队在客场获胜和平局的概率均为；加时赛甲队获胜的概率为.不同对阵的结果相互独立，假设甲队先主场后客场.
(1)已知.
（i）求甲队通过加时赛获得冠军的概率；
（ii）求甲队获得冠军的概率.
(2)除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过加时赛决出冠军.假定甲队在第三方场地获胜的概率为，平局的概率为，加时赛甲队获胜的概率为.问哪种赛制更有利于甲队夺冠？
19．在中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，．
(1)求A；
(2)若，，D为线段BC内一点，且，求线段AD的长；
(3)法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的，都有被称为柯西不等式；若，求：的最小值．
《河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区）2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D D C A B A BCD AD
题号 11
答案 ACD
1．C
2．D
3．D
4．D
5．C
6．A
7．B
8．A
9．BCD
10．AD
11．ACD
12．
13．25
14． /
15．(1)
(2)
(3)
16．(1)，平均每周课外阅读时长为小时；
(2)人；
(3)小时．
17．(1)
因为，分别为，的中点，所以.
因为，所以，所以，
又，，，平面，
所以平面
(2)
(3)存在，
18．(1)（i）；（ii）
(2)“主客场比赛制”比第三方场地的“单场比赛制”更加有利于甲队夺冠
19．(1)；
(2)；
(3)48

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